工學(xué)高數(shù)上總復(fù)習(xí)

工學(xué)高數(shù)上總復(fù)習(xí)工學(xué)高數(shù)上總復(fù)習(xí)工學(xué)高數(shù)上總復(fù)習(xí)第一章函數(shù)與極限內(nèi)容提要與典型例題1.理解函數(shù)的定義與特性：函數(shù)的三要素——定義域、值域、法則；四種特性——有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。一、函數(shù)注意常用函數(shù)：復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、初等函數(shù)2.會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達(dá)式2021/1/42第一章函數(shù)與極限內(nèi)容提要與典型例題1.理解函數(shù)的定義與特性：函數(shù)的三要素——定義域、值域、法則；四種特性——有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性。一、函數(shù)注意常用函數(shù)：復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、初等函數(shù)2.會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)表達(dá)式2021/1/42二、極限1.理解數(shù)列的極限的定義及性質(zhì)；2.理解函數(shù)的極限的定義及性質(zhì)；不存在注意一個(gè)結(jié)論：應(yīng)用：當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)左、右兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，求函數(shù)在分段點(diǎn)的極限2021/1/433.理解無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念，無(wú)窮小的階的概念；會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小的比較。特別注意：等價(jià)無(wú)窮小無(wú)窮小與極限的關(guān)系：其中為時(shí)的無(wú)窮小量.2021/1/44（1）利用極限的運(yùn)算法則4.極限的計(jì)算——可簡(jiǎn)化求極限的過(guò)程2021/1/45設(shè)且x滿足時(shí),則有（≠0，≠0，m,n為非負(fù)整數(shù)).2021/1/46f)冪指函數(shù)的極限運(yùn)算（2）利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求極限2021/1/47（3）利用無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)a)有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍為無(wú)窮小量。b)有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍為無(wú)窮小量。c)有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.（4）利用等價(jià)無(wú)窮小的替換簡(jiǎn)化計(jì)算:2021/1/48（5）利用重要極限或注:代表相同的表達(dá)式（6）利用極限的存在準(zhǔn)則夾逼定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限2021/1/49（7）洛必達(dá)法則——求不定式的極限注意:應(yīng)用洛必達(dá)法則的條件：為有限數(shù)A(或?yàn)?方法：2021/1/410若但此時(shí)又要注意若出現(xiàn)循環(huán)形式就要另謀他法了。2021/1/411例計(jì)算下列極限2021/1/412三、連續(xù)1.理解函數(shù)連續(xù)的定義；在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱(chēng)函數(shù)設(shè)函數(shù)且函數(shù)在點(diǎn)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)連續(xù)必須具備下列條件:存在;有定義,存在;2021/1/413對(duì)自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:注意：極限與連續(xù)的關(guān)系:極限連續(xù)連續(xù)函數(shù)必有極限,有極限不一定是連續(xù)函數(shù).2021/1/414第一類(lèi)間斷點(diǎn):及均存在,若稱(chēng)若稱(chēng)第二類(lèi)間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱(chēng)若其中有一個(gè)為振蕩,稱(chēng)若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).2.會(huì)判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否連續(xù)性，若是間斷點(diǎn)能夠指出間斷點(diǎn)的類(lèi)型。2021/1/4153.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性與最大值最小值定理（2）零點(diǎn)定理與介值定理2021/1/416第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)與微分的概念1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱(chēng)此極限為則稱(chēng)函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).記作:2021/1/4172.導(dǎo)數(shù)定義的三種形式例：設(shè)函數(shù)，求2021/1/418曲線在點(diǎn)的切線斜率為切線方程:法線方程:3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義4.左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)若極限設(shè)函數(shù)有定義,(左)則稱(chēng)此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作存在,(左)2021/1/419定理函數(shù)在點(diǎn)且可導(dǎo)的充分必要條件是注：求分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)要用導(dǎo)數(shù)的定義例設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值?2021/1/420的微分,定義:若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A為不依賴于△x的常數(shù))則稱(chēng)函數(shù)而稱(chēng)為記作即在點(diǎn)可微,5.微分的定義2021/1/421定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即求微分的方法函數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)有極限函數(shù)可微2021/1/422二、熟練應(yīng)用公式及法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及微分例設(shè)函數(shù)由方程所確定，求2021/1/423第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.微分中值定理及其相互關(guān)系泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理羅爾定理2021/1/4242.微分中值定理的主要應(yīng)用(1)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2)證明恒等式或不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論解題方法:利用逆向思維,設(shè)輔助函數(shù),一般證明含一個(gè)中值的等式或根的存在,(3)若結(jié)論中涉及含中值的兩個(gè)不同函數(shù),可用原函數(shù)法找輔助函數(shù).多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理.(2)證明不等式多用拉格朗日中值定理2021/1/425例證明不等式：當(dāng)時(shí)，2021/1/426公式①稱(chēng)為的n

階泰勒公式.公式②稱(chēng)為n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng).二、泰勒()中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)2021/1/427帶有佩亞諾()余項(xiàng)的n階泰勒公式.稱(chēng)為麥克勞林()公式.則有在泰勒公式中若取2021/1/428二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以按以下步驟進(jìn)行：1）確定函數(shù)的定義域；2）求，找出和不存在的點(diǎn)，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，把定義域分成若干區(qū)間；3）在各個(gè)區(qū)間上判別的符號(hào)，以此確定各區(qū)間上的單調(diào)性。2021/1/4292021/1/430的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為;極小值點(diǎn)為;極大值點(diǎn)為.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為;2021/1/431.在區(qū)間上是凸弧;拐點(diǎn)為提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.形在區(qū)間上是凹弧;則函數(shù)f(x)的圖(2)設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,2021/1/4323.求函數(shù)的極值、最值：極值——函數(shù)在定義域內(nèi)部局部的最值極值點(diǎn)——定義域內(nèi)增、減區(qū)間的分界點(diǎn)求函數(shù)極值點(diǎn)的方法：（極值第一、第二判別法）二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.(極值第二判別法)判斷駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)2021/1/433最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值2021/1/434特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)2021/1/435例一房地產(chǎn)公司有50多套公寓要出租。當(dāng)月租金定為1000元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去。當(dāng)月租金每增加50元時(shí)，就會(huì)多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi)。試問(wèn)房租定為多少可獲得最大收入？2021/1/436第四章不定積分一、理解原函數(shù)與不定積分的概念。二、掌握不定積分的基本性質(zhì)2021/1/437三、求不定積分的基本方法1.直接積分法通過(guò)簡(jiǎn)單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法.2.換元積分法第一類(lèi)換元法第二類(lèi)換元法(代換:)2021/1/4383.分部積分法使用原則:1)由易求出v;2)比好求.解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之