2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題限時集訓(xùn)10圓錐曲線的定義方程及性質(zhì)理

PAGE1-專題限時集訓(xùn)(十)圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)[專題通關(guān)練](建議用時：30分鐘)1．(2024·貴陽一模)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F到準(zhǔn)線l的距離為2，則C的焦點坐標(biāo)為()A．(4,0) B．(2,0)C．(1,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C[因為拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為2，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，選C.]2．(2024·沈陽一模)若點(eq\r(3)，0)到雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線的距離為eq\r(2)，則雙曲線的離心率為()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3)或eq\f(\r(6),2) D.eq\f(\r(3),3)A[雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即ay±bx＝0，由題知(eq\r(3)，0)到漸近線的距離為eq\r(2)，即eq\f(|\r(3)b|,\r(a2＋b2))＝eq\r(2)，由a2＋b2＝c2得eq\r(3)b＝eq\r(2)c,3(c2－a2)＝2c2，即c2＝3a2，得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，故選A.]3．若中心在坐標(biāo)原點的橢圓的長軸長與短軸長之比為2，它的一個焦點是(2eq\r(15)，0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,20)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,75)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,20)＝1D[設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，依題意得，eq\f(2a,2b)＝eq\f(a,b)＝2?a＝2b，∵c＝2eq\r(15)，c2＝a2－b2，∴(2eq\r(15))2＝(2b)2－b2?b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,20)＝1.]4.如圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，則a的值為()A．2 B．3C．4 D．5B[因為b2＝2，c＝eq\r(a2－2)，所以|F1F2|＝2eq\r(a2－2).又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝eq\f(42＋2a－42－2\r(a2－2)2,2×4×2a－4)＝－eq\f(1,2)，解得a＝3.]5．過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線相交于點M，若|MN|＝|AB|，則直線l的傾斜角為()A．15° B．30°C．45° D．60°B[分別過A，B，N作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，N′(圖略)，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)＝eq\f(1,2)|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝eq\f(1,2)|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°，故選B.]6．[易錯題]若方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f(y2,m＋1)＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))[由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋m＞0，,m＋1＜0，,2＋m≠－m＋1.))解得－2＜m＜－1且m≠－eq\f(3,2).]7．若三個點(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有兩個點在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)上，則雙曲線C的漸近線方程為________．y＝±eq\f(\r(2),2)x[由于雙曲線的圖象關(guān)于原點對稱，故(－2,1)，(2，－1)在雙曲線上，代入方程解得a＝eq\r(2)，又因為b＝1，所以漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.]8．[易錯題]若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為eq\r(3)，則橢圓的方程為________．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1[由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))所以b2＝a2－c2＝9.所以當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1；當(dāng)橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.故橢圓的方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1.][實力提升練](建議用時：20分鐘)9．(2024·全國卷Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)D[由題意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故選D.]10．(2024·珠海質(zhì)檢)過點M(1,1)作斜率為－eq\f(1,3)的直線l與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為________．eq\f(\r(6),3)[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2，,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2，))∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴eq\f(b2,a2)＝－eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,3)，∴a2＝3b2.∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq\f(\r(6),3).][點評]點差法適用范圍：與弦的中點軌跡有關(guān)、與弦所在直線斜率有關(guān).11．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿意eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，則eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kAC)＋eq\f(1,kBC)＝________.0[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝－eq\o(FC,\s\up7(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(p,2)，y1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(p,2)，y2))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(p,2)，y3))，y1＋y2＋y3＝0.因為kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2p,y1＋y2)，kAC＝eq\f(y3－y1,x3－x1)＝eq\f(2p,y1＋y3)，kBC＝eq\f(y3－y2,x3－x2)＝eq\f(2p,y2＋y3)，所以eq\f(1,kAB)＋eq\f(1,kAC)＋eq\f(1,kBC)＝eq\f(y1＋y2,2p)＋eq\f(y3＋y1,2p)＋eq\f(y2＋y3,2p)＝eq\f(y1＋y2＋y3,p)＝0.]12．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，且點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在該橢圓上．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AOB的面積為eq\f(6\r(2),7)，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．[解](1)由題意可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又a2＝b2＋c2，所以b2＝eq\f(3,4)a2.因為橢圓C經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(\f(9,4),\f(3,4)a2)＝1，解得a2＝4，所以b2＝3，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，明顯Δ＞0恒成立，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(6t,4＋3t2)，y1y2＝－eq\f(9,4＋3t2)，所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(36t2,4＋3t22)＋\f(36,4＋3t2))＝eq\f(12\r(t2＋1),4＋3t2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|F1O|·|y1－y2|＝eq\f(6\r(t2＋1),4＋3t2)＝eq\f(6\r(2),7)，化簡得18t4－t2－17＝0，即(18t2＋17)(t2－1)＝0，解得teq\o\al(2,1)＝1，teq\o\al(2,2)＝－eq\f(17,18)(舍去)．又圓O的半徑r＝eq\f(|0－t×0＋1|,\r(1＋t2))＝eq\f(1,\r(1＋t2))，所以r＝eq\f(\r(2),2)，故圓O的方程為x2＋y2＝eq\f(1,2).題號內(nèi)容押題依據(jù)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的方程及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系圓與圓錐曲線的位置關(guān)系是最近幾年的高考熱點，而雙曲線的漸近線是雙曲線的特有幾何性質(zhì)，將兩者結(jié)合較好的考查了考生的學(xué)問遷移實力2軌跡的求法，弦長公式，方程思想的應(yīng)用，向量的運算以定長線段為載體，向量為工具考查了動點軌跡的求法，并借助方程思想解決問題，考查了考生的轉(zhuǎn)化實力，探究實力及數(shù)學(xué)運算實力【押題1】經(jīng)過點(2,1)，且漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切，則下列說法正確的編號有________．①該雙曲線的離心率為2；②該雙曲線的一條漸近線方程為y－eq\r(3)x＝0；③該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,11)－eq\f(y2,\f(11,3))＝1.①②[設(shè)雙曲線的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由漸近線與圓x2＋(y－2)2＝1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1，由點到直線的距離公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3)，即漸近線方程為y±eq\r(3)x＝0，故②正確；因為雙曲線經(jīng)過點(2,1)，所以雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，將點(2,1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求雙曲線的方程為eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1，故③錯誤，又離心率e＝eq\r(\