高考數(shù)學(xué)《學(xué)霸筆記》手寫高清無水印版

第一章集合1元素與集合2)集合中元素的特征:確定性、互異性,無序性)集合的分類有限集和無限集數(shù)集自然數(shù)集(非負整數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集1)集合間的運算關(guān)系名稱自然語言描述如果集合A中所有元子集素,則稱集合A是集合B的子集真集如果集合CB,但存在元素aeB,但aA,則稱集合A是集合A與集合B中元素相1同,那么就說集合A與集鴿相等并集對于給定集合A、由所B的元素組成的集合交集對于給定集合B.由合B的元素組成的集合對于一個集合,由全集補集(中所有屬于集臺V但不且(2)集合間的邏輯關(guān)系2……A的非空子集個數(shù)是“-11.集合中元素的特性……確定性:作為一個集合中的元素,必須是確定的,那一個集一,這個特征通常被用來判定涉及的總體是否能構(gòu)成集合?；ギ愋约现械脑乇仨毷腔ギ惖?對于一個給定的集合它的任何兩個元素都是不同的,這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確,或用來求集合的未知元素。無序性:集合與其中元素的排列順序無關(guān),如a.bc組成的集合與ba組成的集合是相同的集合,這個特征通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系.定性。(2){a,b1.{6.a,c不是集合,表面上看、這是一個元素為集合的集合,但實質(zhì)上,根據(jù)無性序性,{a,b.c3={6.a.c13(3=Cv(u(AAB))AB喜愛乒乓球運動，4一道題往往包含”所知”和“所求“兩個要素,如本題中的=x如果一味堅持所知到所求,將一1,3)放入Cu(CuUC,B)n(BV中)就會十分麻煩容易出錯。算則不可能得出結(jié)果因此,必須將兩者結(jié)合,從自己的解題經(jīng)驗到和能力從所知中挖掘出盡量多的信息兩者契合,題目便可解出掘信息的能力和對“所求”暗示所需信息的敏感.集合問題與分類討論思想解:本題所知(1)、Q是集合集合的三個特性a≠b本題所求PVQ、即求P、Q(由所求出發(fā))請體會一下“所知所求”的雙向過程566所知=7a=1,b=03,01,Q=1,0poQ={1、01…解法二：(體現(xiàn)分類討論)PvQ={3.1、0現(xiàn)在看來,分類討論了兩種情況但是答案卻惟一,原因何在清晰、避免遺漏但實際上無意義由此可見,分類討論的重點是使討論層次明確清晰。所以,當(dāng)解一道題需要經(jīng)過分類討論時,必須通過繁瑣的分類換取清晰的思路,因此耐心綜上看來把握一道題的本質(zhì)才是成績提高、快速、準確解題的關(guān)鍵.所以每做完一道題,問閆題鞏固]x22、x好,則圖8中的問題部分表示的集合為(2.(2012年吉林檢測)設(shè)集臺=份,10g2a}a,.若PnQ32012年河南調(diào)研)已知集臺圓了=直線了則AnB788M{4,5.6.7.8={7.8、,101則M-等于(年01關(guān)系的韋思圖是圖1-9的交替和是9-6+4-2+1=6,集合{5的交替和為5,當(dāng)集合中的n=2時,集合N,工的所有非空子集為們,{工1工作則它的“交替和”的總和1+2+(-1)=4,則當(dāng)n=3時,S=_ES,都有x+y.x-y、xyes.則稱S為封閉集下列命題:②若s為封閉集則一定有S..解析:因為A~B2、3、},而圖中陰影部分為A去掉AnB,4.A.解析:由題知M=(1,+(0).N=10,2),則MN=(1,2M-中還有元素4、5還有故造中例3{1、23,33i).,則它的“友替和”的總和8、①解析由封閉集定義知若S{a+b3,b為整數(shù),則+(b1+b)3s,ca1+bn31-(a29的③是假命題如S{0④是假命題故填①②注意事項…O……自己補充哦考前看看【基礎(chǔ)知識]第一講函數(shù)的概念一函數(shù)的概念的數(shù)十和它對應(yīng),那么就稱十為從集合A到集臺的一個函數(shù)。記作y=十(xxA)其中X叫自變量X的取值集合A叫作函數(shù)定義域;與X的值相對應(yīng)的(x)的值叫作函數(shù)值,函數(shù)值的集合2.構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域?qū)?yīng)法則、值域3.函數(shù)的表示方法:解析法、列表法、圖象法1.映射的定義:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照對應(yīng)法則f對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)這樣的對應(yīng)叫做從集合A到集合B的身映射,記作:十→B2.象與原象如果給定一個從集合A到集合B的映射,那么和和中的元素a對應(yīng)的B中的元素6叫作a的象a叫作目的原象。對于映射十:來說、集合A.B可以是數(shù)集,也可以是點集或者其他集合,而函數(shù)定義中的兩個集合是非空數(shù)集.因此、映射是函數(shù)概念的一種擴展,而將數(shù)集擴展到任意元素的集合,函數(shù)是一種特殊的映射,所以映射不一定都是函數(shù),而函數(shù)都是映射。三分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)2.復(fù)合函數(shù):若是《的函數(shù),u又是x的函數(shù),即y=f(u)9(x)]、x(a,b)叫作+和的復(fù)合函數(shù),u叫作中間變量u的取值范圍是9(x)的值城域。第二講函數(shù)的性質(zhì)一單調(diào)性1.增減函數(shù)的重義當(dāng)X、<時,都有f(x)<f(x,那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。(2)如果對于定義域工內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xx當(dāng)x<X2時,都有(x)+(x2),那么就說十x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。對于復(fù)合函數(shù)y=f((x)),若稱士=g(外層函數(shù)yf(t)的單調(diào)性增增減增減增減減增減奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱;若一個奇函數(shù)(x)在x=0處偶函數(shù)的積(或商)為偶函數(shù);一奇一偶函數(shù)的積(或商,為奇函數(shù);兩奇函數(shù)(或兩偶函數(shù)的和、差為奇函數(shù)(或偶函數(shù))關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)具有相同的單調(diào)性偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性。三函數(shù)周期性的判定定義域是否存在非零常數(shù)T使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任一X都有十x十T)f(x),若存在,則十(x為周期函數(shù)是1)根式①根式的定義:如果a.那么X叫作a的幾次方程,其中為大于的整數(shù),叫作根式,這里幾叫作根指數(shù)a叫作被開方數(shù)②根式的性質(zhì)a.當(dāng)幾為奇數(shù)時,有”=a零的任何正幾次方程都是零)幕的有關(guān)概念……………⑥的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義(3)有理數(shù)指數(shù)冪的意義性質(zhì)注意a、分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化,通常利用分數(shù)指數(shù)幕進行算的失誤。代數(shù)式的運算,變形、求值,化簡及等式證明在數(shù)學(xué)中占有重要的地位,是研究方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ),應(yīng)引起方程的觀點處理問題,通過解方程或方程組來求值。指數(shù)方程函數(shù)的圖像與性質(zhì)yA×0<α<1,當(dāng)X>0時<y<1;當(dāng)x<0時y>1幾個恒等式、N、都是正數(shù)、且a,b≠)④0g.⑤ogb”log。b底的對數(shù)叫作自然對數(shù)記作InN(4)零和負數(shù)沒有對數(shù),且10g二0D,109a1a>0a≠))換底公式0b=ca>0且a≠1,b.00且c≠)。y一偶偶奇Lo,+0)L0,+0)非奇非偶奇(一四，0)山作函數(shù)圖象的一般步驟②化簡函數(shù)式③討論函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、周期性)以及圖象上的特殊點線(如漸近線、對稱軸④利用基本函數(shù)的圖象畫出所給函數(shù)的圖象。圖象變換的四種形式1)平移變換①水平平移y二f(xa)(a>0的圖象可由二十x)圖象向左或向①y十(-x與y=f(x).y)與yf(x.y=一f(-x與y=十x)yfx與f(x每組中兩個函數(shù)圖象分別關(guān)于y軸、父軸。原點、直線x對稱。②若對定義域內(nèi)的一切入均有十(x+m)=fim-),則y二九x)的圖象關(guān)于直線X=m對稱。③y=(x)與y=26-f(2a-x)關(guān)于點(a,b)成中心對稱3伸縮變換①y=af(x(a>0的圖象,可將y二十圖象上的縱坐標伸(a>時)縮(a</時到原來的a倍②yf(ax)(a>0)的圖象,可將yf(x)的圖象上的點的橫坐標伸(a<時,縮(a>時,到原來的六倍軸為對稱軸翻折到上方②y=f(X1)、作出=十x)在y軸右邊部分圖象,以y軸為對稱軸,方程的根與函數(shù)的零點點函數(shù)y=f(x的零點就是方程+(x的實數(shù)根,也就是函數(shù)yf(的圖象與x軸交點的橫坐標一元二次方程ax^+bx+c(a≠)的根就是一元二次函數(shù)ax^+bxca豐)的值為零的自變量X的值,不妨設(shè)a》則方=^-c<a^+bx+c=-b土N4a實根y=a2+bx+二次方程一般式:(x)ax^+bx+tc(a≠0)………解析式頂點式:f(x)=a(x-m^2+n(a≠兩根式:f(x=a(x-x.1(x-X2)(a≠)函數(shù)模型譯數(shù)學(xué)結(jié)果……………1如果當(dāng)→0時,有極限,就說函數(shù)=十x在點X。處可導(dǎo),并把這個極限叫做)在點。處的導(dǎo)數(shù)(或變化率記作+(X)或瞬時速度就是應(yīng)移函數(shù)t)對時間七的導(dǎo)數(shù)。在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),這時對于區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個確定的值x,都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù)+(X),這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù),我們把這一新函數(shù)叫作f(x)在開區(qū)間a,上)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)數(shù)值。211)+(x)=C(為常數(shù)),則f(x)=0(2)f(x)=x(neQ,則十(x)=nx-4)(x)=cosx則十(x)=inx………5)f(x)a,則+(x)=aIna(6)f(x)e.則十(x)=8)fx=In,則十(x)=文.導(dǎo)數(shù)運算法則……(1)If(x±9(x)]=+(x)±g(x)導(dǎo)數(shù)的加減法則.可推廣到有)[((x)]'=f(x).9x)+f(x1.qx限多個的情況如果十(x)<0.則f(x)為減函數(shù)函數(shù)單調(diào)性的必要條件設(shè)函數(shù)y(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果十在該區(qū)間遞減(或遞增)則在該區(qū)間內(nèi)十X[或十》不0時,在這個區(qū)間上仍是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如在(-00,+a)上,f(x)=x,當(dāng)x=0時,十(x)=0.當(dāng)X≠0時,十(1x770,而十(x)=22當(dāng)x=0時,十x)=.當(dāng)x≠時,十(X)>0.+(x)=在(-00,+(o)上,顯函數(shù)極值的定義如果對Xo附近的所有點都有+(X)>+(x。)且(x。)>0.且在x=x的附近的左側(cè)十(x)<0.右側(cè)十(x)>0.則點X。叫函數(shù)的極小值點+(X)叫函數(shù)十的的極小值,極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。3函數(shù)的最大值與最小值例如什(x)=x^x(一1,1)…………L題型解析]M?②定義域?b何意②參數(shù)基礎(chǔ)知識十x的定義域為{xx≤一或x.0它們的定義域不同,所④)去掉絕對值號可知x與(x)是同一函數(shù)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域、值域?qū)?yīng)法則,只有三者求解函數(shù)定義域的依據(jù)有④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含有⑤零指數(shù)暴的底數(shù)不能為零①y=arcsinx中,1x≤).y=arccosx中,1x≤⑧若(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算合成的函數(shù)時則其定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集由依據(jù)⑧綜上得定義域一)、1題型③求函數(shù)的值域)利用基本函數(shù)求值域法.觀察法值域為lo,1]以上兩例容易遺漏掉大于零而這正是考點所在。一眼望去,y=x12配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法.形如下Fx=a葉(x^“+bfx注:用換元法時必須注意①“新元”的取值范圍,即換元前后的等價性別式0因而求得原函數(shù)的值域.形如ya6xtca顯然y(用判別式前必須討論二次項系數(shù),如果=得一≤y≤2又y≠.值域為當(dāng)且反當(dāng)1-,即x=時,取等號………①關(guān)于自變量X的一次根式,如y=ax+b+xc,若ad>0則用x^2x+2≥103對點評.max一般表示最大,min一般表示最小,故在同一坐標中作示最小。(9)導(dǎo)數(shù)法設(shè)y=十(x)的導(dǎo)數(shù)為十(x).由f(x)=0可求得極值點坐標,若函數(shù)定義域為Ia,6】.則最小值必定為極值點和區(qū)間點中函數(shù)值的最10分離常數(shù)法注意到分式的分子、分母的結(jié)構(gòu)特征,分離出一個常數(shù)后,再通過觀察或配方等其他方法易得到函數(shù)值域?！嘁?lt;平≤.故函數(shù)的值域為(-1,0]…直接代入法例:已知f(x)=2x-1,g(x)x+2.求十(g())EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(te*),ex)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(2),0)即:f(x)=2In2+4I+1(x>0注:實施換元后,應(yīng)該注意,新變量的取值范圍,即為函數(shù)的定義域3)配奏法定義法例:已知N+1)=x+2,求十x的解析式…解:十(十(區(qū)廣+2區(qū)+1-1(N+1)^2…一徒定系數(shù)法r*有時題目給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式……………例:已知二次函數(shù)十x)滿足加)=0.x+=十(x+x+8,求fx)的解析式又f(x+1)=f(X)+2x+8=ax^(b+2+8消去法函數(shù)方程法/解方程組法例:已知(xl文)I父=1,求十(x解以文代入x得十)+f(x)Inx=1兩式中消去十(文).便得f(=后寫出用這文參數(shù)表示變量的式子(即參數(shù)方程), y=coty=sc-1注:本題也可以用配湊法17)賦值法對于抽象函數(shù)十(x如果滿足條件中對一切實數(shù)成立,那么對于?y)-f(y)-X+2.求f(x)(8)根據(jù)某實際問題須建立一種函數(shù)關(guān)系式(注意定義域(層”函數(shù)的定義域題型⑦函數(shù)單調(diào)性的證明答案1x1X2-x>0恒成立f(x)在R上是減函數(shù)x,2-I<0X,X?+I>0所以,當(dāng)a<時.f(xrf(x2)<即+(X)<(X2)此時函數(shù)為真函數(shù)點評:本題也可以使用導(dǎo)數(shù)十x)的符號判斷其單調(diào)性例3討論f(x)=x+最(a>0)的單調(diào)性解:“定義域為(0,0)v(o,+0)十(x)=-X+一+(x)先討論x)在(o+oo)上的單調(diào)性故f(x)在(0,a)上是減函數(shù)故+(X)在[N,(上是增函數(shù)f(x是奇函數(shù)∴在(-0.一,N00)上在Ia,0啟示想到用定義域法只是解題的起點,還要有化簡運算的毅力和信心,以及分類討論的耐心和仔細。運算法則;當(dāng)什x是指數(shù)式,積式時,可作商比較②論證十(x)<f(x2)或f(x11>f(x)③根據(jù)定義,得出結(jié)論如果f(x).則十(x為增函數(shù);如果f(<o.則十(x)為減函數(shù)。例1.已知函數(shù)十x^ax^-3X.當(dāng)1a≤車時,試判斷f(x)(一1)=4(-14)<………又:函數(shù)十(x)圖象的對稱軸x=一)1..例2.(2010遼寧高考改編)已知函數(shù)十(x=(a+1)I+ax^2+1,試討論函數(shù)九)的單調(diào)性當(dāng)一1<a<o時令十(x)=0.解得X=小,則當(dāng)xG1,故十(x在10,2上單調(diào)遞增,在(0,+0)上單調(diào)①x)-)0二>(x)在[a,6】上是增函數(shù)x,-X<<二)(x在[a,b了上是減函數(shù)②X-2)I(1一-(x21]0<二>f(x)在Ib]上是增函數(shù)(4)若要證明x)在區(qū)間[a,】上不是單調(diào)函數(shù)只需舉出反例即題型⑧函數(shù)單調(diào)性的判斷(2)求導(dǎo)法詳見題型中的()求導(dǎo)法………(3)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性4)兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)一個增(減函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)(5)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性(6)如果(x)在區(qū)間D口上是增(減)函數(shù).那么十(x)在D的任一子區(qū)間上也是增減函數(shù))復(fù)合函數(shù)同增異減詳見本章知識第二講;題見型⑧(2)夏合函數(shù)判定法題型⑨求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法…………③把函數(shù)十x)的間斷點(即什x的無定義點)的橫坐標點和上面的各實根按照由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函<>復(fù)合函數(shù)判定法復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間復(fù)合函數(shù)于=f工g(x的單調(diào)性規(guī)律為“同增異減即f批與于若具有相同的單調(diào)性則于gJ為增函數(shù)若兩者單調(diào)性不同,則fx為減函數(shù)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性步驟為求復(fù)合函數(shù)的定義域<把復(fù)合函數(shù)分解為基本函數(shù)把中問變量的變化范圍轉(zhuǎn)化成自變量的變化苑圍由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律判斷其單調(diào)性成單洞互例如對數(shù)函數(shù)的真數(shù)位量是制條件的當(dāng)。<a<1時,為使函數(shù)y(x=10(ax^2)在閉區(qū)間[2、上是增函數(shù),只需,g(x=ax^x在[2.47上是減函數(shù)且恒大于零上為增函數(shù)點評:本題主要考察復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、當(dāng)內(nèi)外函數(shù)的增減性一致另外,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是定義域的子區(qū)間,在解題中,要注意這一點。(3)圖象法例:函數(shù)y=1x(1-X)在區(qū)間A上是增區(qū)間,那么區(qū)間A是∴區(qū)間A是Lo,÷]題型⑩.函數(shù)奇偶性的判定01)定義法①看函數(shù)十(x)的定義域.是否關(guān)于原點對稱,若不對稱,則該遠數(shù)為非奇非偶即:若有+(-x)=一(x),(-x)+f(x)二0.(X)-f(-X)=2+(x若有十(一x)f(x).+(-x),-f(x)=0.十(x)+(一)f(x)fx)+(-x)=十(x.=1.則為偶39f(x)為偶函數(shù)二>+(x)的圖象關(guān)于y軸對稱f(x)為偶奇函數(shù)(x)的圖象關(guān)于原點對稱…4分段函數(shù)可依于判斷應(yīng)分段進行(5)抽象函數(shù)奇偶性的判斷…………一般通過賦值法尋求十(x與十(-x)的關(guān)系例:已知函數(shù)十(x)的定義域為R.xyR,均有f(x+y)=f(x)+(y)試證明f(x)是奇函數(shù)證明:令x=y=0則十(0)=(o)++(o)∴(=令y=X得十(o)f(x)+f(-X),即f(x)+十(-x)=(6)若函數(shù)y=十(x)的定義域關(guān)于原點對稱,則(x)+(x)為偶函②(xaa>0且a≠、為奇函數(shù))③f(x=109為奇函數(shù)④十(x=1oga(X+NX^1)為奇函數(shù)注:不要求記憶,只要能用定義法推導(dǎo)出,加深映象即可例:判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)十(x=(x-1)文;分析本題主要考察對函數(shù)奇偶性定義的理解解:(1)由≥0,得定義域為I-1,1),不關(guān)于原點對稱,故為非奇偶函數(shù) f(x)為奇函數(shù)當(dāng)>0時x<0.則十(-x)=(一X+(一x=-x(x)∴對任意x-00,v(0,00)都有九-)=(x故十為偶函數(shù)f(x)即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(5)函數(shù)十x)的定義域為R.當(dāng)a時,批)的定為R,題型①函數(shù)奇偶性的應(yīng)用②利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)的解析式①函數(shù)奇偶性滿足以下性質(zhì)奇奇奇偶土偶二偶②奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性.偶函數(shù)在對稱③奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱、偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱若十(-7)=-7,求f(7)得f(x)=9(-x)+5=-g(x)+5⑨①+②且換為7得(7)+f(一)=1(7)=17例2.已知函數(shù)y=(x≠)是奇函數(shù),并且當(dāng)xe(0,+(0)時是增函數(shù)、若(=0.求不等式fIX(x<o.的解集又f(x)是奇函數(shù),政它在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同且十(-1)一(1).f[x(X<f(一1).即x(-2)<一42解答本題易出現(xiàn)以下思維障礙不等手一般利用函數(shù)的單調(diào)性(2)無法得到另一個不等式,解決辦法奇偶性與單運算用、即關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上,奇函數(shù)的單調(diào)性相同,偶函數(shù)的單調(diào)性相反,提到奇偶性,通常要分類討論(3)錯誤得到不等式x(x-)<1,解決辦法:注意函數(shù)定義域例了、已知定義域在R上的奇函數(shù)f(x和偶函數(shù)滿足(x)+g(x)題型②奇偶數(shù).對稱性.周期性的區(qū)別與聯(lián)系奇偶數(shù):有奇偶數(shù)必有對稱性,奇函數(shù)關(guān)于(0.0)對稱,偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱對稱性:x關(guān)于(a,b)對稱<二>f(a-X)+f(a+x)=f(b-X)十(x)關(guān)于x=對稱心>f(a+x)=f(b-x)周期性(x)的周期性廠=1a-b=>f(a+x)=fbx)若函數(shù)十至少有兩條對稱軸,則此函數(shù)必定是周期函①若有兩條對稱軸x=a.=b、則十x)是周期函數(shù)且21a-b2a-b是它的一個周期證:有對稱中心(a,0)>f(a-x)+f(a+x)=0f2ax)+((x)=③若有一個對稱中心(a,0)和一條對稱函數(shù)且4a-b是它的周期或f(x+a或十+a)=一(a≠0是常數(shù)),則f(x)是以a為周期的周期函數(shù)奇偶數(shù).對稱性和周期性只要有任意2個性質(zhì),就必定會有45)y常y常其大小答案1)由函數(shù)y=的單調(diào)性得0.80.9一)因為1.71.0.93<1.1、730.93.所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得40.9>()15>80.48中間量)題,由數(shù)的特點,知0.9是合適的中間量(2)題根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是最合適的中間量;(3)題,可轉(zhuǎn)化)指數(shù)函數(shù)的最值問題解析當(dāng)a>1時,xa在L、]上遞增,fx3=(2)=a^f(x=(1=a,所以a^2-a,所以a=;當(dāng)o<a<1時若直線y二a與函數(shù)y=a-11(a>0a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是J解析畫出函數(shù)y=a與函數(shù)y=a-1a>0且a≠的圖象由圖象知y=za=0①若ab0判斷函數(shù)X)的單調(diào)性解:①當(dāng)a>0.b>0時,任意X,X2ek.X<X,.則十(x)一十x)f(x)一十(x2)<o函數(shù)九x)在R上是增函數(shù)當(dāng)a<0,b<0時,同里,函數(shù)九x)在R上是減函數(shù)0(2x+1)>=log1∴±<×<0·即定文域為(-±,0)…、u在(-1/2,心)內(nèi)恒大于0,∴a<點評:已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)范圍要牢記兩復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減;其二是所給的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域區(qū)間的子區(qū)間,必須保證,原函數(shù)有意義。米對數(shù)不等式的解法(x)不等式求解對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在比較對數(shù)值大小中的應(yīng)用)比較同底數(shù)的兩個對數(shù)值的大小,例如比較1og(x與og②若a<1,加>0.g(x)>0.則logt(x)>ogag(x<><f(x)<gx(2)比較兩個同真數(shù)的對數(shù)值的大小,例如:比較10g主與ogbf(的大小,其中a>b>0且a≠),b①若a>b>1當(dāng)(x)>1時1og。tx)>10gtx;當(dāng)。<x<時個x0入入loy+I=0上，其中mn>0x+3)-1的圖象恒過定又解(-x)=10x=1og-=-1oga=-(x)mA(21、+00B[2,+)3,+0[3,+00)焱=1x2>0由(0.7題型①.函向右平移3個單位長度再向上平移1個單位卡度平移變換解析y9=19(x+3)-一1將y=1g圖象上的點向左平移3個解析式進行化簡例2沒有函數(shù)力)的定義域為I-5.5].若當(dāng)xI0.5]時,的圖象如圖所示則不等式加的解集是解析奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點,對稱畫出E5,?！繒r的圖象即可例了.下列函數(shù)的圖像中。經(jīng)過平移或翻折后052解析:函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=10g的圖象關(guān)于直線y=X對稱函數(shù)y=10g=-og的圖象與yl0gx的圖象關(guān)于x軸對稱函數(shù)y=文+1x+/的圖象向下平移1個單位長度就得到函數(shù)y=-109的圖象,再沿x軸翻折就得到y(tǒng)=10g2x的圖象答案X>0.其利用二次函數(shù)的的圖w……例2(2010.山東)函xA3BBb口時有CD…己知lga+l9b=0.則函數(shù)f(x)=a與函數(shù)(x)=-1og的圖象可能是()里℃P當(dāng)b>1時(x單調(diào)遞減(x)單調(diào)遞減故選案:B法一:零點的存在性定理注①異號:(a).f()<o②連續(xù)不間斷④a,】上連續(xù)⑥要判斷零點個數(shù)必須將存在性定理與圖像相結(jié)合法二直接解方程令f(x)二0直接解方程,如果解出結(jié)果即存在零點,求出法三.圖像法構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象的交點判斷函數(shù)零點的存在大于B.小于。C.等于D.無法判斷解析:根據(jù)連續(xù)零點的性質(zhì),若f(一1).+(則x)在(-1.1)上一、)內(nèi)有根不一定有十一十()<故選口中×零點的存在性定理反之未成立內(nèi)有零點時卻不一定總有f(一(<例2判斷x)^2-3x-18在(1,8)上是否存在零點又f(x)在工,8】上連續(xù)(在I1.8】上存在零點法=(解方程法)令趙二0得X=-3或x=6X精例:求方程Ix+2x-0在I2.3]內(nèi)就能取近似解(確到0.01)答案:今xxIn+x-.取初始區(qū)間為[2.3](2)=In2+4-6=In2-<.(3)=In3>0.將各區(qū)間中點及中點的函數(shù)值列表如下區(qū)間中點值xn中點Xn的函數(shù)值十(x2.62S2.62S+0.7S)>0十02.5625)>0f01.s3125)<0f(2,535/s625)>0方程Inx+2x-0的近似解為2.54求解即可、我們可以借助于表格或數(shù)軸清楚地描寫逐步縮小零點所在區(qū)間的過程,而運算終止的時期侯就是區(qū)間長度小于精確度(的時候。二分法不會考的太難,只要理解二分法的原理(零點的存在性定理).并能模仿上述例題寫出解答過程即可確定初始區(qū)間(a,b)④計算,判斷符號(正負)確定下一區(qū)間⑤重復(fù)第四步驟,直到區(qū)間的兩個端點精確值一樣題型二次方程根的存在性與分布情況研究(1)有兩個不相等的實數(shù)根<二>0(3)有兩個相等的實數(shù)根<二>又=↓十00)<=>,M112)X<M,X?t>n=△>0m,<n<m2<hfn?)70fm?)<0nM-M案按照實際,經(jīng)過市場調(diào)查和測算,①保健品的年銷量x萬件與年促銷費切元之反間滿足:3-與t+2成比例。②如果不搞促銷活動,保健品的年銷量只能是1萬件.③已知2011年生為產(chǎn)該保健品的固定費用為5萬元,每生產(chǎn)萬件保健品需要再投入40萬元的生產(chǎn)費用④若將每件保年生產(chǎn)的保健品正好能銷完費用!如何讀題,劃去用信息!提煉有用信息。①保健品的年銷量萬件,年促銷七萬元.3-x與t+成反比例④每件售價=生產(chǎn)成本150%+每件促銷費x8%解析(1)因為年銷量X萬件與年促銷七萬元之間滿足了-x與七+2成反①設(shè)2011年的年銷售量為x萬件,則生產(chǎn)成本為y5+40x,促銷費用為七、銷售收入為y2=150%y+8t.所以2011年的利潤y=y-y、將①代入上式,得y=1/2x[5+40x(--5t(t≥007一所以了7.6=54.9.所以當(dāng)年促銷費用七二18萬元時年利潤y取得最大值549萬元→還原實際結(jié)果解應(yīng)用題三大注意①不是畏難,勇敢讀題,要仔細②注意定義域③注意最后要答歸納起來有三種形式:(1)定軸定區(qū)間2)軸定區(qū)間動(3)軸動區(qū)間定一般來說,討論二次函數(shù)在區(qū)間上的最值、主要)軸定區(qū)間定例:求(x)=x^-x+2的最值(x5.5】)(2)軸定區(qū)間動(2)當(dāng)+>一時,h(t)=f(七)=t3t-5例:已知函數(shù)f=x-5.xtt]若f最小值為h七寫出h七表越式?若十(x)1-acosx-^X的最小值為(a當(dāng)<一1,而a<-2時,(x)在(osx-1時取得最小值.即g(a)=1;當(dāng)-<<,即-2<a≤2時,力X)在cosx=時取得最小值即g(a=1-4aa1,顯然不合題意,故只有一-a-11/2,即a-(舍去)或a=-1,所以當(dāng)g(時a一1,此時f(x)=2(cosx+1)12因此,當(dāng)cosX=1時,(xmax的隱含范圍…解題否則可能導(dǎo)致漏解解得X,1或一1切線方程為y一(-213-2)(X-1)或了(-+(即:X-y-0或5x+9-1=……………解:易知k二4、設(shè)切點為(X,則k=?！庇?。4得X。=、切線方程為y-(-1即4x-y-=例設(shè)P為曲線Cy=2+2x+3上的點,且曲線(在點P處切線…題型④導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求fx)求可導(dǎo)函數(shù)十x單調(diào)區(qū)間的步驟》③確認結(jié)論代口的解至為單調(diào)增區(qū)間:<的解為③作出結(jié)論:f(x)>0為增函數(shù);(x)<為減函數(shù)己知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍f(x)在(a,b)上遞增(減)<二J十()①令十(劃70(或x<)恒成立,求出參數(shù)的取值范圍)求函數(shù)的極值①確定函數(shù)的定義域③用方程于(x二0的根和不可導(dǎo)點的X的值順次將函數(shù)定義域分成④判斷不同區(qū)間內(nèi)十心的符號,進而確定極值求函數(shù)的最值②將(x)的各極值與f(a),()比較,確定(x)的最值注:定義在開區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),如果只有一個極值點,則該極值②求x)的最值最大值(小值問題，要意實際意義，不符合實際問題例已知函數(shù)十(x=(aX-1)e,aeR1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)(x的極值………令十(x)=0,則x=0.1當(dāng)入變化時,.的變化情況如下表又e0所以只要X+a-1710對x(0、1)恒成立解法一:設(shè)(x)=ax+a-1,則要使ax+a->0對x10,9恒成立只要Jg(0)÷0成立即a-1≥0解得:a≥解法二:要使ax+a-17.0.對X(0.1)恒成立,69、>a>,文4對x(10.1)恒成立函數(shù)g(x=在(0.1)上單調(diào)遞減例了某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a≤5)的管理費.預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售件(1)求分公司一年的利潤(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)案山分公司一年的利潤萬元)與售價x關(guān)系式為上=(x-32CX)二2X)-2(x-3-a)(12-x)=112-x)(48①當(dāng)8≤6+即3≤a<時,有Lmax=(9)=(9--a答:若了<,則每件售價為9元時分公司一年的利潤L最(6+2)元時,分公司一年的利潤L最大最大值為Q(a)=4(3-a萬元)已知函數(shù)(x)In91x)ax^2+a≠)、設(shè)函數(shù)fx的切線與C在N處的切線平行?若存在,求R的橫坐標,若不存在,請說明理由服的勇氣可以將“讀題之難“改變攻破、從技術(shù)上層面講,去掉無關(guān)信息,整理有用信息;運用圖象清晰題意,可以助我們讀yCMCQ0N將題意理解為明確后,應(yīng)該更有解題信息更有信心、別以為這在解題的時候分神焦慮,即焦慮難目太難,又焦慮題意太亂生怕會讀漏條件,從而無心專注解題,這是大忘。wn①這是“所求需求”的過程②+③得到X+x③處理①②③由②+③得到:InX1.X2a(^2+X2)+b(x,+X)=12a(x+七axX2發(fā)現(xiàn)②一③得:In文=1a(x、+X2)(X.-X2)+b(X-2)…t結(jié)合①式得:In若=x8(X,-X21①②③是否同時存在I若xx-X能否成立Inx是個雙變量的方程式、雙變量問題一般有兩個思路分子、分母可同時除以x2.得I交題型8我們對(x)作一些準備性的研究,如求求導(dǎo)數(shù)神馬的猛然發(fā)現(xiàn)F(x)<F<即下(x=InX-x<o對(0.1)恒成立不要為解出題興奮過頭Cadown.理一下思路.以最優(yōu)美的字體由題意x2=a.t2+b①m…②③得:Ina(x+十七2+b](x-x2)(米)不斷重復(fù)思想過程是關(guān)鍵,這是螺旋上升的過程培養(yǎng)“所求需求”,需要你仔細分析,尤其是對題型(基礎(chǔ)的要熟知能嗅出它的考點搗鼓,發(fā)明更多可能;靈感則不可強求,但你必須為它的出現(xiàn)創(chuàng)造良好的環(huán)境:那需要縝密的分析和推理。我似乎說的很虛,所以你需要在做題過程中體會這些詞的含義 被框在數(shù)學(xué)里太久,我們需要跳出數(shù)學(xué),站在一個高度上審視數(shù)學(xué)題。第四章三角函數(shù)[基礎(chǔ)知識]1.定義:一條射線OA由原來的位置,繞著它的端點口按著一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置B,就形成了角x角分為正角,零角.負角、象限角…3.終邊相同的角一般地,所有與x角終邊相同的角終邊相同X角在內(nèi)(而且只有這樣的角)可以表示為k.36+X,GZ、特殊角的集合2)終邊在X軸非正半軸上的角的集合表示為x=(2k+1)π,kCZ了)終邊在x軸上的角的集合表示為x1x=k入,keZ(4)終邊在y軸非負半軸上的角的集合表示為x|x=2kx十會,kZ弧度制、1弧度的=(完…I十I十…PMPMbA圖中P、0m.AT分別表示正弦線余弦線和正切線向線段,字母順序不能隨意調(diào)換當(dāng)角X的終邊與x軸重合時,正二倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系cotx==tanx(商數(shù)關(guān)系)五.誘導(dǎo)公式(自填兀十區(qū)正弦正切+言-x正弦口訣“奇變偶不變符號看象限”意思是說kZ的三角函數(shù)“當(dāng)為奇數(shù)時,正弦變余弦余弦變正弦”;“當(dāng)k為偶數(shù)時,然函數(shù)名不變.然后X的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)把又看作銳角時原弦數(shù)值的符號”R不兀石角度xDDR不兀石角度xDD兀遠2π不存在0不存在0函數(shù)y=sm圖象個氫π定義域kR1xRX叛型值域-1.1]R兀奇偶性奇函數(shù)偶山數(shù)奇函數(shù)[K不一,z2十單調(diào)性增;[zk,減為增水X+大了為減[X-7,2k大1增對稱中心對稱軸x=k十無③y=Atan(Wx+41)(A>0.w>0)的周期為仁否,而不是琵七五點作圖法作y=Asm(wx+4)(A>00)的圖像1五點的取法是設(shè)=x+4,由取?？?、幾,言.2來求出相應(yīng)距必相等,為年.于是五點橫坐標依次為x,X+八變換作圖法作y=Asinwx+9p)(>,w>0)的圖像(2)相位變換y=AsnX→y=Asm(+(3)周期變換y=simx+4)→y=sin(wx+4)將y=ASn(x+4)圖時不是141個單位,而是11個單位,即y=si(wxy=sm(wx+中另外,由y=s+合)到y(tǒng)=smx+)的圖象,不能由一次變換九.y=Atancwx+4)(A>0.w>0)的性質(zhì)(5)對稱性:由wx+4,k區(qū)得正切曲線關(guān)于點(筑一,0)對稱十兩角和與差的三角函數(shù)公式Cos(β)=coscos干smxsmpan()tantatan其變形為:tan+tan戶=an+1-tantanantanβ=tan-)+tantantantanp=tan-=-and+十一.倍角公式Sm2α二25mXwsαCos22c-=2-1=1-20o=Ht(otanx=/sind=oEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up8(s),x)I+Osx=2Cs_-asx=2次2十二.幾個重要結(jié)論(3)asimx+bR③snABSmC③snA④asimBbsmA=NP(P-a)(P-6)(P-c)=9=Rr(smA+sB+smc1a,2-2b.1三角形內(nèi)誘導(dǎo)公式5)在△ABC中,taA+tanB+tanCtanAtanta(6)△ABC中,ABC成等差數(shù)列的充要條件是B=例:1)如果x為第一象限角,試間是第幾象限角(2)如果為第二象限角,試問:一X,π-2,十分別是第幾象限角?分析:本題主要考查家限角的應(yīng)用,若凡已知α為某一象限角,求或等)所在的象限可以先寫出又的表達式,然后再寫出合(或等)的表達式.但這時一般不能直接看出它們的范圍,往往需要對相應(yīng)的k進行討論,使之符合終邊相同的集合的形式,然后再進行判斷,另外也可以利用角的終邊之間的對稱關(guān)系進行判斷。解:(1)因為X為第一象限角,所以kπ<<k十+(ke區(qū))因此RRπ十年(ke2)當(dāng)k為偶數(shù)時,在第一象限;當(dāng)k為奇數(shù)時,入()因為是第二象限角,所以2kx十會<<kx十區(qū))①-2出一下<-2<-2k下一(k2).因為K是整數(shù),所以一x是第44……際問題確定時，其實定義域不僅要使解析式有意義，0<sMx<I.<Smx<Itand+o≠入(4)要使原函數(shù)有意義,必須有2mx-10,即Smx作出單位圓5要使原函數(shù)有意義必須有。(cosx200作出函數(shù)yasX的圖一≤≤象,由圖可知,原函數(shù)的定義域為工2】……44元房例:形如y=atanx+bcotx,設(shè)t二tan,則yt,用判別式法求最值注