2024-2025學(xué)年蘇教版高二數(shù)學(xué)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)專練：立體幾何解答題?？寄Ｐ蜌w納總結(jié)（9大題型）原卷版

重難點(diǎn)專題04立體幾何解答題?？寄Ｐ蜌w納總結(jié)

【題型歸納目錄】

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

題型二：立體幾何存在與探索性問題

題型三：立體幾何折疊問題

題型四：立體幾何作圖問題

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

題型八：空間中的點(diǎn)不好求

題型九：數(shù)學(xué)文化與新定義問題

【方法技巧與總結(jié)】

高考立體幾何解答題常考模型主要包括柱體、錐體、球體、旋轉(zhuǎn)體、多面體等。這些模型常涉及體積、

表面積的計(jì)算，截面問題，以及與其他幾何體的組合或相交問題。此外，空間位置關(guān)系，如平行、垂直的

判斷與證明，也是?？純?nèi)容?？臻g角的計(jì)算，包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等，

同樣是高考立體幾何的重要考點(diǎn)。最后，空間距離的計(jì)算，如點(diǎn)到平面的距離、兩平行平面間的距離等，

也是解答題中常見的考查點(diǎn)。掌握這些模型的基本性質(zhì)和解題方法，對(duì)于提高高考立體幾何的解題能力至

關(guān)重要。

【典型例題】

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

【例1】如圖，三棱臺(tái)/8C-44cl中，47=246/6，底面/3。，且4g2+/C2=44C］

(1)證明：平面AXABB11平面A.ACQ；

⑵若AC=2CC,=2/3=4,求二面角A-B?-B的正弦值.

【變式1-1］如圖，己知半圓錐的頂點(diǎn)為尸，點(diǎn)C是半圓?；?8上三等分點(diǎn)(靠近B點(diǎn))，點(diǎn)。是弧/C上

的一點(diǎn)，平面尸CZ?n平面尸加8=/,且/〃48,〃是尸8中點(diǎn).

(1)證明：平面M4C_L平面P。。；

(2)若OP=AB,求平面PAB與平面AMC夾角的余弦值.

【變式1-2］如圖，已知平面8CG4是圓柱的軸截面，底面直徑8c=2,母線CG=G,。為底面圓心，A

為底面半圓弧3c上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，E為母線C。上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，NAOC=a,NEOC=/3.

(1)請(qǐng)用心力的三角函數(shù)值表示三棱錐片-4。片的體積「，求二、￡的取值范圍并求憶的最大值；

(2)若三棱錐瓦-NOE的體積為:，當(dāng)(2sina+gtan〃j最小時(shí)，求直線/￡與半圓柱底面所成角的大小.

題型二：立體幾何存在與探索性問題

【例2】如圖M4_L平面/2C,BC1AC,下是線段2c上的動(dòng)點(diǎn)，E是MC的中點(diǎn)，已知//=ZC.

M

(1)證明：平面/EF_L平面兒ZBC

(2)若/M=/C=2,BC=2C,N在線段MB上.

(i)求點(diǎn)C到平面AEB的距離；

1\MN\

(ii)是否存在點(diǎn)N,使得平面M4c與平面/口夾角的余弦值為:？若存在，求上意的值;若不存在，請(qǐng)說

7

明理由.

【變式2-1］如圖，在等腰梯形中，8C〃NO,8C==/O=2,//=60。，點(diǎn)￡為/。中點(diǎn)，點(diǎn)。，尸

2

分別為BE,DE的中點(diǎn)，將“BE沿BE折起到AA、BE的位置，使得平面4BE1平面BCDE.

(1)求證：8￡_L平面4。。；

(2)側(cè)棱4c上是否存在點(diǎn)尸，使得AP〃平面4。尸？若存在，求平面P8E與平面C3E夾角的余弦值，若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【變式2-2］如圖，在多面體A8CDM中，底面/BCD為矩形，底面/BCD,AF//DE,且AD=

AF=-DC=1,DE=AAF,A>0.

2

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求直線CF與平面BCE所成角的正弦值.

(2)是否存在實(shí)數(shù)2,使得。在平面跖C內(nèi)的射影恰好為AEFC的重心？若存在，求出2；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

題型三：立體幾何折疊問題

TT

【例3】如圖1,在平面四邊形48CD中，AB=5,40=3,BC=CD=4,/BCD=§.將△8C。沿8。折

疊至APBD處,使平面尸80,平面/5D(如圖2),。為AD的中點(diǎn)，￡為P。的中點(diǎn)，尸是靠近點(diǎn)A

的四等分點(diǎn).

圖1圖2

(1)求證：平面尸ND_L平面PAD；

(2)求直線EF與平面PAB所成角的正弦值.

【變式3-1］如圖，在邊長為12的正方形中，點(diǎn)民C在線段工。上，且NB=3,BC=4,作

BBJ/AAX,分別交4。,/。于點(diǎn)昂尸，作CCJ/44］,分別交4。,于點(diǎn)C”。，將該正方形沿3綜CQ

折疊，使得。A與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱為8C-44G.

圖2

(1)求四棱錐Z-8CQP的體積;

(2)求平面PQA與平面BCA所成的角的大小.

【變式3-2］如圖，在矩形48CD中，40=應(yīng)，取CD中點(diǎn)M,將△4DM和ABCM分別沿直線4h，BM

折疊，使D,C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)尸得到三棱錐尸-A8M.

(2)若二面角力-尸河-2的平面角為60°,是否存在W上一點(diǎn)E,使得PE與平面尸8加所成角的正弦值為

史？若存在，請(qǐng)求出￡點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

5

題型四：立體幾何作圖問題

【例4】如圖，在四棱錐尸-4BCD中，平面/BCD,底面/2CZ)為梯形，ABHCD,/BAD=60°,

AD=AB=2,CD=4.

(1)在側(cè)面依C中能否作出一條線段，使其與平行？如果能，請(qǐng)寫出作圖過程并給出證明；如果不能,

請(qǐng)說明理由；

(2)若四棱錐尸-A3。的體積是，求直線BP與平面PCD所成角的大小.

【變式4-1］如圖，在正三棱柱/8C-44C］中，點(diǎn)。，￡分別在.，CC,±,

AD=CXE=ACQ(O<A<1),記正三棱柱ABC-的體積為憶.

(1)求棱錐8-4。助的體積(結(jié)果用廠表示)；

(2)當(dāng)人=；時(shí)，

①請(qǐng)?jiān)趫D中直接畫出平面5DE與平面B/C的交線；(不寫過程，保留作圖痕跡)

②求證：平面2DE_L平面3CE.

【變式4-2】在四棱錐尸一A8CD中，ADUBC,ADAB=90°,AD=AB=1,PD=亞,BC=2.

(1)如圖1,在側(cè)面尸DC內(nèi)能否作一條線段，使其與N8平行？如果能，請(qǐng)寫出作圖過程并給出證明；如果

不能，請(qǐng)說明理由；

(2)如圖2,若尸平面48CD,證明：8，平面心。；

(3)在(2)的條件下，￡為棱/尸上的點(diǎn)，二面角的大小為45°,求異面直線8E與尸C所成角的余

弦值.

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

【例5】(2024?山東淄博?二模)己知直角梯形N8CD,/4DC=90。，AB//CD,AB=2CD=a,4D=粗,

M為對(duì)角線NC與BD的交點(diǎn).現(xiàn)以/C為折痕把A/OC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，點(diǎn)。為尸8的中點(diǎn),

如圖所示：

(1)證明：/C_L平面PBM；

(2)求三棱錐P-NC。體積的最大值；

(3)當(dāng)三棱錐尸-/CQ的體積最大時(shí)，求直線4B與平面P8C所成角的正弦值.

【變式5-1］（2024?貴州黔東南?二模）如圖，在四棱臺(tái)4BCD-中，。為/C的中點(diǎn),

AAl=AlCi=CiC=^AC=2.

⑴證明：。。"/平面N/QQ；

（2）若平面ABCD1平面4CCH,ABA.BC,當(dāng)四棱錐8-AA,C,C的體積最大時(shí)，求CQ與平面AA,B,B夾角

的正弦值.

【變式5-2］（2024?重慶?三模）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱和一個(gè)三棱錐的組合體.瓦九CG是半圓柱的

母線,。,。分別是底面直徑BC和4G的中點(diǎn),2C=3?=4,BB{==2,/是半圓。上一動(dòng)點(diǎn),同是半圓Q

上的動(dòng)點(diǎn),M是圓柱的母線，延長44至P點(diǎn)使得A為同尸的中點(diǎn)，連接PB,PC構(gòu)成三棱錐P-ABC.

⑴證明:公，網(wǎng)；

（2）當(dāng)三棱錐P-N2C的體積最大時(shí)，求平面4B4與平面24c的夾角.

題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題

［例6］（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中,ZUBC是等邊三角形,/8/。=/8。=90。,點(diǎn)尸

是4c的中點(diǎn)，連接此。尸.

A

(1)證明:平面4cD_L平面3DP;

(2)若BD二屈，且二面角4-3。-C為120。,求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.

【變式6-1](2024?廣西桂林?二模)如圖，四棱錐尸-48CD中，底面ABCD為邊長是2的正方形，E,G

分別是CD,/尸的中點(diǎn)，4F=4,AFAE=ABAE,且二面角歹-/E-8的大小為90。.

(1)求證：AEVBG-,

(2)求二面角3-4F-E的余弦值.

【變式6-2](2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐中，四邊形42CD是邊長為2的菱形,

ADAE=ZBAE=45°,^DAB=60°.

a

B

(1)證明：平面ADE_L平面ABE；

(2)當(dāng)直線DE與平面/BE所成的角為30。時(shí)，求平面。CE與平面/BE所成銳二面角的余弦值.

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

【例7】如圖，在三棱錐尸-48C中，PN_L平面尸8C,且4B=5,/C=8,P/=2底

ALC

HFU

(1)求尸8,PC.

(2)若△48C的面積為loG，且/&IC<90°,證明：PB_L平面"C.

(3)過點(diǎn)尸作底面/3C的垂線，垂足P在AABC的內(nèi)部，且尸9=手

,E,F分別為4B,ZC的中點(diǎn)，平面

P8C與平面PEF所成的角為凡求|cos6].

【變式7-1](2024?江蘇南京?二模)如圖，ADUBC,ADJ.AB,點(diǎn)、E、尸在平面/BCD的同側(cè)，

CF/IAE,AD=\,AB=BC=2,平面NCFE_L平面A8CD,EA=E；C=V3.

⑴求證：3/〃平面NOE；

(2)若直線EC與平面FBD所成角的正弦值為普，求線段CF的長.

【變式7-2】斜三棱柱4BC—N由上，側(cè)面44/GC1平面4BC,側(cè)面是菱形，zJ〃C=60。，4c

=AC=y^BC=。,AB=2,。為88/的中點(diǎn).

⑴求二面角C-AQ—Ci的余弦值；

(2)記△ABC的外接圓上有一動(dòng)點(diǎn)尸，若二面角P一/4一C與二面角C—/Q—。相等，求4P的長.

題型八：空間中的點(diǎn)不好求

2萬

【例8】如圖，在三棱錐尸-A8C中，二面角尸-/B-C的大小為AB±BC,D為棱/C的中點(diǎn).

B

(1)①尸C②尸/=P8③尸3=PC④從上述四個(gè)條件中，選出一個(gè)能證明產(chǎn)的選項(xiàng),

并證明；

71

(2)設(shè)NPAB=NPBA=NBAC=&，點(diǎn)、E為BC上一點(diǎn)、,是否存在點(diǎn)E使得二面角。-PE-4的余弦值等于

里巨？若存在，請(qǐng)求出BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

785

【變式8-1］如圖，在三棱柱/8C-/4G中，底面是邊長為2的等邊三角形，CG=2,分別是線段

AC,cq的中點(diǎn)，G在平面/BC內(nèi)的射影為D

(1)求證：4c，平面

(2)在棱4G上是否存在點(diǎn)凡使得平面5。尸與平面3DE夾角的余弦值為也，若存在，指出點(diǎn)尸的位置;

26

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式8-2］如圖，在四棱錐P-N3co中，底面48CD是矩形，尸/上底面48CD,PA=2AD=2,點(diǎn)、M

為CD的中點(diǎn)，且尸C18M.

⑴求48；

pcAD

(2)平面口與線段尸/、PC、4D分別交于S、T、R三點(diǎn),且長=￡=7K=4,/le(O,l).

r/iiC/AD

(i)當(dāng)彳=；時(shí)，求直線B/與平面。所成角的正弦值；

(ii)是否存在彳，使得AS窗為直角三角形？若存在，求2;若不存在，說明理由.

題型九：數(shù)學(xué)文化與新定義問題

【例9】在空間直角坐標(biāo)系。斗中，定義：過點(diǎn)z。)，且方向向量為質(zhì)=(a,6,c)(abcwO)的直線的

點(diǎn)方向式方程為三三=1=三包；

abc

過點(diǎn)4伉,%,z。)，且法向量為五=(。,仇+b2+c2^0)的平面的點(diǎn)法向式方程為。(x-Xo)+

b(y-%)+c(z-Zo)=O,將其整理為一般式方程為依+如+cz-d=O,其中+勿o+cz。.

x—1v+2

⑴已知直線4的點(diǎn)方向式方程為石===-z平面囚的一般式方程為2x-6y+z+5=0求直線4與

平面囚所成角的余弦值；

(2)已知平面的的一般式方程為2x+3y+z-1=0,平面片的一般式方程為-2z+4=0,平面外的一般

式方程為(2加+l)x+(3加+2)>+(〃7+1”-5=0,若a2n4=4,4?%，證明：4〃%；

(3)已知斜三棱柱ZBC-44G中，側(cè)面所在平面里經(jīng)過三點(diǎn)尸(4,0,0)，。(3,1,-1),以(-1,5,2),側(cè)

面8CC4所在平面片的一般式方程為x+2y+z+4=0,側(cè)面NCC/所在平面人的一般式方程為

mx+6y+2mz+l=0,求平面4844與平面/CC/i夾角的余弦值.

【變式9-1］離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo)，設(shè)尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P

處的離散曲率為①.=1一尸°,+尸g+-??+/2-/&+NQ/QJ,其中。(i=L2,…，鼠k>3)為多面

2兀

體M的所有與P相鄰的頂點(diǎn)，且平面。丁。2，。2尸。3,…平面和平面QkPQl為多面體M的所有以P為頂點(diǎn)的

面.現(xiàn)給出如圖所示的三棱錐尸-N8C.

(1)求三棱錐P-48c在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；

3

(2)若平面N3C,AC±BC,AC=BC=2,三棱錐尸-尸以在頂點(diǎn)C處的離散曲率為［.點(diǎn)。在

O

棱尸2上，直線CQ與平面N3C所成角的余弦值為駕，求3Q的長度

【變式9-2］空間中，我們將至少兩條坐標(biāo)軸不垂直的坐標(biāo)系稱為“空間斜坐標(biāo)系”.類比空間直角坐標(biāo)系,

「工后分別為“空間斜坐標(biāo)系''中三條數(shù)軸(龍軸、了軸、z軸)正方向的單位向量，若向量萬=xf+H+z定,

則元與有序?qū)崝?shù)組(x,%z)相對(duì)應(yīng)，稱向量k的斜坐標(biāo)為記作萬=［x,y,］如圖，在平行六面體

一4月。1。1中，AB=AD=1,AAX=1,ABLAD,ZBAAl=ADAAX=.以｛/3,AD,44｝為基底建

立“空間斜坐標(biāo)系”.

(1)若點(diǎn)E在平面/BCD內(nèi)，且其￡，平面/5C。，求&E的斜坐標(biāo)；

(2)若套的斜坐標(biāo)為[1,0,1],求平面ADXF與平面ABCD的夾角的余弦值.

【過關(guān)測(cè)試】

1.如圖，在三棱臺(tái)NBC-44G中，上、下底面是邊長分別為4和6的等邊三角形，44a平面N3C,設(shè)平

面/qGA平面Z2C=/,點(diǎn)瓦產(chǎn)分別在直線/和直線上，且滿足

(1)證明：跖，平面3CG4；

⑵若直線即和平面女所成角的余弦值為坐求該三棱臺(tái)的體積.

2.如圖所示的空間幾何體是以為軸的;圓柱與以48CD為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓

柱的母線，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn).

(1)求證：平面瓦加，平面3CG；

(2)當(dāng)/3=4,平面8。尸與平面/BG夾角的余弦值為平時(shí)，求點(diǎn)E到直線3G的距離.

TT

3.圖1是等腰梯形/BCD,AB=BC=2,ZBAD=-,￡是ZD中點(diǎn)，以BE為折痕，將折起，使

點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，如圖2.

P

AED

D

BC力c

圖1圖2C

(1)求證：BE1PC；

(2)若PC=y/~6

(i)求二面角5-PC-。的平面角的正弦值；

(ii)在棱尸。上存在點(diǎn)尸，使得尸到平面尸3。的距離為正，求直線CR與平面尸所成角的正弦值.

5

4.如圖，已知四邊形4BCD是矩形，AB=2BC=2,三角形PCD是正三角形，且平面/BCD_L平面

PCD.

(1)若O是CD的中點(diǎn)，證明尸/；

(2)求二面角3-尸/-。的正弦值；

(3)在線段CP上是否存在點(diǎn)。，使得直線與平面N2尸所成角的正弦值為無，若存在，確定點(diǎn)0的位置,

8

若不存在，請(qǐng)說明理由

7T

5.如圖1,四邊形4BCD為菱形，ZABC=~,E,尸分別為40,OC的中點(diǎn)，如圖2.將△/8C沿/C

向上折疊，使得平面48。_L平面/CFE,將9EF沿跖向上折疊.使得平面。昉_L平面/CFE,連接

BD.

B

BC

E

(1)求證：A,B,D,E四點(diǎn)共面:

(2)求平面AEDB與平面FD2C所成角的余弦值.

6.如圖1,在直角梯形48CD中，AB//CD,AB工BC,AB=3,BC=\,CD=2,過點(diǎn)。作_LN8于

點(diǎn)、H,將A/ON沿?！ㄕ郫B至△尸?！ㄌ?如圖2),使得平面平面8C。"，￡為線段PD的中點(diǎn).

圖1圖2

⑴證明：PB//平面CEH；

(2)求平面PBC與平面CEH夾角的正弦值.

7.如圖，多面體是三棱臺(tái)44。-/助和四棱錐C-8DZ)內(nèi)的組合體，底面四邊形/BCD

為正方形，=342=344]=3,CE=2ED,^4-LAD,平面四。。_L平面/BCD.

(1)證明：〃平面同助;

(2)若平面4AD與平面的交線為/,

(i)作出交線/(需要寫出必要的作圖步驟，保留作圖痕跡，無需證明);

(ii)求直線/與平面2c2所成角的正弦值.

8.如圖，在直三棱柱/8C-4用q中，AB工BC,AB=A4=6,BC=I,P是BCi工一動(dòng)點(diǎn),

麗=彳㈣(0<4<l),M是CG的中點(diǎn)，。是4b的中點(diǎn).

⑴當(dāng)4時(shí)，證明：P0〃平面/8C;

(2)在答題卡的題(2)圖中作出平面與平面/CG4的交線(保留作圖痕跡,無需證明)；

(3)是否存在2,使得平面/月尸與平面NCQ4所成二面角的余弦值為巫？若存在求滿足條件的4值，若

4

不存在，則說明理由.

9.在四棱臺(tái)中，底面/5CD為平行四邊形，側(cè)面為等腰梯形，且側(cè)面底

面/BCD,NB=3O=3,ND=2,4耳=1,42與8c的距離為2g，點(diǎn)瓦尸分別在棱CQ上，且

AE=^AB,CF=^CCl.

(1)求證：￡尸〃平面/￡>￡>/；

(2)求四棱臺(tái)ABCD-48GA的高；

(3)求異面直線4G與EF所成的角的余弦值.

10.如圖，平面平面COER,四邊形/BCD是正方形，DE1CD,CD//EF,CD=3EF,CD=2DE.

(1)求證：ACYBE-,

(2)求平面DBF與平面CBF夾角的余弦值.

11.如圖，在三棱臺(tái)NBC-。砂"中，AB=BC=AC=4,AD=FC=42,DF=2,N為DE的中點(diǎn).

(1)求證：AC1BN；

(2)若平面ABC±平面ACFD,求直線BN與直線AD所成角的余弦值：

(3)設(shè)二面角。-/C-8的大小為。，直線8E與平面/8C的所成角的大小為。，求tan。關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式

及其定義域，并求tan。的取值范圍.

12.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，8_1平面尸40,PA1AD.

p

⑴證明：P/_L平面N3Cr＞；

(2)若底面N8CD是正方形，AP=AB^6.￡為P8中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱P。上，且平面NE尸與平面/3CO的夾

角的余弦值為

3

(i)求尸尸；

(ii)平面/所交尸C于點(diǎn)G,點(diǎn)M在平面P5C上，求EG與平面”40所成角的正弦值的取值范圍.

13