2024年中考數(shù)學(xué)解答題：二次函數(shù)與實際問題6大考點（含解析）

決勝2024年中考解答題：二次函數(shù)與實際問題6大考點匯總與跟蹤訓(xùn)

練

6大考點匯總

考點L圖形問題

考點2：圖形運動問題

考點3：拱橋問題

考點4：銷售問題

考點5：投球問題

考點6：噴水問題

6大考點跟蹤訓(xùn)練

考點1：圖形問題

1.某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個矩形花園A3CD,花園的一邊靠墻,

另三邊用總長40m的柵欄圍成（如圖所示）.若設(shè)花園的A3邊長為xm,花園的面積為沖？.

（I，，*，，，，，，，，，，，，，，，,

AD

---------------1c

（1）求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

⑵滿足條件的花園面積能否達到50m2?若能，請求出X的值；若不能，請說明理由；

（3）當天是多少時，矩形場地面積y最大？最大面積是多少？

2.在銳角,A5c中，BC=6,5AAsc=12,矩形MPQN的兩個頂點M,N分別在A3,AC上，另

兩個頂點尸，。均在BC上，高AD交于點E,設(shè)的長為無，矩形MPQN的面積為y.

A

(1)求AD的長，并用含x的式子表示線段AE的長;

⑵請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)試求y的最大值.

3.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為4,將它剪去四個全等的直角三角形，得到四邊形￡八汨.設(shè)AE

的長為x,四邊形EPGH的面積為y.

⑴求》關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)四邊形EFG”的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

4.在平面直角坐標系中，。為原點，一。鉆是等腰直角三角形，ZOBA=90°,點45,0),點B在第

一象限，點尸在邊(點尸不與點。，A重合)，過點尸作交QW的直角邊于點。，

將線段Q尸繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段,點尸的對應(yīng)點為M,連接

(1)如圖①，若點M落在AB上,

⑵設(shè)二PQ河與Q4B重合部分面積為S,OP=t.

①如圖②，若重合部分為四邊形尸。防，與邊A3交于點E,F,試用含f的式子表示S,并直接寫出

r的取值范圍;

②當1VY4時，求S的取值范圍.(請直接寫出結(jié)果即可)

考點2：圖形運動問題

5.如圖，在正方形A3CE)中，AB=12cm,動點P從點A出發(fā)，經(jīng)過點2,向點C勻速運動，速度

為2cm/s；同時，點。從點8出發(fā)，向點C勻速運動，速度為lcm/s.連接尸2,PD,QD,設(shè)運

D

C

(1)當PQ〃AC時，求r的值;

(2)是否存在某一時刻3使得尸。？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由;

(3)當，為何值時，如。為等腰三角形?

(4)設(shè)一的面積為S,求出S關(guān)于t的函數(shù)表達式，以及當/為何值時，S等于正方形ABCD面積的

1

3

6.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=60。，AC=2cm,8是邊AB上的中線.P,。兩點

同時從點A出發(fā)，點P在AC上以Icm/s的速度向終點C運動；點。在A3上以2cm/s的速度向終點

8運動，以AP,AQ為鄰邊作平行四邊形APE。.設(shè)點P的運動時間為無。），平行四邊形APE0.與

ACD重疊部分圖形的面積為Mem?）.

⑴點尸到AB的距離為cm；（用含尤的代數(shù)式表示）

⑵當點￡落在中線。上時，求x的值；

⑶當0<x<2時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

7.如圖，已知..ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P,。同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC

勻速運動，其中點P運動的速度是Icm/s,點。運動的速度是2cm/s,當點。到達點C時，P、。兩

點都停止運動，設(shè)運動時間為《s）,解答下列問題：

B

⑴設(shè)VBPQ的面積為S（cm2）,求S與/的函數(shù)關(guān)系式;

（2）作。尺〃54交AC于點R,連接用，當/為何值時，△APRsAPRQ.

8.在平面直角坐標系中，。為原點，矩形。4BC的頂點A（4,0）,C僅,34），等邊三角形ODE的頂

點E（-6,0）,頂點。在第二象限.

（1）填空：如圖①，點8的坐標為，點。的坐標為;

（2）將.ODE沿x軸向右平移，得△O77E,點。，D,E的對應(yīng)點分別為。',。',引.設(shè)OO'=/,△O'O'E'

與矩形OA5C重疊部分的面積為S.

①如圖②，當△O'Q'E'與矩形。4fiC重疊部分為五邊形時，邊OZ>'與A3相交于點F,邊DE與OC

相交于點G,試用含有f的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍；

②當1WH6時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

考點3：拱橋問題

9.某農(nóng)場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的.其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在

墻體。4上，另一端固定在墻體上，其橫截面有2根支架。E,FG,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示，其中

支架DE=3C=3米，OF=DF=BD=2米,兩種支架各用了200根.

圖1圖2

為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對應(yīng)支架的長度變化情況如圖2

所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，其橫截面頂部仍為拋物線型，若增加的支架單價為60元/米（接

口忽略不計），經(jīng)費預(yù)算為40000元.

⑴分別以和。4所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系.

①求出改造前的頂部拋物線的函數(shù)解析式；

②求出改造前大棚的最大高度;

⑵只考慮經(jīng)費情況下，求出CC的最大值.

10.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其最高點P距離地面高度為8米，寬度。河為

16米.現(xiàn)以點。為原點，所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）.

圖1圖2

(1)求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量尤的取值范圍；

(2)隧道下的公路是單向雙車道，車輛并行時，安全平行間距為2米，該雙車道能否同時并行兩輛寬

2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；

(3)施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD,使點A。在拋物線上.點BC在地面

線上(如圖2所示).為了籌備材料，需測算“腳手架”三根鋼桿AB,AD,0c的長度之和的最大值是

多少，請你幫施工隊計算一下.

11.根據(jù)以下素材，探索解決下列問題.

素材1：圖①中有一個大棚苗木種植基地及其截面圖，其下半部分是一個長為20m,寬為1m的矩形，

其上半部分是一條拋物線，現(xiàn)測得，大棚頂部的最高點距離地面5m.以矩形長的中點為原點O,豎

直方向為y軸，水平方向為無軸，建立如圖②所示的平面直角坐標系，大棚頂部的最高點為尸.

素材2：為了讓苗木更好的生長需要在大棚內(nèi)安裝補光燈，補光燈采用吊裝模式懸掛在頂部，已知補

光燈在距離地面3.5m時補光效果最好.

(1)求大棚上半部分形狀所在拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若在距離8處水平距離7.5m的地方掛補光燈,為了使補光效果最好，求補光燈懸掛部分的長度.(燈

的大小忽略不計)

12.某公園內(nèi)人工湖上有一座拱橋(橫截面如圖所示)，跨度A3為4米.在距點A水平距離為尤米

的地點，拱橋距離水面的高度為y米.小路同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對y和x之間的關(guān)系進行了探

究.

%/米00.611.82.433.64

W米0.881.902.382.862.802.381.60.88

橋墩.橋墩

""frrnczkWD尸

經(jīng)過測量，得出了y和x的幾組對應(yīng)值，如上表.將表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點描在坐標系中，發(fā)現(xiàn)y是尤的

二次函數(shù)y=ax2+6x+0.88.

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出橋墩露出水面的高度AE=米；

(2)求〉與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)公園欲開設(shè)游船項目，現(xiàn)有長為3.5m,寬為1.5m,露出水面高度為L88m的游船.為安全起見，公

園要在水面上的C,D兩處設(shè)置警戒線，并且=要求游船能從C,。兩點之間安全通過，則

C處距橋墩距離CE至少為多少米.

考點4：銷售問題

13.“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習(xí)俗，在端午節(jié)來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40

元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于35。盒，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每盒定價

為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒，設(shè)每盒售價為x元，日

銷售量為尸盒.

(1)當x=60時，尸等于；

(2)當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W(元)最大？最大利潤是多少？

(3)小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大.”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時,

每盒售價x的范圍為60VxW80.”你認為他們的說法正確嗎？

14.某商店對柑橘上市后的市場銷售情況進行跟蹤調(diào)查，當柑橘的銷售單價為每件25元時，每天的

銷售量為50件，銷售單價每提高1元，每天的銷售量就減少2件.

（1）用適當?shù)暮瘮?shù)表示該柑橘的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系，其中止25；

（2）已知柑橘的進貨價格為每件20元，當柑橘的銷售單價定為多少時，該商店銷售柑橘每天獲得的利

潤最大？最大利潤是多少？

15.為助推鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展，解決茶農(nóng)賣茶難問題，某地政府在新茶上市30天內(nèi)，幫助“幸福村”茶農(nóng)

合作社集中銷售茶葉，設(shè)第x天（x為整數(shù)）的售價為y（元/斤），日銷售額為w（元）.據(jù)銷售記

錄知：

①第1天銷量為42斤，以后每天比前一天多賣2斤；

②前10天的價格一直為500元/斤，后20天價格每天比前一天跌10元，

（1）當UWx<30時，寫出，與x的關(guān)系式；

（2）當x為何值時日銷售額w最大，最大為多少？

（3）若日銷售額不低于31680元時可以獲得較大利潤，當天合作社將向希望小學(xué)捐款加元，用于捐資助

學(xué)，若“幸福村”茶農(nóng)合作社計劃幫助希望小學(xué)購買10800元的圖書，求加的最小整數(shù)值.

16.我校錫繡公社將在6月份舉行社團作品義賣，出售一批由學(xué)校師生親手制作的創(chuàng)意書簽（平均制

作成本為每枚5元，定價為每枚30元），并將籌集的善款捐給我校對口援建的青海省海東市。學(xué)校.設(shè)

第x天（x為正整數(shù)）的銷售量為y枚，y與尤的函數(shù)關(guān)系如圖所示.售賣窗口設(shè)置在學(xué)校南門對面

的友誼書店，由于6月份書店要增加人手，售賣書簽的成本逐日上漲，第x天小賣部從每枚書簽中抽

成為（O.2x+5）元.

（1）求y與尤的函數(shù)表達式.

（2）若每天的銷售利潤為W元，求W與X的函數(shù)表達式，并求出在第幾天時當天的銷售利潤最大？最

大利潤是多少元？

考點5：投球問題

17.擲實心球是中考體育考試項目之一，明明發(fā)現(xiàn)實心球從出手到落地的過程中，實心球豎直高度與

水平距離一直在相應(yīng)的發(fā)生變化.明明利用先進的鷹眼系統(tǒng)記錄了實心球在空中運動時的水平距離

x（單位：米）與豎直高度y（單位：米）的數(shù)據(jù)如表：

水平距離x/m045610

豎直高度y/m2.44.84.94.82.4

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立如圖所示的平面直角坐標系，根據(jù)圖中點的分布情況，明明發(fā)現(xiàn)其圖象是二次函

數(shù)的一部分.

a，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、，^^

（1）在明明投擲過程中，出手時實心球的豎直高度是一米，實心球在空中的最大高度是一米；

（2）根據(jù)中考體育考試評分標準（男生版），在投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于或等

于10.5米時，即可得滿分20分，明明在此次考試中是否得到滿分，請說明理由.

18.如圖，在一場校園羽毛球比賽中，小華在P點選擇吊球進行擊球，當羽毛球飛行的水平距離是1

米時，達到最大高度3.2米，建立如圖所示的平面直角坐標系.羽毛球在空中的運行軌跡可以近似的

看成拋物線的一部分；隊友小樂則在點P選擇扣球進行擊球，羽毛球的飛行高度弘(m)與水平距離

x(m)近似的￡滿足一次函數(shù)關(guān)系％=-0.4x+2.8.

(1)根據(jù)如圖所示的平面直角坐標系，求吊球時羽毛球滿足的二次函數(shù)表達式；

⑵在(1)的條件下，己知球網(wǎng)A2與y軸的水平距離(OA=3m,C4=2m,且點A,C都在x軸上，

實踐發(fā)現(xiàn)擊球和吊球這兩種方式都能使羽毛球過網(wǎng).要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算

判斷應(yīng)該選擇哪種擊球方式?

19.亮亮同學(xué)喜歡課外時間做數(shù)學(xué)探究活動.他使用內(nèi)置傳感器的“智能小球”進行擲小球活動，“智

能小球”的運動軌跡可看作拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標系，“智能小球”從出手到著陸

的過程中，豎直高度y(m)與水平距離x(m)可以用二次函數(shù)y=-g/+云刻畫，將“智能小球，，從斜

坡。點處拋出，斜坡可以用一次函數(shù)>=刻畫.某次活動時，小球能達到的最高點的坐標為(4,〃).

⑴請求出6和〃的值；

(2)“智能小球”在斜坡上的落點是M,求點”的坐標；

⑶若“智能小球”在自變量x的值滿足加WxWm+1的情況時，與其對應(yīng)的函數(shù)值》的最大值為6,直接

寫出加的值為.

20.有一臺乒乓球桌和自動發(fā)球機如圖1所示，其側(cè)面示意圖如圖2,發(fā)球機出口P到球桌的距

離加尸=4,現(xiàn)以點〃為原點，MV所在直線為1軸建立平面直角坐標系，X(dm)表示球與點”之

間的水平距離，y(dm)表示球到桌面的高度.在“直發(fā)式”和“間發(fā)式”兩種模式下，球的運動軌跡均

19

近似為拋物線，“直發(fā)式”模式下，球從尸處發(fā)出，落到桌面A處，其解析式為>+6;

“間發(fā)式”模式下，球從尸處發(fā)出，先落在桌面2處，再從2處彈起落到桌面C處.兩種模式皆在同

一高度發(fā)球，必段拋物線可以看作是由上4段拋物線向左平移得到.

(1)當。=4時,

①求b的值；

②求點A,B之間的距離;

b……

(2)已知BC段拋物線的最大高度為|,且它的形狀與PA段拋物線相同,若落點C恰好與落點A重合,

求。的值.

考點6：噴水問題

21.如圖1,為打造旅游休閑城市，某地在地面上沿綠道旁的母親河打造噴水景觀，噴出的水柱為拋

物線，為保持路面干燥，水柱要噴入河中，圖2是其截面圖，已知路面QA寬為3.5米，河道壩高AE

為5米，2與A的水平距離BE為2.5米.當水柱離噴水口。處水平距離為2米時，離路面距離的最

大值為3米，以點。為坐標原點，射線。4為x軸正方向建立平面直角坐標系.

(1)求拋物線的解析式；

(2)出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護欄，要求水柱不能噴射到護欄上，則護欄的最大高度是

多少米？

(3)水柱落入水中會蕩起美麗的水花，從美觀角度考慮，水柱落水點要在水面上，當河水降至離路面

距離為多少時，水柱剛好落在水面上？

22.消防員正在對一處著火點A進行噴水滅火，水流路線L為拋物線的一部分.建立如圖所示的平

面直角坐標系，已知消防車上的噴水口8高出地面2m,距離原點的水平距離為6m,著火點A距離

點B的水平距離為10m,且點2,A分別位于y軸左右兩側(cè)，拋物線L的解析式為y=+法+。(其

中b,。為常數(shù)）.

-一水平地面

（1）寫出點2的坐標，求c與6之間滿足的關(guān)系式.

⑵若著火點A高出地面3m,

①求水流恰好經(jīng)過著火點A時拋物線L的解析式，并求它的對稱軸;

②為徹底消除隱患，消防員對距著火點A水平距離1m的范圍內(nèi)繼續(xù)進行噴水，直接寫出拋物線（水

流路線）工解析式中6的取值范圍（包含端點）及。的最小值.

23.河南是農(nóng)業(yè)大省，小麥又是我省主要作物，小麥大田灌溉已經(jīng)從漫灌逐步改為更省水的噴灌，圖

1是噴灌裝置，水的軌跡可近似看作拋物線，圖2中，水到地面距離丁（加）與水平距離x（加）滿

足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c,已知噴頭A到支撐鋼架底部。的距離為1.5米，水流在距支撐鋼架水平

距離3米處時，距地面1.875米，水流在距支撐鋼架水平距離4米處時，距地面1.5米.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式和對稱軸.

（2）該噴灌裝置的噴灑半徑08（水的落點8到支撐鋼架底部。的距離）為多少米？水距地面的最大距

離為多少米？

24.圖1是某廣場中的一個景觀噴泉，水從噴頭噴出后呈拋物線形狀先向上至最高點后落下.將中間

立柱近似看作一條線，以其為y軸建立如圖2所示直角坐標系，己知中間立柱頂端C到水面的距離為

6m,噴水頭。恰好是立柱OC的中點，若水柱上升到最高點E時，到水面的距離為4m,到中間立柱

的距離為1m.

圖1圖2

⑴求圖2中第一象限內(nèi)拋物線的函數(shù)表達式.

(2)為了使水落下后全部進入水池中，請判斷圓形水池的直徑不能小于多少米?

參考答案:

1.(1)j=-2x2+40x,12.5W尤<20

(2)x=15時,花園的面積能達到150m2

(3)x=12.5時，》的最大值為187.50?

【分析】對于(1),先表示BC,再根據(jù)面積公式求出函數(shù)關(guān)系式，然后確定自變量的取值范圍;

對于(2),令>=150,求出解即可；

對于(3),先確定拋物線的開口方向和對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性得出答案.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：由題意可知4B為x米，則3c=(4。-2x)m

/.y=x(40-2x)=-2x2+40x

因為墻長15m.

.J40-2尤>0

??140-2尤415’

自變量的取值范圍是12.5Wx<20；

(2)此花園面積能達到150m2,理由如下：-2A：2+40%=150,

解得x=5(:舍)，x=15,

x=15時，花園的面積能達到150mZ；

(3)y=-lx1+40x,

當12.54x<20,y隨x的增大而減小，

；.x=12.5時，，的最大值為187.5n?.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，求二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)與一元二次

方程，求二次函數(shù)的極值，確定自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

2.(1)AD=4,

2

(2)AE=-x；

(3)y的最大值是6.

AFMN

【分析】利用三角形的面積計算公式求得高的即可,證得△AMNSAMC,得出而=正

進一步字母與數(shù)值得出答案即可；

(2)利用矩形的面積計算方法求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)利用二次函數(shù)的性質(zhì)和配方法求得最大值即可，

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比的性質(zhì)

是正確列出比例式解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴=12,

：.-BCxAD=12,又BC=6,

2

AD=4,

??MN//BC,

：.AAMN^AABC,

.AEMN

AE尤

H即n一T，

46

AE=-x；

3

(2)VAE=-x,

3

/.MP=AD-AE=4--x,

3

A矩形MPQN的面積為y=?4-1j=-|f+4x；

(3)y=--1x2+4x=--1(x-3)~+6,

，當x=3時，＞的最大值是6.

3.(l)y=2x2-8x+16；

⑵當x=2時，y有最小值8,即四邊形EFGH的面積最小為8.

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方形的面積和三角形的面積公式，求

出函數(shù)解析式.

(1)根據(jù)AE=x,得出4任=8石=48-鉆=4-x,用大正方形的面積減去4個直角三角形的面積

即可得出答案；

(2)通過配方求二次函數(shù)的最大值，求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)解：：在正方形紙片ABC。上剪去4個全等的直角三角形，

在△AEH中，AE^x,AH=BE=AB-AE=4-x,ZA=90°,

=

??yS正方形ABCD—4s△AEH

=42-4x^x（4-x）

=2x2—8x+16;

(2)解：正方形ER3H的面積為：)/=2X2-8X+16=2(X-2)2+8(0<X<4),

???當x=2時，y有最小值8,即四邊形ER汨的面積最小為8.

4.(1)(|,|);。，|)

⑵①—”之與，的取值范圍為2弓②*唔

【分析】(1)過點8作BGAQ4于點G,過點/作MVJ_Q4于點N,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得

到BG=OG=；,則點2坐標可求；設(shè)OP=x,則尸。=Q"=x,利用等腰直角三角形的性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)求得線段MN,ON的長度即可得出結(jié)論；

(2)①當:時，由(1)知：四邊形OQWP為平行四邊形，尸QM為等腰直角三角形，利用

等腰直角三角形的性質(zhì)求得百?，所的長度，再利用S=S?°M-SAW解答即可；

②利用分類討論的思想方法求得當14/44時，S與f的函數(shù)解析式，并求出對應(yīng)的極值，綜合解答過

程即可得出結(jié)論.

2

點45,0）,

OA=5,

/.BG=OG=-,

2

設(shè)。?=%,則尸。=QM=%,

PQ^-OA,QMLPQ,

△尸OM為等腰直角三角形，

PM=y[lx?

:.QM//PO,OP=QM,

四邊形OPMQ為平行四邊形，

..PM//OB

,\ZMPA=ZBOA=45°f

.口句以為等腰直角三角形，

AP=y/2PM=2x,

OA=OP+PA=3x=5,

5

:.x=—.

3

PQLOA,QMLPQ,MNLOA,

.??四邊形尸QMN為矩形，

PQ=MQ,

.??四邊形尸QMN為正方形，

:.PN=PQ=MN=3,

故答案為：（萬，萬）；（?尚）

由（1）知：四邊形OQM尸為平行四邊形，PQW為等腰直角三角形,

PQ=QM=t,PM=s[2PQ=yfit.

為等腰直角三角形，

■,PF=FA=—PA=—（5-t）,ZPFA=90°,

22

ZMFE=90°f

.?..E?為等腰直角三角形，

：.EF=FM=PM-PF=—=

222

.?S=S^PQM-S叢MEF

=^PQQM-^EFFM

7is7555

，用含，的式子表示s~/+萬r」的取值范圍為「宣

②當”時，一PQM與4。3重合部分面積為.PQM的面積,

/.S=—t2,

2

當1=1時，S=七1,當/=51時，S=2—5

2318

當，〈沁5=」人耳一生=」《_竺）2+",

4244714

1525

??.當"了時,S的最大值為五；

PQ=5—t,

:.PL=^PQ=^（5-t）,

...5=3乙0=三￥（5一/）］2=：（5一疔，

當，=：5時，S=25.當=4時，S.1

綜上，當14區(qū)4時，S的取值范圍1;<5〈?二5.

414

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，點的坐標的意義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定

與性質(zhì)，利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度，和用線段的長度表示點的坐標是解題的關(guān)鍵.

5.⑴/=4

⑵仁3

⑶當7=4時，陽。為等腰三角形

(4)S=r2-12r+72(0<r<6)；S=72-6《6〈注12)；當仁6-26時，S=：S正方形鉆⑺

【分析】(1)根據(jù)題意證明△PBQSA4BC,利用相似三角形的性質(zhì)建立等式求解，即可解題；

(2)利用勾股定理分別表示出「加、PQJQD2,再根據(jù)利用勾股定理。。、尸獷+尸爐

建立方程求解，即可解題；

(3)由一即。為等腰三角形，分以下三種情況討論，①若PQ=PD,則P02=po2,②若QD=PD,

貝ljQZ)2=pD2,③若PQ=QD,則2。2=。。2,根據(jù)以上三種情況討論分析，即可解題;

(4)由動點尸從點A出發(fā)，經(jīng)過點3,向點C勻速運動，速度為2cm/s；分以下情況討論S關(guān)于/

的函數(shù)表達式，以及當f為何值時，S等于正方形ABCD面積的g,①當點P在AB上運動時，易知

0<Y6,根據(jù)S=S正方形版-S,求解即可，②當點尸在BC上運動時，易知6<Y12,

根據(jù)S=求解即可.

【詳解】(1)解：.正方形ABCD中，Afi=12cm,

/.BC=AD=DC=12cm,

由題知，AP=2t,BP=U-2t,BQ=t,

通過PQAC可證△尸HQSAABC,

.BPBQ口口12-2/t&力/曰

即-----=——，解得f=4A；

「AB-BC1212

(2)解：存在,

在RtA/VID中，由勾股定理得PD-=AD2+AP2=144+4戶,

同理可得PQ2=BQ2+BP2=5產(chǎn)一48f+144,QD2=CD2+CQ2=t2-24r+288,

若PQLPD,則在RtARW中，由勾股定理得。小二尸斤+尸。?,

即144+4r2+5產(chǎn)-48/+144=產(chǎn)一24r+288,

:.8/_24r=0,解得％=3,力=。(舍)；

(3)解：易知點P在AB上運動時，PDQ可能為等腰三角形.

①若PQ=PD,則尸。2=陽2,

由⑴得144+4產(chǎn)=5產(chǎn)-48+144,

：.t2-48t=0,解得％=48（舍），3=°（舍），

②若QD=PD,則QD'p》，

由（1）得144+4產(chǎn)=產(chǎn)―24/+288,

.-.3?+24/-144=0,BPI2+8（-48=0,

解得a=4,t2=-12（舍），

③若PQ=QD,貝次。2=。。2,

由（1）得5/一48/+144=產(chǎn)一2書+288,

，4/一24r-144=0,即--67+36=0,

解得％=3+3>/^（舍），（2=3—3\[5（舍）,

綜上，當r=4時，.PDQ為等腰三角形.

（4）解：S正方形鉆CD=超2=144,

JS正方形ABCD=48.

①當點尸在A3上運動時，易知0</6,

S=S正方形MC0—SAPD-SAPD~SAPD，

.-.S=t2-12t+72（0<t<6）,

右S=耳S正方形Me。，貝U廠一12/+72=48）即產(chǎn)―12f+24=0）

解得％=6-t、=6+26（舍）.

②當點尸在BC上運動時，易知6<r<12,

S=^PQCD,

.-.S=72-6f（6<r<12）,

若5=：5正方形神⑦，則72-6/=48,解得7=4（舍），

綜上，當點尸在A3上運動時，S=z2-12?+72（0<r<6）；

當點尸在3C上運動時，5=72-6?（6<?<12）；

當，=6-2A/3時，$=耳S正方形ABCD-

【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)和判定，勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，等腰三

角形性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)動點運動情況，以及幾何圖形性質(zhì)，結(jié)

合方程建立等式求解.

6.x

0<x<j

2

⑶y=<—X+3>/3X->/3序E

4

地Y+瓜-百(l<x<2)

4

【分析】(1)過點P作尸于點“，利用解直角三角形求解即可;

(2)畫出圖形，證明一ACD,一PCE是等邊三角形，可得PC=PE=2x(cm),再利用可得AP=xcm,

AC=2,建立等式x+2x=2求解，即可解題;

22

(3)根據(jù)當0<x<2時及點的運動情況，分情況討論：①當0<x<；時；②當彳《九<1時；③當l<x<2

33

時；作出相應(yīng)圖形求解面積即可.

【詳解】(1)解：過點尸作尸于點”，如圖1,

圖1

在RtZSPH中，PH=APsin60°=xx旦亭(cm),

2

???點尸到A5的距離為:叵x;

2

故答案為：生;

(2)解:如圖2,

ZAGB=90°,AD=DB,

B

圖2

/.CD=DA=DB，

ZA=60°,

.?.-ACO是等邊三角形，

/.ZPCE=60°,

四邊形AP田2是平行四邊形，

/.PE//AQ,PE=AQ=2x(cm),

.\ZCPE=ZA=6O°,

:是等邊三角形，

PC=PE=2x(cm),

AP=xcm,AC=2,

:.x+2x=2,

2

x=一；

3

2

(3)解：①當0<x<§時，

重疊部分是平行四邊形APEQ(如圖1),此時y=2xx走元=氐2；

2

2

②如圖3中，當3Vx<1時,

重疊部分是五邊形A尸K/Q,

AP=x,PE=AQ=2x,

/.CP=2—x,

由(2)同理可知，△尸CK是等邊三角形，

/.PK=2—%,

KE=3x-2,

ZEKJ=ZCKP=60°,ZE=ZA=6Q°,

△KE7是等邊三角形，

:.KE=KJ=EJ=3x-2,

由(1)同理可得，點J到KE的距離為：走x,

2

222

此時y=SAPEQ-SKEJ=43x-^-x(3x-2)=-^-x+3y/3x-y/3；

c

圖3

③如圖4中，當lWx<2時,

重疊部分是四邊形APQ,

由⑴同理可得，點C到9的距離為：*5

點。到PK的距離為：B,PC=#（2-x）,

2

=x2x6一容（2一x”當￡+—；

止匕時y=SACD-SPCK~

圖4

辰0cxeg

2*<1?

綜上所述，>=<--x+3s/3x-y/3

4

當X2+瓜飛（1<%<2）

【點睛】本題考查點的運動，代數(shù)式表示式，解直角三角形，等邊三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形

的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能夠做出相對應(yīng)的圖形，結(jié)合圖形進行求解.

7.(1)S=--R2+3A/3/

2

(2)當t=：時，△APRS^PRQ

【分析】本題考查等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形相似、移動的特征、解直角三角形、函數(shù)等知識.難

度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神；

(1)-3為60。特殊角，過。作垂足為E,則8。、BP、高EQ(含30度角的直角三角

形的性質(zhì)和勾股定理)的長可用f表示，S與/的函數(shù)關(guān)系式也可求；

(2)由題目線段的長度可證得△CRQ為等邊三角形，進而得出四邊形瓦嗯Q是矩形，由

△APRS4PRQ,得出比例式建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：過。作QELA8,垂足為E,

在RtBEQ中，ZB2E=90°-ZB=30°,QB=2t,

BE=t,QE=\[?>t

由AP=，，得PB=6-，

SRPC-—xBPxQE-—(6—xs/3t-—

。222

.?.S=—且產(chǎn)+3后；

2

(2)解：QR//BA

Z.QRC=ZA=60°,ZRQC=ZB=60°

??沙。是等邊三角形

.-.QR=RC=QC=6-2t

BE=BQ-cos60°=gx2/=/

.\EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t

:.EP//QR,EP=QR

二.四邊形EPHQ是平行四邊形

PR=EQ=?

又二NPEQ=9Q0,

:.ZAPR=NPRQ=90。

APRsPRQ,

.QRPR

-1PR~^P'

6-2/y/3t

解得仁g

.?.當/=1時，△APRsAPRQ.

8.⑴（4,3君），（-3,373）

（2）①S=-打2+10/一176（4<r<6）；②#4548/

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得81,34），進而過點。作DMLx軸于點M,根據(jù)等邊三角形的

性質(zhì)得出EM=OM=3,DO=EO=6,/。。射=60。，進而求得。的坐標；

（2）①由平移可得NZyE'O'=NZyo'E'=60°,O'E'=6,則S.。?。=；O'E'-OC=94，根據(jù)

S=SD，EO,—SGEO_SFAO'得出函數(shù)關(guān)系，即可求解.

②分三種情況討論，當14/<3,3<r<4,4</<6時，分別結(jié)合圖形列出函數(shù)關(guān)系式，求得最值，

即可求解.

【詳解】（1）解：：矩形Q4BC的頂點A（4,0）,。僅,3右），

OA=4,OC=3A/3,

；.2（4,3@,

???等邊三角形ODE的頂點￡（-6,0）,頂點。在第二象限，則OE=6

過點。作DM，x軸于點M,

:.EM=OM=3,DO=EO=6,ZDOM=60°

DM=MO?tan60=3g

。卜3,3⑹

（2）①：A（4,0）,C（0,3⑹，E（-6,0）

OA=CA=4,AB=OC=3y/3,OE=6

,/ODE是等邊三角形，

ZDEO"DOE=60。

由平移可得NDE'O'=AD'OE=60°,O'E'=6

：

.SOn,LFD,n=-O'E'-OC、=9s[3

GO=OE'-tanZGE'O=?OE：AF=O'A-tanZFO'A=?0'A

"：OO'=t

：.O'A=OO'-AO=t-4,OE'=O'E'-OOr=6-t

；?S.=-OE'OG=—(6-t}1,S.=-AO'-AF=—(t-4f

UGUOE22、)>rFAAUO22v7

又S=SD'EO'-SGE'O~SFAO'

S=9癢!(67)2_?”4)2

=-"2+IO"-17Q

?/￡\O'D'E'與矩形O4BC重疊部分為五邊形

0'A>0,0'E>0

解得:4<t<69

5=-舟+106-17同4</<6)

②當lVf<3時，如圖所示，重疊面積為So.=1產(chǎn)

f=l時取得最小值為好,

2

由①可得當4。W6時，S=-A/3/2+1073/-17^=(f-5)2+873

「?當，=5時，最大值為8石,

日產(chǎn)(kf<3)

S十三1-6『+9同3</W4）

-^2+10^-1773（4<?<6）

綜上所述，當1WY6時，^<S<843

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì),

熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

1577

9.(l)?y=——-x2+-x+l；-

12O12

⑵CC’最大值是2米

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對

稱性，一元一次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵.

(1)①設(shè)改造前的函數(shù)解析式為y=a/+fcv+c(awO),根據(jù)所建立的平面直角坐標系得到4。，1),

￡(4,3),C(6,3),然后代入解析式得到關(guān)于a、b、c的方程組，求解即可；②把得到函數(shù)的解析式配

方，即可得到結(jié)論；

(2)求出G[2,。],設(shè)改造后拋物線解析式為%="2+法+1,根據(jù)對稱軸％=-3=5,得到

I3/2a

%=依2-1。依+1,根據(jù)x=2時，求出G'(2,-16。+1),得到GG'=-16a-g.同理x=4時，得到

~4-

CC'=EE=-24a-2,根據(jù)經(jīng)費預(yù)算為40000元，得至Ij-16a--+(-24a-2)x200x60<40000,解

得aN-g,根據(jù)CC‘隨。的增大而減小，得到。=-±時，CC最大=2.

66

【詳解】(1)①設(shè)改造前的拋物線解析式為'二④^+樂+^g。。)，

由題意可知，40,1),E(4,3),C(6,3)在拋物線上，

c=1

<16a+40+c=3,

36。+66+c=3

1

12

解得,b=-

6

c=l

x+l.

126

o??12511237

--—<0,0<x<6,

7126121212

???元=5時,

37

7

當x=2時,y=—

3

；.GJ,

設(shè)改造后拋物線解析式為%=ax2+fox+1,

b

??,對稱軸x=—『=5,

2a

b=一10〃，

2

y2=ax-10tzx+l,

當x=2時，%=T6〃+1,

G(2,—16〃+1)9

74

GG=-16Q+1—=-16?！?

33

當％=4時，%=-24。+1,

磯4,-24°+1),

,/￡(4,3),

/.E'E=-24a+l-3=-24a-2.

??CC=—24〃一2,

???經(jīng)費預(yù)算為40000元,

4

-16a--+(-24a-2)x200x60<40000,

解得，〃之一>

6

V-24<0,

???CC'隨〃的增大而減小，

???。=一3時，CC'最大，CC最大=2.

答:CC'最大值是2米.

10.⑴解析式y(tǒng)=-：必+2光，自變量1的取值范圍為：0<%<16

O

(2)能，說明見解析

(3)20米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用.

(1)根據(jù)題意，可得點M及拋物線頂點P的坐標，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)由題知，當x=［9時，y=?507?，而90挈7>5,即可得出結(jié)論；

232“

(3)設(shè)QB=x,則3C=16—2x,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出M>=BC=16-2x,AB=DC=-^x2+2x,

o

設(shè)/=進而表示出/的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解：依題意：拋物線形的公路隧道，其高度為8米，寬度為16米，現(xiàn)在。點為原

點，

.??點時(16,0),頂點尸(8,8),

2

設(shè)拋物線的解析式為y=ax+bX.

把點M(16,0),點P(8,8)代入得：

64a+8Z?=8

256。+16/?=0

解得,8

b=2

???拋物線的解析式為y=-^x2+2x

o

OM=16,M(16,0),

，自變量x的取值范圍為：0WxW16；

(2)解：當元=8-2.5-1=-時，y=——xf—+2x2=2。7>5,

2，8y2)232

能同時并行兩輛寬2.5米、高5米的特種車輛.

(3)解：設(shè)O3=x,則8C=16—2x,

..?四邊形ABCD是矩形，

AAD=BC=\6-2x,AB=DC=~^X2+2X

o

2

=AB+AD+DCf貝U/=-1x+4x+16-2x

I——yX2+2%+16

4

V--<0,

4

.?.當x=_，=4時，/有最大值為4代->=20.

2a4。

答：三根木桿AB,AD,DC的長度和的最大值是20米.

1,

11.(l)y=-----x+5

25

(2)補光燈懸掛部分的長度應(yīng)是1.25m

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：

(1)根據(jù)圖象，利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)當尤=2.5時，得>=4.75,進而可求解；

熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：根據(jù)圖中的坐標系以及題意可得，點P的坐標為(0,5),點8的坐標為(10,1),

拋物線的頂點坐標為點P(0,5),

，可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=ax2