廣東省揭陽市普寧華美實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025年高三3月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題文試卷

廣東省揭陽市普寧華美實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025年高三3月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題文試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．2．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．3．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．5．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或6．若雙曲線：的一條漸近線方程為，則（）A． B． C． D．7．如圖，某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點(diǎn)O的位置有關(guān)8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B．2 C．4 D．39．在邊長(zhǎng)為的菱形中，，沿對(duì)角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．10．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．11．已知雙曲線的焦距為，過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的點(diǎn)，且，若雙曲線C中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過P點(diǎn)，當(dāng)m取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為______.14．“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”．某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________．15．已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.16．在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1，同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,，,則球的表面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長(zhǎng)為8，求b.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，，，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式﹔（2）設(shè)，求證：.20．（12分）已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國(guó)成立以來在我國(guó)發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長(zhǎng)，從磨難中奮起.在這次疫情中，全國(guó)人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開了對(duì)這次疫情的研究，一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期和全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量（單位：萬人）之間的關(guān)系如下表：日期1234567全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？（2）求出關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）.并預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．2．C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的，通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，又當(dāng)時(shí)，的極大值為1，所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時(shí)令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.3．C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，故可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.4．D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋詾樯系呐己瘮?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，且，解?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5．C【解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)6．A【解析】

根據(jù)雙曲線的漸近線列方程，解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為，可化為，則，解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，頂點(diǎn)O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出，再由模的定義計(jì)算出模．【詳解】．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．A【解析】

畫圖取的中點(diǎn)M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【詳解】如圖，取的中點(diǎn)M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點(diǎn)是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.10．B【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).11．C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào)，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)時(shí)，，，排除選項(xiàng)D，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，可知當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與拋物線相切，進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).14．【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來全排列，同時(shí)它們內(nèi)部也全排列．【詳解】第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法．15．【解析】

由題意可知：為上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù)，則在，單調(diào)遞增，求導(dǎo)，則恒成立，則，根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍．【詳解】若方程無解，則或恒成立，所以為上的單調(diào)函數(shù)，都有，則為定值，設(shè)，則，易知為上的增函數(shù)，，，又與的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，，恒成立，當(dāng)，時(shí)，，，，，，此時(shí)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的性質(zhì)，輔助角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．16．【解析】

先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,，設(shè)球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題，考查球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，.設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，連接.通過證明，證得平面，由此證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，.設(shè)交于，則為的中點(diǎn)，連接.設(shè)，則，，∴.由已知，，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，∴，令得.設(shè)平面的法向量為，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）【解析】

（1）通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)，再通過二倍角公式即可求出；（2）通過三角形面積公式和三角形的周長(zhǎng)為8，求出b的表達(dá)式后即可求出b的值.【詳解】（1）由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，得，結(jié)合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由題設(shè)，得，從而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）證明見解析，；（2）證明見解析【解析】

（1）由，作差得到，進(jìn)一步得到，再作差即可得到，從而使問題得到解決；（2），求和即可.【詳解】（1），，兩式相減：①用換，得②②—①，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴，，公差，所以.（II）.【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.20．（1）見解析；（2）最大值為.【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；（2）由可得出，并將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則.綜上所述，，所以；（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ?，，所以恒成立，?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所