2024北京一六六中高二（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京一六六中高二（下）期中數(shù)學(xué)（考試時長：120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，在每小題給出的四個選項）1.書架上層放有4本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書，從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，不同取法的種數(shù)為（）A.9 B.12 C.20 D.242.已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（）A. B.1 C. D.3.下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為的是（）A. B. C. D.4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知，若，則的取值可以為（）A.2 B.1 C. D.6.已知直線與圓相交于兩點，且（其中為原點），那么的值是A. B. C. D.7.下列運算正確的是（）A. B.C. D.8.已知點A（5，0），拋物線C：y2=4x的焦點為F，點P在拋物線C上，若點F恰好在PA的垂直平分線上，則PA的長度為（）A.2 B. C.3 D.49.某堆雪在融化過程中，其體積V（單位：）與融化時間t（單位：h）近似滿足函數(shù)關(guān)系：（H為常數(shù)），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為.那么瞬時融化速度等于的時刻是圖中的（）.A. B. C. D.10.已知個大于2的實數(shù)，對任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（）A.14 B.16 C.21 D.23二?填空題（本大題共5小題，每小題5分）11.的二項展開式中項的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____13.設(shè)函數(shù)(為常數(shù))，若在單調(diào)遞增，寫出一個可能的值________.14.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，則不同的分法的總數(shù)是______用數(shù)字作答15.關(guān)于函數(shù)，①無最小值，無最大值；②函數(shù)有且只有1個零點；③存在實數(shù)，使得恒成立；④對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則．其中所有正確的結(jié)論序號是__________．三?解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16.某高校學(xué)生社團為了解“大數(shù)據(jù)時代”下大學(xué)生就業(yè)情況的滿意情況，對20名學(xué)生進行問卷計分調(diào)查（滿分100分），得到如圖所示的莖葉圖：（1）計算男生打分的平均分.再觀察莖葉圖，設(shè)女生分數(shù)的方差為，男生分數(shù)的方差為，直接指出與的大小關(guān)系（結(jié)論不需要證明）；（2）從這20多學(xué)生中打分在80分以上的同學(xué)中隨機抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點．18.隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質(zhì)要求越來越高.某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進行了質(zhì)量滿意調(diào)查.現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人作為樣本，得到下表（單位：人）老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（1）從樣本中任意取1人，求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；（2）從該地區(qū)青年人中隨機選取3人，以頻率估計概率，記這3人中對酸奶滿意的人數(shù)為，求的分布列與期望；（3）依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，你認為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫出結(jié)果）注：本題中的滿意度是指消費群體中滿意的人數(shù)與該消費群體總?cè)藬?shù)的比值.19.已知橢圓（）的離心率為，且點在橢圓上，設(shè)與平行的直線與橢圓相交于，兩點，直線，分別與軸正半軸交于，兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）判斷的值是否為定值，并證明你的結(jié)論．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處切線的斜率；（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（3）若集合有且只有一個元素，求的值．21.已知各項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列：滿足，有.若等于中所有不同值的個數(shù)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.（1）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)P；①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32.（2）已知數(shù)列：2，4，8，16，32，m具有性質(zhì)P，求出m的所有可能取值；（3）若一個數(shù)列：具有性質(zhì)P，則是否存在最小值?若存在，求出這個最小值，并寫出一個符合條件的數(shù)列；若不存在，請說明理由.

參考答案一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，在每小題給出的四個選項）1.【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算可得結(jié)果.【詳解】分兩步完成：第一步，從上層取1本數(shù)學(xué)書，有4種不同的取法；第二步，從下層取1本語文書，有5種不同的取法，由分步乘法計數(shù)原理得共有種不同的取法.故選：C2.【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，令,可得.當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.故.故選:B.3.【答案】D【分析】確定每個選項中雙曲線焦點的位置以及漸近線方程，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為；對于B選項，雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為；對于C選項，雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為；對于D選項，雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為.故選：D.4.【答案】A【分析】先由兩直線平行求得參數(shù)的值，再進行充要條件判斷即得.【詳解】直線和平行，則，等價于，即，故“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.5.【答案】A【分析】借助賦值法計算即可得.【詳解】令，有，即或.

故選：A.6.【答案】B【詳解】O為圓的圓心，所以易知，則圓心O到直線的距離等于，根據(jù)點到直線距離公式有，所以，故選擇B.方法點睛：直線與圓相交時，通?？紤]由弦心距、弦長的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理來解題.本題根據(jù)等腰三角形頂角為，底角為，弦心距、弦長的一半、半徑所構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)幾何圖形，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑的一半來求解，考查數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用.7.【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表以及導(dǎo)數(shù)的運算法則運算可得答案.【詳解】，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確.故選：C8.【答案】D【詳解】試題分析：利用已知條件，判斷三角形PFA是形狀，利用拋物線的性質(zhì)與拋物線方程求出P的坐標(biāo)，通過兩點間距離公式求解即可．解：點A（5，0）在x軸上，拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），點P在拋物線C上，若點F恰好在PA的垂直平分線上，可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=4，由拋物線的定義可知，P的橫坐標(biāo)為：3，縱坐標(biāo)為：2．則PA的長度為：=4．故選D．考點：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)．9.【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，平均融化速度為，反映的是圖象與坐標(biāo)軸交點連線的斜率，通過觀察某一時刻處瞬時速度（即切線的斜率），即可得到答案.【詳解】解：平均融化速度為，反映的是圖象與坐標(biāo)軸交點連線的斜率，觀察可知處瞬時速度（即切線的斜率）為平均速度一致，故選：C．【點睛】本題考查了圖象的識別，瞬時變化率和切線斜率的關(guān)系，理解平均速度表示的幾何意義（即斜率）是解題的關(guān)鍵.10.【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得，則有，即可得解.【詳解】由，且，，故，即，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，即，故，，又，故，即，若，則有，即，由，故.故最大正整數(shù)為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合其單調(diào)性得到，從而得到，則有，即可得解.二?填空題（本大題共5小題，每小題5分）11.【答案】-5【分析】先求出二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中項的系數(shù).【詳解】的二項展開式的通項為，，展開式項的系數(shù)為.故答案為：-5.12.【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)可得答案.【詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為：.【點睛】本題考查運用導(dǎo)函數(shù)的符號，研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.13.【答案】0（答案不唯一，即可）【分析】求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為在單調(diào)遞增，即當(dāng)時，恒成立，即當(dāng)時，恒成立，所以，所以，即為一個可能的值.故答案為：（答案不唯一，即可）.14.【答案】36【詳解】解：由題意可知，分組方案為兩名學(xué)生，一名學(xué)生，一名學(xué)生分別分到3個班，由排列組合的知識可得：不同的分法的總數(shù)是種.15.【答案】②③④【分析】求得的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值，可判斷①；求得的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)性，計算的函數(shù)值，可判斷②；結(jié)合①的分析，取特殊值即可判斷③；設(shè)，由，求得，關(guān)于的函數(shù)式，結(jié)合分析法，構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，可判斷④．【詳解】，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)有最小值，無最大值，故①錯誤；令，恒成立，在單調(diào)遞減，，，有且只有一個零點，故②正確；由①知，，又，所以取，有，此時恒成立，即存在實數(shù)，使得恒成立，故③正確；設(shè)，即有，即為，化為，可得，則，設(shè)，可得，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時，，單調(diào)遞增，可得，，單調(diào)遞增，可得，故成立，故④正確．故答案為：②③④．【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．三?解答題（本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16.【答案】（1）平均分為69；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）結(jié)合莖葉圖計算可得男生打的平均分為69；觀察莖葉圖可知女生打分比較集中，男生打分比較分散，故.（2）由題意可得的可能取值為1，2，3，結(jié)合超幾何概型的概率公式即可求得分布列，然后計算可得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】解：男生打的平均分為：，觀察莖葉圖可知女生打分比較集中，男生打分比較分散，故【小問2詳解】因為打分在80分以上的有3女2男，所以的可能取值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123.17.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極小值的定義即可得解；（2）求導(dǎo)，再分，和三種情況討論，即可得解；（3）由（2）得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，再利用導(dǎo)數(shù)證明極大值即可得證.【小問1詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為；【小問2詳解】，令，得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，或時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，或時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；【小問3詳解】由（2）得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的極大值為，極小值為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時，，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，由圖可得函數(shù)有且僅有一個零點．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解不等式，并與定義域取交集得到的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；解不等式，并與定義域取交集得到的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.18.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望（3）青年人【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，計算滿意的概率；（2）由條件可知，，根據(jù)二項分布，求分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合每類人對鮮奶的滿意度，即可作出判斷.【小問1詳解】設(shè)這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為，樣本總?cè)藬?shù)為500人，其中對酸奶滿意人數(shù)為人，所以；【小問2詳解】用樣本頻率估計總體概率，青年人對酸奶滿意的概率，的取值為，，，，，，所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望是.【小問3詳解】青年人青年人總體人數(shù)最多，對鮮奶的滿意度較低，所以鮮奶的滿意度提高0.1，則人數(shù)提高最多，則整體對鮮奶的滿意度會大幅提高.19.【答案】（1）;（2），證明見解析.【分析】（1）解方程組即得解；（2）先證明直線TP和TQ的斜率存在.設(shè)，，求出，，再利用韋達定理化簡即得.【小問1詳解】解：由題意，解得，，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：假設(shè)直線TP或TQ的斜率不存在，則P點或Q點的坐標(biāo)為(2，－1)，直線l的方程為，即.聯(lián)立方程，得，此時，直線l與橢圓C相切，不合題意，故直線TP和TQ的斜率存在.設(shè)，，則直線，直線，故，，由直線，設(shè)直線（），聯(lián)立方程，，當(dāng)時，，，.故.20.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為（3）【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；（2）對函數(shù)求導(dǎo)得到，由函數(shù)定義域知，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求出結(jié)果；（3）對函數(shù)求導(dǎo)得到，再分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以,得到，所以曲線在點處切線的斜率為．【小問2詳解】當(dāng)時，，易知的定義域為，又，因為，所以，所以時，，時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問3詳解】因為，所以，易知，當(dāng)時，的定義域為，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，所以不合題意，當(dāng)時，的定義域為，此時，所以時，，時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以．設(shè)，則，當(dāng)時，，時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為．所以，所以集合有且只有一個元素時．【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法：一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件；二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論；三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.21.【答案】（1）答案見解析（2）或（3）存在，4045；一個滿足條件的數(shù)列：1，3，5，…，4043，4047，4045【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)的定義進行判斷即可求解.（2）由具有性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)對分奇偶進行討論即可求解.（3）根據(jù)具有性質(zhì)，然后利用其性質(zhì)分別對，分情況討論，從而其存在最小值，即可求解.【小問1詳解】①：3，1，7，5，任意兩項和的結(jié)果有4，6，8，10，12共5個，而，所以具有性質(zhì)P.②：2，4，8，16，32，任意兩項和的結(jié)果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10個，而，所以不具有性質(zhì)P.【小問2詳解】對于數(shù)列：2，4，8，16，3