江西省吉安一中、九江一中等八所重點中學2025年高三第二學期期末（一模）數(shù)學試題含解析

江西省吉安一中、九江一中等八所重點中學2025年高三第二學期期末（一模）數(shù)學試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知條件，條件直線與直線平行，則是的()A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知集合，，則為()A． B． C． D．3．已知復數(shù)z=2i1-i，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（）A． B． C． D．5．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件6．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．7．已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．二項式展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左，右焦點分別為，O為坐標原點，P為雙曲線在第一象限上的點，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．10．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題11．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．12．設為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項積為，，（且），則__________.14．“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為__________.15．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項和______．16．如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點，且，P為BE上一點，且滿足，則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設，函數(shù).（1）當時，求在內(nèi)的極值；（2）設函數(shù)，當有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.18．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質(zhì)量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關，質(zhì)量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關，若第二次質(zhì)量把關這2位行家都認為質(zhì)量過關，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.19．（12分）記為數(shù)列的前項和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項和.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，建立極坐標系.（1）設直線l的極坐標方程為，若直線l與曲線C交于兩點A．B，求AB的長；（2）設M、N是曲線C上的兩點，若，求面積的最大值.21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.22．（10分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實數(shù)取何值，直線恒過定點，并求出該定點的坐標；（2）若直線經(jīng)過點，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

先根據(jù)直線與直線平行確定的值，進而即可確定結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要條件.故選C本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎題型.2．C【解析】

分別求解出集合的具體范圍，由集合的交集運算即可求得答案.【詳解】因為集合，，所以故選：C本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運算，考查基本運算能力.3．C【解析】分析：根據(jù)復數(shù)的運算，求得復數(shù)z，再利用復數(shù)的表示，即可得到復數(shù)對應的點，得到答案．詳解：由題意，復數(shù)z=2i1-i所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(-1,-1)，位于復平面內(nèi)的第三象限，故選C．點睛：本題主要考查了復數(shù)的四則運算及復數(shù)的表示，其中根據(jù)復數(shù)的四則運算求解復數(shù)z是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力．4．A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A本題考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎題.5．A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.6．D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.7．A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8．D【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數(shù)為.故選：D本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎題.9．D【解析】

本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理，建立關于a與c的等式，計算離心率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪圖，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO，而，結(jié)合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故對三角形運用余弦定理，得到，而結(jié)合，可得，，代入上式子中，得到，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選D．本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì)，難度偏難．10．B【解析】

由的單調(diào)性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對于命題q，當，即時，；當，即時，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤．故選：B本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.11．C【解析】

由題可知，設函數(shù)，，根據(jù)導數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當時，至多一個整數(shù)根；當時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.本題考查不等式的解法和應用問題，還涉及利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.12．D【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算．【詳解】．故選：D．本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式，解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進而求得，再利用對數(shù)運算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.14．【解析】

畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義和題設條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.【詳解】如圖所示，設橢圓的長半軸為，半焦距為，因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.15．【解析】

,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列，∴,∴,∴,∴,故答案為本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運算是關鍵，是基礎題.16．【解析】試題分析：根據(jù)題意有，因為三點共線，所以有，從而有，所以的最小值是．考點：向量的運算，基本不等式．【方法點睛】該題考查的是有關應用基本不等式求最值的問題，屬于中檔題目，在解題的過程中，關鍵步驟在于對題中條件的轉(zhuǎn)化，根據(jù)三點共線，結(jié)合向量的性質(zhì)可知，從而等價于已知兩個正數(shù)的整式形式和為定值，求分式形式和的最值的問題，兩式乘積，最后應用基本不等式求得結(jié)果，最后再加，得出最后的答案．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】

（1）當時，可求得，令，利用導數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因為，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當時，；當時，.當變化時，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當時，不等式恒成立，即.當時，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當時，，故.當時，恒成立，即，因此，當時，所以.綜上所述，.本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高．18．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形，并結(jié)合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率，進而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則，其中，.由得，整數(shù)不存在，由得，所以當時，，即，由得，所以當時，，所以當時，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，所以X的分布列為：X900600300100P則期望為.本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.19．（1）；（2）證明見詳解，【解析】

（1）根據(jù)，可得，然后作差，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）由①，則②②-①可得：所以（2）由（1）可知：③則④④-③可得：則，且令，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列所以本題主要考查遞推公式以及之間的關系的應用，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題.20．（1）；（2）1.【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；（2），，由（1）通過計算得到，即最大值為1.【詳解】（