三元一次方程組解法教學(xué)設(shè)計方案

三元一次方程組解法教學(xué)設(shè)計方案?一、教學(xué)目標1.知識與技能目標學(xué)生能理解三元一次方程組的概念，掌握三元一次方程組的解法，會用代入消元法和加減消元法解簡單的三元一次方程組。通過解三元一次方程組，進一步體會消元的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的運算能力和邏輯思維能力。2.過程與方法目標通過引導(dǎo)學(xué)生對比二元一次方程組的解法，自主探索三元一次方程組的解法，培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移的學(xué)習(xí)能力。在解方程組的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、消元等步驟，體會解決問題的一般方法，提高學(xué)生解決實際問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀目標通過小組合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和勇于探索的精神。讓學(xué)生在解決問題的過程中，體驗成功的喜悅，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點三元一次方程組的概念和解法。熟練運用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組。2.教學(xué)難點如何引導(dǎo)學(xué)生通過消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，進而轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。選擇合適的消元方法，準確、迅速地解出方程組。三、教學(xué)方法1.講授法：講解三元一次方程組的概念、解法步驟等基礎(chǔ)知識，使學(xué)生對新知識有初步的認識。2.討論法：組織學(xué)生討論解方程組過程中遇到的問題及解決方法，促進學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和表達能力。3.練習(xí)法：通過適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高解題能力，及時反饋學(xué)生對知識的掌握情況。四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.復(fù)習(xí)回顧提問：什么是二元一次方程組？解二元一次方程組的基本方法有哪些？請學(xué)生解方程組：\(\begin{cases}2x+y=5\\xy=1\end{cases}\)學(xué)生回答后，教師總結(jié)：二元一次方程組是含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。解二元一次方程組的基本方法有代入消元法和加減消元法，其核心思想是消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。2.情境引入展示問題：在學(xué)校組織的一次數(shù)學(xué)知識競賽中，共設(shè)置了20道選擇題，評分標準是：答對一題得5分，答錯一題扣1分，不答得0分。小明同學(xué)有一道題未答，那么他至少答對多少題，成績才能在70分以上？設(shè)小明答對\(x\)道題，答錯\(y\)道題。根據(jù)題目信息可得方程組：\(\begin{cases}x+y+1=20\\5xy>70\end{cases}\)引導(dǎo)學(xué)生思考：如果再增加一個條件，比如小明答錯的題目數(shù)量是另一個同學(xué)答錯題目數(shù)量的2倍，該如何表示這個條件呢？設(shè)另一個同學(xué)答錯\(z\)道題，那么\(y=2z\)，此時方程組變?yōu)椋篭(\begin{cases}x+y+1=20\\5xy>70\\y=2z\end{cases}\)引出課題：像這樣含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程所組成的方程組叫做三元一次方程組。這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)三元一次方程組的解法。（二）講授新課（20分鐘）1.三元一次方程組的概念引導(dǎo)學(xué)生觀察上述得到的方程組，總結(jié)三元一次方程組的定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程所組成的方程組叫做三元一次方程組。強調(diào)：三元一次方程組中每個方程不一定都含有三個未知數(shù)，但方程組中一共含有三個未知數(shù)。請學(xué)生判斷下列方程組是否為三元一次方程組：\(\begin{cases}x+yz=1\\2x+3y+z=2\\3xy=5\end{cases}\)（是）\(\begin{cases}x^2+y+z=1\\x+yz=2\\x+y=3\end{cases}\)（不是，因為第一個方程中\(zhòng)(x\)的次數(shù)是2）\(\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}+y+z=2\end{cases}\)（不是，因為第二個方程不是整式方程）2.三元一次方程組的解法類比二元一次方程組的解法，引導(dǎo)學(xué)生思考如何解三元一次方程組。以方程組\(\begin{cases}x+y+z=12\\x+2y+5z=22\\x=4y\end{cases}\)為例講解。方法一：代入消元法觀察方程組，發(fā)現(xiàn)方程\(x=4y\)中\(zhòng)(x\)的系數(shù)為1，比較容易用\(y\)表示\(x\)。將\(x=4y\)代入方程\(x+y+z=12\)，可得：\(4y+y+z=12\)，即\(5y+z=12\)①再將\(x=4y\)代入方程\(x+2y+5z=22\)，可得：\(4y+2y+5z=22\)，即\(6y+5z=22\)②此時得到了一個關(guān)于\(y\)和\(z\)的二元一次方程組\(\begin{cases}5y+z=12\\6y+5z=22\end{cases}\)由①式可得\(z=125y\)，將其代入②式：\(6y+5(125y)=22\)展開括號得：\(6y+6025y=22\)移項得：\(6y25y=2260\)合并同類項得：\(19y=38\)解得：\(y=2\)將\(y=2\)代入\(z=125y\)，得\(z=125×2=2\)把\(y=2\)代入\(x=4y\)，得\(x=4×2=8\)所以方程組的解為\(\begin{cases}x=8\\y=2\\z=2\end{cases}\)方法二：加減消元法觀察方程組，方程\(x+y+z=12\)與\(x+2y+5z=22\)中\(zhòng)(x\)的系數(shù)相同。用方程\(x+2y+5z=22\)減去方程\(x+y+z=12\)，可得：\((x+2y+5z)(x+y+z)=2212\)去括號得：\(x+2y+5zxyz=10\)合并同類項得：\(y+4z=10\)③由方程\(x=4y\)可得\(x4y=0\)④此時方程③與方程④組成了一個新的關(guān)于\(y\)和\(z\)的二元一次方程組\(\begin{cases}y+4z=10\\x4y=0\end{cases}\)（這里為了演示方便，保留\(x\)，實際求解時按正常步驟先消去\(x\)）由③式可得\(y=104z\)，將其代入④式（如果還有\(zhòng)(x\)，則繼續(xù)消元求解），然后再逐步求出\(x\)和\(z\)的值?；蛘哂散凼絓(y+4z=10\)兩邊同時乘以4得：\(4y+16z=40\)⑤方程⑤與方程\(x+2y+5z=22\)（這里把\(x=4y\)代入后的式子\(6y+5z=22\)兩邊同時乘以2得\(12y+10z=44\)⑥）相減（如果直接用③式和原方程組中的式子消元更簡便）：（假設(shè)用③式變形后的⑤式與\(6y+5z=22\)變形后的⑥式相減）\((4y+16z)(12y+10z)=4044\)去括號得：\(4y+16z12y10z=4\)合并同類項得：\(8y+6z=4\)再結(jié)合\(y+4z=10\)繼續(xù)求解（消去\(y\)），最終求出方程組的解?？偨Y(jié)三元一次方程組的解法步驟：觀察方程組，選擇合適的消元方法，先消去一個未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。解得到的二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值。將求出的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程，求出第三個未知數(shù)的值。寫出方程組的解。（三）課堂練習(xí)（15分鐘）1.解方程組\(\begin{cases}x+y+z=6\\xy=1\\2xz=2\end{cases}\)學(xué)生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，及時糾正學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的錯誤。請一位學(xué)生上臺板演解題過程，其他學(xué)生對照檢查。解：由方程\(xy=1\)可得\(x=y+1\)①將①式代入方程\(x+y+z=6\)，得：\(y+1+y+z=6\)，即\(2y+z=5\)②將①式代入方程\(2xz=2\)，得：\(2(y+1)z=2\)，展開得\(2y+2z=2\)，即\(2yz=0\)③②式加上③式得：\((2y+z)+(2yz)=5+0\)合并同類項得：\(4y=5\)，解得\(y=\frac{5}{4}\)將\(y=\frac{5}{4}\)代入①式得：\(x=\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}\)將\(y=\frac{5}{4}\)代入②式得：\(2×\frac{5}{4}+z=5\)，解得\(z=\frac{5}{2}\)所以方程組的解為\(\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{5}{4}\\z=\frac{5}{2}\end{cases}\)2.已知方程組\(\begin{cases}ab+c=0\\4a+2b+c=3\\25a+5b+c=60\end{cases}\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。學(xué)生繼續(xù)練習(xí)，教師強調(diào)解題過程中的規(guī)范性和準確性。解：方程\(4a+2b+c=3\)減去方程\(ab+c=0\)，可得：\((4a+2b+c)(ab+c)=30\)去括號得：\(4a+2b+ca+bc=3\)合并同類項得：\(3a+3b=3\)，化簡得\(a+b=1\)①方程\(25a+5b+c=60\)減去方程\(4a+2b+c=3\)，可得：\((25a+5b+c)(4a+2b+c)=603\)去括號得：\(25a+5b+c4a2bc=57\)合并同類項得：\(21a+3b=57\)，化簡得\(7a+b=19\)②②式減去①式得：\((7a+b)(a+b)=191\)去括號得：\(7a+bab=18\)合并同類項得：\(6a=18\)，解得\(a=3\)將\(a=3\)代入①式得：\(3+b=1\)，解得\(b=2\)將\(a=3\)，\(b=2\)代入方程\(ab+c=0\)，得：\(3(2)+c=0\)，解得\(c=5\)所以方程組的解為\(\begin{cases}a=3\\b=2\\c=5\end{cases}\)（四）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：什么是三元一次方程組？三元一次方程組的解法步驟是什么？解三元一次方程組的關(guān)鍵是什么？2.學(xué)生發(fā)言，教師補充總結(jié)：三元一次方程組是含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程所組成的方程組。解三元一次方程組的基本思想是消元，通過代入消元法或加減消元法，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進一步轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。解三元一次方程組的關(guān)鍵在于選擇合適的消元方法，準確地消去一個未知數(shù)，逐步求解。（五）布置作業(yè)（5分鐘）1.必做題解方程組\(\begin{cases}3x+2y+z=13\\x+y+2z=7\\2x+3yz=12\end{cases}\)已知方程組\(\begin{cases}x+y=3\\y+z=5\\x+z=6\end{cases}\)，求\(x\)、\(y\)、\(z\)的值。2.選做題若方程組\(\begin{cases}x+y+z=1\\x+ay+z=1\\x+y+az=2\end{cases}\)無解，求\(a\)的值。思考：如何