陜西省榆林市2024-2025學年高三下學期第三次模擬檢測數(shù)學試題 含解析

榆林市2025屆高三第三次模擬檢測數(shù)學試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名?班級和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理：試題不回收.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的補集與并集，可得答案.【詳解】，故.故選：D.2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法以及共軛復數(shù)的概念，結合復數(shù)虛部的概念，可得答案.【詳解】，虛部為4.故選：B.3.函數(shù)的單調增區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調遞增區(qū)間利用整體代換解不等式可得結果.【詳解】由可得：.故選：C.4.已知向量，若，則（）A. B.5 C. D.13【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共線向量的坐標表示，解得參數(shù)，根據(jù)模長公式，可得答案.【詳解】由得，解得，由，則.故選：A.5.雙曲線的右焦點為，若以點為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由題意得雙曲線方程為，則圓心到漸近線的距離，化簡后可求出離心率.【詳解】根據(jù)題意得：圓心，半徑為，雙曲線漸近線方程為，即，以點為圓心，半徑為的圓與雙曲線的漸近線相切，且，圓心到漸近線的距離，即，，則雙曲線的離心率，故選：B6.如圖，是邊長為的正三角形.曲線是分別以為圓心，為半徑畫的圓弧，稱曲線為螺旋線旋轉一圈，然后又以為圓心，為半徑畫弧，，如此下去，畫到第10圈，則所得螺旋線的總長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)弧長公式分別求出的長度，從而可知此數(shù)列是為首項，為公差，項數(shù)為30的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列求和公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)弧長公式可知的長度分別為：，所以此數(shù)列是為首項，為公差，項數(shù)為30的等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得：該數(shù)列前30項的和為，故選：B.7.交流電的瞬時值隨時間周期性變化，正負號表示電流方向的交替變化.電流強度（安）隨時間（秒）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則當秒時，電流強度是（）A.安 B.5安 C.安 D.安【答案】D【解析】【分析】通過函數(shù)的圖象求出，然后利用周期公式求出，將點代入表達式，即可求出的值，得到函數(shù)解析式，代入秒，即可求出電流強度.【詳解】由圖象得，電流的最大值和最小值分別為10和，可得.由周期得，再將點代入，得，所以.因為，所以時，所以.將代入得.故選：D.8.已知函數(shù)，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的解析式，利用導數(shù)可得函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)與零的大小關系，化簡不等式，可得參數(shù)的關系式，通過函數(shù)思想，可得答案.【詳解】法1：因為，所以在上單調遞增，又因為，所以當時，，當時，，所以，，因此當時，取得最小值.法2：因為，所以在上單調遞增，又，所以當時，，當時，，因此與函數(shù)符號相同，原不等式等價于上恒成立，因此，設點，則點直線上，因此.法3：因為，所以在上單調遞增，零點為0，又因為單調遞增，零點為，因此，當且僅當時取等號.法4：設，則恒成立，因為，所以為函數(shù)的極小值點，因此，又，所以，當時，，由解法1知，當時，，即，當時，，即，滿足題意.因此，下同解法1.法5：設，則恒成立，因為，所以為函數(shù)的極小值點，因此，又，所以，由解法1知在上單調遞增，且，因此，下同解法1.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有三個正確選項的，每個選項2分，有兩個正確選項的，每個選項3分，有選錯的得0分.9.設橢圓的左、右焦點分別為是上的動點，則（）A.的周長為16 B.的最小值為C.的面積的最大值為12 D.存在點，使得【答案】AC【解析】【分析】求出橢圓的長短半軸長及半焦距，再結合橢圓的定義及性質逐項判斷即可.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，，則，故A正確；對于B，當點在橢圓的左頂點時，得，故B錯誤；對于C，設的頂點，則的面積，所以面積的最大值，故C正確；對于D，由已知，，設存在點，使得，則，即，又，則，代入，得，此方程無實數(shù)解，故D錯誤.故選：AC.10.若的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則下列結論正確的是（）A.角C為鈍角 B.C. D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)關系和降冪公式可得A正確；由余弦定理結合A的結果可得B正確；由同角的三角函數(shù)關系結合余弦定理可得C正確；由兩角和的正切展開式再結合基本不等式可得D正確；【詳解】對于A，∵，∴，即，∴，又，∴一定為鈍角，故選項A正確；對于B，由余弦定理知，，化簡得，故選項B正確；對于C，∵，∴，故選項C正確；對于D，∵，∴，∵為鈍角，則，，∴，當且僅當，即時，等號成立，此時取得最大值，故選項D錯誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，對定義域內任意，都有，則正實數(shù)的取值可能是（）A. B. C.1 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件將問題轉化為，構造函數(shù)，化為，求，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，結合函數(shù)正負情況可得在上恒成立，構造函數(shù)，求，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值即可解題.【詳解】因為，所以，所以可化為，即；令，則有對于定義域內任意，都有，所以在上單調遞減，所以在上，；因為，所以，即，因為，所以，即；令，，當時，解得，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增；可化為，，因為所以；由，可知當時，，當時，，根據(jù)在上的單調性以及的正負情況，有：若，則在上恒成立，所以，即在上恒成立；令，則，，解得，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞增減，所以時，取得最大值，，所以；因為，，均滿足題意，不合題意，所以ACD正確，B錯誤.故選：ACD.【點睛】結論點睛：隱蔽性指對同構，需要補因式，如：，兩邊同乘以，化為，即.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.乙巳蛇年，古城榆林燃動全國秧歌熱潮，國內外共39支隊伍匯聚榆林，舞動非遺年味.現(xiàn)有4名國際友人，每人從俄羅斯、保加利亞、榆林市直教育系統(tǒng)的三支秧歌隊中選擇觀看一支，則不同的觀看方式有__________.（用數(shù)字作答）【答案】81【解析】【分析】利用分步乘法計數(shù)原理計算即可.【詳解】4名國際友人，每人有三種選擇，所以種.故答案為：81.13.如圖所示，在上、下底面對應邊的比為1：2的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱的平面，記平面分三棱臺兩部分的體積為（三棱柱），兩部分，那么______.【答案】3：4【解析】【分析】設三棱臺的高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，計算體積得到答案.【詳解】設三棱臺高為，上底面的面積是，則下底面的面積是，，.故答案為：.【點睛】本題考查了三棱臺的體積問題，意在考查學生的計算能力.14.若把一個平面區(qū)域內兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，則曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為__________.【答案】4【解析】【分析】解法1：根據(jù)曲線的對稱性，利用兩點距離公式，結合二次函數(shù)的性質，可得答案；解法2：根據(jù)曲線的對稱性，利用參數(shù)方程，結合三角函數(shù)的性質，可得答案；【詳解】解法1：設曲線上任意一點到坐標原點的距離為，則，當且僅當時取等號.因為曲線關于原點對稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.解法2：設曲線上任意一點到坐標原點的距離為，令，則，當且僅當時取等號.因為曲線關于原點對稱，所以曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為4.故答案為：.15.某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070（1）從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程，并預測廣告支出為10萬元時的銷售額．附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】（1）X的分布列見解析，期望（2）；預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.【小問1詳解】從A，B，C，D，E這5家超市中隨機抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有C，D，E這3家超市，則隨機變量的可能取值為1，2，3，，，的分布列為：123數(shù)學期望．【小問2詳解】，，，．關于線性回歸方程為；在中，取，得．預測廣告費支出10萬元時的銷售額為87萬元．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式求解.（2）利用裂項相消求和求解即可.【小問1詳解】依題可得：，即：，解得，所以.【小問2詳解】證明：設，則，所以，17.如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，.把沿向上折起，使點到達點位置，使得平面平面，如圖2所示.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）當點在線段（包括端點）上運動時，設直線與平面所成的角為，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）.（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質可得線線垂直，再由勾股定理所得線線垂直，根據(jù)線面垂直判定與性質，可得答案；（2）由題意建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，根據(jù)面面角的向量公式，可得答案；（3）由題意中線面的位置關系，根據(jù)線面角的定義，結合銳角三角函數(shù)的定義，可得答案.【小問1詳解】證明：如圖，設的中點為，連接.因為為等邊三角形，所以.又因為平面平面，且平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以，所以.因為平面，所以平面.又因為平面，所以.【小問2詳解】由（1）知平面，因為平面，所以平面平面.設的中點為，連接，則.又因為平面平面，平面平面平面，所以平面.設的中點為，連接.因為，所以，以為坐標原點，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，可得.設平面的法向量，則，即，取，則平面的一個法向量.設平面的法向量，則，即，取，則平面的一個法向量，因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.【小問3詳解】由（1）知平面，平面，所以，，而，故的取值范圍為.18.已知平面上的動點到點的距離與到直線的距離相等，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設過點的直線交于兩點，過點的直線與的另一個交點為，點在與之間.（i）證明：線段垂直于軸；（ii）記的面積為的面積為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）由題意可得動點軌跡為拋物線，由焦點和準線，可得答案；（2）（i）設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達定理，由設出的點的坐標，表示出直線的斜率，研究其關系，可得答案；（ii）由點的坐標，表示出三角形的面積，整理函數(shù)解析式，利用導數(shù)求得最值，可得答案.【小問1詳解】設點，由于動點到點的距離與直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線.設此拋物線的方程是，則，故曲線的方程是.【小問2詳解】（i）因為直線的斜率不為0，故設的方程為，聯(lián)立可得：，，則，.故，故直線與直線關于軸對稱，即點與點關于軸對稱，所以線段垂直于軸（ii）由（i）可知，不妨設，因為點在與之間，所以，，則，令，則，令，則，解得；令，解得.則在上單調遞增，在上單調遞減，，所以的取值范圍為.19.帕德近似是法國數(shù)學家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，其中和分別是和次多項式，且滿足.其中為的導數(shù).已知在處的階帕德近似為.（1）求實數(shù)的值，利用的階帕德近似估計的近似值（結果保留3位有效數(shù)字）；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：當時，.【答案】（1），0.182（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意分別對兩個函數(shù)求導，建立方程組，可得答案；（2）整理不等式，構造函數(shù)并求導，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得答案；（3）利用兩邊取對數(shù)整理不等式，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最值，利用（2）的結論，可得答案.【小問1詳解】，因為，所以，解得，.【小問2詳解】解法1：設，則在上恒成立.若，則顯然成立；若，設，，當時，，因此，即在上單調遞增，時，，滿足題意；當時，在上單調