2023-2024學(xué)年山西省臨汾市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷+答案解析

2023-2024學(xué)年山西省臨汾市部分學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)2=—1+y/si'則認(rèn)z—N)=()

A.-2\/3B.-2V3iC.-2D.-2i

_7T

2.已知△ABC的內(nèi)角aB,C的對(duì)邊分別為〃，b,C,且b=4c，B=6,則sinC=（）

o

A.@B.迤C.-D.-

8484

3.某公司共有940名員工，其中女員工有400人.為了解他們的視力狀況，用分層隨機(jī)抽樣（按男員工、女員

工進(jìn)行分層）的方法從中抽取一個(gè)容量為47的樣本，則男員工的樣本量為（）

A.21B.24C.27D.30

4.若某圓臺(tái)的上底面半徑、下底面半徑分別為1,2,高為5,將該圓臺(tái)的下底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍,

上底面半徑與高保持不變，則新圓臺(tái)的體積比原圓臺(tái)的體積增加了（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

5.若非零向量才，了滿足河+5=反一2用，⑻=；，則（）

A"Z|的最大值為:B.|Z|的最大值為1C.|胃|的最小值為:D.|才|的最小值為1

6.如圖，在四棱錐O-ABCD中,側(cè)棱長均為g正方形的邊長為V3-1，

E,尸分別是線段。2,0c上的一點(diǎn)，則4E+EF+RD的最小值為（）

A.2

B.4

C.272

D.4^2

7.從正四面體的6條棱中隨機(jī)選擇2條，則這2條棱所在直線互相垂直的概率為（）

A.—B.-C.-D.-

10865

8.蘇州雙塔又稱羅漢院雙塔，位于江蘇省蘇州市鳳凰街定慧寺巷的雙塔院內(nèi)，

二塔“外貌”幾乎完全一樣（高度相等，二塔根據(jù)位置稱為東塔和西塔）.某測

繪小組為了測量蘇州雙塔的實(shí)際高度，選取了與塔底/,8（4為東塔塔底，B

為西塔塔底）在同一水平面內(nèi)的測量基點(diǎn)C,并測得AB=22米.在點(diǎn)C測得

東塔頂?shù)难鼋菫?5°，在點(diǎn)C測得西塔頂?shù)难鼋菫閍（tana=L5）,且

第1頁，共14頁

cosZACB=0.75）則蘇州雙塔的高度為（）

A.30米B.33米C.36米D.44米

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.在正△48。中，。為8C的中點(diǎn)，則（）

A.（=:B.福?前=-AD5

3

c.=D.亙方在豆N上的投影向量為:瓦？

10.若Z=*+#6,貝！J（）

A.|z|=2B.z6的虛部為8

1_1-8z

C,l+/65D.l—z6在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

11.在正四棱柱43。。—4場。1。1中，AB=2,441=3,貝1（）

A.正四棱柱4BCD-4gle的側(cè)面積為24

B.與平面所成角的正切值為必

11

C.異面直線AXB與場。所成角的余弦值為魯

JLJ

D.三棱錐兒—ABD內(nèi)切球的半徑為8—同

7

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若一組數(shù)據(jù)3,4,6,m,8,3,7,9的第40百分位數(shù)為6,則正整數(shù)加的最小值為.

13.已知向量H=（力1）,T=厚0,且才與了的夾角為銳角，貝h的取值范圍是（用區(qū)

間表示）.

14.在底面為正方形的四棱錐P—ABCD中，平面ASCD,48=5，PD=4,透=赤,PB//

平面E/C,則入=,四面體NCDE的外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知某校初二年級(jí)有1200名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測試中，該年級(jí)所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)吭谛?,95]內(nèi).現(xiàn)從

該校初二年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，按[45,55）,[55,65）,[65,75）,[75,85）,[85,95]分成5

組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求°的值；

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(2)估計(jì)該校初二年級(jí)學(xué)生這次數(shù)學(xué)測試的平均分(各組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表)；

(3)記這次測試數(shù)學(xué)成績不低于85分為“優(yōu)秀”，估計(jì)該校初二年級(jí)這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生

人數(shù).

16.(本小題15分)

如圖，在各棱長均為2的正三棱柱小耳。1中，D,E,G分別為4場，BiCi，的中點(diǎn),

A?=3兩.

⑴求點(diǎn)B到平面ACG的距離；

⑵證明：平面4CG〃平面。石F.

17.(本小題15分)

甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中，則此人繼續(xù)投籃，若未命中，則換對(duì)方投籃.

已知甲每次投籃的命中率均為0.7,乙每次投籃的命中率均為0.5,甲、乙每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)若第1次投籃的人是甲，求第3次投籃的人是甲的概率；

(2)若第1次投籃的人是乙，求前5次投籃中乙投籃次數(shù)不少于4的概率.

18.(本小題17分)

在銳角△AB。中，a,6,c分別是內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊，且c=2.

7T

(1)若。=可，求△48。周長的最大值.

O

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(2)acosB=bcosA+>sin(A—B)=^12

3k710

(i)求△/笈。外接圓的半徑火；

(ii)求△ABC的面積.

19.(本小題17分)

如圖，在正四棱錐P—ABCD中，P4=3，5.

(1)證明：平面P4CJ_平面PBO.

(2)若以P為球心，半徑為的球與直線3c只有1個(gè)公共點(diǎn)，求二面角P-B。—A的正切值.

(3)已知當(dāng)竄=時(shí)，f(x)=/-18x(2>0)取得最小值.請(qǐng)根據(jù)這條信息求正四棱錐P—4BCD體積的

最大值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)2=—1+通，,

所以—2）=i[-l+倔一（-1-倔）]=ix2倔=-2V3.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

,,7T

【解析】解：因?yàn)閎=4c，B=6,

O

cb

由正弦定理可得:

sinCsinB

可得sinC=/inB=；得=搟

故選：A.

直接由正弦定理可得sinC的值.

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

940-400

【解析】解：根據(jù)分層抽樣原理得，男員工的樣本量為47x=27人.

940

故選：C.

根據(jù)分層抽樣原理，求出抽取的男員工人數(shù).

本題考查了分層抽樣問題，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：設(shè)新圓臺(tái)與原圓臺(tái)的體積分別為匕，匕，

%—x5x(I2+42+A/12x42)

貝"7=亓=3,

%-X5X(12+22+Vl2x22)

O

所以新圓臺(tái)的體積比原圓臺(tái)的體積增加了3-1=2倍.

故選：B.

利用圓臺(tái)的體積公式求解.

本題主要考查了圓臺(tái)的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

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5.【答案】C

【解析】解：若0+用=同—2了|，兩邊同時(shí)平方得國+曲2=說一2了

可得同2+2天.胃+加2=@2—4下.7+4⑻2,化簡得2才.了=|碎,

設(shè)非零向量N，了的夾角為0，故2國H了|705/3=|引2,而|了|=；,

可得|力|-COS0=:,即1可=二二0而121〉0，故COS0>O,

7T

所以0e[O,5)cos0e(0,1],

可得4COS0C(0,4],故⑺Gg+8),

可得|力|的最小值為(，故C正確.

故選：C.

利用給定條件化簡得到^-b=\b\,再利用數(shù)量積的定義得到1^1=不二，最后結(jié)合三角函數(shù)的值域求

4COSfJ

解即可.

本題考查了平面向量的模的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：如圖，將正四棱錐的側(cè)面展開，則AE+EF+FO的最小值為4D,

在△0AD中，。4=0。=0,

OA2+OB2-AB22+2-(y3-1)2_73

cosZ.AOB=

20A-OB2x\/2xA/22

所以N4OB=30°，故/AOO=90°，則4。==2.

故選：A.

利用四棱錐的側(cè)面展開圖，由余弦定理求解乙403=30°，即可得NAOO=90°，進(jìn)而可求解.

本題主要考查棱錐中的最短距離問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

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7.【答案】D

【解析】解：所有的選法共有篇=15種，而選出的這2條棱所在直線互相垂直的選法共有3種，

31

故這2條棱所在直線互相垂直的概率為^=-,

155

故選：D.

所有的選法共有廢種，而選出的這2條棱所在直線互相垂直的選法共有3種，由此求得選出的這2條棱所

在直線互相垂直的概率.

本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)蘇州雙塔的高度為〃米，依題意可得九米，BC=}=七米,

1.53

因?yàn)閏os/ACB=0.75，

所以由余弦定理得222=后+（彳）2—2%xgx0.75,

解得九=33米.

故選：B.

設(shè)蘇州雙塔的高度為人米，可得4。=九米，BC=±=*米,由題意利用余弦定理即可求解.

1.53

本題考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：由題意，在正△48。中，。為8C的中點(diǎn),

貝心瓦1五萬）=7T—故/錯(cuò)誤;

A^-A5_jl^l2_2

由M目:W3可得存?前二故2正確;

由勵(lì)=虎=5N+前=司—比？，可知c正確;

百萬在豆1上的投影向量為:X；月1=；月/，故D正確.

由頭向量定義可知:

故選：BCD.

由向量夾角定義可判定/；由向量數(shù)量積運(yùn)算可判定氏由向量加減法運(yùn)算可判定C；由投影向量定義可判

定D.

本題考查平面向量的夾角、線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算及投影向量的概念，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

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【解析】解：因?yàn)閦=f+*=—E+l=l—所以|z|=/12+(_1)2=方,選項(xiàng)4錯(cuò)誤;

因?yàn)?=(1—4)2=1—2。+/=—2K所以J=(―2分戶=—8戶=8￡,虛部為8,選項(xiàng)B正確;

111-821—8分一十左

1Q-~~0^一~7\~I_Q/IQ一項(xiàng)C正確；

1+%。1+8z(1+8x)(1—81)65

1_Z6=I_8。在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

化簡復(fù)數(shù)Z,再求⑶和z2,z6,計(jì)算丁J，化簡1—z6,即可得出結(jié)論.

1+2。

本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABD

【解析】對(duì)于/,正四棱柱45。?！《?。1的側(cè)面積為2x3x4=24,故

A正確；

對(duì)于8,設(shè)41。1門為。1=。1，

因?yàn)?平面Ai。IU平面,

所以BB\A-A\C\,BBiAB^Di=Bi,

所以小G_L平面BDD1B1，

則/小30為與平面BDDiBi所成的角，

因?yàn)?0=氏0=彳＞18=四，BO=QBB^+BQ=，

則tan/4B0=J=變，故8正確；

yn11

對(duì)于C,由B1C7/A1。，得/氏41。或其補(bǔ)角為異面直線與場。所成的角，

13+13-89

因?yàn)樾　?小8=BD=2V2-貝Ijcos/B4i。=一—故C錯(cuò)誤；

NXJLoJLJ

對(duì)于。，三棱錐41一48。的表面積S=；X22+；X2X3X2+；X2V^XvTl=8+722,

三棱錐Ai—的體積V=—x—x2?x3=2,

32

因?yàn)槿忮F體積為u=gs底s=表面積?「，其中〃為底面上的高，廠為三棱錐內(nèi)切球半徑，

所以三棱錐41—ABD的內(nèi)切球半徑為竺=—==8—嚴(yán),故。正確.

S8+V227

故選：ABD.

對(duì)于4,四個(gè)全等的長方形面積之和即為側(cè)面積;

對(duì)于8,證明4。J平面RDPB1，則乙4180為4田與平面所成的角，解三角形可得結(jié)果;

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對(duì)于C,由B1C7/4。，得NBA?；蚱溲a(bǔ)角為異面直線N13與me所成的角，運(yùn)用余弦定理求解即可；

對(duì)于。，三棱錐體積為/=；S底S=表面積?「，//為底面上的高，廠為三棱錐內(nèi)切球半徑，則其內(nèi)切球的半

徑為「

本題考查棱柱的側(cè)面積，考查線面角和二面角，考查內(nèi)切球的半徑的求解，屬于中檔題.

12.【答案】6

【解析】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列：3,3,4,6,m,1,8,9,

因?yàn)?x40%=3.2,

所以第40百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)，即為6,

所以m）6,則加的最小正整數(shù)值為6.

故答案為：6.

根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解.

本題考查了百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】（―oo,—左）U（—而0）U（16,+oo）.

1616

【解析】解：因?yàn)橛c了的夾角為銳角，所以方.方＞0且方、號(hào)不共線，

因?yàn)椴?（力1）,=（t,16t）.因0,

所以2—16力＞0且16/彳一力，解得力〉16或力＜0且/一之，

16

即實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-oo,-J）U0）U（16,+8）.

1010

故答案為：（-OO,-左）U（—而0）U（16,+oo）.

lblb

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可知下.號(hào)＞0且/、了不共線，由此建立關(guān)于/的不等式，解出實(shí)數(shù)f的取

值范圍.

本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示、不等式的解法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)

題.

14.【答案】1547r

第9頁，共14頁

【解析】解：連接8。交NC于點(diǎn)O,連接?！暌?yàn)槭?,?！旯裁?，且PB〃平面E/C,

所以PB〃OE,易知。為3。的中點(diǎn)，

所以￡為PD的中點(diǎn)，所以入=；,

四面體NCDE可以補(bǔ)形為一個(gè)長方體，

所以四面體/CDE的外接球的半徑R=,52+；+22=率，

故四面體/CDE的外接球的表面積為4TFR2=547r.

故答案為：1；547r.

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得到PB〃OE,進(jìn)而得到E為PD的中點(diǎn)，即可求解；將四面體NCDE補(bǔ)形為一

個(gè)長方體，根據(jù)四面體與長方體具有同一個(gè)外接球即可求解.

本題考查線面平行的應(yīng)用，以及補(bǔ)形法求幾何體的外接球問題，屬于中檔題.

15.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可得(0.010+2a+0.025+0.035)x10=1,解得a=0.015.

(2)由題意，估計(jì)平均分為50x0.1+60x0.15+70x0.25+80x0.35+90x0.15=73分.

(3)由頻率分布直方圖可知這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.015x10=0.15,

則該校初二年級(jí)這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為0.15，

故估計(jì)該校初二年級(jí)這次測試數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為1200x0.15=180.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中，頻率之和為1即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；

(3)根據(jù)頻率估計(jì)概率，即可求解人數(shù).

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)、頻數(shù)的應(yīng)用，是中檔題.

16.【答案】(1)解：在正三棱柱—46G中，側(cè)棱垂直底面，

貝BG_LBC.依題意得BG=1,AB=BC=2,

則4G=CG=通，

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所以△>1CG的面積S=—x2x，5-1=2.

設(shè)點(diǎn)B到平面ACG的距離為h,則由VB-AGG-VG-ABC?

得X2=1xWx22X1，解得h=干；

3342

(2)證明:因?yàn)?。，E分別為小耳，BQi的中點(diǎn)，

所以。E〃4i0i，又ACUAG，所以。E〃AC.

因?yàn)锳CU平面/CG,OEC平面NCG,所以。E〃平面4CG.

取441的中點(diǎn)N,連接8iN.因?yàn)橐?3詢，所以尸為NAi的中點(diǎn).

又。為43的中點(diǎn)，所以DF//NB1，易證N81//AG,所以O(shè)F〃AG,

因?yàn)?FU平面?！攴?G，平面。昉，所以。F〃平面4CG.

又DECDF=D，所以平面ACG〃平面0EF.

【解析】(1)利用體積可求點(diǎn)到面的距離；(2)根據(jù)平面與平面平行的判定即可證明.

本題考查點(diǎn)到面的距離，考查平面與平面平行的判定，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)若第1次投籃的人是甲，且第3次投籃的人是甲，

則甲第1次和第2次投籃都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，

故所求概率為0.72+(1-0.7)x(1-0.5)=0.64；

⑵前5次投籃中乙投籃次數(shù)為5的概率四=0.54=0.0625,

若前5次投籃中乙投籃次數(shù)為4,則乙前3次投籃均命中且第4次投籃未命中或前3次乙有1次投籃未命中

且甲投籃未命中，

所以前5次投籃中乙投籃次數(shù)為4的概率P2=0.53x(1-0.5)+0.52x(1-0.5)x(1-0.7)x3=0.175,

故所求概率為0.0625+0.175=0.2375.

【解析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；

(2)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.

本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

第H頁，共14頁

abc24\/3

/71________—_____--------—------—-------

18.【答案】解：(1)因?yàn)閏=2,C=-,由正弦定理可得sinsing—sin。一g3

O---

2

斫DI4\/^.A74\/^.小

所以Q=-------sm4，b=——smD，

33

所以a+b=^^-(sinA+sinB)=^-[sinA+sin(A+勺]

333

=—^―(sinA+：sin4+cosA)=4sin(A+1)，

OZJZJU

,萬

0<A<-

△48。為銳角三角形，所以c2不，7T

0<B=--A<-

0乙

穴,7T

可得/<4<萬，

0乙

匚ur、IbA"27r

所以有<4+丁<二，

363

所以sin(4+1)€(g,1],

o/

所以a+be(2^,4],

所以△ABC的周長(2+2通,6],

即△ABC的周長的最大值為6；

(2)(1)因?yàn)閍cos3=bcosH+可得acos8—6cos4=①

oJ

由正弦定理可得Q=2RsinA,b=2Rsin_B,

因?yàn)閟in(A—B)=

可得sinAcosB—cosAsinB=，

由正弦定理可得JcosB---COSA=^->

2R2R10

所以acosB—bcosA=R,②

5

由①②可得且=Y@R，解得7?=巫；

353

(ii)/\ABC的面積S=-acsinB=--22?sinA-csinB=sinAsinB?

223

因?yàn)閟inC=￡=寸變，所以cos2C=l—sin2C=2，

2R525

因?yàn)镃是銳角，所以cos。>0,貝UcosC=亞，

5

第12頁，共14頁

所以cos(A+B)=—cosC=-----,

5

因?yàn)閟in(A一B)=9所以cos2(A—B)=1—sin2(A—B)=

又因?yàn)閍5是銳角，所以a—Be(一

所以cos(A—B)〉0,所以cos(A—_B)=———，

則cos(A—B)—cos(A+B)—2sinAsinB—

所以sin4sinB=,

4

所以亞.亞=隨

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【解析】(1)由正弦定理