2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（文科專用）-解析幾何中的解析幾何應(yīng)用題

2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（文科專用）——解析幾何中的解析幾何應(yīng)用題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，點$A(3,0)$，點$B(-3,0)$，若橢圓上的點$P$到直線$AB$的距離為4，則點$P$的坐標(biāo)為（）。A.$(5,0)$，$(-5,0)$B.$(\frac{25}{3},0)$，$(-\frac{25}{3},0)$C.$(\frac{5}{3},\frac{16}{5})$，$(-\frac{5}{3},-\frac{16}{5})$D.$(\frac{5}{3},-\frac{16}{5})$，$(-\frac{5}{3},\frac{16}{5})$2.設(shè)圓$x^2+y^2=4$與直線$y=x$相交于點$A$，$B$，若$|OA|=|OB|$，則$A$，$B$兩點的坐標(biāo)分別為（）。A.$(\frac{2\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2}}{2})$，$(-\frac{2\sqrt{2}}{2},-\frac{2\sqrt{2}}{2})$B.$(\frac{2\sqrt{2}}{2},-\frac{2\sqrt{2}}{2})$，$(-\frac{2\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2}}{2})$C.$(\frac{2\sqrt{2}}{2},-\frac{2\sqrt{2}}{2})$，$(-\frac{2\sqrt{2}}{2},-\frac{2\sqrt{2}}{2})$D.$(\frac{2\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2}}{2})$，$(-\frac{2\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2}}{2})$3.已知直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的值為（）。A.$\pm1$B.$\pm\frac{1}{2}$C.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$4.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$，$B$，且$|AB|=2\sqrt{3}$，則$k$的值為（）。A.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\pm\sqrt{3}$C.$\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$D.$\pm1$5.已知直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則圓心到直線的距離為（）。A.$1$B.$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$C.$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$D.$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$6.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$，$B$，且$|AB|=2\sqrt{3}$，則圓心到直線的距離為（）。A.$1$B.$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$C.$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$D.$\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$7.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點為$F_1$，$F_2$，點$P$在橢圓上，且$|PF_1|=|PF_2|$，則$P$的坐標(biāo)為（）。A.$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$B.$(\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},\frac{4}{3})$C.$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},\frac{4}{3})$D.$(\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$8.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點為$F_1$，$F_2$，點$P$在雙曲線上，且$|PF_1|-|PF_2|=2a$，則$P$的坐標(biāo)為（）。A.$(a,\frac{b^2}{a})$，$(-a,-\frac{b^2}{a})$B.$(a,-\frac{b^2}{a})$，$(-a,\frac{b^2}{a})$C.$(a,\frac{b^2}{a})$，$(-a,-\frac{b^2}{a})$D.$(a,-\frac{b^2}{a})$，$(-a,\frac{b^2}{a})$9.已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，點$P$在拋物線上，且$|PF|=x$，則$P$的坐標(biāo)為（）。A.$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$B.$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$C.$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$D.$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$10.已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，點$P$在拋物線上，且$|PF|=x$，則$P$的坐標(biāo)為（）。A.$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$B.$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$C.$(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$D.$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$二、填空題要求：本大題共10小題，每小題5分，共50分。把答案填在題目的橫線上。11.已知直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則$k$的值為________。12.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$，$B$，且$|AB|=2\sqrt{3}$，則$k$的值為________。13.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點為$F_1$，$F_2$，點$P$在橢圓上，且$|PF_1|=|PF_2|$，則$P$的坐標(biāo)為________。14.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點為$F_1$，$F_2$，點$P$在雙曲線上，且$|PF_1|-|PF_2|=2a$，則$P$的坐標(biāo)為________。15.已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，點$P$在拋物線上，且$|PF|=x$，則$P$的坐標(biāo)為________。16.已知直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則圓心到直線的距離為________。17.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$，$B$，且$|AB|=2\sqrt{3}$，則圓心到直線的距離為________。18.已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點為$F_1$，$F_2$，點$P$在橢圓上，且$|PF_1|=|PF_2|$，則$F_1$，$F_2$兩點的坐標(biāo)分別為________。19.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點為$F_1$，$F_2$，點$P$在雙曲線上，且$|PF_1|-|PF_2|=2a$，則$F_1$，$F_2$兩點的坐標(biāo)分別為________。20.已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，點$P$在拋物線上，且$|PF|=x$，則$F$點的坐標(biāo)為________。四、解答題要求：本大題共4小題，共50分。解答下面各題，寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。21.已知橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$，點$P$在橢圓上，且$|OP|=5$，其中$O$為坐標(biāo)原點。求點$P$的坐標(biāo)。22.設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線為$y=\pm\frac{a}x$，且過雙曲線上一點$P(a,\frac{b^2}{a})$的直線與雙曲線的另一條漸近線垂直。求雙曲線的方程。23.已知拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，直線$y=kx+m$與拋物線相交于點$A$，$B$，且$|AB|=4$。求直線$y=kx+m$的方程。24.在直角坐標(biāo)系中，已知點$A(2,3)$，$B(4,-1)$，點$P$在線段$AB$上移動，且$AP:PB=1:2$。求點$P$的軌跡方程。五、證明題要求：本大題共1小題，共10分。證明下列各題。25.證明：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的切線方程可以表示為$ax+by\pmab=0$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：根據(jù)橢圓的定義，點到直線的距離等于點到焦點的距離。由題意知，點$P$到直線$AB$的距離為4，所以點$P$到焦點的距離也為4。橢圓的焦點到中心的距離為$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$，因此點$P$的坐標(biāo)為$(\frac{5}{3},\frac{16}{5})$和$(-\frac{5}{3},-\frac{16}{5})$。2.答案：B解析：圓心到直線的距離等于半徑，即$|OC|=2$。由于$|OA|=|OB|=2$，所以點$A$和$B$分別在圓的左右兩側(cè)，且到圓心的距離相等。因此，點$A$和$B$的坐標(biāo)分別為$(\frac{2\sqrt{2}}{2},-\frac{2\sqrt{2}}{2})$和$(-\frac{2\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{2}}{2})$。3.答案：A解析：直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，意味著直線到圓心的距離等于圓的半徑，即$\frac{|k\cdot0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$。解得$k=\pm1$。4.答案：A解析：直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$，$B$，且$|AB|=2\sqrt{3}$。根據(jù)勾股定理，$|AB|^2=|AF_1|^2+|BF_1|^2$。由于$|AF_1|=|BF_1|$，可以得到$|AF_1|=|BF_1|=\sqrt{3}$。因此，直線到圓心的距離等于$\sqrt{3}$，解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。5.答案：B解析：直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，圓心到直線的距離等于半徑，即$\frac{|k\cdot0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$。解得$k=\pm\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$。6.答案：B解析：直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相交于點$A$，$B$，且$|AB|=2\sqrt{3}$。根據(jù)勾股定理，$|AB|^2=|AF_1|^2+|BF_1|^2$。由于$|AF_1|=|BF_1|$，可以得到$|AF_1|=|BF_1|=\sqrt{3}$。因此，直線到圓心的距離等于$\sqrt{3}$，解得$k=\pm\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$。7.答案：A解析：橢圓的焦點到中心的距離為$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$。由于$|PF_1|=|PF_2|$，點$P$必須在橢圓的短軸上，即$y$軸上。因此，點$P$的坐標(biāo)為$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$和$(-\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$。8.答案：D解析：雙曲線的焦點到中心的距離為$c=\sqrt{a^2+b^2}$。由于$|PF_1|-|PF_2|=2a$，點$P$必須在雙曲線的右支上。因此，點$P$的坐標(biāo)為$(a,\frac{b^2}{a})$和$(-a,-\frac{b^2}{a})$。9.答案：B解析：拋物線的焦點為$F(\frac{1}{4},0)$。由于$|PF|=x$，點$P$必須在拋物線的右支上。因此，點$P$的坐標(biāo)為$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$和$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$。10.答案：B解析：拋物線的焦點為$F(\frac{1}{4},0)$。由于$|PF|=x$，點$P$必須在拋物線的右支上。因此，點$P$的坐標(biāo)為$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$和$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$。二、填空題11.答案：$\pm\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$12.答案：$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$13.答案：$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$14.答案：$(a,\frac{b^2}{a})$，$(-a,-\frac{b^2}{a})$15.答案：$(\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$，$(-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$16.答案：$\frac{|k\cdot0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}$17.答案：$\frac{|k\cdot0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}$18.答案：$(3,0)$，$(-3,0)$19.答案：$(\frac{1}{4},0)$，$(-\frac{1}{4},0)$20.答案：$(\frac{1}{4},0)$四、解答題21.答案：點$P$的坐標(biāo)為$(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$，$(-\frac{5}{3},\frac{4}{3})$，$(\frac{5}{3},-\frac{4}{3})$。解析：由于$|OP|=5$，點$P$必須在以原點為圓心，半徑為5的圓上。將$|O