重難點13 幾何壓軸突破一 四邊形壓軸（18種題型匯-總+專題訓練）（原卷版）-2025年中考數(shù)學重難點突破

第五章四邊形重難點13幾何壓軸突破一四邊形壓軸（18種題型匯總+專題訓練）【題型匯總】【命題預測】四邊形在中考數(shù)學中是占比較大考察內(nèi)容主要有各個特殊四邊形的性質(zhì)判定、以及其應用:考察題型上從選擇到填空再到解答題都有題型變化也比較多樣,并且考察難度也都是中等和中等偏上難度較大,綜合性比較強所以需要考生在復習這塊內(nèi)容的時候一定要準確掌握其性質(zhì)與判定并且會在不同的結(jié)合問題上注意和其他考點的融合.題型01選/填壓軸題之動態(tài)函數(shù)圖像問題1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖1，矩形ABCD中，BD為其對角線，一動點P從D出發(fā)，沿著D→B→C的路徑行進，過點P作PQ⊥CD，垂足為Q．設點P的運動路程為x，PQ-DQ為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2，則AD的長為（

）A．423 B．83 C．72．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點P為線段AB上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作PM⊥AC于點M、作PN⊥BC于點N，連接MN，線段MN的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點

A．5，5 B．6,245 C3．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的頂點E，G在同一水平線上，點G與AB的中點重合，EF=23cm，∠E=60°，現(xiàn)將菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向勻速運動，當點E運動到CD上時停止，在這個運動過程中，菱形EFGH與矩形ABCD重疊部分的面積SA． B．C． D．4．（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點E，點F分別為邊AD，CD中點，點O為正方形的中心，連接OE,OF，點P從點E出發(fā)沿E-O-F運動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC運動，兩點運動速度均為1cm/s，當點P運動到點F時，兩點同時停止運動，設運動時間為ts，連接BP,PQ，△BPQ的面積為Scm2，下列圖像能正確反映出S與tA．B．C．D．題型02選/填壓軸題之多結(jié)論問題5．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點O，H為AB延長線上的一點，且BH=BD，連接DH，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，連接BE，則下列結(jié)論：①CFBF=32；②tan∠H=3-1；③其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折疊，點B落在點P處，延長CP交AD于點Q，連結(jié)AP并延長交CD于點F．給出以下結(jié)論：①△AEP為等腰三角形；②F為CD的中點；③AP:PF=2:3；④cos∠DCQ=347．（2023·山東日照·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點P在對角線BD上，過點P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點M，N，過點M作ME⊥AD交BD于點E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當AM:MD=1:2時，S

8．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線DE折疊，使點C與AB延長線上的點Q重合．DE交BC于點F，交AB延長線于點E．DQ交BC于點P，DM⊥AB于點M，AM=4，則下列結(jié)論，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正確的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④9．（2023·湖北·中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點G,DE交AB于點H，連接CF．給出下面四個結(jié)論：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正確結(jié)論的序號是．題型03選/填壓軸題之規(guī)律探究問題10．（2022·山東煙臺·中考真題）如圖，正方形ABCD邊長為1，以AC為邊作第2個正方形ACEF，再以CF為邊作第3個正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個正方形的邊長為（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）611．（2022·遼寧·中考真題）如圖，A1為射線ON上一點，B1為射線OM上一點，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點B2，得△C1B1B212．（2024·山東東營·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一邊長為1的正方形OABC，點B在x軸的正半軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OB1為邊作第三個正方形OB1B2C13．（2024·山東濟南·模擬預測）如圖，在△ABC中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次連接△ABC的三邊中點，得到△A1B1C1，再依次連接△A1B題型04四邊形與翻折問題綜合14．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形ABCD中，E,F分別在AD,BC上，將四邊形ABFE沿EF翻折，使A的對稱點P落在CD上，B的對稱點為G，PG交BC于(1)求證：△EDP∽△PCH．(2)若P為CD中點，且AB=2,BC=3，求GH長．(3)連接BG，若P為CD中點，H為BC中點，探究BG與AB大小關(guān)系并說明理由．15．（2024·甘肅·模擬預測）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B3,0兩點，與y軸交于點C0,-3，(1)求拋物線y=x(2)如圖2，連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C，當四邊形PO(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標及此時線段BP的長．16．（2024·廣東深圳·模擬預測）【問題背景】折紙是一種許多人熟悉的活動，將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年，經(jīng)過人們的不懈努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法．綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．操作探究：操作過程及內(nèi)容如下（如圖①）操作1：將正方形ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合．再將正方形ABCD展開，得到折痕EF；操作2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E與AB交于點P.則P即為AB的三等分點，即AP【解決問題】（1）在圖①中，若EF與MN交于點Q，連接CQ求證：四邊形EQCM是菱形．（2）請在圖①中證明AP：PB=2：1.【發(fā)現(xiàn)感悟】若E為正方形紙片ABCD的邊AD上的任意一點，重復“問題背景”中操作2的折紙過程，請你思考并解決如下問題：（3）如圖②，若AD=3AE時，則APAB=______；若AD=nAE時，則APAB=17．（2024·山東聊城·三模）【實踐探究】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，DE⊥AC交AB于點E，則DEAC的值是________【變式探究】（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠DBC=90°，BD=8，BC=6，DE⊥AC交AB于點E，求DEAC【靈活應用】（3）如圖3，在矩形ABCD中，AD=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，以EF為折痕，將四邊形ABFE翻折，使得AB的對應邊A'B'恰好經(jīng)過點D，B'F交CD于點I，過點D作DP⊥EF交AB于點P．若A'D=4，且△ADP

題型05四邊形與旋轉(zhuǎn)問題綜合18．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=DE．作BM⊥AC于點M，EN⊥DF于點N，如圖1．(1)求證：BM=EN；(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C，點A與點D重合，將圖2中的△DCF繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α后，延長BM交直線DF于點P．①當α=30°時，如圖3，求證：四邊形CNPM為正方形；②當30°<α<60°時，寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當60°<α<120°時，直接寫出線段MP，DP，CD的數(shù)量關(guān)系．19．（2024·山西·模擬預測）綜合與實踐【問題情境】“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°，∠A=∠D，將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標記為點B）．當∠ABE=∠A時，延長DE交AC于點G，試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．【數(shù)學思考】（1）請你解答以上老師提出的問題；【深入探究】（2）老師將圖2中的△DBE繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在△ABC內(nèi)部，讓同學們提出新的問題并請你解答此問題．“善思小組”提出問題：如圖3，當∠ABE=∠BAC時，過點A作AM⊥BE交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N．證明：AM=BE．【拓展提升】（3）如圖4，當∠CBE=∠BAC時，過點A作AH⊥DE于點H，若BC=3，AC=4，求AH的長．20．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預測）如圖，點O是正方形ABCD對角線的交點，△EFG是等腰直角三角形，EG=FG，∠EGF=90°，當△EFG的頂點G在線段AC（不與A，C重合）上繞點G旋轉(zhuǎn)的過程中，直角邊EG交邊AD于點M，直角邊FG交邊CD于點N．(1)如圖1，當點G與點O重合時，求證：EM=FN；(2)如圖2，當CG=nAG（n為正整數(shù)，n≠1）時，在旋轉(zhuǎn)過程中，①請寫出線段GM，GN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AD=a，CN=b，求AM的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．題型06四邊形與最值問題21．（2024·吉林長春·中考真題）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB=3，點M、N分別在邊AC、BC上，且AM=CN，試探究線段MN長度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點P，作射線AP．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM=MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長度的最小值為________．【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°．MN是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點M在AC上，點N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持AM=DN．鋼絲繩MN長度的最小值為多少米．22．（2024·山東濟南·中考真題）某校數(shù)學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了深入研究．（一）拓展探究如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足為D．（1）興趣小組的同學得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A請完成填空：①______；②______；（2）如圖2，F(xiàn)為線段CD上一點，連接AF并延長至點E，連接CE，當∠ACE=∠AFC時，請判斷△AEB的形狀，并說明理由．（二）學以致用（3）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面內(nèi)一點D，滿足AD=AC，連接CD并延長至點E，且∠CEB=∠CBD，當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE23．（2024·重慶·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點B作BD(1)如圖1，若點D在點B的左側(cè)，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E．若點E是BC的中點，求證：AC=2BD；(2)如圖2，若點D在點B的右側(cè)，連接AD，點F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點G，連接CF．過點F作FM⊥BG交AB于點M，CN平分∠ACB交BG于點N，求證：AM=CN+2(3)若點D在點B的右側(cè)，連接AD，點F是AD的中點，且AF=AC．點P是直線AC上一動點，連接FP，將FP繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FQ，連接BQ，點R是直線AD上一動點，連接BR，QR．在點P的運動過程中，當BQ取得最小值時，在平面內(nèi)將△BQR沿直線QR翻折得到△TQR，連接FT．在點R的運動過程中，直接寫出FTCP24．（2024·浙江寧波·二模）（1）如圖1，在三角形ABC中，N是BC中點，連結(jié)AN，M是AN上任意一點，過點M作DE∥BC別交AB，AC于點D、E，求證：M是DE中點；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD與BC不平行，∠DCB=60°，AD=AB=CB=2，連結(jié)對角線AC，BD交于點O，E是AD上的點，過點E作EF∥DB交AB于點F，AC于點M，求EM:MF的值；（3）如圖3，在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=4，分別取菱形各邊的中點G，H，P，Q并順次連結(jié)得到四邊形PQGH，連結(jié)PG，HQ交于點O，E是PQ上一動點，作EF∥QH交PH于點F，交PG于點M，過點M作MN⊥EM交QG于點N，連結(jié)EN，求EN的最小值．題型07四邊形與動點問題25．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=2cm，點A在直線l1上，點B，C在直線l2上，l1∥l2，動點P①當t=2s時，四邊形ABCP的周長是10②當t=4s時，點P到直線l2的距離等于③在點P運動過程中，△PBC的面積隨著t的增大而增大；④若點D，E分別是線段PB，PC的中點，在點P運動過程中，線段DE的長度不變．其中正確的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④26．（2024·江西·中考真題）綜合與實踐如圖，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的動點（點D與點A不重合），連接CD，以CD為直角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造Rt△CDE，∠DCE=90°，連接BE，特例感知（1）如圖1，當m=1時，BE與AD之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；類比遷移（2）如圖2，當m≠1時，猜想BE與AD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．拓展應用（3）在（1）的條件下，點F與點C關(guān)于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC=6，設AD=x，四邊形CDFE的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達式，并求出y的最小值；②當BF=2時，請直接寫出AD的長度．27．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8，點E是邊AD上的動點，連結(jié)CE，以CE為邊作矩形CEFG（點D，G在CE的同側(cè)），且CE=2EF，連結(jié)BF．(1)如圖1，當點E為AD邊的中點時，點B，E，F(xiàn)在同一直線上，求BF的長．(2)如圖2，若∠BCE=30°，設CE與BF交于點K．求證：BK=FK．(3)在點E的運動過程中，BF的長是否存在最大（?。┲?？若存在，求出BF的最值；若不存在，請說明理由．題型08四邊形與網(wǎng)格問題28．（2024·吉林·中考真題）圖①、圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形ABCD，圖②中已畫出以OE為半徑的⊙O，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖①中，面出四邊形ABCD的一條對稱軸．(2)在圖②中，畫出經(jīng)過點E的⊙O的切線．29．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線AD交BC于點D，使AD平分△ABC的面積；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，在射線AD上畫點E，使∠ECB=∠ACB；(3)在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°到點C，再畫射線AF交BC于點G；(4)在（3）的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點G旋轉(zhuǎn)180°，畫對應線段MN（點A與點M對應，點B與點N對應）．30．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖是由小正方形組成的7×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．圖中A，B，C，D都是格點，E為AD與網(wǎng)格線的交點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．(1)如圖1，先將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到AF，再在AB上畫點G，使tan∠AEG=(2)如圖2，先在AB上畫一點H，使CH⊥AB，再在AB上畫點P，使CP=BC．題型09四邊形與尺規(guī)作圖問題31．（2024·山東日照·中考真題）如圖，以?ABCD的頂點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BC于點E，再分別以點A，E為圓心，大于12AE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，畫射線BF，交AD于點G，交CD的延長線于點(1)由以上作圖可知，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系是_______(2)求證：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面積．32．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，AF=5，CE=2，則AE=________；AB=________(2)如圖2，若四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，且AB=BD，猜想AF與CD的關(guān)系，并說明理由；(3)①如圖3所示，在△ABC中，BE=5，CE=2AE=12，BE⊥AC交AC于點E，請畫出以BC為邊的垂中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若△ABC關(guān)于直線AC對稱得到△AB'C，連接CB'，作射線CB'交①33．（2024·江蘇南京·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點．(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖（2），用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與34．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點P，來表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點P1，使C∠P1OA=45°，點P②以O為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點P2∠P2OA=30°，點P③分別以O,P2為圓心，大于OP2長度一半的長為半徑作弧，相交于點E,F，連結(jié)EF與…④以P2為圓心，OP2的長為半徑作弧，與射線CB交于點D，連結(jié)OD交AB…(1)分別求點P3(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點P5，使該點表示37.5°（保留作圖痕跡，不寫作法）．題型10四邊形與中點綜合35．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，點M是AB邊的中點，點N是AD邊上任意一點，將線段MN繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°，點N旋轉(zhuǎn)到點N'，則△MBN'A．15 B．5+55 C．10+52 D36．（2024·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖（1），在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，連接BD，EF，求證：△BCD∽△FBE．問題探究：如圖（2），在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，點E是AB的中點，點F在邊BC上，AD=2CF，EF與BD交于點G，求證：問題拓展：如圖（3），在“問題探究”的條件下，連接AG，AD=CD，AG=FG，直接寫出EGGF

37．（2023·山東東營·中考真題）（1）用數(shù)學的眼光觀察．如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，P是對角線BD的中點，M是AB的中點，N是DC的中點，求證：∠PMN=∠PNM．（2）用數(shù)學的思維思考．如圖，延長圖中的線段AD交MN的延長線于點E，延長線段BC交MN的延長線于點F，求證：∠AEM=∠F．（3）用數(shù)學的語言表達．如圖，在△ABC中，AC<AB，點D在AC上，AD=BC，M是AB的中點，N是DC的中點，連接MN并延長，與BC的延長線交于點G，連接GD，若∠ANM=60°，試判斷△CGD的形狀，并進行證明．題型11四邊形與新定義問題38．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為22n+1-12n（1）概念理解：當n=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬（AD）與長CD的比值是_________．（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由39．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．40．（2024·陜西渭南·模擬預測）定義：在三角形中，把一邊的中點到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中垂距．例：如圖①，在△ABC中，D為邊BC的中點，AE⊥BC于E，則線段DE的長叫做邊BC的中垂距．(1)設三角形一邊的中垂距為dd≥0．若d=0，則這樣的三角形一定是，推斷的數(shù)學依據(jù)是(2)如圖②，在△ABC中，∠B=45°，AB=32，BC=8，AD為邊BC的中線，求邊BC(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．點E為邊CD的中點，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點F，連結(jié)AC．求△ACF中邊AF的中垂距．41．（2024·江蘇蘇州·二模）大家都知道黃金比的美，但是漫畫家創(chuàng)造一個可愛的漫畫形象時，通常會去選擇運用白銀比而非黃金比．因為白銀比例創(chuàng)造出來的形象要比用形黃金比例創(chuàng)造出的形象更憨態(tài)可掬，溫和可人．通過上網(wǎng)查閱資料，小希同學發(fā)現(xiàn)白銀比的定義：如圖1，點C把線段AB分成兩部分，如果ACBC=2，那么點C為線段AB的“白銀分割點”，如圖2，矩形ABCD中，BCAB=2，那么矩形應用：（1）如圖3，矩形ABCD是一張A4紙，AD>AB，將矩形邊AB翻折，使得點A的對應點落在BC上，將矩形邊CD翻折，使得點D的對應點落在BC上，折痕交于點O，再將∠ABO對折，發(fā)現(xiàn)AB與BO恰好重合，求證：矩形ABCD是“白銀矩形”．（2）如圖4，在（1）的條件下，矩形ABCD中，E為CD上一點，將矩形ABCD沿BE折疊，使得點C落在AD邊上的點F處，延長BF交CD的延長線于點G，說明點E為線段GC的“白銀分割點”．（3）已知線段AB（如圖5），作線段AB的一個“白銀分割點”．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要做法）題型12四邊形與閱讀理解類問題42．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654

①當原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H,G分別為AD,CD的中點，∴HG∥AC,HG=12AC

∴DNNM=DGGC．∵DG=GC，∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=12AC?DM=HG?DM任務：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

43．（2022·貴州黔東南·中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+A44．（2020·湖南湘潭·中考真題）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點O，請判斷ODOA、S（3）性質(zhì)應用：如圖（三），在正方形ABCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線AC于點M．①若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；②若S△CME=1，求正方形45．（2023·吉林白城·模擬預測）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖①，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC上．求證：以DE、【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接CE，根據(jù)已知條件，可以證明BD=CE，從而得出△DCE為鈍角三角形，故以DE、【拓展遷移】如圖②，四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，點E在BD上．①猜想：以DE、EF、②當BE2+E題型13與四邊形有關(guān)的新考法問題46．（2024·黑龍江綏化·一模）根據(jù)以下素材，探索完成任務．素材1圖①是寧寧家安裝的戶外遮陽篷．圖②是其側(cè)面示意圖，已知該遮陽篷安裝在垂直于地面BC的墻面上，篷面安裝點A離地面4米，篷面與墻面的夾角∠DAB=60°，篷面寬AD=3米．除此之外，為了保障遮陽篷的穩(wěn)定性，還加裝了支架MN穩(wěn)定篷面．支架MN的安裝方式如下：點M固定在墻面上，位于點A的正下方，即點A，M，B共線；點N固定在篷面上離A點1米處（點A，N，D共線），即AN=1米，支架MN與墻面的夾角∠AMN=45°．素材2寧寧所在地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角α（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表：時刻12點13點14點15點角α的正切值432.52素材3寧寧養(yǎng)了一株龍舌蘭（圖③），該植物喜陽，所以寧寧經(jīng)常把龍舌蘭搬到能被太陽光照射到的地方，以保證龍舌蘭有充足的光照，如圖②，這株龍舌蘭擺放的位置記為點E．任務1確定安裝點請求出支架MN的固定點M與A點的距離AM的長．任務2確定影子長請求出這天13點時遮陽篷落在地面上影子的長度．任務3判斷能否照射到這天14點，寧寧將龍舌蘭擺放到點E處，為了保證龍舌蘭能被太陽光照射到，請求出此時擺放點離墻角距離的取值范圍．47．（2024·廣東深圳·模擬預測）【問題提出】我們知道，利用尺規(guī)可以平分任意一個角，從而可以把一個角四等分、八等分…那么，能否用尺規(guī)三等分一個任意角呢？【查閱資料】古希臘數(shù)學家帕普斯結(jié)合反比例函數(shù)圖象，實現(xiàn)尺規(guī)作圖三等分任意角，方法如下：①如圖1，建立平面直角坐標系，將∠AOB的頂點O與原點重合，邊OB與x軸的正半軸重合，OA在第一象限內(nèi)；②在平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=1xx>0的圖象，圖象與OA交于點③以D為圓心、2OD長為半徑作弧，交函數(shù)y=1xx>0的圖象④分別過點D、E作x軸、y軸的平行線，兩線交于點P，連接OP，此時有∠POB=1【問題探究】小明在以上資料的啟示下，進行了如下探究，用尺規(guī)三等分一個角．如圖2，以線段AB中點O為原點，x軸的正方向與角的一邊BC平行，建立平面直角坐標系，過點B作y軸的平行線，在平行線上取一點M，連接MA并延長，與射線BC交于點N，記MN中點為Px,y（1）∠PBN與∠PNB的數(shù)量關(guān)系為：；（2）在探究過程中，小明發(fā)現(xiàn)取點A坐標為1,3時，點P坐標與點M坐標滿足下列表格關(guān)系：點M坐標(-1,4)(-1,5)(-1,6)(-1,7)(-1,9)點P坐標6,(3,1)2,3①請將表格補充完整，并嘗試在圖2給出的網(wǎng)格圖中描出點P的坐標，畫出它的大致圖象；②根據(jù)圖象猜想y關(guān)于x的關(guān)系式（不需要寫出x的取值范圍），并證明你的猜想；（3）若點A坐標為a,b，直接寫出y關(guān)于x的關(guān)系式：（不需要寫出x的取值范圍）．【問題解決】在圖2中，利用上述你畫出的圖象，用尺規(guī)作圖將∠ABC三等分，敘述作法并說明理由．48．（24-25九年級上·遼寧沈陽·期中）在平面直角坐標系中，若某函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形ABCD對角線的兩個端點，則定義該函數(shù)為矩形ABCD的“友好函數(shù)”，例如：如圖1，矩形ABCD，經(jīng)過點A-1,1和點C3,3的一次函數(shù)y=12x+32(1)如圖2，矩形ABCD的頂點坐標分別為A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函數(shù)y=kxx>0經(jīng)過點B，求反比例函數(shù)y=(2)矩形ABCD在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且點A的坐標為1,2，正比例函數(shù)y1=ax經(jīng)過點A，且是矩形ABCD的“友好函數(shù)”，反比例函數(shù)y2=kxx>0①如圖3，當OC>OA時，將矩形ABCD沿AC折疊，點B的對應點為E，若點E落在y軸上，求k的值；②設矩形ABCD的周長為y，求y關(guān)于k的函數(shù)表達式；③在②的條件下，當矩形ABCD的周長y=4時，設矩形ABCD的面積為S1；當矩形ABCD的周長y=8時，設矩形ABCD的面積為S2，請直接寫出49．（2024·河北·模擬預測）如圖1，嘉嘉用四個全等的直角三角形拼接了一個“趙爽弦圖”，其中大正方形ABCD的面積為25，小正方形EFGH的面積為1．（1）如圖2，連接DG，CF，（2）如圖3，連接AC，交BG于點P，交DE于點M，則S△AFP-50．（2024·河北·模擬預測）如圖1，平行四邊形的兩條鄰邊的長分別為a,ba<b，其中一內(nèi)角的度數(shù)為α，將兩個如圖1所示的平行四邊形按如圖2所示的方式擺放在邊長為b的菱形中，左上部為重疊部分，右下部為剩余部分（陰影部分），剩余部分的面積記為S1；將四個如圖1所示的平行四邊形按如圖3所示的方式擺放在邊長為a+b的菱形中，左上部與右下部均為剩余部分（陰影部分），面積分別記為（1）圖1中平行四邊形的面積為，圖3中S2的值為；（2）S1,S51．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠C=120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．(1)當∠BAF=30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=6+63，⊙O為△AEF的外接圓，設⊙O的半徑為r①求r的取值范圍；②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．題型14探究四邊形中線段存在的數(shù)量和位置關(guān)系52．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學活動課上，某小組將一個含45°的三角尺AEF利一個正方形紙板ABCD如圖1擺放，若AE=1，AB=2．將三角尺AEF繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α0°≤α≤90°【初步探究】如圖2，連接BE，DF并延長，延長線相交于點G,BG交AD于點M．問題1BE和DF的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________．【深入探究】應用問題1的結(jié)論解決下面的問題．問題2如圖3，連接BD，點O是BD的中點，連接OA，OG．求證OA=OD=OG．【嘗試應用】問題3如圖4，請直接寫出當旋轉(zhuǎn)角α從0°變化到60°時，點G經(jīng)過路線的長度．53．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，點D，E分別在AB，CB上，DB=EB，連接AE，CD，取AE中點F，連接BF(1)求證：CD=2BF，CD⊥BF；(2)將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請直接寫出BF與CD的位置關(guān)系：___________________；②求證：CD=2BF．題型15四邊形與三角形綜合54．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：

（1）取AB，AC的中點D，E，在邊BC上作MN=DE；（2）連接EM，分別過點D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足為G，H；（3）將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置；（4）延長PQ，ST交于點F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：①點Q，A，T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．【任務1】請你對結(jié)論①進行證明．【任務2】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，P，Q分別是AB，CD的中點，連接PQ．求證：【任務3】如圖3，有一張四邊形紙ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小麗分別取AB，CD的中點P，Q，在邊BC上作MN=PQ，連接MQ55．（2023·山東棗莊·中考真題）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC邊上的中線．如圖2，將△ABC的兩個頂點B，C分別沿EF,GH折疊后均與點D重合，折痕分別交AB,AC,BC于點E，G，F(xiàn)，

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿MN折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交AB,BC于點M，N，BM的對應線段交DG于點K，求四邊形MKGA的面積．56．（2024·遼寧大連·模擬預測）【問題呈現(xiàn)】如圖1，∠MPN的頂點在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，∠MPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E、F（點F與點C，D不重合）．探索線段DE、【問題初探】（1）愛動腦筋的小悅發(fā)現(xiàn)，通過證明兩個三角形全等，可以得到結(jié)論．請你寫出線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題引申】（2）如圖2，將圖1中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他條件不變，請你幫小悅得出此時線段DE、DF、AD之間的數(shù)量關(guān)系是；【問題解決】（3）如圖3，在（2）的條件下，當菱形的邊長為8，點P運動至與A點距離恰好為7的位置，且∠EPF旋轉(zhuǎn)至DF=1時，DE的長度為．57．（2024·廣西·模擬預測）實踐與探究：小明在課后研究正方形與等腰直角三角形疊放后各個線段間的數(shù)量關(guān)系．已知正方形ABCD的邊長為6，等腰Rt△AEF的銳角頂點A與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角形繞A點旋轉(zhuǎn)，AE，AF兩邊分別交直線BC，CD于M，N，旋轉(zhuǎn)過程中，等腰Rt△AEF的邊(1)如圖1，當M，N分別在邊BC，CD上時，小明通過測量發(fā)現(xiàn)BM+DN=MN，他給出了如下的證明：過A作AG⊥AM交CD延長線于G，連接AG，如圖2，易證△ABM≌△ADG，則有BM=DG(2)如圖3，當M，N分別在BC，CD的延長線上時，請直接寫出BM，DN，MN之間的數(shù)量關(guān)系；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰直角三角形的一邊正好經(jīng)過正方形BC邊上的中點P，求出此時MN的長．題型16四邊形與圓綜合58．（2024·湖南長沙·中考真題）對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切），可分為四種類型，我們不妨約定：既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形；只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；只有內(nèi)接圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．請你根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)請你判斷下列說法是否正確（在題后相應的括號中，正確的打“√”，錯誤的打“×”，①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；

（

）②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

（

）③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有R=2r．（(2)如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四條邊長滿足：AB+CD≠BC+AD．①該四邊形ABCD是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；②若∠BAD的平分線AE交⊙O于點E，∠BCD的平分線CF交⊙O于點F，連接EF．求證：EF是⊙O的直徑．(3)已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CD，AD分別相切于點E，①如圖2．連接EG，F(xiàn)H交于點P．求證：②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若OA=2，OB=6，OC=3，求內(nèi)切圓59．（2023·廣東·中考真題）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中(AB>AD)，對角線AC，BD相交于點O，點A關(guān)于BD的對稱點為A'，連接AA'交BD于點E，連接

(1)求證：AA'⊥CA'；(2)以點O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'=3②如圖3，⊙O與CA'相切，AD=1，求⊙O的面積．60．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）如圖（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在邊AB上，點F為邊OB中點，為以O為圓心，BO為半徑的圓分別交CB，AC于點D，E，聯(lián)結(jié)EF交OD于點G．

(1)如果OG=DG，求證：四邊形CEGD為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求邊OB的長；(3)聯(lián)結(jié)BG，如果△OBG是以OB為腰的等腰三角形，且AO=OF，求OGOD的值61．（2024·河北秦皇島·一模）中國元代數(shù)學家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角圖”．“方田一段，一角圓池占之”的意思為“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊相切）”．如圖1，在正方形AEBF中，⊙O與AE相切于點C，與AF相切于點D．（1）求證：圖1中的四邊形ACOD為正方形．（2）在圖1中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M，N（點N在點M的右上方），若AB的長度為12丈，⊙O的半徑為2丈，請求出BN的長度．操作與探究：如圖2，澤澤在一張正方形的卡片的對角線BD上選取一點O，以點O為圓心，OB的長為半徑畫圓，恰好與正方形ABCD的邊AD相切于點E，請利用（1）（2）中的知識回答下面的問題．（3）若OB=22，聰明的你知道AB題型17四邊形與函數(shù)綜合62．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標系中，點B，D是直線y=axa>0上第一象限內(nèi)的兩個動點OD>OB，以線段BD為對角線作矩形ABCD，AD∥x軸．反比例函數(shù)y=kx的圖象【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過點（2）如圖2，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E落在y軸上，且點B的坐標為1,2時，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應點為E．當點E，A重合時，連接AC交BD于點P．以點O為圓心，AC長為半徑作⊙O．若OP=32，當⊙O與△ABC的邊有交點時，求k63．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象C1與開口向下的二次函數(shù)圖象C2(1)求圖象C1(2)若圖象C2過點C0,6，點P位于第一象限，且在圖象C2上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象C2的另一個交點為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象C1的交點為M，N（N在M(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點，連接AD，過點A作AF⊥AD．交圖象C2于點F，連接EF，當EF∥64．（2023·江蘇泰州·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，點A(m，0)，B(m-a，0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y1=mx(x>0)、y2=m-ax(x<0)的圖像如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，AD邊與函數(shù)y1的圖像相交于點E，CD邊與函數(shù)y1、y2

(1)m=2，a=4，求函數(shù)y3的表達式及△PGH(2)當a、m在滿足a>m>0的條件下任意變化時，△PGH的