貴州省清鎮(zhèn)市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

清鎮(zhèn)一中2024—2025學(xué)年第二學(xué)期月考監(jiān)測高一數(shù)學(xué)試卷2025.3注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分．3．考試過程中不得使用計算器．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．）1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.i2.下列命題中錯誤的有（

）A.平行向量就是共線向量B.同向，且，則C.若是關(guān)于的方程的一個根，則D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件3.已知，，則（）A. B. C. D.4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5.已知向量與不平行，記，，若，則（）A.2 B. C. D.6.已知的角的對邊分別為，若，則（）A. B. C.1 D.7.已知向量，則向量在向量方向上投影向量為（）A. B. C. D.8.如圖,在梯形中,,為線段上一點,且，為的中點,若（，）,則的值為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若為純虛數(shù)，則B.若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則C.若，則D.若，則10.對于，有如下判斷，其中錯誤的是（）A.若，則B.若，則是等腰三角形C.若，則符合條件有兩個D.若，則是銳角三角形11.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列說法正確的是（）A.若，且，則為等邊三角形B.若點是邊上點，且，則的面積是面積的C.若平面內(nèi)有一點滿足：，且，則為等邊三角形D.若，則為銳角三角形三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為_________.13.已知是的外心，，則________．14.如圖，單位向量，的夾角為，點在以為圓心，1為半徑的弧上運動，則的最小值為______．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．）15.中，已知，，．（1）求；（2）如為的中點，求的長．16已知向量，若，（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）當λ為何值時，向量與向量互相垂直？17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，設(shè)向量，，且.（1）求角：（2）若的面積為，求的周長.18.如圖，甲船在點處通過雷達發(fā)現(xiàn)在其南偏東方向相距20海里的處有一艘貨船發(fā)出供油補給需求，該貨船正以15海里/時的速度從處向南偏西的方向行駛．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的處的補給船，補給船立刻以25海里/時的速度與貨船在處會合．（1）求的長；（2）試問補給船至少應(yīng)行駛幾小時，才能與貨船會合？19.在中，對應(yīng)的邊分別為.（1）求；（2）奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.①用向量證明二維柯西不等式：；②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立.若是內(nèi)一點，過作的垂線，垂足分別為，求的最小值.

清鎮(zhèn)一中2024—2025學(xué)年第二學(xué)期月考監(jiān)測高一數(shù)學(xué)試卷2025.3注意事項：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答案一律寫在答題卡上，寫在試卷上的不給分．3．考試過程中不得使用計算器．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．）1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.i【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算求得復(fù)數(shù)，可求復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由，可得，所以，所以，所以的虛部為.故選：A.2.下列命題中錯誤的有（

）A.平行向量就是共線向量B.同向，且，則C.若是關(guān)于的方程的一個根，則D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件【答案】B【解析】【分析】利用平行向量的定義、結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷AD；利用向量的定義判斷B；利用實系數(shù)一元二次方程根的特征，結(jié)合韋達定理求解判斷C.【詳解】對于A，平行向量就是共線向量，A正確；對于B，向量不能比較大小，B錯誤；對于C，由是關(guān)于的方程的一個根，得該方程另一根為，則，解得，C正確；對于D，兩個向量相等，則這兩個向量平行；反之兩個向量平行，這兩個向量不一定相等，因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，D正確.故選：B3已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量線性運算的坐標運算直接求解.【詳解】由題意得，，所以．故選：B4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，即可根據(jù)幾何意義求解.【詳解】由可得，故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，位于第二象限.故選：B5.已知向量與不平行，記，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行的條件列出方程組求解即可.詳解】依題意，，，，即，，解得．故選：B．6.已知的角的對邊分別為，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用正弦定理計算求解.【詳解】因為，由正弦定理得，所以.故選：D.7.已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量公式，即向量在向量方向上的投影向量為即可得到結(jié)果.【詳解】向量在向量方向上的投影向量為故選：B8.如圖,在梯形中,,為線段上一點,且，為的中點,若（，）,則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的線性運算，化簡求得，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)向量的運算法則，可得：又因為，所以，所以，故選B.【點睛】本題主要考查了向量的線性運算及其應(yīng)用，其中解答中熟記向量的線性運算法則，合理應(yīng)用向量的三角形法則化簡向量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9.已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若為純虛數(shù)，則B.若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，若為純虛數(shù)，則的實部為0，虛部不為0，列出方程求解即可；對于B，若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實部小于0且虛部大于0，列出不等式求解即可；對于C，若，求出，進而求其共軛復(fù)數(shù)；對于D，若，求出，咋求模即可.【詳解】對于A，若為純虛數(shù)，即且，則，故A錯誤；對于B，若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則解得，即，故B正確；對于C，若，則，則，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選：BC.10.對于，有如下判斷，其中錯誤的是（）A.若，則B.若，則是等腰三角形C.若，則符合條件的有兩個D.若，則是銳角三角形【答案】BD【解析】【分析】利用三角形大邊對大角和正弦定理判斷A，利用正弦定理邊化角得出角的關(guān)系判斷B，利用正弦定理求出的值判斷C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判斷D.【詳解】選項A，在中由大邊對大角可知若，則，又由正弦定理可得，故A說法正確；選項B，若，則由正弦定理邊化角可得，即，所以或，整理得或，所以是等腰三角形或直角三角形，B說法錯誤；選項C，因為，所以由正弦定理可得，所以角有兩個值，此時符合條件有兩個，C說法正確；選項D，若，則由正弦定理角化邊可得，所以，即角是鈍角，所以是鈍角三角形，D說法錯誤；故選：BD11.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，則下列說法正確的是（）A.若，且，則為等邊三角形B.若點是邊上的點，且，則的面積是面積的C.若平面內(nèi)有一點滿足：，且，則為等邊三角形D.若，則為銳角三角形【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由已知確定的角平分線與BC垂直，所以，所以，再利用向量夾角的余弦得出，最后得出是等邊三角形，判斷A正確；對于B，已知，得到.

得到，根據(jù)三角形面積公式可知的面積與面積之比轉(zhuǎn)化為底邊MC與BC之比，判斷B錯誤；對于C，由向量模長關(guān)系得到角的大小，再用全等關(guān)系得出等邊三角形判斷C正確；對于D，利用弦切互化，三角恒等變換和兩角和與差的正余弦展開式判斷D正確.【詳解】對于選項A，因為，，分別為單位向量，所以的角平分線與BC垂直，所以，所以.又因為，即，因為，所以，所以，所以為等邊三角形，故選項A正確；對于B，已知，則.

這說明在線段BC上，且，那么.

因為和高相同，根據(jù)三角形面積公式可知的面積與面積之比等于它們底邊MC與BC之比，即的面積是面積的，選項B錯誤.

對于C，因為，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，結(jié)合，故，可得，故為等邊三角形，C正確；對于D，，而，所以A，B，C都為銳角，D正確；故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)及向量的復(fù)數(shù)表示運算得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，，所以表示向量的復(fù)數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查了向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系,向量的運算和復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.13.已知是的外心，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量的運算律求解即得.【詳解】令邊的中點為，由是的外心，得，，又，所以.故答案為：14.如圖，單位向量，的夾角為，點在以為圓心，1為半徑的弧上運動，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)出，，利用平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式得到，結(jié)合，求出最小值.【詳解】以為坐標原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，，故，因為，所以，故當，時，取得最小值，最小值為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟．）15.在中，已知，，．（1）求；（2）如為的中點，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式以及正弦定理即可求出角；（2）利用余弦定理與已知的長度和角度即可求解.【小問1詳解】因為，且，，根據(jù)正弦定理可得，解得；又，且，故.【小問2詳解】由（1）可知，，由可得.因為D為AC的中點，所以，在中，由余弦定理可得，則，從而.16.已知向量，若，（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）當λ為何值時，向量與向量互相垂直？【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的模及數(shù)量積求出夾角的余弦值即可；（2）根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算律計算即可；（3）由題意，得，再結(jié)合數(shù)量積的運算律計算即可.【小問1詳解】解：因為，，所以，又因，所以；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：當向量與向量互相垂直時，，即，即，解得.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，設(shè)向量，，且.（1）求角：（2）若的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標表示并結(jié)合正、余弦定理即可得到答案；（2）利用三角形面積公式得到，再利用余弦定理求出，最后即可得到周長.小問1詳解】因為，則，由正弦定理得，，，則，因為，則.【小問2詳解】由三角形面積公式，得，故，，∴,所以的周長為.18.如圖，甲船在點處通過雷達發(fā)現(xiàn)在其南偏東方向相距20海里的處有一艘貨船發(fā)出供油補給需求，該貨船正以15海里/時的速度從處向南偏西的方向行駛．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的處的補給船，補給船立刻以25海里/時的速度與貨船在處會合．（1）求的長；（2）試問補給船至少應(yīng)行駛幾小時，才能與貨船會合？【答案】（1）70海里（2）2小時【解析】【分析】（1）由題可得，利用余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合兩角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出時間.小問1詳解】根據(jù)題意可得．因為海里，海里，所以根據(jù)余弦定理可得海里．【小問2詳解】由余弦定理可得，則，所以．設(shè)當補給船與貨船會合時，補給船行駛的最少時間為小時，則海里，海里．在中，解得或（舍去），故當補給船與貨船會合時，補給船行駛的時間至少為2小時．19.在中，對應(yīng)的邊分別為.（1）求；（2）奧古斯丁?路易斯?柯西，法國著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.①用向量證明二維柯西不等式：；②已知三維分式型柯西不等式：，當且僅當時等號成立.若是內(nèi)一點，過作的垂線，垂足分別為，求的最小值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，利用三角恒等式化簡即可求值；（2）①利用數(shù)量積的定義，得到，再利用數(shù)量積和模的坐標表示，即可證