專題10圓（解析版）

更多更新資料詳情加微：xiaojuzi9598或zhixing16881專題10圓的有關計算與證明一、單選題1．（2024·福建·中考真題）如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質，根據(jù)C為的中點，三角形內(nèi)角和可求出，再根據(jù)切線的性質即可求解．【詳解】∵，為的中點，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．2．（2023·福建·中考真題）我國魏晉時期數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計的面積，可得的估計值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得的估計值為（）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質可得，根據(jù)30度的作對的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設圓的半徑為1，如圖為其中一個等腰三角形，過點作交于點于點，∵，∴，則，故正十二邊形的面積為，圓的面積為，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計的面積可得，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質，30度的作對的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關鍵．3．（2021·福建·中考真題）如圖，為的直徑，點P在的延長線上，與相切，切點分別為C，D．若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OC，CP，DP是⊙O的切線，根據(jù)定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可．【詳解】解：連接OC，CP，DP是⊙O的切線，則∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴==故選：D．【點睛】本題利用了切線的性質，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關系求解．4．（2020·福建·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，為中點求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【詳解】∵為中點，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四邊形內(nèi)接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故選：A．【點睛】此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質：對角互補．二、填空題5．（2020·福建·中考真題）一個扇形的圓心角是，半徑為4，則這個扇形的面積為．（結果保留）【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積公式進行計算即可求解．【詳解】解：∵扇形的半徑為4，圓心角為90°，∴扇形的面積是：．故答案為：．【點睛】本題考查了扇形面積的計算．熟記扇形的面積公式是解題的關鍵．三、解答題6．（2024·福建·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．(1)求的值；(2)求證：；(3)求證：與互相平分．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）先證得，再在中，．在中，，可得，再證得結果；（2）過點作，交延長線于點，先證明，可得，再證得，再由相似三角形的判定可得結論；（3）如圖，連接，由（2），可得，從而得出，從而得出，得出，再上平行線判定得出，再證得，從而得出四邊形是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質可得結果．【詳解】（1），且是的直徑，．，在中，．，在中，．，；（2）過點作，交延長線于點．．，，．，，，，，．，，，．（3）如圖，連接．是的直徑，．，．由（2）知，，，，．．，．由（2）知，，．，，，四邊形是平行四邊形，與互相平分．【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、圓的基本性質等基礎知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉化思想等．7．（2023·福建·中考真題）如圖，已知內(nèi)接于的延長線交于點，交于點，交的切線于點，且．(1)求證：；(2)求證：平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由切線的性質可得，由圓周角定理可得，即，再根據(jù)平行線的性質可得，則根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；（2）由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質可得，進而得到，再結合得到即可證明結論．【詳解】（1）證明是的切線，，即．是的直徑，．∴．，，，即，．（2）解：與都是所對的圓周角，．，，．由（1）知，，平分．【點睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質、圓周角定理、切線的性質等知識點，靈活運用相關性質定理是解答本題的關鍵．8．（2022·福建·中考真題）如圖，內(nèi)接于⊙O，交⊙O于點D，交于點E，交⊙O于點F，連接．(1)求證：；(2)若⊙O的半徑為3，，求的長（結果保留π）．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得，等量代換可得，即可得出答案；（2）連接，由（1）中結論可計算出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計算出的度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式計算即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴．（2）解：連接，如圖，由（1）得，∵，∴，∴的長．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，圓的性質與弧長公式，考查化歸與轉化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學素養(yǎng)．9．（2022·福建·中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求的值．【答案】(1)作圖見解析(2)【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，再判定，根據(jù)，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值為．【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又，∴四邊形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值為．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質，全等三角形的判定和性質，正方形的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關鍵．10．（2020·福建·中考真題）如圖，與相切于點，交于點，的延長線交于點，是上不與重合的點，．（1）求的大小；（2）若的半徑為3，點在的延長線上，且，求證：與相切．【答案】（1）60°；（2）詳見解析【分析】(1)連接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，進而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可以求出∠BED的值；(2)連接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，進而得到∠FOD=60°，再證明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．【詳解】解：(1)連接，∵與相切于點，∴，∵，∴，∴，則．由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知：．故答案為：．(2)連接，由(1)得，，∵，，∴，∴，∴．在與中，∴，∴．又點在上，故與相切．【點睛】本題考查圓的有關性質、直線與圓的位置關系、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、全等三角形的判定和性質，熟練掌握其性質是解決此類題的關鍵．一、單選題1．（2024·四川樂山·二模）如圖，是的外接圓，是直徑，平分，，則的半徑為（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的定義，同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角等于，連接，由角平分線的定義可得出，由同弧或等弧所對的圓周角相等得出，進而可得出，由直徑所對的圓周角等于得出，用勾股定理求出，即可求出的半徑．【詳解】解：連接，∵平分，∴，∴，∴，∵是直徑，∴，在中，，∴的半徑為，故選：C．2．（2024·福建廈門·二模）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點在上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正多邊形和圓，圓內(nèi)接四邊形的性質，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解決問題的關鍵．先由正多邊形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質即可求出．【詳解】解：正五邊形內(nèi)接于，，四邊形是內(nèi)接四邊形，，，故選：D．3．（2024·福建龍巖·模擬預測）如圖，是半徑為6的半圓上的兩個點，是直徑，，若的長度為，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、扇形面積公式、弧長計算，連接，由等邊對等角結合平行線的性質得出，證明得出，從而得出，設，利用弧長公式得出，得到，最后由計算即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，，，，，設，的長度為，，解得：，，，，，故選：C．4．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，正方形內(nèi)接于為的中點，直線交于點，如果的半徑為，則的長度為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】連接，，，如圖所示，根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質，等腰直角三角形的邊角關系，在中得到，在中，由勾股定理求出，再由三角形相似的判定與性質，得到，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接，，，如圖所示：正方形內(nèi)接于，點是的中點，，，在中，，，則，在中，，，則，，，，，即，，解得．故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓，正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，掌握圓內(nèi)接正方形的性質，等腰直角三角形的邊角關系，勾股定理，相似三角形的判定與性質是正確解答的關鍵．5．（2024·福建廈門·二模）如圖，點A、B、C在上，，過點C作的切線交的延長線于點D，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓的切線的性質，同弧所對圓周角和圓心角的關系，掌握同弧所對圓周角是圓心角的一半是解答本題的關鍵．連接，根據(jù)同弧所對圓周角和圓心角的關系，求出的度數(shù)，再根據(jù)為的切線，得到，再求出的大小即可．【詳解】解：如圖，連接，∵為的切線，∴，∵，是所對的圓周角和圓心角，，∴，∴，故選：C．6．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，O是邊上一點，以點O為圓心，為半徑作圓O，恰好與相切于點D，連接．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查切線的性質，相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意作輔助線是解決問題的關鍵．連接，證明，得出，則，由得出結論．【詳解】解：連接∵恰好與相切于點D∴又∴∴∵∴∴故選：B．7．（2024·福建漳州·二模）如圖，是四邊形的外接圓，連接，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質求出，根據(jù)圓周角定理計算即可．【詳解】解：四邊形內(nèi)接于，，，由圓周角定理得，，故選：D．8．（2024·福建福州·三模）如圖，是的直徑，，是的弦，交于點，且，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直徑所對的圓周角等于可得出，由三角形內(nèi)角和得出，設，由圓周角定理可知，由等邊對等角可得出，由對頂角相等可得出，由三角形內(nèi)角和定理可得出關于x的一元一次方程，求解出，再利用三角形內(nèi)角和定理可得出的度數(shù)．【詳解】解：是的直徑，．，．設，則，，，，，解得，，．故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應用，等邊對等角等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．9．（2024·福建三明·三模）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為4，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應用，熟記正六邊形的性質是解本題的關鍵．如圖，連接，標注直線與圓的交點，由正六邊形的性質可得：A，O，D三點共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，標注直線與圓的交點，由正六邊形的性質可得：A，O，D三點共線，為等邊三角形，∴，∴，∴扇形與扇形重合，∴，∵為等邊三角形，，過O作于K，∴，∴；故選：C．10．（2024·福建·三模）如圖，過外一點作圓的切線，，點為切點，為直徑，設，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了切線的性質，等邊對等角，三角形外角的性質，四邊形內(nèi)角和定理．連接，由切線的性質可得，由四邊形內(nèi)角和定理得到，再由等邊對等角和三角形外角的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

由切線的性質可得，∵，∴，∵，∴，故選：C．11．（2024·福建廈門·二模）如圖，已知中，，閱讀以下作圖步驟：①分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；②連接交于點G；③以點G為圓心，的長為半徑作弧交于點P，連接．根據(jù)以上作圖步驟，下列推理正確的是（

）A．∵平分，∴B．∵垂直平分，∴C．∵點P在以為直徑的圓上，∴D．∵點P在以為直徑的圓上，∴點P在直線上【答案】C【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線及其性質，圓周角定理的應用，根據(jù)的線段的垂直平分線與圓周角定理逐一分析即可．【詳解】解：∵為直徑，∴，即，∵，∴平分，故A不符合題意；∵不一定在上，∴錯誤，故B不符合題意；∵點P在以為直徑的圓上，∴，故C符合題意；∵點P在以為直徑的圓上，∴點P不一定在直線上，故D不符合題意；故選C12．（2024·福建廈門·二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用．如圖，筒車的半徑為2m，筒車上均勻設置了12個盛水筒，其中A，B，C是相鄰的三個盛水筒，在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速運動．通過觀察，當A離開水面時，C恰好開始進入水中，每個盛水筒經(jīng)過水流用時3秒，離開水面6秒后水開始倒出，為使接水槽能夠盡可能多地接到水，則接水槽距離水面的最大高度是（

）A． B． C．2m D．3m【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理的應用，勾股定理的應用．作出圖形，求得是等邊三角形，證明在同一直線上，利用圓周角定理和勾股定理即可求解．【詳解】解：接水槽距離水面的最大高度是指盛水筒離開水面開始倒水的位置，如圖，直線表示接水槽距離水面的最大高度的位置，即盛水筒A恰好轉到的位置倒水，直線表示水面，筒車的圓心為，則，由題意得，∴，∴是等邊三角形，，∵每個盛水筒經(jīng)過水流用時3秒，離開水面6秒后水開始倒出，∴，∴，∵，∴點在同一直線上，∴為直徑且，∴，∴，∴接水槽距離水面的最大高度是，故選：B．13．（2024·福建寧德·一模）如圖，是的直徑，過圓上一點作的切線，交的延長線于點，若，的半徑為2，則的長是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本題主要考查了圓的切線的性質，三角函數(shù)，勾股定理，連接，利用切線的性質得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質由求出，即可解決問題．【詳解】解：連接，是的切線，，，，在中，，，故選：A．14．（2024·福建三明·二模）為半圓O的直徑，現(xiàn)將一塊含30°的直角三角板如圖放置，30°角的頂點P在半圓上，斜邊經(jīng)過點B，一條直角邊交半圓O于點Q．若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，扇形的弧長公式，構造扇形求弧長是解題的關鍵．連接，根據(jù)圓周角定理求的度數(shù)，根據(jù)扇形的弧長公式求解即可．【詳解】連接，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∴故選：C．15．（2024·福建福州·一模）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形的邊固定，向右推動該正五邊形，使得為的中點，且點在以點為圓心的圓上，過點作的切線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正多邊形，切線的性質，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質，正確地找出輔助線是解題的關鍵．連接，先求出，根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)切線的性質得到，于是得到結論．【詳解】解：連接，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵點作的切線，∴，∴，故選：B．二、填空題16．（2024·福建廈門·二模）傳統(tǒng)服飾日益受到關注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中長度為米，裙長為0.6米，圓心角，則馬面裙的面積為平方米．【答案】【分析】本題考查了弧長公式，扇形的面積公式．由題意知，，求得，得到米，由馬面裙的面積，結合扇形的面積公式計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，解得，∵裙長為米，∴米，∴馬面裙的面積．故答案為：．17．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，點是矩形的邊的中點，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，若，矩形的面積為8，則圖中扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查矩形的性質，一元二次方程的應用，扇形的面積公式等知識，利用得到，設，則，，根據(jù)“矩形的面積為8，”建立方程求解，求出的值，得到，最后利用，扇形的面積公式求解，即可解題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，點是邊的中點，，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點，，，，即，整理得，設，則，，矩形的面積為8，，解得，，圖中扇形的面積為．故答案為：．18．（2024·福建莆田·一模）一個扇形的半徑為4，圓心角是，該扇形的弧長是．【答案】【分析】本題考查了弧長．熟練掌握弧長的計算公式是解題的關鍵．根據(jù)弧長的計算公式求解作答即可．【詳解】解：由題意知，扇形的弧長為，故答案為：．19．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，四邊形內(nèi)接于，的半徑為3，，則的長是．【答案】【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質，圓周角定理，弧長計算，解題的關鍵是熟練掌握弧長公式，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質，求出，再根據(jù)圓周角定理求出，最后根據(jù)弧長公式求出結果即可．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∴，∴，故答案為：．20．（2024·福建泉州·三模）如圖，點為軸上一點，點C在函數(shù)的圖象上，軸切于點．若、、三點恰好在同一直線上，的面積為，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)點的坐標特征，切線的性質，三角形面積等知識點，構造三角形面積的等式是解題的關鍵．根據(jù)點在反比例函數(shù)上設，表達出三角形的底和高，再利用三角形的面積公式建立等式求解即可．【詳解】解：∵點在函數(shù)的圖象上，∴設，∵軸切于點，∴軸，∴，，則點到的距離為，∵為的直徑，∴，∴，解得：；故答案為：．21．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦是小圓的切線，點P為切點．若大圓半徑為2，小圓半徑為1，則的長為．【答案】【分析】連接，根據(jù)切線性質，利用勾股定理，垂徑定理計算即可．本題考查了切線性質，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵．【詳解】解：如圖：連接，∵弦是小圓的切線，點P為切點，∴，∴，在中，∴．故答案為：．22．（2024·福建廈門·模擬預測）如圖，在中，是優(yōu)弧上一點，，連接，，延長交于點，則圖中角度大小為的角是．【答案】【分析】本題主要考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義與性質等知識，根據(jù)圓周角以及三角形的相關知識確定圖中各個角的數(shù)量關系即可作答．【詳解】連接，如圖，∵是優(yōu)弧上一點，，∴，即：，∵，，∴，∴，∴結合圖形有：，，∴，∵，∴，即可以確定角度大小為的角為：，故答案為：．23．（2024·云南昆明·一模）草鍋蓋，又名蓋頂，是一種以牛筋草、江邊草和斑茅草為原材料進行編織纏繞的云南特有的傳統(tǒng)草編工藝品．某興趣小組根據(jù)草鍋蓋的特征制作了一個圓錐模型，并用測量工具測量其尺寸，如圖所示，由圖中的數(shù)據(jù)可知圓錐模型的側面積為．【答案】【分析】本題考查了求圓錐的側面積，勾股定理，牢記公式是解題的關鍵．根據(jù)題意得到圓錐的底面半徑為4，高為3，然后利用勾股定理求出母線長，然后利用圓錐側面積公式求解即可．【詳解】根據(jù)題意得，圓錐的底面半徑為4，高為3∴母線長為∴圓錐模型的側面積為．故答案為：．24．（2024·福建福州·二模）如圖，是半圓O的直徑，點C（不與點O重合）在上．過點C作交半圓O于點D，連接，過點C作于點E，設，，則圖中長度一定等于的線段是．【答案】/【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，圓周角定理，由，推出，得到，求出，由，推出，即可求出．【詳解】解：∵是半圓O的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵于點E，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．25．（2024·陜西·模擬預測）如圖，分別以等邊三角形的頂點A，B，C為圓心，以長為半徑畫弧，我們把這三條弧組成的封閉圖形就叫做圓弧三角形．若，則圓弧三角形的周長為．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質，弧長公式，根據(jù)弧長公式計算出每段弧的長度，即可求出圓弧三角形的周長．理解題意求出一段弧的長度是解題的關鍵．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵半徑都為的長，∴這三段弧的長度相等，∴每段弧的長度為：，∴圓弧三角形的周長為，故答案為：．三、解答題26．（2024·福建南平·二模）如圖，為的直徑，E為的延長線上一點，是的切線，切點為C，過點A作，交延長線于點D，連接，．(1)求證：；(2)已知，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線性質，圓周角定理，三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）連接，先得出，即可得出；（2）設半徑為r，則，，先求出，再根據(jù)直角三角形的性質即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接．是的切線，，，即，為的直徑，，即，，，，．（2）解：設半徑為r，則，，在中，，，，，在中，，．27．（2024·福建莆田·一模）（1）如圖，在銳角的外部找一點，使的面積與的面積相等且點在以為直徑的圓上，請用尺規(guī)作圖的方法確定點的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（）中，若以為直徑的圓上與相交于點，若，且，求弧的長．【答案】（）作圖見解析；（）．【分析】（）先作的垂直平分確定的中點，再以點為圓心，為半徑作圓，然后作交于點；（）連接，先證明為等腰直角三角形得到，再由（）作法得，利用三角形內(nèi)角和計算出，則可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式計算；本題考查了尺規(guī)作圖，等邊三角形和等腰三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，弧長計算公式，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（）如圖，點為所求；（）連接，如圖，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，由（）作法得，∵，∴，∵，∴為等邊三角形,∴，∴弧的長度，故答案為：．28．（2024·福建廈門·二模）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點，連接，過點作．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點作的切線，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡，標明字母）(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．【答案】(1)見詳解(2)5【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點作的垂線，交于點，即可求解；（2）先證明，得到，設，再利用勾股定理可得，解方程即可．【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示．．（2）解：，．又，，．點在以為直徑的圓上，，．又為的切線，．，，，．在和中，．，，設，，，，解得：，的半徑為5．【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質與判定，勾股定理的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．29．（2024·福建福州·模擬預測）某學校的學習團隊計劃在摩天輪上測量一座寫字樓的高度．【素材一】如圖1，摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上．擬測算的寫字樓與摩天輪在同一平面內(nèi)．【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和鉛錘，制作測角儀器（如圖2）．【素材三】若學生身高和轎廂大小忽略不計，如圖3，摩天輪的最高高度為128米，半徑為60米，該團隊分成三組分別乘坐1號、4號和10號轎廂，當1號轎廂運動到摩天輪最高點時，三組隊員同時使用測角儀觀測寫字樓最高處D點，觀測數(shù)據(jù)如表（觀測誤差忽略不計）．1號轎廂測量情況4號轎廂測量情況10號轎廂測量情況【任務一】初步探究，獲取基礎數(shù)據(jù)（1）如圖3，設1號轎廂運動到最高點A時，4號轎廂位于B點，連接，則______；（2）求出1號轎廂運動到最高點時，4號轎廂所在位置B點的高度．（結果保留根號）【任務二】推理分析，估算實際高度（3）根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，計算寫字樓的實際高度．（結果用四舍五入法取整數(shù)，）【答案】（1）45；（2）米；（3）寫字樓的實際高度約為82米【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，圓周定理，將實際問題轉化為數(shù)學模型是解題的關鍵．（1）由題可知，摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個橋廂，因此；（2）過點作于點，由題可知，點此時的高度為最高為128米，半徑為60米，因此點高度為68米，根據(jù)，，可得，即可；（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過點作于點，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此點的高度為：（米，即可．【詳解】解：（1）連接、，如下圖所示：“海之躍”摩天輪共有24個轎廂，均勻分布在圓周上，其中包含了3個橋廂，，故答案為：45．（2）過點作于點，點此時的高度為最高為128米，半徑為60米，點高度為68米，，，，點的高度為米，答：點的高度為米．（3）連接，，，由素材1，素材3可得，，則，過點作于點，令，由素材2，素材3的4號轎廂測量情況和10號轎廂測量情況得：，，，即，點的高度為：（米，答：寫字樓的實際高度約為82米．30．（2024·福建福州·模擬預測）如圖，在中，．(1)求作分別與，相切，使得圓心O落在上，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，，求的值．【答案】(1)畫圖見解析(2)【分析】（1）作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，則即為所求；（2）由（1）得：，，，結合，，由面積可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，作的角平分線，過作的垂線，垂足為，以為圓心，為半徑畫圓，作于M，由角平分線的性質可得：到的距離為圓的半徑，∴是的切線，即，由作圖可得：是的切線，∴即為所求．（2）解：由（1）得：，，，∵，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是作角平分線，作垂線，作圓，切線的判定，角平分線的性質，銳角的正切的含義，熟練的作圖是解本題的關鍵．31．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在中，，點在邊上，且，過點作交的延長線于點，以點為圓心，的長為半徑作交于點．(1)求證：是的切線．(2)若的半徑為，，求線段的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（）過點作，垂足為．由題意得，進而得，由，得，問題得證；（）由勾股定理求得，證明，即可求解．【詳解】（1）證明：過點作，垂足為．∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，即為的半徑，∴是的切線．（2）解：的半徑為，，∴，，在中，由勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，角平分線性質定理，切線的判定等知識．熟練掌握切線的判定及相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．32．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在中，是鈍角．

(1)尺規(guī)作圖：在上取一點，以為圓心，作出，使其過、兩點，交于點，連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，若，，．①求證：是的切