2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題+答案

2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題(考試時(shí)間：2023年5月21日上午9:30--12:00)一、填空題(每小題7分，共56分)1、用12種不同的動(dòng)物圖案制作成一些動(dòng)物卡片，使得每張卡片上都有其中的4種不同的動(dòng)物圖案，且制作過(guò)程中要求任取的兩張卡片有且僅有一種動(dòng)物是相同的，則最多能制作的卡片數(shù)量為2、已知點(diǎn)A(1,3),B(5,4),C(3,7),D(7,1),E(10,2),F(8,6),若直線(xiàn)1與△ABC內(nèi)(包括邊界)點(diǎn)的最短距6、若銳角A,B,C滿(mǎn)足sin2A+sin2B+sin2C=2,則的最小二、解答題(共64分)10、(15分)設(shè)正數(shù)列a滿(mǎn)足,且a?=1.(1)求數(shù)列a,的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意互不相同的正整數(shù)b?,b?,…,b,都有12、(20分)如果直角三角形的三邊是兩兩互素的正整數(shù)，則稱(chēng)這種直角三角形為本原直角三角形.I≤n≤20232023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題參考答案(考試時(shí)間：2023年5月21日上午9:30--12:00)一、填空題(每小題7分，共56分)且制作過(guò)程中要求任取的兩張卡片有且僅有一種動(dòng)物是相同的，則最多能制作的卡片數(shù)量為解：將12種不同的動(dòng)物圖案編號(hào)為1,2,…,12,如果考慮相同的一種動(dòng)物是1號(hào)，最多有3種，2、已知點(diǎn)A(1,3),B(5,4),C(3,7),D(7,1),E(10,2),F(8,6),若直線(xiàn)l與△ABC內(nèi)(包括邊界)點(diǎn)的最短距離等于直線(xiàn)l與△DEF內(nèi)(包括邊界)點(diǎn)的最短距離，則直線(xiàn)l的方程為解：4ABC內(nèi)(包括邊界)的點(diǎn)與△DEF內(nèi)(包括邊界)點(diǎn)的最短距離為B到DF的中點(diǎn)解：f'(x)=1+In(x+1)>0,,所以函數(shù)f(x)=(x+1)In(x+1)6、若銳角A,B,C滿(mǎn)足sin2A+sin2B+sin2C=2,則的最小值當(dāng),等號(hào)成立，即7、設(shè)A,B為雙曲線(xiàn)W:與實(shí)軸的交點(diǎn)，P(0,1)為雙曲線(xiàn)外一點(diǎn)，PA,PB分別交雙曲線(xiàn)于另一點(diǎn)C,D,過(guò)C,D的切線(xiàn)相交于Q,若4QCD是一個(gè)正三角形，且面積則雙曲線(xiàn)W的方程解：設(shè)A(-a,0),B(a,0),C(-asecα,btanα),D(asec從而PB的直線(xiàn)方程9于是有btanα=-secα+1(1),聯(lián)立(1)可得再由1+tan2α=sec2α得b2=2√3a-1,9a2+4√3a-4=0從而所以雙曲線(xiàn)W的方程8、有8塊不同的積木，每塊積木的形狀為方形或者圓形，顏色為紅色或者黃色，印有城市名為南昌或者北京，從8塊不同的積木中按順序任取n塊積木(2≤n≤8),Dn表示后一次與前一次取出的積木在形狀，顏色，城市名三個(gè)方面恰好有兩個(gè)相同的所有不同取法總數(shù)，則解：計(jì)數(shù)方法等價(jià)于六面體A?A?A?A?A?A?A?A?中作取一點(diǎn)沿邊走n(2≤n≤8)步的不同走法，其中A?(1,1,1),A?(2,1,1),A?(2,2,1),A?(1,2,1),A?(1,2,2),A?(1,1,2),A?(2,1,2),A?(2,2,2),故D?=8·(1+1+1)=24,D?=8·3·2=48,D?=8·3·2·2=96,D?=8·3·2·1·1+8·3·2·1·2=48+96=144,D?=8·3·2·1·1·2+8·3·2·1·1·2+8·3·2·1·1·1=96+96+48=240,D?=8·3·2·1·1·2·1+8·3·2·1·2·1·1=96+96=192,D8=8·3·2·1·1·2·1·1+8·3·2·1·1·1·1·1=48+96=144,即D?=24,D?=48,D?=96,D?=144,D?=240,D?=192,D?=144,所以m二、解答題(共64分)9、(14分)設(shè)a≥c,b≥c,c>0.證明：√c(a-c)+√c(b-c)≤√ab,并確定等號(hào)成立的條件.等號(hào)成立時(shí)10、(15分)設(shè)正數(shù)列a滿(mǎn)足,且a?=1.(1)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)任意互不相同的正整數(shù)b?,b?,…,bn都有解：(1)由及正數(shù)列的條件可得歸納假設(shè)下證n+1的情況如下：代入歸納假設(shè)a,可得：解得將(1)代入(2)得λAB2+λAD2=λAE·AC,即AB2+AD2=AC·AE.故(a-b,b)=1,再由b(a-b)=2n=2r+1p{p2…Plk所以an=2k(k是n的大于1的奇素因子的個(gè)數(shù)).(2)2023=7·172,a2023=22=4,再由b(a-b)=2n=2·7·172.令b=2,a-b=2023得b=2,a=2025,從而(x,y,z)=(410令b=14,a-b=289,得b=14,a=303,