2024-2025學年北師大版九年級數學下冊復習專練：利用函數（方程）解決實際問題（7大題型）原卷版

利用函數（方程）解決實際問題

（7大題型+中考必刷大題）

考情分析?直擊中考

函數（方程）解決實際問題在中考數學中出題類型比較廣泛，選擇題、填空題、解答題都有可能出現,

解答題中常見題型為：最值問題、方案問題、幾何圖形問題等，并且對應難度中等，是屬于占分較多的一

類考點，所以需要學生在復習這部分內容時，應扎實掌握好基礎，在書寫計算步驟時注意細節(jié)，避免因

為粗心而丟分.

琢題突破-保分必拿

利用一次方程（函數）與不等式解決實際問題（最值）

分式方程

利用一次方程（函數）與不等式解決實際問題（方案選擇）

利用二次方程（函數）解決實際問題

利用二元一次方程組與不等式解決實際問題（最值）

利用方程（函數）解決幾何問題

利用二元一次方程組與不等式解決實際問題（方案選擇）

題型一：利用一次方程（函數）與不等式解決實際問題（最值）

龍龍》大題典例

1.（2023?內蒙古呼和浩特?中考真題）學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發(fā)展，計

劃組織八年級學生到"開心”農場開展勞動實踐活動.到達農場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學生，

則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生.勞動實踐結束后，學校

在租車總費用2300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師.現有甲、乙兩種大型

客車，它們的載客量和租金如下表所示

甲型客車乙型客車

載客量/（人/輛）4530

租金/（元/輛）400280

（1）參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？

（2）租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車輛;

⑶學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？

2.（2022?山東濟寧?中考真題）某運輸公司安排甲、乙兩種貨車24輛恰好一次性將328噸的物資運往2

兩地，兩種貨車載重量及到48兩地的運輸成本如下表:

貨車類型載重量（噸/輛）運往4地的成本（元/輛）運往2地的成本（元/輛）

甲種161200900

乙種121000750

⑴求甲、乙兩種貨車各用了多少輛；

⑵如果前往/地的甲、乙兩種貨車共12輛，所運物資不少于160噸，其余貨車將剩余物資運往8地.設甲、

乙兩種貨車到/，2兩地的總運輸成本為w元，前往/地的甲種貨車為f輛.

①寫出校與，之間的函數解析式；

②當f為何值時，w最小？最小值是多少？

奧蘢》犀黃揖號

求最值的本質為求最優(yōu)方案，解法有兩種:

①可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；

②直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優(yōu)方案及

最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較.

【提示】一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或

線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數表達式一確定函數增減性一根據自變量的取值范圍確定最值.

蔻蔻＞.變式訓級

1.（2023?江蘇蘇州?模擬預測）為響應教育部立德樹人和"五育”并舉的號召，學校舉行班級籃球循環(huán)賽，比

賽計分規(guī)則：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得—1分.

（1）小明班級籃球隊在第一輪比賽中賽了9場，只負了2場，共得17分.那么他們勝了幾場，平了幾場？

⑵第二輪從第一輪球隊中選拔8個得分高的球隊，仍然采取單循環(huán)賽，但每一場必須決出勝負.如果一個

球隊獲勝x場，得分是y分，求y與x的函數關系式；

⑶為了文明比賽，學校規(guī)定，給無犯規(guī)的球隊加4分；如果有犯規(guī)，按每3次扣1分計入該隊的總分，循

環(huán)賽結束得分在9分（含9分）以上的球隊進入復賽.小明班級籃球隊預計犯規(guī)次數是獲勝次數的2倍，

按這個計劃實施，他們想進入復賽最少要勝多少場？

2.（2023?貴州?模擬預測）此京冬奧會吉祥物體現了中華文化的創(chuàng)盤和應用，冬奧會冰與雪的可愛化身"冰

墩墩"“雪容融"成為熱賣品，小星決定進貨并銷售，進貨價和銷售價如下表：

類別冰墩墩雪容融

價格

進貨價（元/個）4030

銷售價（元/個）5645

⑴小星第一次用1100元購進了"冰墩墩""雪容融"兩款吉祥物共30個，求"冰墩墩""雪容融"各購進多少個？

（2）小星第二次進貨時，商家規(guī)定"冰墩墩”進貨數是量不得超過"雪容融”進貨數量的一半，小星計劃購進兩款

吉祥物共60個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

題型二：利用一次方程（函數）與不等式解決實際問題（方案選擇）

鶻奧例.

（2023?河南?中考真題）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定購物時只能選擇其中一種.

活動一：所購商品按原價打八折；

活動二：所購商品按原價每滿300元減80元.（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元;

所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）

（1）購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由.

⑵購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健

身器材的原價.

⑶購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內，選擇活動二比選擇活動一更合算？設一

件這種健身器材的原價為。元，請直接寫出。的取值范圍.

先根據已知條件得到方程，再根據未知數之間的關系得到多種方案，選擇最優(yōu)方案進行解題.

一般答題思路：①根據題意列方程；

②用含未知數的式子分別表示出幾個未知的量；

③根據題意求自變量的取值范圍；

④根據題意列出符合題意的方案;選擇最優(yōu)方案。

蘢龍》要其訓級

1.（2023?云南昆明,模擬預測）某地要把248噸物資從某地運往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共20輛,

恰好能一次性運完這批物資.已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費

如下表：

運往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）

大貨車620700

小貨車400550

⑴求大、小兩種貨車各用鄉(xiāng)少輛？

（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為。輛，前往甲、乙兩地的總運

費為w元，求出?與。的函數關系式，并請你設計出使總運費最少的貨車調配方案，求出最少總運費.

2.（2023,浙江溫州?三模）根據以下素材，探索完成任務:

如何制定訂餐方案？

素

某班級組織春日研學活動，需提前為同學們訂購午餐，現有4B兩種套餐可供選擇，套餐信息及團

材

購優(yōu)惠方案如下所示：

1

套餐類別套餐單價團體訂購優(yōu)惠方案

A：米飯?zhí)撞?0元方案一：2套餐滿20份及以上打9折；

方案一：8套餐滿12份及以上打8折；

B-.面食套餐元

25方案三：總費用滿850元立減110元.

溫馨提示：方案三不可與方案一、方案二疊加使用.

素該班級共31位同學，每人都從4、B兩種套餐中選擇一種，一人一份訂餐，拒絕浪費.經統(tǒng)計，有20

材人已經確定4或B套餐，其余11人兩種套餐皆可.若已經確定套餐的20人先下單，三種團購優(yōu)惠條

2件均不滿足，費用合計為565元.

問題解決

任

計算選擇

務已經確定套餐的20人中，分別有多少人選擇a套餐和B套餐？

人數

1

任

分析變量設兩種套餐皆可的同學中有小人選擇4套餐，該班訂餐總費用為W元，當全班選擇力套餐

務

關系人數不少于20人時，請求出w與根之間的函數關系式.

2

任

制定最優(yōu)

務要使得該班訂餐總費用最低，則4B套餐應各訂多少份？并求出最低總費用.

方案

3

題型三：利用二元一次方程組與不等式解決實際問題（最值）

龍麓》大題典例

1.（2022?福建?中考真題）在學校開展“勞動創(chuàng)造美好生活”主題活動中，八年級（1）班負責校園某綠化角

的設計、種植與養(yǎng)護.同學們約定每人養(yǎng)護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數

不少于吊蘭盆數的2倍.已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元.

⑴采購組計劃將經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，可購買綠蘿和吊蘭各多少盆?

（2）請幫規(guī)劃組找出最省錢的購買方案，并求出購買兩種綠植總費用的最小值.

2.（2023?湖北襄陽?中考真題）在襄陽市創(chuàng)建"經濟品牌特色品牌”政策的影響下.每到傍晚，市內某網紅燒

烤店就食客如云，這家燒烤店的海鮮串和肉串非常暢銷，店主從食品加工廠批發(fā)以上兩種產品進行加工銷

售，其中海鮮串的成本為加元/支，肉串的成本為〃元/支；兩次購進并加工海鮮串和肉串的數量與成本如

下表所示（成本包括進價和其他費用）：

次數數量（支）總成本（元）

海鮮串肉串

第一次3000400017000

第二次4000300018000

針對團以消費，店主決定每次消費海鮮串不超過200支時，每支售價5元；超過200支時、不超過200支

的部分按原價，超過200支的部分打八折.每支肉串的售價為3.5元.

（1）求m、n的值；

⑵五一當天，一個旅游團去此店吃燒烤，一次性消費海鮮串和肉串共1000支，且海鮮串不超過400支.在

本次消費中，設該旅游團消費海鮮串x支，店主獲得海鮮串的總利潤為y元，求y與x的函數關系式，并寫

出自變量x的取值范圍；

⑶在（2）的條件下，該旅游團消費的海鮮串超過了200支，店主決定給該旅游團更多優(yōu)惠，對每支肉串降

價a元，但要確保本次消費獲得肉串的總利潤始終不低于海鮮串的總利潤，求a的最大值.

蘢皿英武訓綣

1.（2023?湖北襄陽?二模）我市某地盛產優(yōu)質香菇和大米，為幫助農戶打開銷路，某超市購進香菇和大米

幫助該地銷售，相關信息如下表:

商品規(guī)格批發(fā)價（元/袋）銷售價（元/袋）

香菇1kg/袋a55

少于500袋的部分不少于500袋的部分

10kg/

大米b

袋

5550

已知該超市購進10袋香菇和10袋大米共需780元，購進15袋香菇和5袋大米共需790元.

（1）求a與b的值；

⑵該超市五一期間購進香菇和大米共1000袋，并在五一期間全部銷售完，其中銷售香菇不少于400袋且不

超過600袋，設銷售香菇萬袋（X為整數），總獲利為y元，求y的最大值；

⑶該超市商議決定：在（2）的條件下，每銷售一袋香菇和大米，分別提取2m元和M（爪＞0）元作為愛心基

金用于資助該地區(qū)貧困生.因為特殊情況，每袋香菇和大米少提了t元，超市最后所得總利潤為13250元，

若t的值不大于L求小的最大值.

2.（2023?浙江溫州?二模）根據以下素材，探索完成任務

如何設計購買方案？

素某校40名同學要去參觀航天展覽館，已知展覽館分為B,。三個場館，且購買1張N場館門票和

材1張3場館門票共需90元，購買3張/場館門票和2張2場館門票共需230元.C場館門票為每張

115元.

素由于場地原因，要求到/場館參觀的人數要少于到8場館參觀的人數，且每位同學只能選擇一個場

材館參觀.參觀當天剛好有優(yōu)惠活動：每購買1張/場館門票就贈送1張C場館門票.

2

問題解決

任

確定場館門

務求/場館和2場館的門票價格.

票價格

1

任

探究經費的若購買/場館的門票贈送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學使用，求此次購買

務

使用門票所需總金額的最小值.

2

若購買門票總預算為1100元，在不超額的前提下，要讓去/場館的人數盡量的多，

請你設計一種購買方案.

任

擬定購買方購買方案

務

案

3門票類型ABC

購買數量

題型四：利用二元一次方程組與不等式解決實際問題（方案選擇）

蘢AK鶻粵例.

1.（2023?遼寧?中考真題）某禮品店經銷/,2兩種禮品盒，第一次購進/種禮品盒10盒，5種禮品盒15

盒，共花費2800元；第二次購進/種禮品盒6盒，3種禮品盒5盒，共花費1200元

（1）求購進/,8兩種禮品盒的單價分別是多少元；

⑵若該禮品店準備再次購進兩種禮品盒共40盒，總費用不超過4500元，那么至少購進/種禮品盒多少

盒？

2.（2022?四川綿陽?中考真題）某水果經營戶從水果批發(fā)市場批發(fā)水果進行零售，部分水果批發(fā)價格與零

售價格如下表:

水果品種梨子菠蘿蘋果車厘子

批發(fā)價格（元/檢）45640

零售價格（元/恒）56850

請解答下列問題:

⑴第一天，該經營戶用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋果共300彷，當日全部售出，求這兩種水果獲得的總利潤？

（2）第二天，該經營戶依然用1700元批發(fā)了菠蘿和蘋果，當日銷售結束清點盤存時發(fā)現進貨單丟失，只記得

這兩種水果的批發(fā)量均為正整數且菠蘿的進貨量不低于88彷，這兩種水果已全部售出且總利潤高于第一天

這兩種水果的總利潤，請通過計算說明該經營戶第二天批發(fā)這兩種水果可能的方案有哪些？

3.（2022?黑龍江牡丹江,中考真題）某工廠準備生產/和8兩種防疫用品，已知/種防疫用品每箱成本比8

種防疫用品每箱成本多500元.經計算，用6000元生產/種防疫用品的箱數與用4500元生產2種防疫用

品的箱數相等.請解答下列問題：

（1）求8兩種防疫用品每箱的成本；

（2）該工廠計劃用不超過90000元同時生產/和2兩種防疫用品共50箱，且8種防疫用品不超過25箱，該

工廠有幾種生產方案？

⑶為擴大生產，廠家欲拿出與（2）中最低成本相同的費用全部用于購進甲和乙兩種設備（兩種都買）.若

甲種設備每臺2500元，乙種設備每臺3500元，則有幾種購買方案？最多可購買甲，乙兩種設備共多少臺？

（請直接寫出答案即可）

蘢塞》要去訓級

1.（2022?湖南長沙?三模）我國傳統(tǒng)數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、

羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？"譯文："假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，

值16兩銀子.問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用50兩銀子買牛和羊共20只，要求羊的數目不超過牛的數目的兩倍，且銀兩可以有剩余,

請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案.

2.（2022?陜西西安?模擬預測）某汽車4s店銷售48兩種型號的新能源汽車.上周售出了2輛力型車和1輛B

型車，銷售額為62萬元；本周結束時售出了3輛力型車和2輛B型車，銷售額為106萬元.

⑴求每輛力型車和B型車的售價各為多少萬元；

（2）甲公司計劃向該店購買4B兩種型號的新能源汽車共6輛，且4型號車至少購買1輛，購車費不少于130萬

元，請問有哪幾種購車方案？

3.（2022?內蒙古通遼?模擬預測）某商店銷售2、B兩種品牌書包.已知購買1個4品牌書包和2個B品牌書包共

需550元；購買2個4品牌書包和1個B品牌書包共需500元.

①求這兩種書包的單價.

（2）某校準備購買同一種品牌的書包?。ㄗΓ?0）個，該商店對這兩種品牌的書包給出優(yōu)惠活動：4種品牌的書

包按原價的八折銷售；若購買B種品牌的書包10個以上，則超出部分按原價的五折銷售.

①設購買4品牌書包的費用為W1元，購買B品牌書包的費用為W2元，請分別求出Wl，W2與爪的函數關系式；

②根據以上信息，試說明學校購買哪種品牌書包更省錢.

題型五：分式方程

龍麓》大題典例

1.（2023?江蘇鹽城?中考真題）某校舉行"二十大知識學習競賽"活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作

為獎品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數）.

⑴若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數量相同，求

甲商店硬面筆記本的單價.

（2）若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價不變）：

一次購買的數量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出.班長小華打算購買m本硬

面筆記本（小為正整數），他發(fā)現再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本

的原價.

2.（2023?山東煙臺?中考真題）中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化源遠流長、是中華文明的智慧結晶.《孫子算經》、《周

髀算經》是我國古代較為普及的算書、許多問題淺顯有趣.某書店的《孫子算經》單價是《周髀算經》單

價的,，用600元購買《孫子算經》比購買《周髀算經》多買5本.

⑴求兩種圖書的單價分別為多少元？

（2）為等備"3.14數學節(jié)”活動，某校計劃到該書店購買這兩種圖書共80本，且購買的《周髀算經》數量不

少于《孫子算經》數量的一半.由于購買量大，書店打折優(yōu)惠，兩種圖書均按八折出售.求兩種圖書分別

購買多少本時費用最少？

蘢龍》屬黃指導.

用分式方程解決實際問題的步驟：

審：理解并找出實際問題中的等量關系；

設：用代數式表示實際問題中的基礎數據；

列：找到所列代數式中的等量關系，以此為依據列出方程；

解：求解方程；

驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+

1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解【易忽略】.

2）檢驗所求的解是否符合實際意義.

答：實際問題的答案.

與分式方程有關應用題的常見類型:

常見題型常見數量關系及公式等量關系補充

工作總量=工作時間工作效率多個工作效率不同的對象

X在工程問題中，一般將工

工程問題工作時間=工作總量+工作效率所完成的工作量的和等于

作總量看作單位

工作效率=工作總量+工作時間工作總量1.

利潤二售價-進價（成本）

商品打幾折就是按照原價

利潤問題總利潤二單件利潤X銷售量由題可知

的百分之幾出售

利潤率=利潤+成本價X100%

較大量二較小量+多余量

和差倍分問題由題可知弄清和、差、倍、分關系

總量二倍數X一份量

全路程二甲走的路程+乙走相向而行，注意出發(fā)時間

相遇問題

的路程、地點

路程=速度*時間

追及問題前者走的路程二追者走的路

速度=路程一時間

（同地不同時出發(fā)）程

時間=路程+速度同向而行，注意出發(fā)時間

行程問題

追及問題前者走的路程+兩地間距離、地點

（同時不同地出發(fā)）二追者走的路程

順水速度=靜水速度+水流速度注意兩地距離，靜水速度

航行問題路程二速度X時間

逆水速度二靜水速度-水流速度不變

蘢的英式訓綣

1.（2023?河南周口?模擬預測）某小區(qū)擬對地下車庫進行噴涂規(guī)劃，每個燃油車位的占地面積比每個新能

源車位的占地面積多5平方米，噴涂燃油車位每平方米的費用為20元，噴涂新能源車位每平方米的費用為

40元（含充電樁噴涂）.已知用150平方米建燃油車位的個數恰好是用120平方米建新能源車位個數的J.

6

⑴求每個燃油車位，新能源車位占地面積各為多少平方米?

（2）該小區(qū)擬混建燃油車位和新能源車位共200個，且新能源車位的數量不少于燃油車位數量的3倍.規(guī)劃

燃油車位，新能源車位各多少個，才能使噴涂總費用最少？費用最少為多少？

2.(2023?重慶萬州?模擬預測)隨著全球新一輪科技革命和產業(yè)變革蓬勃發(fā)展，新能源汽車已經成為全球

汽車產業(yè)轉型發(fā)展的主要方向，重慶一些傳統(tǒng)汽車零部件生產工廠也開始轉型生產新能源汽車零部件.某

汽車零部件生產廠的甲車間有工人20名，乙車間有工人30名，因接到加急生產一批新能源汽車零部件的任

務，所以工廠新增15名工人分配到甲、乙兩個車間，分配后甲車間的總人數為分配后乙車間總人數的3

⑴新分配到甲車間的人數有多少人？

(2)因為甲車間使用的是改良后的新設備，所以甲車間每名工人每天生產的零件數量為乙車間每名工人每天

生產的零件數量的14倍.新增工人后，甲車間生產42000個零件的天數比乙車間生產42000個零件的天數少

用4天，則乙車間每名工人每天生產零件多少個？

3.（2023?重慶銅梁?模擬預測）五一當天，小漳和媽媽約定從歐鵬中央公園出發(fā)，沿相同的路線去4320米

外的濱江公園，已知媽媽步行的速度是小潼的1.2倍.

（1）若小潼先出發(fā)12分鐘，媽媽才從歐鵬中央公園出發(fā)，最終小潼和媽媽同時到達濱江公園，則媽媽的步行

速度是每分鐘多少米？

⑵粗心的媽媽到達濱江公園后，想起30分鐘后公司有一個團建活動要參加，公司距離濱江公園2940米，

媽媽馬上從濱江公園出發(fā)趕往公司，她先以原速度步行一段時間后，又以150米/分鐘的速度跑步前行，若

媽媽不想遲到，則至少需要跑步多少分鐘？

題型六：利用二次方程（函數）解決實際問題

龍麓》大題典例

1.（2023?遼寧丹東?中考真題）某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購進一批成本價

為每千克4元的該大米，以不低于成本價且不超過每千克7元的價格銷售.當每千克售價為5元時，每天

售出大米950kg；當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg,通過分析銷售數據發(fā)現：每天銷售大米的

數量y（kg）與每千克售價久（元）滿足一次函數關系.

⑴請直接寫出y與x的函數關系式；

（2）超市將該大米每千克售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到1800元？

⑶當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？

2.（2023?陜西?中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨

度與拱高之積為48m2,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案.現

把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，點N在x軸上，PEION,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度OM=8m,拱高PF=6m.其中，點M在x軸上，PE1OM,O'E'=E'N'.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）.方案一中，矩形框架48CD

的面積記為Si，點/、。在拋物線上，邊BC在。N上；方案二中，矩形框架的面積記為S2,點4,D'

2

在拋物線上，邊B匕在。V上.現知，小華已正確求出方案二中，當4B，=3m時，S2=12V2m,請你根據

以上提供的相關信息，解答下列問題：

方案二

(2)在方案一中，當4B=3m時，求矩形框架2BCD的面積Si并比較Si，S2的大小.

3.(2023?甘肅蘭州?中考真題)一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體(看成一點)在空中的運動軌

跡是一條拋物線，運動員離水面。B的高度y(m)與離起跳點N的水平距離x(m)之間的函數關系如圖所示，運

動員離起跳點N的水平距離為1m時達到最高點，當運動員離起跳點工的水平距離為3m時離水面的距離為

7m.

團

跳

臺

支

柱

；

表達式

函數

于X的

了關

(1)求

的長.

離0B

水平距

水點的

點到入

從起跳

運動員

(2)求

號.

;去揖

＞舞

發(fā)龍

類型:

的常見

應用題

程有關

二次方

與一元

題

化率問

1)變

解決這類問題的關鍵是理解“增長了”與“增長到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二

次變化是在第一次變化的基礎上發(fā)生的.解決此類問題時，務必要記住公式a（l±x）n=b,其中a為增長（或

降低）的基礎數，x為增長（或降低）的變化率，n為增長（或降低）的次數，b為增長（或降低）后的數量.即：

增長（或降低）

/的次數

a（l±x）n=b

增長（或降低）增長（或降低）增長（或降低）

的基礎數的變化率后的數量

2）利潤和利潤率問題

在日常生活中，經常遇到有關商品利潤的問題，解決這類問題的關鍵是利用其中已知量與未量之間的等量

關系建立方程模型，并通過解方程來解決問題.要正確解答利潤或利潤率問題，首先要理解進價、售價、利

潤及利潤率之間的關系：利潤=售價一進價；利潤率=利潤X100%.

3）分裂（傳播）問題

解決此類問題的關鍵是原細胞或傳染源在不在總數中.其一般思路是先分析問題情境，明確是分裂問題還是

傳播問題，然后找出問題中的數量關系，再建立適當的數學模型求解.

①傳播問題：傳染源在傳播過程中，原傳染源的數量計入傳染結果，若傳染源數量為1,每一個傳染源傳染

X個個體，則第一輪傳染后，感染個體的總數為1+X,第二輪傳染后感染個體的總數為（l+x）2.

②分裂問題：細胞在分裂過程中，原細胞數目不計入分裂總數中，若原細胞數目為1,每一個細胞分裂為

個細胞，則第一次分裂后的細胞總數為X,第二次分裂后的細胞總數為X2.

4）碰面問題（循環(huán)）問題

①重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m,則（n-1）

②不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m,則m=

n（n-1）

利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值

解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。

利用二次函數解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當的平面直角坐標系，再根據題意找出已知點

的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據圖象信息解決實際問題。

【注意】二次函數在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果

頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論.

蘢麓》變式訓練

1.（2023?貴州貴陽?模擬預測）貴州省政府近日宣布，從2023年8月1日起，將推出一系列旅游優(yōu)惠政策,

以激勵更多游客到貴州旅游.某旅游景點為了響應政府號召，將對旅游團體購買門票實行優(yōu)惠活動，決定

在原定票價基礎上每張降價40元，這樣按原定票價需花費3600元購買的門票張數，現在只花費了2400元.

⑴求每張門票的原定票價；

⑵根據實際情況，活動組織單位決定對于個人購票也采取優(yōu)惠措施，原定票價經過連續(xù)兩次降價后降為97.2

元，求平均每次降價的百分率.

2.（2023?山東濱州?模擬預測）2023年"淄博燒烤”頻頻在各大社交平臺登上熱搜榜，它憑借"小餅烤爐加蘸

料，靈魂燒烤三件套"迅速在社交媒體上走紅，讓無數游客不遠千里來"打卡某燒烤店經銷一種烤肉，已

知一份烤肉的成本價為每份30元.市場調查發(fā)現，這種烤肉每天的銷售量y（單位：份）與銷售單價久（單

位：份）有如下關系：y=—尤+60（30W比W60）.設每天的銷售利潤為w元.

⑴求w■與久之間的函數解析式；

（2）這種烤肉銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

⑶如果物價部門規(guī)定這種烤肉的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種烤肉每天要獲得200元的銷售利潤,

銷售單價應定為多少元?

3.（2023?貴州黔東南?一模）有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感。

⑴每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

（2）如果按照這樣的傳染速度，經過三輪傳染后共有多少人患流感？

4.（23-24?河北邢臺?模擬）隨著自動化設備的普及，公園中引入了自動噴灌系統(tǒng).圖1是某公園內的一個

可垂直升降的草坪噴灌器，從噴水口噴出的水柱均為形狀相同的拋物線，圖2是該噴灌器噴水時的截面示

意圖.

⑴噴水口/曷地圖度為0.35m,噴出的水柱在離噴水口水平距禺為3m處達到最局，局度為0.8m,且水柱剛

好落在公園圍欄和地面的交界3處.

①以點。為坐標原點，OB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如下圖所示，求出拋物線的解析式；

咻

-o!>

②求噴灌器底端0到點B的距離；

（2）現準備在公園內沿圍欄建花壇，花壇的截面示意圖為矩形BCDE（如圖3）,其中高CD為0.5m.寬CB為

0.8m.為達到給花壇噴灌的效果，需將噴水口/向上升高hm,使水柱落在花壇的上方DE邊上，求〃的取

值范圍.

5.（2023?河南商丘?模擬預測）如圖是某懸索橋示意圖，其建造原理是在兩邊高大的橋塔之間懸掛主索，

再以相等的間隔從主索上設置豎直的吊索，與水平的橋面垂直，并連接橋面，承接橋面的重量，主索的幾

何形態(tài)近似符合拋物線.建立如圖所示的平面直角坐標系，主索DPC所在曲線的J與x之間近似滿足函數關

系y=a(x-h)2+k(a>0).

某實踐小組經過測量，橋面48中點M處上方點P為該懸索橋主索的最低點，MP=5m,MA=40m,塔橋

AD高度為25m.

⑴求該懸索橋主索所在拋物線的解析式;

(2)若想在距離M點20米處設置兩條吊索，求這兩條吊索的總長度;

⑶廠家生產了一條長16.25m的吊索，應將該吊索安置在距/點多遠的橋面上?

題型七：利用方程(函數)解決幾何問題

龍AX鶻粵例

1.（2023?黑龍江大慶?中考真題）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,

力F:BF=3:4,點G、H、F分別是邊力B、AC,BC的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE\\1J\\MN\\CD,

制造窗戶框的材料總長為16米（圖中所有黑線的長度和），設=x米，BE=y米.

（1）求y與x之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；

⑵當x為多少時，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計算窗戶的最大面積.

2.（2023?山東?中考真題）某學校為美化學校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個一面靠墻（墻足

夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為8兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥，學校已定購

籬笆120米.

AB

⑴設計一個使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；

（2）在花園面積最大的條件下，A,2兩塊內分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，知牡丹每株售價25

元，芍藥每株售價15元，學校計劃購買費用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？

3.（2023?甘肅武威?模擬預測）如圖，在矩形2BCD中，點M是BC邊上的一個動點（點M與點C不重合），

連接AM,過點M作垂足為點M,MN交CD或CD的延長線于點N.

備用圖

⑴若AB=6,BC=8.

①當BM=6時，CN=；

②已知點E是C。邊的中點，當點M在BC邊上運動時，MN能不能經過點E?若能，求出BM的長度；若不能,

請說明理由；

⑵若AB=6,BC=b.當點M在BC邊上運動時，求使得下列兩個條件都成立的b的取值范圍：點N始終在CD

邊上；點M在某一位置時，點N恰好與點D重合.

龍》期黃指導.

幾何圖形的面積問題是中考的熱點問題，通常涉及三角形、長方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面

積公式，從中找到等量關系解決問題.有關面積的應用題，均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.

常見類型1：如圖1,矩形ABCD長為a,寬為b,空白“回形”道路的寬為x,則陰影部分的面積為(a-2x)(b

—2x).

常見類型2：如圖2,矩形ABCD長為a,寬為b,陰影道路的寬為x,則空白部分的面積為(a-x)(b-x).

常見類型3：如圖3,矩形ABCD長為a,寬為b,陰影道路的寬為x,則4塊空白部分的面積之和能轉化為

(a-x)(b-x).

利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后

利用函數的最值解決面積最值問題。

【注意】自變量的取決范圍。

利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合

直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條

件進行計算.

1.(2023?內蒙古呼和浩特?中考真題)學校通過勞動教育促進學生樹德、增智、強體、育美全面發(fā)展，計

劃組織八年級學生到"開心”農場開展勞動實踐活動.到達農場后分組進行勞動，若每位老師帶38名學生，

則還剩6名學生沒老師帶；若每位老師帶40名學生，則有一位老師少帶6名學生.勞動實踐結束后，學校

在租車總費用2300元的限額內，租用汽車送師生返校，每輛車上至少要有1名老師.現有甲、乙兩種大型

客車，它們的載客量和租金如下表所示

甲型客車乙型客車

載客量/（人/輛）4530

租金/（元/輛）400280

①參加本次實踐活動的老師和學生各有多少名？

⑵租車返校時，既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少有1名老師，則共需租車輛;

⑶學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？

2.（2023?山東德州?模擬預測）用一段長為的50米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長25米.

圖1圖2

①如圖1,當菜園面積為300平方米時，求矩形菜園的長和寬.

（2）如圖2,若菜園中間用一道籬笆隔開，這個菜園的長和寬各為多少時，面積最大，最大面積是多少？

⑶在（2）的條件下，農戶準備種植8兩種蔬菜，每平方米分別投入6元，8元.經計算，種植/種蔬

菜每平方米可獲利8元，種植B種蔬菜每平方米可獲利12元，農戶拿出1000元用來種植這兩種蔬菜，設

種植/種蔬菜x平方米，總獲利y元.若要求/種蔬菜的種植面積不能少于2種蔬菜種植面積的2倍，當

種植/種蔬菜多少平方米時，獲得的利潤最大?并求出最大利潤.

3.（2023?貴州黔東南,一模）如圖，在Rt△48c中，NC=90。，AC=Sm,BC=6m,點P由C點出發(fā)以

2m/s的速度向終點力勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以lm/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時

另一個點也隨之停止移動.

⑴當點P移動時間為2秒時，APCQ的面積為多少？

(2)點P移動多少秒時，APCQ的面積為8m2?

⑶在點P、Q的運動過程中，APCQ的面積是否會達到10m2?為什么？

4.(2023?吉林白城?模擬預測)如圖，Rt^aBC中，NC=90。,乙4=30。,8。=2cm.P,。兩點分別從/,

C同時出發(fā)，點尸以3cm/s的速度沿折線48-BC向終點C勻速運動：點Q在C4上以舊cm/s的速度向終點A

勻速運動.過點P作PM14C于點M,以PM、QM為鄰邊作矩形PMQN.設點P的運動時間為x(s),矩形PMQN

的面積為y(cm)2.(注：線段看成面積為0cm2的矩形)

AMQC

⑴當點P與點N