2025高考二輪模擬沖刺數(shù)學試卷（新高考Ⅱ卷）（試卷+答案解析）

2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學（新高考II卷）01

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合人二卜,匕用，B={-2,-1,0,1,2,3},則A3=（）

A.{2,3}B.{-1,0,1,2}c.{-1,0,1}D.{-2,2,3}

5(14)_

2.已知i為虛數(shù)單位，則

(2+D(2-i)

A.-1D.1+i

3.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排

放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的

污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg/L）與時間f（小時）的關系為N=Noe-h

（N。為最初污染物數(shù)量，且乂>0）.如果前4個小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的

64%還需要（）

A.3.8小時B.4小時C.4.4小時D.5小時

4.已知函數(shù)/（x）=sin（ox+：［（0>0）相鄰兩個對稱軸之間的距離為2兀，若/（x）在（-m,帆）上是增函數(shù)，則加

的取值范圍是（）

5.己知圓C:(x-1)2+(y—2)2=4,直線/:(a+l)x+(2a-2)丁—4。=0,若直線/與圓C兩交點記為A,

9點P為圓。上一動點，且滿足CP〃AB,則PA.總最大值為（）

A.20B.3C.4D.8

6.已知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對任意七,％e[2,+oo）,且都有J~八一>。成

%一九2

/2\（In10>

立.若a=/（log318）,b=fln-1=j,c=fe2,則a,仇c的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

7.隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點率有了顯著的提高.據(jù)統(tǒng)計，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復興號列車，

且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98,復興號的正點率為0.99,今有

一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為（）

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.8

8.已知點片，口2是橢圓。的兩個焦點，尸是橢圓。上一點，P4耳的內(nèi)切圓的圓心為。.若

5。/+3。耳+3。。=0,則橢圓。的離心率為（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學演講后，6位評委對甲、乙的演講分別進行打分

（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則（）

9.5

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

一甲一乙

A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

10.已知函數(shù)/(%)=5足10%+彳|(<?>0),下列說法正確的是()

JT

A.當。=2時，/(幻的圖象關于直線兀=一3對稱

8

7T

B.當①=2時，將/(%)的圖象向左平移一個單位得到g(x),g(%)的圖象關于原點對稱

4

717T

C.當①=1時，/(X)在單調(diào)遞減

_42_

D.若函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,河上恰有一個零點，則。的范圍為

44J

11.我們知道，函數(shù)y=/(%)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),

有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(。力)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x+a)—6為奇函數(shù).已知/(力是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為g(x),若函數(shù)

y=〃x+l)-1是奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x+2)為偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

C.y=/(x+2)_l為奇函數(shù)D.^/(/)=1012

1=1

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知ae(0,7i),cos(a+t),則cos^2(z.

13.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的

花盆是種植鮮花的常見容器,它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上、下底面直徑分別為30cm和26cm,

下面圓臺的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓

臺的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長的總和為cm.

14.已知等差數(shù)列｛%｝的公差不為0.若在｛4｝的前100項中隨機抽取4項，則這4項按原來的順序仍然成

等差數(shù)列的概率為.(用最簡分數(shù)作答)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

某闖關游戲共設置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯則停止答題，否則繼續(xù)，直到答

7k

完所有題目.設選手甲答對第1題的概率為:，甲答對題序為，的題目的概率ie｛l,2,3,4｝,各題回

3i

答正確與否相互之間沒有影響.

(1)若甲已經(jīng)答對了前3題，求甲答對第4題的概率；

(2)求甲停止答題時答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學期望.

16.(15分)

已知函數(shù)/(x)=x1-mx+21nx(meR).

(1)若/(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)機的取值范圍;

(2)若4＜帆＜5,且/(幻有兩個極值點/，%，其中％＜/，求/(%)—/(%)的取值范圍?

17.(15分)

如圖1,在平行四邊形ABCD中，A3=23C=4,NA5C=60°,E為。的中點.將VADE沿AE折起,

連接3￡)與CD，如圖2.

(2)設〈沈＜1),當助工。石時，是否存在實數(shù)2,使得直線AF與平面ABCE所成角的

正弦值為叵？若存在，求出之的值；若不存在，請說明理由.

10

(3)當三棱錐5-CDE的體積最大時，求三棱錐。-ABE的內(nèi)切球的半徑.

18.(17分)

22

已知雙曲線。：1—2=1(?！怠懔Α怠?的實軸長為2，離心率為2,右焦點為F,尸為C上的一個動點,

(1)若點尸在雙曲線C右支上，在x軸的負半軸上是否存在定點”.使得N/?=2N?A"?若存在,

求出點/的坐標；若不存在，請說明理由.

3

(2)過尸作圓。：爐+/=］的兩條切線小卜,若切線紙。分別與C相交于另外的兩點E、G,證明：

E、O、G三點共線.

19.（17分）

設數(shù)列｛帽的前〃項和為S“，對一切〃cN,心1,點［，個都在函數(shù)?。?》+差圖象上.

（1）求q,a2,a3,歸納數(shù)列｛?！保耐椆剑ú槐刈C明）：

（2）將數(shù)列｛%｝依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（%）、（%,。3）、（%，多，％）、（%，出Mo，％。）、（［1）、

（&，。13）、（《14，496）、（［7，?18，?19,效（）、（?21）、…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設由這些和按原來

括號的前后順序構(gòu)成新的數(shù)列為｛2｝,求用+九。的值；

（3）設4為數(shù)列1一］的前〃項積，若不等式A而斤＜7（。）一嶗對一切"€N*都成立，求。的取值范

圍.

2025年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(新高考II卷)01?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合4=卜,>15},B={-2,-1,0,1,2,3},則A3=()

A.{2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,2,3}

【答案】D

【解析】

【詳解】在集合8中，滿足公>15的有一2,2,3,

故AB={-2,2,3}.

故選：D.

2.已知i為虛數(shù)單位，則/'、J、=

(2+0(2T

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【答案】D

【解析】

5（l-i3）5（l+i）

【詳解】—V------=-\——L=

（2+i）（2-i）22-i2

故選：D

3.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統(tǒng)的碳排

放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的

污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時間?(小時)的關系為N=Noe-h

IN。為最初污染物數(shù)量，且乂>0).如果前4個小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的

64%還需要()

A.3.8小時B.4小時C.4.4小時D.5小時

【答案】B

【解析】

【詳解】由題意可知Noe-皿=0.8N0,即有=0.8，

ktkt

令Noe-=0.64N。,則有e-=0.64=(片妹］=e^，解得，=8,

8-4=4,故還需要4小時才能消除至最初的64%.

故選：B.

4.已知函數(shù)/(尤)=+>0)相鄰兩個對稱軸之間的距離為27t,若在上是增函數(shù)，則m

的取值范圍是()

A(C71.'|B.(回cTil］C［(c。，彳3兀］(［c。三3兀

【答案】B

【詳解】因為/(x)=sin"+>0)相鄰兩個對稱軸之間的距離為27r,

則=7=2兀，即7=4兀，則則/(x)=sin(:x+：］,

24兀2<24；

7rlTTIT37r7T

由2E—<—%+—<2kn+—,得4E----<x<4hi-\——(A;eZ),

224222

所以”x)在卜會鼻上是增函數(shù)，由(-加制融音T，得加吟

故選：B

5.已知圓C:(x—iy+(y—2)2=4,直線/:(a+l)x+(2a—2)y—4。=0,若直線/與圓C兩交點記為A,

B,點P為圓C上一動點，且滿足CP〃AB,則QA.P3最大值為()

A.2后B.3C.4D.8

【答案】C

【詳解】由題意知，圓心C(l,2),半徑r=2,

直線I:(a+l)x+(2a-2)y-4a=0,即a(x+2y-4)+x-2y-0,

x+2y-4=0\x=2

由<J八得<一即直線/過定點”(2,1),故1cMi=VL

x-2y=0=l

設A5中點為N,則。VL/R，且|CN|e[0,、/5],

又因為CP〃/R,所以QVLCP,

所以PA?P3=(PC+CN+NA)-(PC+CN+NB)=(PC+CN)+NANB=^PC+CN、一

=r2+|C2V|2-^y]r2-\CNf^=2|CN『<4,

當|CN|=0時等號成立.

。/（X1）-/（X）?

6.已知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對任意埠/e[2,+8）,且馬/々都有2〉0成

國一九2

(2\(InlO>

立.若a=/(log318),b=fln-1=j,c=fe2,則a,dc的大小關系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)/（X）的圖象關于直線％=2對稱,

r\/（X,）-/（X,）八r、

又由對任意%且當彳々，都有'_一＞0成立,則函數(shù)/（%）在[2,+8）上為增函

X]一%2

數(shù),

2

Xlog318=log3(9X2)=2+log32,ln&=2-ln及，e等=M，

_2廣

又ln0>O,所以ln&e=2-ln&<2,由函數(shù)/(x)的圖象關于直線x=2對稱，知

2-lnV2)=/(2+ln

fIn

r-In2In2In2/—imo

又ln0=《-=*<M^=log32<l〈9一2，所以2+ln0<log318<e'，故匕<a<c，

故選：A.

7.隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點率有了顯著的提高.據(jù)統(tǒng)計，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復興號列車,

且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98,復興號的正點率為0.99,今有

一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為()

A.0.2B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】D

【詳解】令事件4經(jīng)過的列車為和諧號；事件2,經(jīng)過的列車為復興號;事件C,列車未正點到達,

則P(A)=|,P(3)=j,P(C|A)=0.02,P(C|B)=0.01,

0.05

于是P(C)=P(A)P(C|A)+P(JB)P(C|B)=|x0.02+|x0.01=

3

2

/、P(AC)P(A)P(C|A)—X0.02

所以該列車為和諧號的概率為P(AC)=)30.05"0,8-

夕(C)p\c)

丁

故選：D

8.已知點瑪，歹2是橢圓。的兩個焦點，尸是橢圓。上一點,「片耳的內(nèi)切圓的圓心為Q.若

則橢圓。的離心率為(

5QFX+3QF2+3QP=Q,

233

A-—2B.-c.一D.-

587

【答案】C

【解析】

22

【詳解】不妨設橢圓的方程為：'+當=l(?>Z?>0),P(x,y),Q(x,y),

a2b200

則有￡(—c,0)，K(c,0)，QFX=[-c-x,-y),QF2=(c-x,-y),QP=[x0-x,y0-y),

所以5QF[+3QF2+3QP=5(-c-x,-y)+3(c-x,-y)+3(x0-x,y0-y)

=(3/—Hx—2c,3%T?)=(0,0)，

所以％=3%—2c%,所以,小耳工的內(nèi)切圓的半徑為3困，由橢圓定義可得

21111

戶國+盧閭=2區(qū)閨閭=2°,

所以S■=g（町|+|叫+閨用卜智=+用x|%|

=>g（2a+2c）x如TX2CX"3-3

8

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學演講后，6位評委對甲、乙的演講分別進行打分

（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則（）

9.5

9.0

8.5

8.0

7.5

7.0

（

一甲一乙

A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

【答案】ABD

【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：

甲：7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,

故去掉最高分和最低分可得甲的中位數(shù)為89,乙的中位數(shù)為8.6,故A正確；

甲的極差為9.3—7。=2.3,乙的極差為9.1-8.1=2,故B正確；

6x75%=4.5,所以甲的第75百分位數(shù)為9.2,乙的第75百分位數(shù)為8.7,故C錯誤;

由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)/(x)=sin[ox+1J(0>O),下列說法正確的是()

JT

A.當6y=2時，/(幻的圖象關于直線x=-3對稱

8

TT

B.當0=2時，將/(X)的圖象向左平移一個單位得到g(x),g(x)的圖象關于原點對稱

4

兀兀

C.當0=1時，/(X)在單調(diào)遞減

_42_

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間[0,2上恰有一個零點，則。的范圍為7，||

[44J

【答案】ACD

【解析】

【詳解】對于A,當<y=2時，/(x)=sin[2x++],/^-^=sin2x(—0+押=sin]=l,故/⑴

TT

的圖象關于直線尤=-§對稱，A正確，

對于B,當°=2時，f(x)=sinl2x+^j,

g(x)=/1%+：］=sin++?=sin［2x+?1=一sin12x+：J,故g(x)的圖象不關于原點

對稱，B錯誤，

對于C,當(y=l時，/(x)=sin(x+亨］,xe時-，x+手e兀,斗三兀,斗，故/(%)在

I4J4244242

單調(diào)遞減，C正確,

對于D,xe[0,捫時，?x+—e—,a)7i+—,若/(幻在區(qū)間[0,2上恰有一個零點，則

444

n<am+—<2n,解得故0范圍為—|,D正確

44444J

故選：ACD

11.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù),

有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關于點力)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x+a)—6為奇函數(shù).已知/(%)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為g(x),若函數(shù)

y=/(x+l)—1是奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x+2)為偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是()

A./(1)=1B.g(l)=l

2024

C.y=/(x+2)-l為奇函數(shù)D.￡/(。=1012

Z=1

【答案】BCD

【詳解】對于A選項，因為函數(shù)y=/(x+l)—1為奇函數(shù)，

所以，函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(1,1)對稱，

且函數(shù)/(九)的定義域為R，則/(1)=1,A對；

對于B選項，不妨取f(x)=sin7uc+l,

因為/(x+1)—1=5111]兀(％+1)]+1-1=-51116為奇函數(shù)，

則函數(shù)〃x)=sin6+1符合題意，g(x)=y,(x)=7icos7tr,

所以，g(x+2)=兀cos[兀(x+2)]=兀cos兀￥為偶函數(shù)，

但g(l)=-兀。1，B錯；

對于C選項，不妨取/(X)=%,則/(x+1)—l=x為奇函數(shù)，

g(x)=/'(x)=Lg(X+2)=l為偶函數(shù),合乎題意,

但/(x+2)—l=x+l不是奇函數(shù)，C錯；

2兀

對于D選項，若〃x)=sinm+l,則該函數(shù)的最小正周期為T=——=2,

兀

/(1)+/(2)=sin71+1+sin2兀+1=2,

2024

所以，Z/(1)=1°12X2=2024W1012,D錯

?=i

故選：BCD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知ae（0,兀）,cos[a+.Vio,貝！|cos―：

lo-

3

【答案】

5

【解析】

3

故答案為：—

13.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的

花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上、下底面直徑分別為30cm和26cm,

下面圓臺的上、下底面直徑分別為24cm和18cm，且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓

臺的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長的總和為cm.

【答案】5后

【詳解】設上面圓臺的母線長為4,上面半徑為4=15cm,下半圓半徑為4=13cm,高為〃=8cm,

根據(jù)圓臺的母線長公式/=業(yè)+(…J，帶入數(shù)值計算得到4=782+(15-13)2=768=2717cm；

設下面圓臺的母線長為k，上面半徑為3=12cm,下半圓半徑為〃=9cm,

r-r,r.-r.

由于兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等，可以得到七一=二/，帶入數(shù)值計算得到

4,2

3^=吐如亞=3后cm；

2

rx-r215-13

所以該花盆上、下兩部分母線長的總和為2歷+3a=5J3cm.

故答案為：5a

14.已知等差數(shù)列｛4｝的公差不為0.若在｛4｝的前100項中隨機抽取4項，則這4項按原來的順序仍然成

等差數(shù)列的概率為.(用最簡分數(shù)作答)

【解析】

【詳解】設等差數(shù)列｛??｝公差為d(d*0),

若在數(shù)列｛4｝的前100項中隨機抽取4項，構(gòu)成新的等差數(shù)列，則其公差可能為d,2d,3d,..,33d.

當公差為d時，則首項可以為。1，。2，%，，。97,可構(gòu)成共97個不同的等差數(shù)列;

當公差為2d時，則首項可以為，。94,可構(gòu)成共94個不同的等差數(shù)列；

當公差為3d時，則首項可以為4,生，%，,，為1，可構(gòu)成共91個不同的等差數(shù)列；

當公差為kd(keN*,左＜33)時，則首項可以為MIOOT，可構(gòu)成共100—3左個不同的等差數(shù)列;

當公差為33d時，則首項為生,可構(gòu)成共1個等差數(shù)列.

+「33(97+1)=33x49個

故在｛4｝的前100項中隨機抽取4項按原來的順序，共可構(gòu)成97+94+91+

2

等差數(shù)列;

又在{%}的前100項中隨機抽取4項，這4項按原來的順序共可構(gòu)成C：oo個數(shù)列;

33x49_33x49_1_1

則由古典概型概率公式可得，C*c=15^99x98x97=25x97

4x3x2xl

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）某闖關游戲共設置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯則停止答題，否則繼

7k

續(xù)，直到答完所有題目.設選手甲答對第1題的概率為三，甲答對題序為i的題目的概率R=二，，e{1,2,3,4},

3i

各題回答正確與否相互之間沒有影響.

⑴若甲已經(jīng)答對了前3題，求甲答對第4題的概率;

（2）求甲停止答題時答對題目數(shù)量X的分布列與數(shù)學期望.

1230

【答案】（1）：（2）分布列見解析；期望為和

O243

【詳解】（1）解：因為選手甲答對第1題的概率為:2，所以左=2即。,=不2,

333z

所以若甲已經(jīng)答對了前3題，則甲答對第4題的概率為）.（6分）

O

2121

（2）解：由題意得〃1=彳，p=-,03=入，04=”

32396

隨機變量X可取04,2,3,4,

122491714

則P（X=0）=—,P（x=l）=—X—=—,p（X=2）=—x—x—=—,

333933981

p（X=3）=-xlx-x-=—,P（X=4）=-xlx-x-=—.

33962433396243

所以隨機變量X分布列如下:

X01234

1414102

P

3981243243

1414102230

所以￡（X）=0x—+lx—+2x—+3x——+4x——=——.（13分）

3981243243243

16.（15分）已知函數(shù)/（x）二/一的+21n%（加eR）.

（1）若/（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)相的取值范圍;

(2)若4<加<5,且/(X)有兩個極值點片,x2,其中X]<%2，求/(內(nèi))一/(%2)的取值范圍?

【答案】(1)m<4

(2)^0,—-41n2j

【解析】

【小問1詳解】

/(x)的定義域為(0,+8),(1分)

,//(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

22

/'(%)=2工一7〃+—20在(0,+8)上恒成立，即機W2x+—在(0,+8)上恒成立，(4分)

XX

又2工十422、2“己=4,當且僅當x=l時等號成立，(6分)

X\X

m<4；(7分)

【小問2詳解】

由題意/'（%）=2%—加+24=21**2—/M7Y+2,（8分）

XX

???/(%)有兩個極值點再,九2,

???西,x2為方程2爐_如+2=0的兩個不相等的實數(shù)根,

由韋達定理得X]+尤2=—，%,％2=1，(10分)

*.?0<x1<x2,，0<玉<1<9,

又根=2(玉+々)=2(玉+—)￡(4,5),解得J_<%<1,

石2

=（4_%；）+2（1口玉-lnx2）-2（x1+%2）（玉_尤2）=（%；）+2（ln玉-lnx2）

12.

==一%+41n玉，（12分）

%

11

設g（犬）=~o—犬9+41nx（一<x<1）,

x2

向，,、一24-2(X4-2X2+1)—2(——Ip

則g(%)=-T--2%+—=--------------------=--------3----------<0'

XXXX

.?.g(x)在?,1)上單調(diào)遞減，(14分)

又g出=4_：+41ng=9_41n2,g(l)=1-1+0=0,

0<g(x)<?—41n2,

即/(再)一/(%2)的取值范圍為—(15分)

17.(15分)如圖1,在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4,ZABC=60°,E為的中點.將VADE

沿AE折起，連接BD與CD,如圖2.

(2)設3/當助工。石時，是否存在實數(shù)力，使得直線AF與平面ABCE所成角的

正弦值為我？若存在，求出X的值；若不存在，請說明理由.

10

(3)當三棱錐3-CDE的體積最大時，求三棱錐曾-A3石的內(nèi)切球的半徑.

【答案】(1)4(2)存在，2=-(3)*-屈

310

【解析】

【小問1詳解】

連接跳，由題意得，AD=DE=2,ZADE=60°,

則VADE為等邊三角形，AE=AD=2,

在中，EC=2,BC=2,NBCE=180-60=120,

由余弦定理得=302+￡02—2BC?ECcosNBCE=4+4—2X2X2X=12,

所以BE=26，由BE=2百,AE=2,AB=4,

則AS?+BE?=AB2,故

若平面ADE_L平面ABCE,

由平面AD￡|］平面ABCE=AE1,_B￡u平面ABCE,BE_LAE,

則5石，平面ADE,D￡u平面ADE,則6￡1。石，

所以BD=yjBE2+DE2=426j+22=4.

下面證明當3￡)=4時，平面M￡_L平面A6CE.

證明：由BE=25DE=2,BD=4,則BE?+DE?=BD?，

所以BE上DE，又鉆門小石二民/石刀后匚平面公叱，

所以BE，平面ADE，

又3Eu平面A5CE，所以平面ADEJ_平面A6CE,

故當3￡>=4時，平面ADEL平面A6CE；(5分)

【小問2詳解】

由(1)知，BEJ.DE,則平面ADEL平面ABCE.

在平面ADE內(nèi)過E作石G，AE,

由平面ADEM平面A3CE=AE，EGu平面ABCE,

則EG,平面ABCE,BEu平面ADE，則EGLBE.

如圖，以點E為坐標原點，以EAEB,EG所在直線分別為蒼％z軸，過石垂直于平面ABCE的直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系石一邙,

則石(0,0,0),4(2,0,0),3(0,2班,0),。卜1,逝,0),。(1,0,6)，

故AB=卜2,2^/3,O),BD=(1,-273,A/3),

由=ABD(0<2<1),

AF=AB+BF=AB+ABD=(-2,26,0)+2(1,—2后,=(-2+2,273(1-2),后)，

因為z軸垂直平面A3CE,故可取平面A3CE的一個法向量為機=(0,0,1),

設直線前與平面A3CE所成角為。,

所以sin”cosgg=T='日①

|m||AFj（—2+疔+[2商—田]2+（網(wǎng)210

2

化簡得3^2—144+8=0，解得或4=4（舍去），

故當助工。石時，存在4=2,使直線AF與平面ABCE所成角的正弦值為430；（10分）

310

設點D到平面ABCE的距離為。，

由VB-CDE=Vp-BCE=§S.BCE力，其中sBCE為定值，

則要使三棱錐。-5CE的體積最大時，則點D到平面BCE的距離取最大,

取AE中點"，連接則DH_LAE，

當DH_L平面BCE時，點。到平面3CE的距離最大，

此時，由DHu平面ADE，則平面ADEL平面ABCE,

由（1）知，BEJ.DE,巫D為直角三角形，50=4.

則S=13￡??！?，><26*2=2百，

22

S.E=~AE.BE=；x2x2A/3=2A/3,

S,D￡=-AE-DH=-x2x—x2=73-

在Z\ABD中，AB-4,AD-2,BD=4,取AD中點M,

則5MLAD，且9=,42_1=后,

所以sABD=-AD-BM=-X2X415=J15,

22

設內(nèi)切球球心為/,內(nèi)切球半徑為r,由等體積法知,

^D-ABE=^I-ABD+^I-ABE+^I-ADE+^I-BDE=1ABDABEADEBDE）

其中，y-ABE=-S-DH=-x2^3xy/3=2,

LDyrxijLLicjAiljBl-yEc

3V2x35卮岳

故廠二__________JVD-ABE______________

v-kq-i-vaq10

u.ABD丁0.ABE丁2ADE丁2BDE273+^+273+715

三棱錐￡>-ABE的內(nèi)切球的半徑為金叵二巫.（15分）

故當三棱錐5-CDE的體積最大時,

10

22

18.（17分）已知雙曲線C：A—當=1（?！?力〉0）的實軸長為2,離心率為2,右焦點為尸，P為C上

a23b2

的一個動點,

（1）若點尸在雙曲線C右支上，在x軸的負半軸上是否存在定點".使得/母70=2/冏〃？若存在,

求出點河的坐標；若不存在，請說明理由.

3

（2）過尸作圓。:爐+丁2=5的兩條切線八%,若切線h4分別與C相交于另外的兩點E、G,證明:

E、O、G三點共線.

【解析】【小問1詳解】

2a=2

a=1a2=11,"

根據(jù)題意，有《=>,nb'9=3,

-=2c=2c2=4

2

所以雙曲線的方程為——2L=i.

3

設P（毛,%）,河億0）,且才<0,

①當直線尸/的斜率存在時，即天彳2時,

因為/PFM=2ZPMF,所以左p”=tanZPMF=

x0-t

2tan/PMF

k=tan（7t-ZPFM）=-tan（2-ZPMF）=%

PF2

tanZPMF-1x0-2,

2”

從而(，化簡整理得，2焉-(4+2/)x0+4/=2xj+2tx0-f-3,

y0[_]/_2

I%0—，J

—(4+2，)=21/、

Z_