2025高考數(shù)學(xué)5類(lèi)不等式解題技巧（解析版）

題型015類(lèi)不等式解題技巧

(權(quán)方和不等式、柯西不等式、基本不等式鏈、

普通型糖水不等式與對(duì)數(shù)型糖水不等式)

-?------本節(jié)導(dǎo)航------?

技法01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法02柯西不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法03基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

技法04普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法05對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

技法011權(quán)方而不等式的應(yīng)用及解題技巧I

?駁型斛裱

在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式或基本不等式鏈來(lái)求最值，實(shí)際解

題中往往會(huì)遇到題干復(fù)雜的題目，此時(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)思路繁瑣，計(jì)算量大，耗時(shí)較長(zhǎng)且不易求解，而權(quán)方

和不等式的優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求解甚至秒解，常在小題中使用.

?裁也￡被

權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用：若a,b,x,y>0則—+—>(a+Z?)-當(dāng)且僅當(dāng)-=-時(shí)取等.

xyx+yxy

(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類(lèi)型最值問(wèn)題的秒殺)

++

廣義上更為一般的權(quán)方和不等式，設(shè),xneR,y^y2,',yneR,

若心。或租<-l,則—+丈++—+Y+七廠

乂"以或(%+%++%)"'

m+1zn+1m+1/\zn+1

若-l<m<0,則受一+工++工<(x1+x2++x?)

yr球(%+%++%).

上述兩個(gè)不等式中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)五=三=2=i=2時(shí)取等

%%為yn

教彼運(yùn)用

（2。24?江西?一模）已知正數(shù)x,y滿(mǎn)足中=6,若不等式三5r力恒成立,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是

思路點(diǎn)撥：利用權(quán)方和不等式求解即可

思路詳解：玉+系2告*專(zhuān)=4,所以實(shí)數(shù).的取值范圍是（一迎

＞變式1.求/(%)=\Jx2-3x+2+12+3%-%2的最大值為

思路詳解：111

r-------------I---------------(X2-3X+2^(2+3%—%2p(%2_3%+2+2+3x—"

/(%)=G_3%+2+J2+3%-爐=A--------j，—+--j~，一<-------------------j-----------，一=2<2

1~21-2(1+1)~2

當(dāng)且僅當(dāng)Y—3%+2=2+3x—即1=0或％=3時(shí)取等號(hào)，故答案為：2vL

）支式已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足"391,則占+占+占的最小值為——.

思路詳解：由權(quán)方和不等式，可知

-?______(1+2+3)?_______當(dāng)

〃+1b+1c+1a+14b+49c+9(4/+1)+(4+4Z?)+(9c+9)18

當(dāng)且僅當(dāng)a=2,6=3,c=°時(shí)等號(hào)成立,所以W+占的最小值為2.故答案為：2.

91

1.（2024?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）已知〃20,匕之。且2a+b=l,則-+的最小值為（）

〃+1a+b

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.

911)+(〃+。)卜；

【詳解】--+--a+

a+\a+b

9?9(a+6)?(a+1)1

+1X—

a+1a+b2

9(a+ft)(a+1)1（當(dāng)且僅當(dāng)；時(shí)取等號(hào)）.

>10+2,=8a=,6=0

。+1a+b2

故選:C.

11?

2-設(shè)若。+匕=2,則五口+了的最小值為

【答案】3

12114

【解析】由已知可得2,+處-1=3,從而有—+廠+?Q”l）+2江展開(kāi)后利用基本不等式,

即可求解.

【詳解】由題意，因?yàn)閎>0,滿(mǎn)足a+6=2,

所以2a+2Z>=4,2a+2b—l=3,且。一1>0,方>。,

E121/14、「小八”2b4(2]—17)]

貝I」;;-+-=-+—)[(2?-l)+2Z7]=-[5+--+\7]

2a—\b32?-12b32a2b

4+2.旦,

2a-l2b

2b4(2〃-1)

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?6=2,即。=1力=1時(shí)取得最小值3.

2(2-1lb

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問(wèn)題的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意配湊基本不等式的使用

條件，合理利用基本不等式求得最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試

題.

21

3.已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足4尤+7y=4,則---------1---------的最小值為.

x+3y2x+y

9

【答案匕

【分析】由4x+7y=2（x+3y）+（2x+y）,結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)?x+7y=4,

911(21

所以一丁+——二：「2(%+3>)+(2%+川---------1---------

x+3y2x+y4Lv''7J+2x+y

所以=：4+2（x+3y）+2（2尤+y）”,

x+3y2x+y42x+yx+3y

因?yàn)橛取檎龑?shí)數(shù)，所以2，+3y)>0,2(2x；y)>0,

2x+yx+3y

所以2（x+3y）+2（2x+y）之2卜x+3y）.也疝斗,當(dāng)且僅當(dāng)[：*"=2：+'時(shí)等號(hào)成立，即

2x+yx+3y，2x+yx+3y[4x+7y=4

%=]810=/4時(shí)等號(hào)成立，

211Q24

所以一丁+^—>-(4+4+1)=-,當(dāng)且僅當(dāng)尤=白a=白時(shí)等號(hào)成立，

%+3y2x+y441515

所以2+1一的最小值為彳9，

x+3y2x+y4

Q

故答案為：—.

4

222

4.已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x+y+z=l,則」^+上^+^的最小值為_(kāi)_________

y+2zz+2xx+2y

【答案】I

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)X,y滿(mǎn)足無(wú)+y+z=l,

fv2Z2、（x+y+z）21

所以‘上一+--------N------------------------------——，

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

x_y_z即％=；時(shí)取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)=y=Z

y+2zz+2xx+2y

故答案為：—.

5.已知x+2y+3z+4〃+5V=3。，x2+2y2+3z2+4w2+5v2的最小值為

【答案】60

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

/+2戶(hù)3八4/+5,/+包+色￡+也￡+色￡

345

【詳解】21之

(%+2y+3z+4〃+5v)302

>----------------------------=----=60

1+2+3+4+515

當(dāng)且僅當(dāng)工=丁=2=〃="時(shí)取等號(hào)

故答案為：60

若不等式題目以選擇填空推出時(shí)，通過(guò)柯西不等式，觀察系數(shù)的關(guān)系，配湊出題設(shè)的問(wèn)題，柯西不等

式往往起到秒殺作用.

技巧_￡被

1.二維形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(a,b,c,d￡R,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí),等號(hào)成立.)

2.二維形式的柯西不等式的變式

(1)y/d2-+b2-Vc2+d2>\ac+bd\(a,b,c,d,&R,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.)

⑵'a?+爐.,c2+cl?2|ac|+|bd|(a,b,c,d€R,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.)

____2

(3)(a+b)(c+d)>(Vac+VM)(a,b,c,d>0,當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時(shí)，等號(hào)成立.)

3.擴(kuò)展：(說(shuō)+a)+堵+—卜磷)(用+歷+必+…+/??)>(%,瓦+a2b2+a3b3+…+an^n)2

已知x,y,z滿(mǎn)足x+y+z=l,貝（Ix2+4y2+9z2的最小值為

思路點(diǎn)撥：利用柯西不等式求解即可

222

思路詳解：因?yàn)閊+出+用-p+（2y）+（3z）]＞（x+y+z）,

gp||.（x2+4y2+9z2）＞l^＞x2+4y2+9z2＞||,

所以V+4y2+9z2最小值為己當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=9z時(shí)取等號(hào).故答案為：

＞重式1.用柯西不等式求函數(shù)》=岳行+反+尸分的最大值為

A.722B.3C.4D.5

思路詳解：函數(shù)尸y/2x-3+岳+j7-3x4JF+(何+F*J(2X-3)+X+(7-3X)=4

當(dāng)且僅當(dāng)與L強(qiáng)耳Z時(shí),

即x=2時(shí)等號(hào)成立，故該的最大值為4.

)支式2.已知無(wú)、V、zwR,xy+yz+zx=-l.則M+5；/+8zz的最小值是

思路詳解：由(x+2y+2zy+(y—2z)22。，BPx2+5y2+8z2>-4(xy+)；z+zx)=4,

當(dāng)工=:3，y=—1g，z1=—或兀=—3孑，y=1g,Z=1(時(shí)取等號(hào),所以最小值是4.

乙乙乙乙r*

0世法演揀

1.函數(shù)/(x)=』爐+4+，/-4工+5的最小值為.

【答案】歷

【詳解】注意到，\la2+b2+yjc2+d2>^(a+c)2+(Z?+rf)2.

22

則〃x)=J/+4+&-4x+5=^%2+22+^2-X)+1>々+32=713.

2.由柯西不等式，當(dāng)尤+2y+z=4時(shí)，求?+6+正的最大值為()

A.10B.4C.2D.y/10

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可得(尤+2y+z)(4+2+4)N(2?+24+26)2，即求.

【詳解】解：由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)2(2?+2拒+26>,

當(dāng)且僅當(dāng)J=M=即x=z=3，y=］時(shí)，等號(hào)成立.

42425

因?yàn)閤+2y+z=4,所以(6+4+6)2410，

貝U石+4+GWVI3,故石+4+6的最大值為&U'.

故選：D

3.設(shè)x+y+z=l.則函數(shù)a=2/+3丁+22的最小值是.

【答案】R

【詳解】由已知條件及柯西不等式有

1=x+y+z=-A/2X+-y/3y+1.zj+；+(2x?+3j2+z2^=J?x8①

則比"I.

A/2X_V3y_z_I；

式①中等號(hào)成立的條件為工一工一『一，即x=5，y=gz=X.

正騁

代入已知等式有,+：+2=1,解得4=：.

因止匕，當(dāng)x=1,y=V，z=(^寸，11nm='

4.設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)X、V、z滿(mǎn)足無(wú)+y+z=l.則/=J9+J+J4+J+J1+Z?的最小值為

【答案】歷

［詳解］首先，,4+/+7177〃,9+仃+2)2.

則出79+x2+j9+(y+z)222+；=庖.

當(dāng)且僅當(dāng)2=*=$=：時(shí)，』=庖.

技法031涉否等箍施用及磔題1

魚(yú)駁型解裱

本題型通常考查基本不等式及其基本不等式鏈的應(yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的

大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.

?裁32點(diǎn)祓

基本不等式鏈：當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立.

V22-+-

ab

其中小，而，IT分別為a，b平方平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù).可利

--1--

ab

用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進(jìn)行放縮、轉(zhuǎn)化.

（2022.全國(guó)?新高考n卷高考真題）（多選）若無(wú)，y滿(mǎn)足f+/一沖=1,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

思路點(diǎn)撥：基本不等式鏈求解即可

思路詳解：由基本不等式鏈：J拓"了，（。〉0，"〉0）,

ab

可得"41等（a,blR）,

22

對(duì)于C,由Y+V一沖=1可變形為（/+y）_1=.4土產(chǎn)，解得犬+產(chǎn)<2,當(dāng)且僅當(dāng)X=y=±l時(shí)取等

號(hào)，所以C正確

因?yàn)槭郑╝,blR）,由/+/一沖=1可變形為，（尤+y）2_]=3q<3[字卜解得

-2<x+y<2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=丁=-1時(shí)，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確;

【答案】：BC.

>之K1.（2024,貴州貴陽(yáng)?一模）（多選）已知。>0/>0,且。+6=2,則（）

A.2"+2"22后B.-+->2

ab

2

C.log2?+log2Z?<1D.(r+b>2

思路詳解：人.2。+2j2萬(wàn)訪(fǎng)=4>2點(diǎn)，當(dāng)。=匕=1時(shí)，等號(hào)成立，故A正確;

X=^±>4ab>^—

B.2~-11.當(dāng)。=6=1時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；

—+—

ab

C.\og2a+log2Z?=log2ab<log2f=0<l,故C正確；

a+b

D.l''>￡±^=1，當(dāng)a=6=l時(shí)等號(hào)成立，故D正確.

V22

法，寅宿^1ml1m

1.（2024?河北滄州?二模）（多選）己知實(shí)數(shù)。,方滿(mǎn)足。>瓦。+匕=1,則（）

A.a2>abB.ab>b2

C.ab<-D.a2+b2>l

4

【答案】AC

【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A,B；由代入消元結(jié)合函數(shù)的最值可判斷C；由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)

結(jié)論可判斷D.

【詳解】因?yàn)椤?gt;6,。+6=1>0,

所以。>02的符號(hào)不確定，

由不等式的性質(zhì)知片>外成立，

但必〉/不一定成立，故A正確，B錯(cuò)誤；

因"=a（l_q）=+；?；，故C正確；

因?yàn)樾姆?，所以?從>2成，所以/+匕2>絲土絲=」，故D錯(cuò)誤.

22

故選：AC.

2.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知實(shí)數(shù)X，>滿(mǎn)足丁+4/一2孫=1,則（）

A.x+2y<lB.x+2y>-2

C.x2+4y2<2D.%2+4/>1

【答案】BC

【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)（x-2y）220,結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判

斷C；根據(jù)（x+2?20,基本不等式計(jì)算即可判斷D.

【詳解】A：由f+4y2-2孫=1,得/+4〉2+4孫=6孫+1,

BP（x+2y）2=6xy+l<3.（^^）2+l,得（x+2y）2《4,

解得-2<x+2y<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤;

B:由選項(xiàng)A的分析知-2Vx+2y,故B正確;

C：(x-2y)2>0,得x2+4y2z4xy,IP2xy+l<x+^y+1,

所以x2+4y2=2xy+l<X+^,+1,

得V+4y*2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=2y時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

D：由(x+2y)220,x2+4y~>-4xy,即2沖+1之1-"，

所以丁+4/=2町+1上1一^^,得V+49上：，

當(dāng)且僅當(dāng)x=-2y時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

技法04［普通型精永不尊式的應(yīng)用及解題技討

圖駁型斛裱

在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不

等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.

G技巧上破

1.糖水不等式定理：

若a>b>0,m>0,則一定有>—

a+ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,則糖水更甜;

2.糖水不等式的倒數(shù)形式：

設(shè)a>b>0,m>0,則有：巴>a+m

bb+m

(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知55<83134V85.設(shè)a=log53,fo=log85,c=logi38,則(

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

思路點(diǎn)撥：利用糖水不等式求解即可

思路詳解：【法一】

?…8?24

1gIn3+In—In—1c

a=-m-3<------5=——S<-In-5=h7

山5出5+也§ln8ln8，

5

1339

ln3+lnjIn工

a

又?=—<_______L5c,用排除法，選Ao

,,13

In5In5c+In——In13In13

5

4

5454

【法二】5<8log85<log88,

4

445

13<8,nlog1313<log138=>c>—

若log53?ogg5olog53log581,

22

Iog53+log582425

但log31og8<<|=1-a<b

552

綜上所述，a<b<c.

）支式1.（2024?全國(guó)模擬）（多選）已知實(shí)數(shù)瓦。滿(mǎn)足OvQVbvc,則下列說(shuō)法正確的是（

11-bb+c

A.------>-------B.—>------

c-ab-aaa+c

11

1

C-a(c-a)b^c-a^D.ab+c>ac+be

bb+c

思路詳解：【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，b>a>0,c>0,則有:—>-------

aa+c

bb+c

【法二】—>------<=>b(a+c\>a(b+c\<=>bc>ac<=>b>a,故B正確;

aa+c

【答案】BCD

）支式2.試比較log,sIog54的大?。ㄌ睢?lt;"或“>”或“="）

?15

1qIn3+In—In——

依題意log3=<-----------J__4_In4

思路詳解:4<——=log54.

ln4ln4+ln5In5In5

4

）支式3.log32log-10(用“<”或“>”填空)

思路詳解：因?yàn)椤?lt;log32<l,所以可得:

?技法演煉

1.如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了，這其中蘊(yùn)含著著名的糖水不等式：2〈江'（x>y>0,"?>0）.

xx+m

⑴證明糖水不等式；

（2）已知a,b,c是三角形的三邊，求證：—1—~—1—~~7<2.

b+ca+ca+b

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由作差法證明;

（2）由糖水不等式變形證明.

y+myx^y+m)-y^x+m)m^x-y)

【詳解】（1）

x+mxx(x+m)x(x+m)'

因?yàn)閄>y>0,6>0,所以x+加>0,x-y>0,

所以坐E>o,即，m

x^x+m)xx+m

（2）因?yàn)椤Ｉ?。是三角形的三邊，所以〃+c>a>0,

aa+a2a

由（1）知------<------------=------------，

b+cb+c+a---a+b+c

同理，bL<2bc2c

a+b+c'a+b<a+b+c

a+c

匕匚I、1abc2a2b2c2(〃+b+c)

所以----+----+----<-------+-------+-------=---------=2,

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

「aabbcc

又---->----------->-------,---->-------

b+cb+c+aa+ca+b+ca+ba+b+c

abca+b+cr

所以----------1------------1---------->-----------=1

b+ca+ca+ba+b+c

所以原不等式成立.

2.若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為S?(q>0,q>0),比較SnSn+2與S3的大小

S,：

【答案】SnSn+2<+1

【解析】vSn+2>Sn+1>Sn

幺+s

.s?_as?_向S前.

..---+-2----1-+-q----+-l--q-------<----,

S“+1S

+qSn幺+sn

q

故S￡+2<S3。

技法05對(duì)數(shù)型糖永不再式而應(yīng)用及解題技方J

\___________1_______r—__?X_r-i__________L-,L..______,J

侈題蛆裱

在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型

糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.

?裁也￡被

⑴設(shè)“cN+，且〃>1,則有l(wèi)og?+1n<logn+2(H+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogab<loga+m(b+m)

(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogha>logb+m(a+m)

技彼運(yùn)用

(2022.全國(guó)統(tǒng)考高考真題)已知9'"=10,。=10"'-11涉=8"-9,則()

A.a>0>bB.a>6>0C.b>a>QD.b>0>a

思路點(diǎn)撥：利用對(duì)數(shù)型糖水不等式求解即可

思路詳解：因?yàn)?"'=10,所以zn=log910.在上述推論中取a=9力=10,可得m=log910>

log10ll=lgll,且m=log910<log89.

所以a=10"'—11>10口1—11=0/=8m-9<8log99-9=0,即a>Q>b,選A.

>支41.比較大小：log74與loggG的大小.

?一9?36,42

In4+In—In—In—

In4

思路詳解：【法一】7

log74=-----<=log96o

In7ln7+ln-In9In9

7

[41646

【法二】log4-log6=（log4-l）-（log6-1）

7979=bg7--1og9-<log9--log9-<0

【法三】對(duì)數(shù)型糖水不等式直接可得

法t?！ā?〃//〃〃/〃〃〃〃〃/〃/〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃,

1.(2024?四川樂(lè)山?三模)若a=log32］=log43,c=e-2,則a,瓦。的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用放縮法可得利用作商比較法可得。_32>坨4<與（坨2+炒4）］2,進(jìn)而可得

222b-^T---

a<b,可得結(jié)論.

2

【詳解】a=log32>log373==log43>log4V?=^,c=e~,

所以貝lja>c,b>c,

又。」唱2_館2.坨4/：（恒2+愴4）］2坨28〈婕941g?3：1,

了一log,3-lg23-lg23-41g2341g2a-41g2a-

所以avZ?,所以cvavb.

故選：D.

1

2.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）已知a=2,Z>=log65,c=log56，貝I（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】c

【分析】取兩個(gè)中間值1和g，由。=人>3，b<log66=l,l=log55<c<T即可比較三者大小?

【詳解】a1]?=6>行=：，^=log65<log66=l,l=log55<log56=c<log5V125=|,

因止匕.

故選：C.

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a=log20242023,Z?=log20232022,c=log020240.2023,則()

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到c最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到人va,從而得解.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知c=log°.202462023〉10go.202402024=1,

0=log20241<log20242023<log20242024=1,

0=log20231<log20232022<log20232023=1,

所以。>1,OVQVI,O<Z?<1；

當(dāng)〃>2時(shí)，ln(n+l)>lnn>ln(n-l)>0,

i——12

所以In5+1)?In(〃一1)一(In/<皿〃+1);皿7-1)_(比〃)2

2

=+.(ln?)=[嗎T)]-(In療

-(inn)2=(lnn)2-(in-0,

取w=2023，貝U1g2022-lg2024-(lg2023)2<0,

lg2022lg2023

所以》_a=log2022-log

20232024lg2023-lg2024

2

lg2022-lg2024-(lg2023)<0)

lg2023-lg2024

綜上，b<a<c.

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)比大小常用結(jié)論：10g“（7Ll）<10g“+M（”>2）.

1.（2024?河南關(guān)B州?一模）E^［］a=log23,b=k>g45,c=log67,則。，4c的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.a>b>c

【答案】D

【分析】對(duì)〃，b,c進(jìn)行變形，構(gòu)造〃燈」叱+1),(無(wú)家)，求導(dǎo)后得到其單調(diào)性，從而判斷出。，b,

\nx

C的大小.

【詳解】。=10%3=黑,b=log,5=M，c=log67=^,

lg2lg4lg6

令小)=半3(xN2),

Inx

Inxln(x+l)

f(xsIZTx_xlni+l)ln(x+l),

(ln^)2x(x+l)ln2x

因?yàn)閤N2,所以x(x+l)ln2x>0,

令g（x）=xlnx,x>2,8'（尤）=111了+1>0在［2,+00）上恒成立，g（x）在［2,+8）上單調(diào)遞增,

xlnx—(x+l)ln(x+l)

故xlnx-(x+l)ln(x+l)<0,所以〃x)=<。在［2,+8）上恒成立,

x(x+l)ln2x

故/（x）=M（x+l）在［2,向）上單調(diào)遞減,

Inx

In3In5In7

所以--->---->----即a>b>c,

In2In4In6

故選：D.

2.已知”=1嗚2,Z?=log43,c=log54,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】C

【分析】做差，利用換底公式，基本不等式,對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.

2pn2+ln4y

【詳解】，。,cln3In2In23-ln21n4”12JIn2^9-In2

b-a=log3-logo2=-------------=------------------->------------------------—Q

43In4In3In31n4In31n4In31n4

pn3+ln5j

標(biāo)_］口2岳)

,,…cln4In3In24-ln31n5h?0

c-b=log.4-102.3=------------=-------------------

54In5In4In51n4In51n4In51n4,

所以c>Z?>a.

故選：C.

3.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下::a,b,

龍，y>0,則《+包幺，當(dāng)且僅當(dāng)4=2時(shí)，等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)/（x）=1

H---------

xyx+yxy2—3%

的最小值為.

【答案】8

【分析】先將給定函數(shù)式表示成已知不等式左邊的形式，再利用該不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)椤?，b,x,y>0,則《+工當(dāng)且僅當(dāng)q=2時(shí)，等號(hào)成立,

xyx+yxy

2

X0<x<—,即2-3%>0,

所以/⑺―+―1—工+―0+1）產(chǎn),

x2-3x3x2-3x3x+（2-3x）

當(dāng)且僅當(dāng)三3二丁1丁，即%=彳1時(shí)，等號(hào)成立，

所以“力=2+7=（0<x<彌勺最小值為8.

x2—3%I3）

故答案為：8.

21

4.已知。>>>0,且滿(mǎn)足——-+———=1,則a+%的最小值為_(kāi)_____.

a+2。+26

【答案】—+

2

【分析】由權(quán)方不等式，結(jié)合已知等式進(jìn)行求解即可.

21(A/2+VI)2

【詳解】由權(quán)方和不等式，可知-----1------N

a+2a+2b(a+2)+(a+2Z?)

句.發(fā)2匚）……當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)=七時(shí)取等號(hào),

即當(dāng)4=0,6=工時(shí)取等號(hào)，

2

所以的最小值為

2

故答案為：

5.已知x>0,y>0,且——+—1=1,則x+2y的最小值為_(kāi)_________

2x+yy+1

【答案】百+萬(wàn)

【詳解】解法一：設(shè)1+2y=4（2x+y）+%（y+l）+，，

可解得4=21自=3于"_3(，

133

從而x+2y=—(2x+y)+—(^+1)--

=1(2x+y)+|(y+l)

2x+y

當(dāng)且僅當(dāng)x=L也,y=電時(shí)取等號(hào).

233

故答案為：下+—.

解法二：考慮直接使用柯西不等式的特殊形式，即權(quán)方和不等式：《十歐…絲也,

xyx+y

叫2x+4y+34+2-\/3,

2x+y3y+32x+4y+3

所以％+2y.豆+1,當(dāng)且僅當(dāng)％=J_+9l,y=走時(shí)取等號(hào).

2233

故答案為：有+—.

6.（多選）已知。>0,&>0,a+b=l,則下列不等式一定成立的是（）

7111）

A.ab<—B.—+—<4

4ab

11c

C.a1+b2>-D.-r+-r>8

2/b2

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式可直接得到A正確；由工+；=[,+；]（。+6）,a2+b2=l-2ab,根據(jù)基本不等式

abyab）

知BC正誤；將二+2化為[2-1]-1,結(jié)合《24,根據(jù)二次函數(shù)最值可確定D正確.

abyab）ab

a+bI=-(當(dāng)且僅當(dāng)。=6=：時(shí)取等號(hào))，A正確;

【詳角星】對(duì)于A,a>0,b>0,a+b=l,:.ab<

2I42

對(duì)于B,工+!=[1+工]（4+6）=2+2+322+2、匠=4（當(dāng)且僅當(dāng)2