平面向量及其應(yīng)用綜合檢測試卷及參考答案

第第頁平面向量及其應(yīng)用綜合檢測選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2025高一下·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共線向量 D．共起點(diǎn)的向量2．（2025高一下·全國·課后作業(yè)）在中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，若三角形有兩個解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2025高一下·貴州·階段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則邊長等于（

）A． B． C．2 D．4．（2025高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為（

）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2025高三上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點(diǎn)處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)處，測得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．6．（2025高二下·四川·階段練習(xí)）的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．7．（2025高一下·全國·課后作業(yè)）若向量，，均為單位向量，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．8．（24-25高三上·北京順義·期末）如圖，△，△是全等的等腰直角三角形，為直角頂點(diǎn)，三點(diǎn)共線.若點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）.記，，則（）A． B． C． D．大小不能確多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．（2025高一·全國·單元測試）設(shè)的內(nèi)角、、所對邊的長分別為、、，下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知向量，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，則在上的投影向量為D．若，，則在上的投影向量為11．（2025高一·江蘇·課后作業(yè)）已知對任意角均有公式.設(shè)的內(nèi)角滿足，面積滿足.記分別為所對的邊，則下列等式或不等式一定成立的是（）A． B．C． D．填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（2025高一下·安徽·階段練習(xí)）已知甲船位于小島的南偏西的處，乙船位于小島處，千米，甲船沿的方向以每小時6千米的速度行駛，同時乙船以每小時8千米的速度沿正東方向勻速行駛，當(dāng)甲、乙兩船相距最近時，他們行駛的時間為小時．13．（2025高一·全國·課后作業(yè)）已知三角形為等腰直角三角形，且，有下列命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號為.14．（2025高一·全國·課后作業(yè)）在直角三角形中，，，．設(shè)與交點(diǎn)為，則的值為.解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．（2025高三上·河南·階段練習(xí)）已知平面向量，.（1）若與垂直.求；（2）若向量，若與共線，求.16．（2025高一·全國·課后作業(yè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c＝4，a2+b2＝2c2，求△ABC的面積．17．（2024·山東·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范圍.18．（24-25高一下·福建三明·期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．19．（2025高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知中，過重心G的直線交邊（不含端點(diǎn)）于P，交邊（不含端點(diǎn)）于Q，設(shè)的面積為，的面積為，，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.平面向量及其應(yīng)用綜合檢測參考答案一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．【答案】B【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解【詳解】是正的中心，向量分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，到三個頂點(diǎn)的距離相等，但向量，，不是相同向量，也不是共線向量，也不是起點(diǎn)相同的向量.故選：B2．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即得.【詳解】依題意，，即，由，得，所以的取值范圍是.3．【答案】B【分析】直接根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】解：中，∵，，，∴由正弦定理得：.故選：B4．【答案】A【分析】先求出向量與向量的數(shù)量積，再代入投影公式中，即可得答案.【詳解】由題意，，所以向量在向量方向上的投影為.故選：A.5．【答案】A【分析】畫出相應(yīng)圖形后計(jì)算出點(diǎn)到該樓的距離，結(jié)合勾股定理與正弦定義計(jì)算即可得.【詳解】如圖所示，由題意有，，則有，故，則，故，則.故選：A.6．【答案】A【分析】由正弦定理得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得，再根據(jù)基本不等式得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以.故選：A7．【答案】A【分析】對進(jìn)行平方，根據(jù)題意可得，當(dāng)最小時，取得最小值.【詳解】因?yàn)?，所以∴則當(dāng)與反向時最小，最小，此時=，所以=，所以的最小值為，故選：A.8．【答案】B【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意設(shè)，，，，，，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求m、n，即可比較大小.【詳解】構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，令，，，，所以，可設(shè)，，且，，則，，所以.故選：B.二．多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．【答案】AC【分析】利用余弦定理及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：對于A選項(xiàng)，，可以得出，∴，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，因?yàn)?，所以，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，假設(shè)，則，，則，所以與矛盾，∴，故C正確，對于D選項(xiàng)，取，滿足，此時，故D錯誤；故選：AC.10．【答案】AC【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可判斷AB；由向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合已知求出向量，可得向量，然后根據(jù)投影向量公式可得投影向量，可判斷CD.【詳解】由向量平行的坐標(biāo)表示可知，若，則，A正確，B錯誤；若，且，則，解得，則，，則在上的投影向量為，C正確，D錯誤．故選：AC11．【答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、題設(shè)中的公式、兩角和與差的余弦公式、正弦定理和三角形的面積公式，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明逐一即可得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)榈膬?nèi)角滿足，所以，所以，所以，所以，從而得：，故，所以有，故A正確；設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，所以，所以，故B錯誤；又，故C正確；因?yàn)?，故，，故D正確.三填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．【答案】【分析】根據(jù)方位角的定義，可知=，設(shè)出時間為t，則可表示出，，根據(jù)余弦定理可求出兩船之間的距離表達(dá)式，進(jìn)而可求出距離最小值及對應(yīng)的時間t．【詳解】如圖，

當(dāng)甲、乙兩船相距最近時，他們行駛的時間為小時，此時甲船位于處，乙船位于處，則，，由余弦定理可得：=，故當(dāng)時取最小值，故答案為．13．【答案】①②③④【分析】以、為鄰邊作平行四邊形，利用平面向量加法與減法法則進(jìn)行判斷即可.【詳解】以、為鄰邊作平行四邊形，如下圖所示，由題意知其為正方形．①，，，所以，①正確；②，，，所以，②正確；③，，，所以，③正確；④，，所以，④正確.因此，正確命題的序號為①②③④.故答案為：①②③④.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量有關(guān)模的等式的判斷，解題時應(yīng)充分利用平面向量的加法和減法法則將和向量與差向量表示出來，并利用圖形中線段長的等量關(guān)系來進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.14．【答案】【分析】由條件可得，．設(shè)，根據(jù)，求得①．由，求得②．由①②求得、的值，可得．再利用兩個向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求得的值．【詳解】解：直角三角形中，，，，與交點(diǎn)為，，．設(shè)，則，．再根據(jù)，可得，求得①．同理，由，求得②．由①②求得，，，，故答案為：．四解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因?yàn)椋?所以，.因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得或(舍去).（2）因?yàn)?，，，所以?因?yàn)榕c共線，故，所以解得所以，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩向量，的位置關(guān)系求參數(shù)的常見方法：（1）由，得；（2）由，得.16．（2025高一·全國·課后作業(yè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c＝4，a2+b2＝2c2，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)4．【分析】（1）由題意利用兩角和的余弦公式、誘導(dǎo)公式，求得的值，可得C的值．（2）由題意利用余弦定理求得ab的值，可得△ABC的面積為的值．【詳解】（1）∵△ABC中內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，所以,即，即，∴(舍去），或，∴C．（2）若c＝4，a2+b2＝2c2，所以a2+b2＝32，由余弦定理可得，∴ab＝16，∴△ABC的面積為．17．（2024·山東·三模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足cosC+cosAcosB=2sinAcosB．（1）求cosB的值;（2）若a+c=2，求b的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得，結(jié)合，可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值．（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，結(jié)合范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍．【詳解】（1）因?yàn)閏osC+cosAcosB=sinAcosB，所以-cos(A+B)+cosAcosB=sinAcosB，即sinAsinB=sinAcosB，因?yàn)閟inA≠0，所以sinB=cosB>0，又因?yàn)閟in2B+cos2B=1，解得cosB=.（2）由a+c=2，可得c=2-a，由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+，因?yàn)?<a<2，所以≤b<2，所以b的取值范圍為.18．（24-25高一下·福建三明·期末）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)若，且，求△ABC的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.（2）由題設(shè)有，根據(jù)已知及余弦定理有，再由正弦邊角關(guān)系及和差角正弦公式可得，即可得，進(jìn)而求最值.【詳解】（1）由，故，而，所以，故.（2）由，故，即，由余弦定理知：，即，所以，即，又，故，由，則或（舍），所以，則，即，，而，所以，當(dāng)時有最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，注意綜合應(yīng)用正余弦定理得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)、三角恒等變換得到的關(guān)系及角的范圍，進(jìn)而求最值.19．（2025高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知中，過重心G的直線交邊（不含端點(diǎn)）于P，交邊（不含端點(diǎn)）于Q，設(shè)的面積為，的面積為，，.（1）求證：.（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）設(shè)，可得，，利用三點(diǎn)共線可得