2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第2部分專題2數(shù)列解密高考2數(shù)列問題重在“歸”-化歸歸納教案理

PAGE3-解密高考②數(shù)列問題重在“歸”——化歸、歸納————[思維導(dǎo)圖]————————[技法指津]————1.化歸的常用策略(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特別的基本數(shù)列，高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問題，應(yīng)對(duì)的策略就是通過化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列．(2)由于數(shù)列是一種特別的函數(shù)，也可依據(jù)題目的特點(diǎn)，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決．2．歸納的常用策略對(duì)于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡(jiǎn)潔的個(gè)別的情形動(dòng)身，從中歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法：視察、歸納、猜想、證明.母題示例：2024年全國卷Ⅱ，本小題滿分12分已知數(shù)列{an}和{bn}滿意a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.本題考查：等差(比)數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式等學(xué)問，考查方程思想、轉(zhuǎn)化化歸等實(shí)力，數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).[審題指導(dǎo)·發(fā)掘條件]看到證明{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列，想到等差(比)數(shù)列的概念；缺“an＋1＋bn＋1”與“an＋1－bn＋1”，借助題設(shè)條件利用方程思想補(bǔ)找該條件，并求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．[構(gòu)建模板·四步解法]數(shù)列類問題的求解策略第一步找條件其次步求通項(xiàng)第三步定方法第四步再反思依據(jù)已知條件確定數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系依據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式依據(jù)題設(shè)條件及數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的方法，求解相應(yīng)問題諦視轉(zhuǎn)化過程的等價(jià)性與合理性母題突破：2024年濰坊二模，本小題滿分12分已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，設(shè)bn＝eq\f(an,n＋1).(1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)設(shè)eq\f(cn,bn)＝2n＋1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn(n∈N*)．[解](1)因?yàn)閍1＝2，所以b1＝eq\f(a1,1＋1)＝1. 1分將(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)兩邊同時(shí)除以(n＋1)(n＋2)得：eq\f(an,n＋1)＝eq\f(an＋1,n＋2)－2， 3分∴eq\f(an＋1,n＋2)－eq\f(an,n＋1)＝2，即bn＋1－bn＝2. 4分∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. 5分(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. 6分∵eq\f(cn,bn)＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1. 7分設(shè)Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1， 8分兩式相減得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×eq\f(221－2n－1,1－2)－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.化簡(jiǎn)得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1. 10分設(shè)Sn＝1