初中數(shù)學(xué)【旋轉(zhuǎn)中的幾何模型】習(xí)題

模型一“手拉手”模型模型特征：兩個等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點(diǎn).如圖2,△ABD,△ACE都是等腰直角三角形，可證△ADC≌△ABE如圖3,四邊形ABEF,四邊形ACHD都是正方形，可證△ABD≌△AFC.例1【問題提出】(1)如圖①,△ABC,△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上.將△ADE繞點(diǎn)A沿順時針方[學(xué)以致用][拓展延伸](3)在(1)的條件下，連結(jié)CD.若BC=6,AD=4直接寫出△DBC的面積S的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】(3)分別求出△DBC的面積最大值和最小值即可得到結(jié)論(1)∵ABC,ADE均為等邊三角形，∴ABD=ACE(SAS):(2)當(dāng)D,E,C在同一條直線上時，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時，如圖，∵△ADE是等邊三角形，②當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時，如圖，∵△ADE是等邊三角形，綜上所述，∠EDB的大小為60或120∴DF=3√3-4微信公眾號：初中生家長當(dāng)D在線段FA的延長線上時，點(diǎn)D到BC的距離最大，此時點(diǎn)D到BC的距離為線段DF的長，如圖，綜上所述，△DBC的面積S取值是9√3-12≤5≤9√3+12【點(diǎn)評】利用“手拉手”模型，構(gòu)造對應(yīng)邊“拉手線”組成的兩個三角形全等是解題關(guān)鍵例2已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按圖1放置，使點(diǎn)F在BC上DGECFCAAGBBEDDGCFBA立?證明你的結(jié)論；【思路點(diǎn)撥】【解題過程】圖①圖②圖③針對訓(xùn)練1針對訓(xùn)練1:結(jié)論：圖2備用圖時∠EBC的度數(shù).同理可得∠EBC=∠ABE+∠ABC=75°.BE、CE、DE.過點(diǎn)B作BF⊥DE交(3)過點(diǎn)A作AG//DF與BF的延長線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)A作AH//GF與DF交于點(diǎn)H,過點(diǎn)C作模型二對角互補(bǔ)模型例3已知∠MAN,AC平分∠MAN.在圖2中，若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,則上面的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請給出證明：(2)在圖3中：(只要填空，不需要證明).①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,則AB+AD=_AC;②若∠MAN=a(0°<a<180°),∠ABC+∠ADC=180°,則AB+AD=_AC(用含α的三角函數(shù)表示).補(bǔ)角相等，得∠CDE=∠ABC,再根據(jù)AAS得到△CDE≌△CBF,則DE=BF.再由∠MAN=120°,AC平分∠MAN,得到∠ECA=∠FCA=30°,從而根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到AE=,等量代換后即可證明AD+AB=AC仍成立.試題解析：(1)仍成立.∵AC平分∠MAN【點(diǎn)評】(1)角平分線的性質(zhì)：(2)全等三角形的判定與性質(zhì)：(3)含30度角的直角三角形.例4在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,對角線AC平分∠BAD.(1)如圖1,若∠DAB=120°,且∠B=90°,試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.(2)如圖2,若將(1)中的條件“∠B=90°”去掉，(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由.(3)如圖3,若∠DAB=90°,探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關(guān)系并說明理由.BB圖3【分析】(1)結(jié)論：AC=AD+AB,只要證明AC即可解決問題；(2)(1)中的結(jié)論成立，以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°,∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E,只要證明△DAC≌△BEC即可解決問題；(3)結(jié)論：AD+AB=√2AC,過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E,只要證明△ACE是等腰直角即可解決問題：理由如下：如圖1中，在四邊形ABCD(2)(1)中的結(jié)論成立，理由如下：以C為頂點(diǎn)，AC為一邊作∠ACE=60°,∠ACE的另一邊交AB延長線于點(diǎn)E,如圖2,∴△AEC為等邊三角形，過點(diǎn)C作CE⊥AC交AB的延長線于點(diǎn)E,如圖3,針對訓(xùn)練2針對訓(xùn)練2BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點(diǎn)B作BE⊥BD,交MN于點(diǎn)E,進(jìn)(2)探究證明將直線MN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時線段DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明(3)拓展延伸【解析】【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系(2)過點(diǎn)B作BE⊥BD,交MN于點(diǎn)E.AD交BC于O,根據(jù)△BED為等腰直角三角形，得到DE=√2BD,再根據(jù)DE=AD-AE=AD-CD,即可解出答案.(3)根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大.在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證CH=AH=√2,由BD=AD即可得出答案.【詳解】解：(1)如圖1中，∵△BDE是等腰直角三角形，(3)如圖3中，易知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時，△ABD的面積最大.此時DG⊥AB,DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證CH=AH=√2,【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)鍵. 題目4如圖所示，△ABC中，AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DF,長直角邊為DE),將三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn).(1)在如圖所見中，DE交AB于M,DF交BC(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,證明DM=DN.(1)見解析：(2)見解析.【解析】【分析】(1)連接BD,證明△DMB≌△DNC.根據(jù)已知，全等條件已具備兩個，再證出∠MDB=∠NDC,用ASA證明全等，四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，因為它的面積始終等于△ABC面積的一半：(2)同樣利用(1)中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC;(3)方法同(1).【詳解】證明：(1)連接BD,∴DM=DN(5分)與最大值.,PM//CE,圖1(2)根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,∴CF是線段BD的垂直平分線：(3)△BCD中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高取最大值時△BCD的面積有最大值，∴當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上時，△BCD的面積取得最大值，如圖：旋轉(zhuǎn)角α=135°.題目3我們定義：有一組對角為直角的四邊形叫做“對直角四邊形”.(1)如圖①,四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°,若AB2-AD2=4,求CD2-BC2的值；四邊形；(3)在(2)的條件下，如圖③,連結(jié)AC,若,求tan∠ACD的值.③【分析】(1)利用勾股定理即可解決問題；(2)如圖②中，作BE⊥CD于E,BF⊥DA交DA的延長線于F.只要證明∠EBF=90°(3)如圖③中，設(shè)AD=x,BD=y.根據(jù),構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】解：如圖①中，∵四邊形ABCD為對直角四邊形，∠B=90°,(2)證明：如圖②中，作BE⊥CD于E,BF⊥DA交DA的延長線于F.∵BD平分∠ADC,BE上∴Rt△BFARt△BEC(HL),∴四邊形ABCD為對直角四邊形.(3)解：如圖③中，設(shè)AD=x,BD=y. ,AC=√x2+y2,整理得：3x2-10xy+3y2,即可解決問題：①②③或【點(diǎn)撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了勾股定理，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題，∠MBN=60°,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.探究圖中線段AE,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明△BCG≌△BAE,再證明△BFC≌△BFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是探究延伸1:如圖2,在四邊形ABCD中，∠BAD=90°,∠BCD=90°,BA=BC,∠ABC=2∠MBN,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立?請直接寫出結(jié)論(直接寫出“成立”或者“不成立”),不要說明理由.探究延伸2:如圖3,在四邊形ABCD中，BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC=2∠MBN,∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立?并說明理由.實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時的速度前進(jìn)，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°,試求此時兩艦艇之間的距離.EF=AE+CF.探究延伸1:結(jié)論EF=AE+CF成立.探究延伸2:結(jié)論EF=AE+CF仍然成立.實際應(yīng)用：210海里.【分析】延長FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明△BCG≌△BAE,可得BG=BE,∠CBG=ZABE,再證明探究延伸1:延長FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明△BCG≌△BAE,可得BG=BE,∠CBG=ZABE,再證明△BGF≌△BEF,可得GF=EF,即可解題；探究延伸2:延長FC到G,使CG=AE,連接BG,先證明△BCG些△BAE,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再證明△BGF≌△BEF,可得GF=EF,即可解題：實際應(yīng)用：連接EF,延長AE,BF相交于點(diǎn)C,然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF,將AE和CF的長代入即可.【詳解】在△BCG和△BAE中，∴△BGF望△BEF(SAS),探究延伸1:結(jié)論EF=AE+CF成立，即在△BGF和△BEF中，DAAcGNDAM兵MB大N旋轉(zhuǎn)中的幾何模型角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型兩種類型。解決類似問題的常見辦法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)目標(biāo)三角形法和翻折目標(biāo)三角形法。。例1綜合與實踐：如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=李偉同學(xué)是這樣解決的：將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時AB與AD重合得結(jié)論.45°,DE=4,求BE的長；(2)類比(1)證明思想完成下列問題：在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG式BD2+CE2=DE2始終成立，請說明理由.【思路點(diǎn)撥】(1)過A作AG⊥BC,交BC延長線于G,由正方形的性質(zhì)得出CG=AD=10,再運(yùn)用勾股定理和方程求出BE的長；(2)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和勾股定理判斷說明等式成立.【解題過程】解：(1)如圖2,過點(diǎn)A作AG⊥BC,交CB延長線于點(diǎn)G.∴四邊形ADCG是正方形.設(shè)BE=x,則BG=x-4,則CE=BH,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋轉(zhuǎn)角∠E,,(3)若BD=3,CE=4,則【思路點(diǎn)撥】√BD2+BF2=√32+42=5,【解題過程】=30.【分析】(1)延長BC到G,使BG=DF,連接AG,證得△ABG≌△ADF,△AEF≌△AEG,最后利用等量代換求得答案即可；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，設(shè)正方形的邊長為x,列方程可解答；(3)在AG截取AH=AM,連接NH、BH,證得△ABH≌△ADM,△AMN≌△AHN,最后利用勾股定理求得答案即可.【解析】(1)證明：如圖1,延長CB至點(diǎn)G,使BG=DF,連接AG,∴△ABG△ADF(SAS),微信公眾號：初中生家長(2)解：設(shè)正方形的邊長為x,解得：z=6或-1(舍),答：正方形ABCD的邊長為6.圖2理由是：如圖2,在AG上截取AH=AM,連接HN、BH,∴△AHB≌△AMD(SAS),∴MN=HN.(2)在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°,則GE=BE+GD成立嗎?為什么?(3)根據(jù)你所學(xué)的知識，運(yùn)用(1)、(2)解答中積累的經(jīng)驗，完成下列各題：①如圖2,在四邊形ABCD中，AD//BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=6,E是AB的中點(diǎn)，且∠DCE=45°,求DE的長；②如圖3,在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=4,CD=6,則△ABC的面積為60(直接寫出結(jié)果，不需要寫出計算過程).【分析】(1)因為ABCD為正方形，所以CB=CD,∠B=∠CDA=90°,又因為則△BCE≌△DCF,即可求證CE=CF;(2)因為∠BCD=90°,∠GCE=45°,則有∠BCE+∠ECG=∠FCG,CE=CF,CG=CG,則△ECG△FCG,故GE=BE+GD成立；(3)①過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G,利用勾股定理求得DE的長；②由題中條件，建立圖形，根據(jù)已知條件，運(yùn)用勾股定理，求出AD的長，再求得△ABC的面積.【解析】(1)在正方形ABCD中CB=CD,ZB=∠CDA=90°,在△BCE和△DCF中，(2)GE=BE+GD成立，理由如下：∵△BCE≌△DCF(已證),(3)①如圖2,過點(diǎn)C作CG⊥AD,交AD的延長線于點(diǎn)G,由(2)和題設(shè)知：DE=DG+BE,解得x=2.圖2∴四邊形AEFG為正方形，設(shè)正方形的邊長為x,則BF=x-4,CF=x-6,故答案為：60方法指導(dǎo)：若一個圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形. 例1請閱讀下列材料：問題：如圖1,在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=√3,PC=1,求∠BPC的度數(shù)和等邊△ABC的邊長.李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2),連接PP',可得△P'PB是等邊三角形，而△PP'A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),所以∠BPC=∠AP'B=150°,進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長為√7,問題得到解決.請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=√5,BP=√2,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長.過點(diǎn)B作BE⊥AP',交AP'的延長線于點(diǎn)E,則△BEP'是等腰直角三角形.∴∠BPC=135°,正方形ABCD的邊長為√5.例2如圖1,點(diǎn)G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個正方形AEFG,線段EB和GD相交于點(diǎn)H.【答案】(1)見解析；(2)√10:(3)不變，△ABG與△DAE的面積之差為0【分析】∠EAB,從而△EAB≌△GAD,即EB=GD;由∠AEB=∠AGD,∠EOH=∠AOG,即(2)設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,由AB=AD=2,在Rt△ABD中求得DB,在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得結(jié)果；【詳解】(1)如圖1,∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，ZGAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠E(2)如圖2,連接BD,BD與AC交于點(diǎn)O,【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)，作出輔助線，利用三角形全等是解題的關(guān)鍵。題目5以△ABC的AB、AC為邊作△ABD和△ACE,且AE=AB,AC=AD,CE與BD相交于(1)如圖1,若α=40°,求∠EMB的度數(shù)；(2)如圖2,若G、H分別是EC、BD的中點(diǎn)，求∠AHG的度數(shù)(用含α式子表示);(3)如圖3,連接AM,直接寫出∠AMC與a的數(shù)量關(guān)系是【分析】(1)由“SAS”可證△AEC≌△ABD,可得∠AEC=∠ABD,由外角的性質(zhì)可得結(jié)論；(3)由全等三角形的性質(zhì)可得S△AcG=S△ADH,EC=BD,由面積法可求AP=AN,由角平分線的性質(zhì)可求∠AMD,即可求解.(2)連接AG,AH,∵G、H分別是EC、BD的中點(diǎn)，(3)如圖3,連接AM,過點(diǎn)A作AP⊥EC于P,AN⊥BD于N,題目6在△ABC中，∠BAC=90°,AC=AB,點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)，以AD為邊作△ADE(頂點(diǎn)A、D、E按逆時針方向排列),且∠DAE=90°,AD=AE,連接CE(1)如圖1,若點(diǎn)D在BC邊上(點(diǎn)D與B、C不重合),(2)如圖2,若點(diǎn)D在CB的延長線上，若DB=5,BC=7,則△ADE的面積為(3)如圖3,若點(diǎn)D在BC的延長線上，以AD為邊作等腰Rt△ADE,∠DAE=90°,連結(jié)BE,若BE=10,BC=6,則AE的長為【答案】(1)①見解析；②見解析；【分析】(1)①根據(jù)∠BAC=∠DAE,推出∠BAD=∠CAE,再結(jié)合AB=AC,AD=AE,即可證明據(jù)BD=CE,即可證明結(jié)論；(2)過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F,利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，易得利用全等三角形的判定定理可得△ABD≌△ACE,由全等三角形的性質(zhì)可得∠ADB=∠AEC,DB=EC,易得EC=5,DC=12,利用勾股定理可得DE的長，利用三角形的面積公式可得結(jié)論；(3)根據(jù)Rt△BCE中，BE=10,BC=6,Rt△DCE中，求得DE=√22+82=√68,最后根據(jù)△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的長.【詳解】又∵AB=AC,AD=AE,【點(diǎn)睛】鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)(1)如圖，將邊AC、AB同時繞點(diǎn)A分別逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)a°,得AD、AE,連接BD、CE,(2)如圖，若∠ABC=60°,AB=1,將邊AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得AD,連接BD,求BD【答案】:(1)見解析(2)如下圖，將BA繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AE,連接BA、CE∵AD是AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°所得∴∠EBC=90°,△EBC為直角三角形(2)由(1)得△AQE≌△AFE,∴QE=EF.題目5【問題提出】如圖1,在△ABC中，每個內(nèi)角都小于120°,在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,P最小.C圖1(1)【問題解決】如圖2,把△CAP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CED,連D,E四點(diǎn)共線時，PA+PB+PC的最小值即為線段BE的長，此時∠APB=度；(3)【實際應(yīng)用】如圖4,△ABC是A,B,C三座城市位置的平面示意圖，要在△ABC內(nèi)規(guī)劃建設(shè)一個物流基地(用點(diǎn)P表示),連接PA,PB,PC,并使PA+PB+PC最?。唤?jīng)測量：AC=40km,BC=30km,∠ACB=60°,求PA+PB+PC的最小值.【思路點(diǎn)撥】(1)由“把△CAP繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CED”,可得∠APC=ZCDE,易證△PCD是等