2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：矩形、菱形、正方形（解析版）

2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編

專題19矩形、菱形、正方形

一、選擇題

1.（2024甘肅威武）如圖，在矩形48CD中，對(duì)角線ZC,相交于點(diǎn)。，ZABD=60°,AB=2,

則/C的長(zhǎng)為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，得。4=08=OC=OD=,結(jié)合ZABD=60°,得到AAOB

2

是等邊三角形，結(jié)合48=2,得到。4=08=48=,2。，解得即可.

2

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】根據(jù)矩形ABCD的性質(zhì)，得。4=08=OC=OD=工ZC,

2

NABD=60°,

**?是等邊三角形，

AB=2,

：.OA=OB=AB=-AC=2,

2

解得ZC=4.

故選C.

2.（2024四川成都市）如圖，在矩形45CD中，對(duì)角線ZC與8。相交于點(diǎn)0,則下列結(jié)論一定正

確的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.

ZACB=ZACD

【答案】C

【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

:四邊形45CD是矩形,

:?AB=CD,AC=BD,AD//BC,則N4cs=/D/C,

，選項(xiàng)A中幺5=40不一定正確，故不符合題意；

選項(xiàng)B中/C7.50不一定正確，故不符合題意；

選項(xiàng)C中一定正確，故符合題意；

選項(xiàng)D中N/CS=N/CD不一定正確，故不符合題意，

故選：C.

3.（2024四川德陽）寬與長(zhǎng)的比是必二'的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界

2

各國(guó)許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì).已知四邊形/BCD是黃金矩

形.（48<2C）,點(diǎn)尸是邊4D上一點(diǎn)，則滿足可，PC的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判

斷一元二次方程解的情況是解題的關(guān)鍵.設(shè)8C=6,假設(shè)存在點(diǎn)尸，且/尸=X,則

2

PD=b-x,利用勾股定理得到3P2=4g2+4p2=/+x2,PC=PD2+CD-=（b-x）2+a-,

BC2=BP2+PC2，可得到方程/-樂+4=0,結(jié)合理=g=1二1,然后根據(jù)判別式的符號(hào)

BCb2

即可確定有幾個(gè)解，由此得解.

【詳解】如圖所示，四邊形48CD是黃金矩形，AB<BC,包=1二L

BC2

設(shè)48=a,BC=b?假設(shè)存在點(diǎn)尸，且/P=x,貝！jPD=Z?-x,

在RtA^SP中，BP。=AB2+AP-=a+jC>

在Rt^PDC中，PC2=PD~+CD2=(b-x)2+/,

PB工PC,

BC2=BP2+PC2，BPb2=a2+x2+(b-xf+a2,

整理得x2-bx+a2=0

在口，即八叵』，

A=b2—4ac=b2—4a之,又二—

BCb22

A=/_4ac=/_4/=/_4義("一］》=(26_5)/，

4

2石-5<0，b2>0,

A=b2-4a2=(2^5-5)b2<0,

方程無解，即點(diǎn)尸不存在.

故選：D.

4.（2024黑龍江綏化）如圖，四邊形45CD是菱形，CD=5,BD=8,AELBC于點(diǎn)、E,貝(IZE

的長(zhǎng)是（）

D.12

【答案】A

【解析】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求得OC,進(jìn)而得出ZC=6,進(jìn)而根據(jù)

等面積法，即可求解.

【詳解】解：???四邊形45CD是菱形，CD=5,BD=8,

：.DO=-BD=4,AC1BD,BC=CD=5,

2

在Rtz\C￡）。中，CO7DC?-DO?=3,

AC-2OC=6,

,/菱形ABCD的面積為-ACxBD=BCxAE,

2

.—x8x6

24,

??A4ZE7=2---------

5T

故選：A.

5.（2024廣西）如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形/BCD,E,F,G,〃分別為各邊中點(diǎn)，連接ZG,BH,

CE,DF,交點(diǎn)分別為N,P,Q,那么四邊形的面積為（）

A.1B.2C.5D.10

【答案】C

【解析】先證明四邊形兒WP。是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出。。=尸。，

AM=QM,證明AADGWBAH（SAS）得出NDAG=NABH,則可得出NQMN=NAMB=90°,

同理乙40。=90°,得出平行四邊形兒WP。是矩形，證明之△B/"（AAS）,得出

DQ=AM,進(jìn)而得出DQ=/M=PQ=W,得出矩形MVP。是正方形，在中，利用

勾股定理求出加2=5,然后利用正方形的面積公式求解即可.

【詳解】：四邊形A8CD是正方形，

/.AB=BC=CD=DA,AB//CD,AD//BC,ADAB=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°,

,:E,F,G,〃分別為各邊中點(diǎn)，

CG=DG=一CD=AH,AE=—AB,

22

DG=CG=AE,

四邊形AECG是平行四邊形，

/.AG//CE,

同理

四邊形MNPQ是平行四邊形，

?1,AG//CE,

.DQ_DG

??歷-之人

DQ=PQ,

同理AM=QM,

?/DG=AH,ZADG=ZBAH=90°,AD=BA,

AADG^ABAH(SAS),

：.ZDAG=AABH,

,：ZDAG+ZGAB=9Q°,

：.ZABH+ZGAB=90°,

：.ZQMN=ZAMB=90°,同理ZT40D=9O°,

平行四邊形兒是矩形，

乙4QD=ZAMB=90°,ADAG=AABH,AD=BA,

：.AADQ^ABAM(AAS),

：.DQ=AM,

又DQ=PQ,AM=QM,

：.DQ=AM=PQ=QM,

矩形MVP。是正方形，

在RtA4。。中，AD2=DQ2+AQ2,

：.52=0"+(20即2,

QM~=5,

.?.正方形九AP。的面積為5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理

等知識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵.

6.(2024重慶市B)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形/BCD中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是3延長(zhǎng)

線上一點(diǎn)，連接/E,AF-AM平分NEAF.交CD于點(diǎn)M.若BE=DF=1,則DM的長(zhǎng)度

為()

一尸

~\D

Af

12

A.2B.V5C.V6D.

T

【答案】D

【解析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得

到ZABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4，再證明

△48￡也八4。廠(SAS)得到AE=AF,進(jìn)一步證明［(SAS)得至！］EM=FM,

^DM=x,則EN=EM=￡>E+￡>M=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtzXCEM中，由勾股定理得(X+1『=32+(4-X)2,解方程即可得到答案.

【詳解】???四邊形48CD是正方形，

/ABE=ZADC=ZADF=ZC=90°,AB=AD=CD=BC=4,

又,：BE=DF=1,

：.AABE^AADF(SAS),

：.AE=AF,

?/AM平分NEAF,

；?ZEAM=ZFAM,

又：AM=AM,

：.LAEM當(dāng)LAFM(SAS),

：.EM=FM,

設(shè)。兒』，則EM=EA/=￡>E+￡>M=x+l,CM=CD-DM=4-x,

在RtZXCW中，由勾股定理得SA/=庭2+0/2,

(x+1)2=32+(4-X)\

解得x=—

5

：.DM=2

5

故選：D.

7.（2024山東煙臺(tái)）如圖，在正方形48CD中，點(diǎn)E,尸分別為對(duì)角線HD,ZC的三等分點(diǎn)，連

接AE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G,連接EF,PG,若NNG/,則ZFAG用含a的代數(shù)式表示為（）

45°-a90°-a45°+aa

A.D.

2T

【答案】B

【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的

外角性質(zhì).證明AEOFsADOC,求得AOFE=45°,證明^ABE^GDE,證得

DG=^CD=CG,推出AOEG也ACEG(SAS),得到G￡=G廠，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：正方形48CD中，點(diǎn)E,尸分別為對(duì)角線HD,ZC的三等分點(diǎn)，

：.OD=OC,ZODC=ZOCD=45°,DE=CF,

OE=OF,

OEOF

,：/EOF=ZDOC,——=——，

ODOC

：./\EOF^/\DOC，

NOFE=ZOCD=45°,

;點(diǎn)、E,尸分別為對(duì)角線/C的三等分點(diǎn)，

?DEI

??一,

BE2

:正方形45cO,

AB//CD,

：.AABESAGDE,

.DGDE1

,?AB-BE-3'

：.DG=-CD=CG,

2

ADEG^ACFG(SAS),

GE=GF,

：.ZGEF=1(180°-ZAGF)=90°-,

11900-cr

ZFAG=NGEF-ZAFE=90°——a-45°=45°——a=---------

222

故選：B.

8.（2024陜西?。┤鐖D，正方形CEPG的頂點(diǎn)G在正方形/BCD的邊CD上，/下與。。交于點(diǎn)

則DH的長(zhǎng)為（)

58

A.2B.3C.一D.-

23

【答案】B

【解析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì).證明△/OHsaEGW,利用相似

三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：：正方形45=6,

:.AB=AD=CD=6,

:正方形CE9G,CE=2,

：.CE=GF=CG=2,

：.DG=CD-CG=4,

由題意得4D〃GE,

AADHsAFGH,

ADDH6DH

——=----，即nn一=------：

GFGH24—DH

解得￡>8=3,

故選：B.

二、填空題

1.（2024黑龍江綏化）在矩形48C。中，AB=4cm,5C=8cm，點(diǎn)E在直線4D上，且。E=2cm,

則點(diǎn)E到矩形對(duì)角線所在直線的距離是.cm.

【答案】空或正或2出

55

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，設(shè)幺。,8￡?交于點(diǎn)。，點(diǎn)用在線段上，生在

的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)/C作/C,3。的垂線，垂足分別為耳，鳥,巴，進(jìn)而分別求得垂線段的長(zhǎng)度,

即可求解.

【詳解】解：：四邊形/5CO是矩形，28=4,BC=8,

AD=BC=8,CD—AB=4,

2

AC=yjAD-+CD="2+82=475

sinACAD=—=,cosZG4r>=-^=^,tanZG4D=-=-

AC4V554逐582

如圖所示，設(shè)ZC,8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)用在線段2。上，當(dāng)在2。的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)/C作/C，BD

?/AO=DO

ZOAD=/ODA

當(dāng)E在線段40上時(shí)，

AE[=AD-DE=8-2=6

在RSZEE中個(gè)，E.F.=AE,■sinZCAD=—x6=述

11155

?1,Z0AD=Z0DA

在中，苧；

RIAE^DE[F[=DEXsinZElDF2=2x^-=

當(dāng)E在射線40上時(shí)，

21

在RtA￡>C￡2中，tanZDCE2=-=-

ZCAD=ZDCE

：.ZDCE+ZDCA=90°

：.E2CLAC

22

：.E2C=jDEz+DC?=72+4=2V5，

在^DE2F3中，E￡=DE2XsinZE2D7^=DE2x^-=竽

綜上所述，點(diǎn)E到對(duì)角線所在直線的距離為：NL或正或2小

55

故答案為：拽或處或2班.

55

2.（2024四川德陽）如圖，四邊形48CD是矩形，△ZDG是正三角形，點(diǎn)尸是G￡）的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)

是矩形A8CD內(nèi)一點(diǎn)，且△必。是以5C為底的等腰三角形，則/CD的面積與△尸CD的面積的

比值是.

【答案】2

【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確設(shè)出邊長(zhǎng)表示出

兩個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

作輔助線如圖，設(shè)8C=a,CD=6,根據(jù)相關(guān)圖形的性表示出三角形的面積即可得到答案.

【詳解】如圖，找5C，2。中點(diǎn)為M,N,連接MN,GN,連接尸。，F(xiàn)C,過/作ERJ.CD

交的延長(zhǎng)線于火點(diǎn)，延長(zhǎng)RF，與GN交于。點(diǎn).

設(shè)=CD=b,

VAPBC是以5C為底的等腰三角形,

/.P在MN上,

???尸到的距離即為

2

C1,117

??S——x/7x—a——cib,

—prn224

在AGQ廠和AORF中

GF=DF

<AGFQ=ZDFR,

ZFQG=ZFRD=90°

AGQF^ADRF(AAS),

QF-RF——x—ci——a,

224

S——,CD,FR——xZ?x—a——ab，

心2248

17

Q—ab

.D△尸CD_4_9

??一一乙,

S1,

—CD—ab

8

故答案為：2.

3.(2024廣西)如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°,則重合

【答案】8百

【解析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長(zhǎng)，過點(diǎn)A作于

ANLCD于N,由題意易得四邊形45CD是平行四邊形，進(jìn)而由平行四邊形的面積可得

AM=AN,即可得到四邊形/BCD是菱形，再解RtZXZDN可得上上-=2Gcm,即可

sin60°

求解，得出四邊形48CD是菱形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】過點(diǎn)A作/AU3C于河，ANLCD于N,則ZAND=90°,

..?兩張紙條的對(duì)邊平行，

AB//CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

又???兩張紙條的寬度相等，

AM=AN,

?：SABCD=BCAM=CDAN,

BC=CD,

，四邊形/BCD是菱形，

在RtZ14DN中，ZADN=60°,AN=3cm,

AD=AN=4-=2百cm

**?sin60°V3，

~2

四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2gx4=8Gcm，

故答案為：8A/3-

4.（2024四川眉山）如圖，菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6,ZBAD=120°,過點(diǎn)。作交BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)/￡分別交8￡?,3于點(diǎn)E,G,則歹G的長(zhǎng)為.

【答案】生自##3s

55

【解析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以

上知識(shí)點(diǎn).

首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到40=3。=。。=6,AD//BC.ZBCD=120°,然后勾股定理求出

DE=VCD2-CE2=3出,AE=^DE2+AD2=3J7，然后證明出“FDSAEFB，得到

AFAD62求出Z77=迪，然后證明出ANGDSAEGC,得到至=絲=￡=2,

FE~BE~9~15EGCE3

求出ZG=2j7,進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：：菱形/BCD的邊長(zhǎng)為6,ZBAD=120°,

AD=BC=CD=6,AD〃BC,/BCD=120。,

ZDCE=60°,

-DEIBC,

/DEC=90°,

在RtVDCE中，?.?NCZ)￡=90°—/r>CE=30°,

:.CE=-CD=3,

2

DE=y]CD2-CE-=373，

BE=BC+CE=9,

???ADHBE,

ZADE=180°-ZDEC=90°,

在RtZ^ADE中，AE=^DE2+AD2=用?+62=377?

?/ADHBE,

:.AAFDSAEFB，

.AFAD_2

"FE一茄—廠

3_2,?_2,衿_6s

..AF——AE——x3\7-------,

555

?/AD//CE,

LAGDsLEGC，

./G_/￡>_6

-------——=2,

EGCE3

.?.ZG=2/￡=2X3/=2"

33

.”、歷6療4百

..FG=AG—AAJF7=2V7--------=------?

55

故答案為：吏.

5

5.（2024貴州?。┤鐖D，在菱形/BCD中，點(diǎn)E,歹分別是BC,3的中點(diǎn)，連接/E,AF.若

4

smZEAF=-,AE=5,則48的長(zhǎng)為

5--------

【答案】2而##舊H

33

【解析】延長(zhǎng)5C,/方交于點(diǎn)”，根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)證明ANBE之,

△ADF%MCF,過E點(diǎn)作￡N_L/尸交N點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)求出￡N,AN,NF,MN,在

RtZ\ENM中利用勾股定理求出EM，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】延長(zhǎng)BC,/廠交于點(diǎn)

在菱形48CD中，點(diǎn)E,尸分別是5C,3的中點(diǎn),

：.AB=BC=CD=AD,BE=EC=CF=DF,AD\\BC,ND=NFCM,ZB=ZD

在△48E和△/￡)尸中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

:."BE且A4DF(SAS),

AE=AF,

在△/￡>9和△MCE中

-Z￡>=AFCM

<DF=CF,

AAFD=ZMFC

，△力。尸名△MC尸(ASA),

CM=AD,AF=MF,

???AE=5,

,\AE=AF=MF=5,

過E點(diǎn)作尸于N點(diǎn)，

NANE=90°

4

sinNEAF=—,AE=5,

5

.-.EN=4,AN=3,

:.NF=AF—AN=2,

:.MN=5+2=1,

在RtAEM攸中

EM=ylEN2+MN2=A/42+72=765,

即EM=EC+CM」3C+3C=&?,

2

?/AB=BC=CD=AD,

AB=BC=-465,

3

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理

等，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵.

6.(2024天津市)如圖，正方形48CD的邊長(zhǎng)為3亞，對(duì)角線力。,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在C4的

延長(zhǎng)線上，?！?5,連接。E.

(1)線段/￡的長(zhǎng)為；

(2)若尸為DE的中點(diǎn)，則線段力尸的長(zhǎng)為

【答案】①.2②.叵/屈

22

【解析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，熟練運(yùn)用中位線定理是解題的關(guān)鍵;

(1)運(yùn)用正方形性質(zhì)對(duì)角線互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作輔助線，構(gòu)造中位線即可.

【詳解】(1)???四邊形45CD是正方形,

OA=OC=OD=OB,/DOC=90°

???在RtADOC中，OD2+0c2=DC2，

?/DC=3C，

.OD=OC=OA=OB=3,

???OE=5

：.AE=OE-OA=5-3=2

(2)延長(zhǎng)ZU到點(diǎn)G,使=連接EG

由E點(diǎn)向NG作垂線，垂足為H

為的中點(diǎn)，A為G￡>的中點(diǎn)，

/./下為△￡>G￡的中位線，

在RtZkEZ笈中，ZEAH=ADAC=45°,

AH=EH

AH2+EH2=AE^

AH=EH=

:.GH=AG-AH=342-42=241

在RtAEHG中，.?.EG2=E〃2+G//2=2+8=10,

EG=?

???/尸為△￡>G￡的中位線，

皿1“屈

AF=—EG=-----

22

7.（2024吉林省）如圖，正方形48CD的對(duì)角線/GBD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是Q4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

EF

是。。上一點(diǎn).連接EF.若/在0=45°,則一的值為

BC--------

AD

【答案】y

【解析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到

ZOAD=45°,AD=BC,再證明進(jìn)而可證明△OEFsaoaO,由相似三角形的

EF包」，即生」

性質(zhì)可得

ADOA2BC2

【詳解】?..正方形4BCD的對(duì)角線4G相交于點(diǎn)

AZOAD=45°,AD=BC,

:點(diǎn)E是。4的中點(diǎn)，

.OE\

"~OA^2'

,：ZFEO=45°,

EF//AD,

：./\OEF^/\OAD,

EFOE1EF1

??==——,BnnP=——,

ADOA2BC2

故答案為：y.

8.（2024北京市）如圖，在正方形48CD中，點(diǎn)￡在4g上，AF_L￡E于點(diǎn)、F,。6_1。月于點(diǎn)6.若

AD=5fCG=4,則△%￡下的面積為

27

【答案】y

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得4D=5=DC,CD//AB,得到NCDG=4斯，結(jié)合CG=4,得

._________CG4CG4

至I」DG=A/DC2-CG2=3,sinZ.CDG=sinNAEF==—,tanZCDG=tanNAEF==—,求得

CD5DG3

AE,AF,斯的長(zhǎng)，解答即可.

本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得4D=5=DC,CD//AB,

ZCDG=ZAEF,

'：CG=4,

DG=JDC2-CG2=3,

AFCG4

sinZCDG=sinZAEF=--=-=

AECD5

tanZCDG=tanZAEF=,

DGAE3

127

???/\AEF的面積為-EF^AF=—；

28

_,27

故答案為：—.

8

9.（2024福建省）如圖，正方形/BCD的面積為4,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,

的中點(diǎn)，則四邊形EEG/f的面積為_.

【答案】2

【解析】本題考查正方形性質(zhì)，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)和線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到

HD=DG=\,進(jìn)而得到S.DGH，同理可得S/HE=S.EFB=SCGF=L最后利用四邊形EFGH的

面積=正方形ABCD的面積-4個(gè)小三角形面積求解，即可解題.

【詳解】??,正方形/BCD的面積為4,

：.AB=BC=CD=AD=2,D￡>=90°,

,?,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,4D的中點(diǎn),

，HD=DG=I,

S^DGH=gxixi=5，

同理可得SAHE=SEFB~S&CGF~~?

...四邊形防G/f的面積為4—4—L—L—1=2.

2222

故答案為：2.

三、解答題

1.(2024貴州省)如圖，四邊形/BCD的對(duì)角線ZC與相交于點(diǎn)。，AD//BC,NABC=90。,

有下列條件：

(1)請(qǐng)從以上①②中任選1個(gè)作為條件，求證：四邊形45CD是矩形；

(2)在(1)的條件下，若/8=3,AC=5,求四邊形48CD的面積.

【答案】(1)見解析(2)12

【解析】本題考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)條件利用兩組對(duì)邊平行或一組對(duì)邊平行且相等證明48CD是平行四邊形，然后根據(jù)矩形

的定義得到結(jié)論即可；

(2)利用勾股定理得到BC長(zhǎng)，然后利用矩形的面積公式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

選擇①，

證明：AD//BC,

二/BCD是平行四邊形，

又：ZABC=90°,

四邊形45CD是矩形；

選擇②，

證明：=AD//BC,

/BCD是平行四邊形，

又,:ZABC=90°,

四邊形45co是矩形;

【小問2詳解】

解：VZABC=90°,

BC=個(gè)AC?-AB?=J52-32=4，

，矩形/BCD的面積為3x4=12.

2.（2024陜西?。┤鐖D，四邊形/BCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)廠在邊5C上，且BE=CE.求證:

AF=DE.

【答案】見解析

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)矩形的性質(zhì)得到48=CD,

Z5=ZC=90°,再推出=利用SAS證明△48戶之△DCE,即可得到4F=QE.

【詳解】證明：?.?四邊形45CD是矩形，

:.AB=DC,ZB=ZC=9Q°,

BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即

AABF^ADCE（SAS）,

AF=DE.

3.（2024上海市）如圖所示，在矩形48CD中，E為邊3上一點(diǎn)，且

（1）求證：AD?=DE?DC；

（2）E為線段/￡延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足所=。/=!8。，求證：CE=AD.

2

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到NA4￡>=90。，ZADE=90°,AB=DC,由角的互余得

到ZABD=ZDAE,從而確定AADES^BAD，利用相似三角形性質(zhì)得到AD?=DE-DC；

（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到。4=0。=環(huán)=CE,

ZODA=ZOAD,ZFEC=ZFCE,進(jìn)而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到.

【小問1詳解】

證明：在矩形48co中，ABAD=90°,ZADE=90°,AB=DC,

:.ZABD+ZADB=9Q°,

???AELBD,

/DAE+ZADB=90°,

ZABD=ZDAE,

ZBAD=ZADE=90°,

:.AADESABAD,

ADDE,

面=而，即an?！薄昝螅?/p>

AB=DC,

AD?=DE?DC；

【小問2詳解】

證明：連接/C交80于點(diǎn)。，如圖所示:

在矩形48C。中，ZADE=90°,則ND/E+44磯＞=90°,

???AELBD,

ZDAE+ZADB=90°,

NADB=ZAED,

???NFEC=ZAED,

ZADO=NFEC,

在矩形48C。中，O4=OD=LBD,

2

EF=CF=-BD,

2

：.CU=OD=EF=CF,

ZADO=ZOAD,ZFEC=ZFCE,

ZADO=ZFEC,

ZADO=ZOAD=/FEC=/FCE,

在V0D4和中，

NODA=ZFEC

<ZOAD=ZFCE

OD=FE

.?.△OD/&AFEC(AAS),

CE^AD.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵.

4.(2024云南省)如圖，在四邊形48CD中，點(diǎn)E、F、G、〃分別是各邊的中點(diǎn)，且A8〃CD,

AD//BC,四邊形EEG/f是矩形.

(1)求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若矩形EEG/f的周長(zhǎng)為22,四邊形/BCD的面積為10,求N5的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析(2)

【解析】【分析】(1)連接AD,AC,證明四邊形/BCD是平行四邊形，再利用三角形中位線定

理得到G/〃8。，HG//AC,利用矩形的性質(zhì)得到即可證明四邊形48CD是菱形;

(2)利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到工3。+！/。=。4+。8=11,利用lx面積公式得到

22

2OAOB=10,再利用完全平方公式結(jié)合勾股定理進(jìn)行變形求解即可得到AB.

【小問1詳解】

解：連接AC,

BFC

???AB//CD,AD//BC,

，四邊形48CD是平行四邊形，

???四邊形45CD中，點(diǎn)E、F、G、〃分別是各邊的中點(diǎn)，

GF//BD,HG//AC,

???四邊形ENG8是矩形，

HG1GF,

BDLAC,

.??四邊形45CD是菱形；

【小問2詳解】

解：???四邊形48CD中，點(diǎn)E、F、G、X分別是各邊的中點(diǎn),

GF=EH=-BD,HG=EF=-AC,

22

,??矩形的周長(zhǎng)為22,

BD+AC=22,

???四邊形/BCD是菱形，

即工8￡>+工2。=。4+08=11,

22

四邊形/BCD的面積為10,

.-.-BD-AC=W,即2cM?08=10,

2

V(OA+OB?=OA2+2OAOB+OB2=121,

<9^2+(952=121-10=111-

AB=yJo^+OB-=VTTT-

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)和

判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2024四川德陽）如圖，在菱形/BCD中，AABC=60°,對(duì)角線/C與8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)R

為的中點(diǎn)，連接力廠與3。相交于點(diǎn)E,連接CE并延長(zhǎng)交幺3于點(diǎn)G.

(2)證明：ABEG經(jīng)AAEG.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、三角形全

等的判定等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得48=8C,/CLAD,再證出一BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)可得4F1BC,然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

(2)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CG_L45,從而可得/G=8G,再根據(jù)SAS定理即可得證.

【小問1詳解】

證明：...四邊形/BCD是菱形，

/.AB=BC,AC1BD,

,：ZABC=60°,

8c是等邊三角形，

:點(diǎn)R為5C的中點(diǎn)，

/.AF1BC,

NBFE=ZBOC=90°

?/ZEBF=ZCBO,

ABEFS^BCO.

【小問2詳解】

證明：是等邊三角形，AFIBC,AC1BD,

CGVAB,

,NAGE=NBGE=90°

?/A45c是等邊三角形，

AG=BG,

在和△/EG中，

AG=BG

<AAGE=NBGE=90°,

GE=GE

：.ABEG^AEG(SAS).

6.(2024四川廣安)如圖，在菱形/BCD中，點(diǎn)E,尸分別是邊48和3c上的點(diǎn)，且BE=BF.求

證：/DEF=NDFE.

【答案】見解析

【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得/B=BC=CD=/D,Z^=ZC,再由5￡=5月，可推出NE=CF,即可利用

SAS證明△/￡>￡絲△CD/得到DE=DF,則/DEF=/DFE.

【詳解】：四邊形N8CD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,NA=/C,

,:BE=BF,

：.AB-BE=BC-BF,即AE=CF,

:.LADE咨LCDF(SAS),

：.DE=DF,

ZDEF=ZDFE.

DR------------------7C

AEB

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解題的

關(guān)鍵在于能夠熟練掌握菱形的性質(zhì).

7.（2024福建省）如圖，在菱形/BCD中，點(diǎn)￡、尸分別在8C、CD邊上，ZAEB=ZAFD,求

證：BE=DF.

BEC

【答案】見解析

【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答

的關(guān)鍵.根據(jù)菱形的性質(zhì)證得N2=/。，/B=/D,再根據(jù)全等三角形的判定證明

△ABE義AADF（AAS）即可.

【詳解】證明：,??四邊形/BCD是菱形,

:.AB=AD，Z8=ZD，

NAEB=ZAFD,

:.AABE知ADF(AAS),

BE=DF.

8.(2024江蘇揚(yáng)州)如圖1,將兩個(gè)寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形48CD.

圖1圖2

(1)試判斷四邊形48CD的形狀，并說明理由;

(2)已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉(zhuǎn)至如圖2位置時(shí)，四邊形48CD的面積為8CU?,

求此時(shí)直線40、CD所夾銳角N1的度數(shù).

【答案】(1)四邊形48CD是菱形，理由見詳解(2)Z1=30°

【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函

數(shù)，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得四邊形45CD是平行四邊形，作AT工NP,CULEH,可證

△ATBaCUB,可得4B=CB,由此可證平行四邊形/BCD是菱形；

(2)作/火J_CD,根據(jù)面積的計(jì)算方法可得CD=4,AR=2,結(jié)合菱形的性質(zhì)可得2。=4,根

據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

解：四邊形45CD是菱形，理由如下，

如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)T,過點(diǎn)。作CUJ_￡”于點(diǎn)

根據(jù)題意，四邊形￡7十汨，四邊形跖VP0是矩形,

：.EH\\FG,MQ\\NP,

AB\\DC,AD\\BC,

...四邊形/BCD是平行四邊形，

:寬度相等，即/T=CU,且/ATB=NCUB=90。,ZABT=ZCBU,

:.AATB知CUB(AAS),

：.AB=CB,

平行四邊形/BCD是菱形;

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)A作/火_LCD于點(diǎn)R,

"-1S四邊形/Be。=CDAR=8

0)=4,

由(1)可得四邊形48CD是菱形，

/.=4,

在MAATD中,AR=-AD,

2

即sinZ1=—,

2

Zl=30°.

9.(2024江蘇鹽城)如圖1,E、F、G、X分別是平行四邊形/BCD各邊的中點(diǎn)，連接//、CE交

于點(diǎn)連接NG、C”交于點(diǎn)N,將四邊形ZMCN稱為平行四邊形48CD的“中頂點(diǎn)四邊形

圖1圖2圖3

(1)求證：中頂點(diǎn)四邊形/MCN為平行四邊形；

(2)①如圖2,連接ZC、BD交于點(diǎn)、O,可得M、N兩點(diǎn)都在3。上，當(dāng)平行四邊形/BCD滿足

時(shí)，中頂點(diǎn)四邊形ZMCN是菱形；

②如圖3,已知矩形/MCN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行

四邊形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見解析（2）①/C/8。；②見解析.

【解析】【分析】題目主要考查平行四邊形及菱形的判定和性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，理解題意，熟

練掌握三角形重心的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)平分線段，推出四邊形ZECG,四邊形4FCH均為平行

四邊形，進(jìn)而得到：AM//CN,AN//CM,即可得證；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可得出結(jié)果；

②連接/C,作直線跖V,交于點(diǎn)然后作2=2。^^,m=208,然后連接45、BC、CD、DA

即可得出點(diǎn)M和N分別為AABC、AADC的重心，據(jù)此作圖即可.

【小問1詳解】

證明：VYABCD,

/.AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,

;點(diǎn)、E、F、G、〃分別是Y/BCD各邊的中點(diǎn)，

AE=-AB=-CD=CG,AE//CG,

22

四邊形AECG為平行四邊形，

同理可得：四邊形4FCH為平行四邊形，

AM//CN,AN//CM,

二四邊形是平行四邊形；

【小問2詳解】

①當(dāng)平行四邊形ABCD滿足AC工5D時(shí)，中頂點(diǎn)四邊形AMCN是菱形，

由（1）得四邊形是平行四邊形，

AC1BD,

/.MNLAC,

二中頂點(diǎn)四邊形AMCN是菱形，

故答案為：AC1BD-,

②如圖所示，即為所求，

連接NC,作直線交于點(diǎn)O,然后作ND=20N,MB=20M（或作BM=MN=ND）,然后

連接48、BC、CD、D4即可,

，點(diǎn)”和N分別為"BC、"DC的重心，符合題意;

證明：矩形ZMCN,

/.AC=MN,OM=ON,

ND=ION,MB=2OM,

OB=OD,

二四邊形ABCD為平行四邊形;

分別延長(zhǎng)CA/、AM,AN、CN交四邊于點(diǎn)E、F、G、〃如圖所示:

:矩形/MCN,

-.AM//CN,MO=NO,

由作圖得

AMBFSANBC,

.BFBM1

"BC~BN~2f

二點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，

同理得：點(diǎn)￡為48的中點(diǎn)，點(diǎn)G為￡>C的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為40的中點(diǎn).

10.(2024四川達(dá)州)在學(xué)習(xí)特殊的平行四邊形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)正方形的對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的行倍，某

數(shù)學(xué)興趣小組以此為方向?qū)α庑蔚膶?duì)角線和邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)，具體如下：如圖1.

(1)???四邊形45CD是菱形，

:.AC1BD,AO=CO,BO=DO.

AB'=AO'+BO'.

又?.?/C=249,BD=2BO,

AB-=+

化簡(jiǎn)整理得+.

【類比探究】

(2)如圖2.若四邊形/BCD是平行四邊形，請(qǐng)說明邊長(zhǎng)與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系.

【拓展應(yīng)用】