廣西桂林市2024-2025學年高三下學期開學質量檢測卷數(shù)學試卷 含解析

2025年春季高三開學質量檢測卷數(shù)學注意事項：1.答題前、考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂擇黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由并集運算的概念直接求解即可.【詳解】因為集合，，所以.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法運算法則計算可得結果.【詳解】易知.故選：B3.已知向量，，.若，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直坐標運算性質求解即可．【詳解】因為向量，，所以，所以，解得.故選：B.4.若，則（）A. B.6 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】由同角三角商的關系，弦化切即可求解；【詳解】.故選：D5.已知拋物線上一點P到焦點F的距離為12，則點P的橫坐標為（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式即可求解.【詳解】拋物線的焦點，準線.因為點到焦點的距離為12，所以點到準線的距離為，則.故選：C6.已知一個圓臺狀器皿（其厚度忽略不計）的下底面半徑為3cm，上底面半徑為9cm，容積為cm3，則該器皿的高為（）A.8cm B.9cm C.13cm D.10cm【答案】D【解析】【分析】利用圓臺體積公式計算解方程可得結果.【詳解】設該器皿的高為，易知上、下底面面積分別為；由題意可得，解得故選：D.7.在△ABC中，內角的對邊分別為，，，，為BC邊上一點，且，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由即可求解；【詳解】根據(jù)題意得，則，解得.故選：D8.已知集合，若函數(shù)（，）有極值，則滿足條件的共有（）A.121個 B.360個 C.396個 D.432個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用導數(shù)求出有極值的值，再利用分步乘法計數(shù)原理計算得解.【詳解】函數(shù)定義域為R，求導得，由函數(shù)有極值，得函數(shù)有變號零點，則，解得，，由，得，而，所以滿足條件的共有個.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關于雙曲線，下列命題是真命題的是（）A.實軸長為2 B.焦點坐標為C.離心率為 D.漸近線方程為【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線方程得到，即可求解雙曲線的實軸長、焦點坐標、離心率及漸近線方程.詳解】對于雙曲線，，，則，所以雙曲線的實軸長為，焦點坐標為，離心率為，漸近線方程為，即，故選項AC為真命題.故選：AC.10.已知函數(shù)則關于x的方程（為常數(shù)，且）的實數(shù)解的個數(shù)可能為（）A.4 B.1 C.8 D.7【答案】ABD【解析】【分析】先做出函數(shù)的大致圖象，設，則，先根據(jù)的跟的個數(shù)及根的范圍分類，再迭代求的個數(shù)即可.【詳解】畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，設，則可化為，如圖，，，當時，有1個根，即，此時方程有1個根；當時，有2個根，，時有3個根，時有1個根，此時方程有4個根；當時，有3個根，，，當時有3個根，當時有3個根，當時有1個根，此時方程有7個根；當時，有3個根，，，，當時有3個根，當時有2個根，當時有1個根，此時方程有6個根.當時，有3個根，，，當時有3個根，當時有1個根，當時有1個根，此時方程有5個根；當時，有3個根，，，當時有0個根，當時有1個根，當時有1個根，此時方程有2個根；當時，有1個根，，當時有1個根，此時方程有1個根；當時，有0個根，此時方程有0個根；故方程的實數(shù)解的個數(shù)可能為0或1或2或4或5或6或7，故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考慮的圖象的特殊點，設，則，根據(jù)根的個數(shù)和范圍分類即可.11.如圖，在棱長為10正方體中，P，H分別為棱，AD的中點，K是棱上任意一點，則（）A.平面BCKB.C.向量在向量上的投影向量為D.該正方體內可以裝入1186個直徑為1的小球【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理判斷A；根據(jù)線面垂直的性質定理判斷B；結合數(shù)量積的運算律，根據(jù)投影向量的概念判斷C；通過直觀想象，由下至上第一層小球有個，第二層小球有個，奇數(shù)層均有100個，偶數(shù)層均有81個，結合上下兩層相鄰5個球的球心構成正四棱錐并求高，再確定層數(shù)，最后求解小球個數(shù)判斷D.【詳解】由正方體的性質知，因為平面，平面BCK，所以平面BCK，A正確.連接，.由正方體的性質易得，平面，所以，，所以平面，平面，所以，B正確.，，，則向量在向量上的投影向量為，C錯誤.由題意，由下至上第一層小球有個，第二層小球有81個，奇數(shù)層均有100個，偶數(shù)層均有81個，第一層與第二層中5個相鄰球的球心構成的一個棱長都為1的正四棱錐，該四棱錐的高為，假設共有層小球，則總高度為，令，解得.因為，所以，小球共有13層，相鄰兩層小球共有個，所以該正方體內可以裝入1186個直徑為1的小球，D正確.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是C選項中小球的個數(shù)問題，要分析清楚每層的球的個數(shù)以及一共幾層，有較強的空間想象能力和推理能力是解決此類問題的關鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)（）的最小正周期為，則______.【答案】8【解析】【分析】直接由最小正周期公式求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，解得.故答案為：.13.現(xiàn)有一批同規(guī)格的羽毛球，由A，B，C三家工廠生產，其中A，B，C三家工廠分別生產3000個、4000個、3000個.A，B，C三家工程的次品率依次為0.02，0.04，0.03.現(xiàn)從這批羽毛球中任取一個，則這個羽毛球的次品的概率為______.【答案】0.031【解析】【分析】設任取一件羽毛球來自廠為事件、來自廠為事件、來自廠為事件，根據(jù)題意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出從中任取一件，取到次品的概率.【詳解】設任取一件羽毛球來自廠為事件、來自廠為事件、來自廠為事件，則彼此互斥，且,，設任取一件羽毛球，取到的是次品為事件，則.故答案為：.14.已知曲線C的方程為（），O為坐標原點，A為曲線C上任意一點，則線段OA長度的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)及求得，然后利用兩點間的距離公式表示，最后利用導數(shù)研究其最值，即可得解.【詳解】由題設得，因為，所以，解得.設，，則，令，，則，令，得或或.當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.，，，，所以的最小值為1，最大值為4，故線段OA長度的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：求出的表達式后，利用導數(shù)法研究其值域是解決本題的關鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式的基本量運算求出公差，進而求解通項公式即可.（2）先利用裂項相消法求得，然后求解前項積即可.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得，則，所以的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以.16.春節(jié)將至，某商家統(tǒng)計了去年某商品的日營銷費用x（單位：百元）與日銷售量y（單位：百件），為今年的營銷方案制定提供相關的數(shù)據(jù)參考，得到的數(shù)據(jù)如下表：日營銷費用x/百元23456日銷售量y/百件11.11.51.82.1已知y與x線性相關.（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求y關于x的經驗回歸方程；（2）請利用（1）中的經驗回歸方程，試估計當今的日銷售費用為1000元時，日銷售量為多少百件.參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)（）.其經驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】（1）（2）3.24百件【解析】【分析】（1）求出的平均值，利用給定公式計算可求出y關于x的經驗回歸方程；（2）將代入回歸方程即可估算出結果.【小問1詳解】，，則，所以故關于的經驗回歸方程為.【小問2詳解】將代入，得，故當今年的日營銷費用為1000元時，日銷售量約為3.24百件.17.如圖，在多面體ABCDEF中，，，D為AC的中點，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABC.（1）證明：.（2）若平面AEF與平面BFC的夾角為，求DE的長.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，利用面面垂直進而得到平面ABC，進而可得結論；（2）以D為坐標原點，DA，DB，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設，求得平面平面AEF的一個法向量，平面BFC的一個法向量為，利用向量的夾角公式可求得.【小問1詳解】因為四邊形BDEF是矩形，所以.因為平面平面ABC，平面平面，平面BDEF，所以平面ABC.平面ABC，所以.【小問2詳解】由（1）知平面ABC，因為為AC的中點，所以.以D為坐標原點，DA，DB，DE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.設，則，，，，，所以，，，.設平面AEF的法向量為，則，令，則，所以平面AEF的一個法向量.設平面BFC的法向量為，則，令，則，所以平面BFC的一個法向量為.因為平面AEF與平面BFC的夾角為，所以，解得，即.18.已知橢圓（）的離心率為，，分別是橢圓的左，右焦點.過點且斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點.的周長為8.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線l的斜率為1，求線段AB的長；（3）若點P在橢圓上，且，試問是否存在直線l，使得的重心在y軸上？若存在，請求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或或【解析】【分析】（1）運用橢圓定義，結合離心率公式計算即可；（2）直曲聯(lián)立，運用弦長公式計算即可；（3）設直線l的方程為.直曲聯(lián)立，借助韋達定理和中點坐標公式得到,根據(jù)重心坐標公式，求得，進而得，求出，代入橢圓方程，解得，得到直線即可.【小問1詳解】因為的周長為8，所以，得.因為橢圓的離心率為，所以，，故橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由題意，，，所以直線的方程是，設，.由得，所以，，所以.【小問3詳解】設直線l的方程為.由得，.設，，，線段AB的中點為H，則，，.若△ABP的重心在y軸上，則，即，所以.由，得，解得，所以，因為點P在橢圓上，所以，解得或.故存在直線l，使得△ABP的重心在y軸上，其方程為或或.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的定點、定值問題是考查的重點，一般難度較大，計算較復雜，考查較強的分析能力和計算能力.求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時，要將問題合理的進行轉化，轉化成易于計算的方向.19.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設函數(shù)，且函數(shù)的圖象與的圖象關于直線對稱.①若不等式對恒成立，求t的取值范圍；②過點可以作曲線的兩條切線，切點為，，，證明：.【答案】（1）（或）（2）①②證明見解析【解析】【分析】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，（2）分離參數(shù)，構造函數(shù)，即可求導確定函數(shù)的單調性求解①，②構造函數(shù)，，利用導數(shù)求解單調性即可求解.小問1詳解】由題意可得，由，得，則曲線在處的切線方程為，即，【小問2詳解】由題意得，則.①不等式即，令，則.當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，則，所以，即的取值范圍是.②證