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設(shè)有線性規(guī)劃其中Am×n且r(A)=m,X≥0應(yīng)理解為X大于等于零向量，即xj≥0,j=1,2…,n。4/8/2025不妨假設(shè)A＝（P1，P2，…，Pn）中前m個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)可行基，記為B=(P1，P2，…，Pm)。矩陣A中后n－m列構(gòu)成的矩陣記為N＝（Pm+1,…Pn）,則A可以寫成分塊矩陣A=（B，N）。對(duì)于基B，基變量為xB=（x1,x2，…，xm

）T,非基變量為xN=(xm+1,xm+2,…xn)T.則X可表示成同理將C寫成分塊矩陣C=（CB，CN），CB=(c1,c2,…,cn),CN=(Cm+1Cm+2，…，cn)

則AX=b可寫成4/8/2025因?yàn)閞（B）=m（或|B|≠0）所以B—1存在，因此可有令非基變量XN=0，XB=B—1b，由B是可行基的假設(shè)，則得到基本可行解X=(B－1b，0)T將目標(biāo)函數(shù)寫成4/8/2025得到下列五個(gè)計(jì)算公式：(令XN=0)4/8/2025上述公式可用下面較簡(jiǎn)單的矩陣表格運(yùn)算得到，設(shè)初始矩陣單純形表為

XBXNbXBBNb

CBCN0將B化為I（I為m階單位矩陣）,CB化為零,即求基本可行解和檢驗(yàn)數(shù).用B－1左乘表中第二行,得到下表

XBXNbXBIB-1NB-1b

CBCN0

4/8/2025再將第二行左乘－CB后加到第三行,得到

XBXNbXBIB－1NB－1bλ0CN－CBB－1N－CBB－1bNλΝXB－Z04/8/2025五個(gè)公式的應(yīng)用【例1.17】線性規(guī)劃已知可行基

求(1)單純形乘子π;(2)基可行解及目標(biāo)值;(3)求λ3;(4)B1是否是最優(yōu)基,為什么;(5)當(dāng)可行基為時(shí)求λ1及λ3.

4/8/2025【解】(1)因?yàn)锽1由A中第一列、第二列組成,故x1、x2為基變量，x3、x4、x5為非基變量,有關(guān)矩陣為CB=(c1,c2)=(1,2)CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)故單純形乘子4/8/2025(2)基變量的解為故基本可行解為目標(biāo)函數(shù)值為4/8/2025(3)求λ34/8/2025(4)要判斷B1是不是最優(yōu)基,亦是要求出所有檢驗(yàn)數(shù)則否滿足λj≤0,j=1…,5.x1,x2是基變量,故λ1=0,λ2=0,而剩下來求λ4,λ5，由λN計(jì)算公式得因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最優(yōu)基.4/8/2025(5)因B2是A中第四列與第二列組成的,x4、x2是基變量x1、x3、x

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