2025年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：平面向量的數(shù)量積（學(xué)生版+解析）

第02講平面向量的數(shù)量積

（7類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

數(shù)量積的運算律

2024年新II卷,第3題,5分已知數(shù)量積求模模長的相關(guān)計算

垂直關(guān)系的向量表示

向量垂直的坐標(biāo)表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

利用向量垂直求參數(shù)

2023年新II卷,第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律向量的模長運算

2022年新H卷，第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

坐標(biāo)計算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律無

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分

【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積

2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角

4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)

和實際問題中的作用

5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理

解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。

知識講解

1.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量。，〃的夾角為仇記作(詞，且Oe[O/]

定義二

則數(shù)量MMIcos6叫做a與b的數(shù)量積,記作ab

|a|cos3叫做向量a在8方向上的投影，

投影

|Z?|cos6叫做向量8在a方向上的投影

幾何

數(shù)量積ab等于a的長度⑷與8在a的方向上的投影版|cos0的乘積

意義

2.向量數(shù)量積的運算律

(l)ab=b?a.

(2)(%)?辦=2(。乃)=。?(勸).

(3)(〃+方)c=ac+辦c.

3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,*),a與8的夾角為夕

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積⑷步|cos（叫a-b=xix2-\-yiy2

模\a\=y[a^a|a|=..+.

ab—+yiy2

aCS

夾角COSu—IIIJI°4?+.々3+次

1ali例

a±b的充要條件ab=0xix2-\-yiy2=0

|a創(chuàng)與同|臼的關(guān)系M?臼W|a|一\x1x2-\-y1y2\Wy]（%?+貨）（遇+次）

1.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，

例如，a0=a-c(a#O)不能得出Z>=c,兩邊不能約去一個向量.

2.a?A=O不能推出a=0或辦=0,因為很。=0時，有可能a_LA.

3.在用⑷=而求向量的模時，一定要先求出，再進(jìn)行開方.

考點一、求平面向量的數(shù)量積

典例引領(lǐng)

（2022?全國,圖考真題）已知向量滿足|a|=1,|）|=。-261=3,貝！Ja%=

A.-2

2.（2024?山東濰坊?三模）已知向量a=（l,2）,b=（4,—2）,c=（l㈤，若。（2。+6）=0,則實數(shù)2=

3.（2021,全國可考真題）已知向量a+6+c=0，"=1，忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=-

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊ABC中，點E為中線3。的三等分點（靠近點B）,

點尸為BC的中點，則FE/8=（）

1.（2023?全國?高考真題）正方形ABC。的邊長是2,E是A3的中點，則石。磯）=（

A.75C.26

2.（2024,黑龍江?二模）已知向量。=。,帆），b=（n,6）,若6=3a，貝!1"力=.

3.（2022?全國?高考真題）設(shè)向量°,6的夾角的余弦值為g,且口=1,1|=3,貝1］僅4+6）/=.

4.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）在中，N2AC=60，kq=6，kc|=3,AM=2"B,CN=7W,則AN-C2=

A.-9D.18

考點二、辨析數(shù)量積的運算律

典例引領(lǐng)

1.（2021?浙江?高考真題）已知非零向量a,b,c,則"a.c=c"是"。=b"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

2.（湖北?高考真題）已知a,6,c為非零的平面向量.甲：a-b=a-c,乙:5=c，貝U（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3.（上海?高考真題）若°,b，c均為任意向量，機eR,則下列等式不一定成立的是（）

A.{a+b）+c=a+{b+c）B.{a+b）-c=a-c+b-c

C.m（a+b）=ma+mbD.（a?b）c=a（b-c）

4.（2023?全國，模擬預(yù)測）設(shè)a也c是三個非零的平面向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（

A.B.

C.與％垂直D.||a|-|z?||<|a-Z?|

5.（22-23高三上?江蘇揚州?開學(xué)考試）（多選）關(guān)于平面向量6,c,下列說法不正確的是（）

A.若a,c=b，貝=b

B.（〃+0）?（:=Q.c+萬

C.若a2=b?,則Q.c=b.c

D.（a?b）?0=（b??a

考點三、模長綜合計算

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國,高考真題）已知向量。=（2,1）0=（-2,4）,則1-耳（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024?全國?高考真題）已知向量°,6滿足口=1,卜+2*2,且僅-2a），6,則忖=（）

A.|B.—C.3D.1

222

3.（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測）己知是單位向量，且它們的夾角是60.若a=q+2e2，b=幾6-e；,且

\a\=\b\,貝lM=（）

A.2B.-2C.2或一3D.3或-2

4.（2024高三下■全國?專題練習(xí)）已知向量。=（-1,2）,向量b滿足卜-0=26\且cos〈a,b〉=咚，則|b|=（）

A.非B.5C.710D.25

1.（2024?陜西榆林?二模）若向量4=。%,7找-1）,6=（夜秋,3）,|＜7|=|。|,則冽=（）

A.-4B.-3C.-20D.-2

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知向量￡=（“〃），M?GR,6=（0,2）,則卜+b|的最小值為.

3.（2024?廣西柳州?模擬預(yù)測）已知向量0與6的夾角為60。，且4=（1,⑹，忖=1,貝巾一2同=（）.

A.不B.75C.4D.2

4.（2024?湖南長沙?三模）平面向量a,b,c滿足：a±c,且同=卜卜3,忖=2,

貝ijL+z?+c|=_.

考點四、夾角綜合計算

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）,〃=（2,2）,貝！Jcos（〃+b,a-b）=（）

A-B.姮C.@D.至

171755

2.（2023?全國?高考真題）已知向量。也c滿足同=忖=1,同=0,且Q+Z?+C=0,則cos〈a—c,A—c〉=（）

4224

A.——B.——C.-D.-

5555

3.（2022?全國?高考真題）已知向量〃=（3,4）,〃=（1,0）,。=。+仍，若＜〃,。＞=＜瓦。＞,則，=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知向量。=（百,1）,。=（根-1,3）,若向量〃，人的夾角為銳角，則實數(shù)加的

取值范圍為（）

A.(1-后+8)B.^1+3^3,4-coj

C.(1-近1+3百)(1+373,+oo)D.(l+/l+3石)(1+3"+oo)

1.（2024?山東日照?三模）已知〃和人是兩個單位向量，若卜力）=三，則向量〃與向量”―匕的夾角為（）

7171兀2兀

A.-B.-C.-D.—

6323

2.（2024?廣東江門?二模）設(shè)向量。4=（1,尤）,03=（2,無），則cos〈OA,OB〉的最小值為.

3.（2024?河北?模擬預(yù)測）平面四邊形A3CD中，點反尸分別為AD,BC的中點，|。|=2|鈿|=8,怛產(chǎn)|=5,

則cos(A2,￡)C)=()

4.(2024?上海,模擬預(yù)測)已知向量d,b,c滿足向==1,同=0,且a+b+c=0,貝!Jcos(a-c,6-c)=

考點五、垂直綜合計算

典例引領(lǐng)

I__________________

1.(2024?全國?高考真題)設(shè)向量2=(x+l,x)出=(苑2),則()

A."x=-3"是"a_L6"的必要條件B."x=-3"是的必要條件

C."x=0"是"66"的充分條件D.“x=T+石"是"a//6"的充分條件

2.(2024?全國?高考真題)已知向量。=(0,1),6=(2,x),若/(方-44),則工=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(2023?全國?高考真題)已知向量a=(l,1),6=(1,-1),若(a+樹，,+聞，則()

A.%+//=1B.%+4=-1

C.加=1D.%〃=-1

1.（2024?廣西?三模）已知向量a=（-l,3）M，b,那么向量b可以是（）

A.（1,3）B.[C.（3,-1）D.（3,1）

2.（2024?浙江臺州?二模）已知平面向量展=（2,1）,U（-2,4）,若（2〃+。）“貓叫，則實數(shù)人（）

A.-1B.-2C.1D.2

3.（2023?浙江寧波?一模）若是夾角為60°的兩個單位向量，/la+Z?與-3a+2Z?垂直，則4=（

4.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測）已知向量。=（2j）,b=（1,2）,若當(dāng)￡=%時，Q1=問?忖，當(dāng)，=時，alb，

貝IJ（）

A.%=-4,^=-1B.%=-4,J=1

C.「4,12=-1D.。=4,J=1

考點六、求投影向量

典例引領(lǐng)

1.（2024?山東青島?二模）已知向量方=（-1,2）,6=（—3,1）,則a在b上的投影向量為（）

311下2小、（3M麗）

A.(-包)B.(--,1)丁FD.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知向量a/滿足同=2,6=（3,0）,卜-小師，則向量“在向量B方向

上的投影向量為（）

A.［川B.C.［別D.（1,0）

3.（2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測）已知平面向量4與。滿足：a在〃方向上的投影向量為,6在d方向上

4

的投影向量為a,且|4=2,則忖=（）

A.小B.2C.D.4

ABAC1ABAC1

4.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）已知非零向量AB與AC滿足rn+i一IBC=0,且則向

〔網(wǎng)|呵\AB\|ACI2

量C4在向量C3上的投影向量為（）

3131

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

2222

1.（23-24高三下?湖北?開學(xué)考試）已知e是單位向量，且|2e-4=a+2e在e上的投影向量為5e,則〃

與?的夾角為（

2.（2024?浙江紹興?三模）若非零向量a,b滿足同=忖=,+可，則。+26在6方向上的投影向量為（）

31r

A.2bB.—bC.bD.—b

22

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知向量。=（2,m），/?=（〃/），c=（m+l,-l）,若a_Lb，bile，貝Ub在a+c上

的投影向量為（）

4.（2024?新疆喀什?二模）在直角梯形ABC。中，4）//8。且5。=24）,46，旬,4?與&）交于點0,則向

量50在向量胡上的投影向量為（）

11?3

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

5.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0A=（1,指），點B在直線x+也y-2=0上，則

在OA上的投影向量為（）

fl回

A.?、蔅.(1,3)HR

考點七、數(shù)量積范圍的綜合問題

典例引領(lǐng)

1.（湖南?高考真題）設(shè)db均是非零向量，且忖=2愀，若關(guān)于x的方程/+卜卜+。2=0有實根，則°與萬

的夾角的取值范圍為（）

71712兀71

A.B.3,71C.D.

0

2.（2022?北京?高考真題）在，ABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,

則的取值范圍是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2023?全國?高考真題）已知O的半徑為1,直線B4與CO相切于點4直線PB與。交于2,C兩點,

。為BC的中點，若「。|=0,則P4PD的最大值為（

A.21+2近

B.

22

C.1+V2D.2+72

己知同=問=（）（）則卜-的取值范圍是（）

4.（2024IWJ二?全國?專題練習(xí)）W=2,1,a-c-b-c=0,N

近-1近+1

A.[V6-1,V6+1]

2'2

-s/6-1y[6+1

C.[T7-1,A/7+1]

1.（2024?河北唐山?二模）已知圓C：X2+（J；-3）2=4,過點（0,4）的直線/與無軸交于點尸，與圓C交于A,

3兩點，則CP（C4+C8）的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,1）C.[0,2]D.[0,2）

2.（2024?天津河北?一模）ABC是等腰直角三角形，其中A3,AC』=尸是,ABC所在平面內(nèi)的一點,

若CP=XCA+〃C8（2>0,//>0>2+2//=2）,則以在門上的投影向量的長度的取值范圍是（）

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a,b,c為單位向量，且13a-5司=7,貝力2a-c|+|b-2d的最小值為（）

A.2B.26C.4D.6

22

4.（2024?山東日照?一模）過雙曲線上—匕=1的右支上一點尸，分別向G：（%+4）2+/=3和

412

6：（%-4>+y2=i作切線，切點分別為"，N,貝（）（尸加+9）?碗的最小值為（）

A.28B.29C.30D.32

『I好題沖關(guān)

一、單選題

1.(2024?重慶?三模)已知向量a=(3,1),6=(-2,x),若a，(a+b),則18|=()

A.2B.3C.2A/5D.

3

2.（2024?北京大興?三模）已知平面向量a=（l,〃z）,b=（2,-2m）,則下列結(jié)論一定錯誤的是（）

l

A.allbB.aLbC.W=2忖D.a-b=（l,-3m）

3.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）已知向量|a|=3,|a-6=|。+26|,則|2+加=（）

A.gB.2C.6D.3

4.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知平面向量a=（-l,2）,6=（3,4）,則°在》上的投影向量為（）

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知向量為單位向量，|c|=唐且a+6+c=0，則a與b的夾角為（）

6.（2024?陜西安康,模擬預(yù)測）若平面向量滿足時=0料=1,卜+川=百，則向量。力夾角的余弦值為

7.（2024,江蘇泰州?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中A=45,AB=1,AD=0,若4尸=AB+xAD（xeR）,則

網(wǎng)的最小值為（）

A—B.專

C.1D.0

二、填空題

8.（2024?陜西?模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計的正八邊形八角窗，若。是正八邊形ABCOEFGH的中心，=1,

則ACCO.

9.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）已知向量2=（-4,附,6=（1,-2）滿足（0-26），》，則機的值為.

10.（2024?重慶三模）已知正方形ABC。，邊長為1,點E是8c邊上一點，若BE=2CE,貝?。軦E.CE=.

一、單選題

1.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若平面向量a,b滿足卜卜W,且，=g時，口-H取得最小值，則@6）=（）

2.（2024?天津北辰?三模）在ABC中，=。為，ABC外心，且AO.AC=1，則，ABC的最大值

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）曲線C的方程為y2=4x,直線/與拋物線C交于A,8兩點.設(shè)甲：直線/與

過點（1，。）；乙：OAOB=-3（。為坐標(biāo)原點），則（）

A.甲是乙的必要不充分條件B.甲是乙的充分不必要條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件

4.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)向量6滿足（a-+且2同=3,卜0,則cos<a/>=（）

1313

A.—B.—C.—D.—

6868

5.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）在ABC中，BABC=-BC,^a=-AB+-AC,b=-AB+-AC,

23344

25

c=-AB+-AC,貝！|（）

77

A.碼>間>同B.|i|>|a|>|?|C.|d|>|c|>|z?|D.同>同>網(wǎng)

6.（2024?四川成都?三模）在矩形A3CD中，AB=5,AO=4,點E滿足2AE=3EB,在平面ABCD中，動

點尸滿足尸E?尸8=0，則DP-A3的最大值為（）

A.我+4B.741-6C.2而+4D.2713-6

二、多選題

7.（2024?浙江,模擬預(yù)測）已知向量a,b的夾角為三，且同=1,忖=2,貝I］（）

A.(a-b^LaB.|d+/?|=V7

在的方向上的投影向量為

C.|24+,=網(wǎng)D.ab36

4

8.（2024?新疆?三模）已知點0（0,0）,A（2,l）,8（1,2）,尸（cosa,sina）（OWa<2;i）,則下列結(jié)論正確的是

兀_3兀

A.若"=3，則B.若M//OP，則”彳

124

C.若A30P=——，sin2a=—D.的最大值為6+1

525

9.（2024?廣東江門?三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，*扇聯(lián)|山，心［〉，其中〈。,力表示的

夾角，則對于兩個非零平面向量3,6,下列結(jié)論一定成立的有（）

A.“在b上的投影向量為|a|sin〈a,?-2

\b\

B.斜力了+而辦/口加

C.X(Q*8)=(2a)*辦

D.若〃*Z?=0,則allb

三、填空題_

10.（2024?天津河?xùn)|?二模）如圖所示，正方形ABC。的邊長為歷，正方形EFGH邊長為1,則AE-AG的

值為.若在線段上有一一個動點M,則ME.MG的最小值為.

1.（2024?北京?高考真題）設(shè)a,b是向量，貝廣（。+6｝（"6）=0"是"。=_6或a=b"的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?天津?高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段。的三等分點，

1uuruuruufl

CE=-DE,BE=ABA+^BC,則彳+〃=；/為線段BE上的動點，G為AF中點，則A尸.OG的最小值

為.

3.(2023?天津?局|考真題)在dABC中，BC=1,NA=60,4。=/24仇。石=5?！?,記245=〃,4。=/2，用Q,Z?

表示AE=;若BF=3BC,則A/的最大值為.

4.（2023?全國?高考真題）已知向量〃，力滿足,一司=6,k+司=卜〃一W,則忖=

5.（2023?北京?高考真題）已知向量4,6滿足。+>=（2,3）,。-6=（-2,1）,則|〃|2一|切2=（）

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2022?全國,高考真題）已知向量。=（九3）,。=（1,機+1）.若0，人貝打”=.

7.（2022?全國?高考真題）設(shè)向量°,6的夾角的余弦值為g,且忖=1,1|=3,貝l］（2a+6）?6=

8.（2022?全國?高考真題）已知向量之6滿足|a|=l,g|=g,|a-2/=3,則°力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

9.（2022?天津?高考真題）在ABC中，C4=a,C5=。，。是AC中點，C5=23石，試用表示O石為

若AB工DE，則/ACB的最大值為

10.（2021?全國?高考真題）已知向量Q=（1,3）,〃=（3,4）,若（a_L〃，則2=.

11.（2021?全國?高考真題）若向量4,6滿足卜卜3,卜一0=5,〃?。=1,則網(wǎng)=.

12.（2021?全國?高考真題）已知向量a=（3,l）,b=（l,0）,c=a+H?.若〃_Lc，貝!!左=

13.（2021?浙江?JWJ考真題）已知非零向量〃，反則"a.c=〃.c"是"a=心"的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

14.（2021?天津?高考真題）在邊長為1的等邊三角形A5C中，。為線段5C上的動點，且交A3

于點E.。尸〃且交AC于點尸,則|25月+OF|的值為；的最小值為.

15.（2021?全國司考真題）已知向量a+0+c=0，忖=1，"二=2,a-b+b-c+c-a—-

16.（2021?浙江?高考真題）已知平面向量〃）,（?,（°力0）滿足卜|=1刎=2,〃?〃=0,（4-6卜。=。.記向量1在。*

方向上的投影分別為％,乃d-4在c方向上的投影為z,則V+y2+z2的最小值為.

17.（2021?全國?高考真題）（多選）已知。為坐標(biāo)原點，點《（cosa,sina）,鳥（cos⑸-sin/?）,

4（cos（a+/?）,sin（a+￡））,A（l,0）,則（）

A.|。耳=|網(wǎng)B.\AP］=\AP2\

C.OXOP^=OPxOP2D.OAOP^OP^OPi

18.（2020?全國?高考真題）設(shè)向量a=（1,-1）,萬=（m+1,2根-4）,若］_LZ>,則機=.

19.（2020?全國?高考真題）設(shè)〃力為單位向量，且|〃+切=1,貝!J|a-口=.

20.（2020?全國?高考真題）已知單位向量〃，匕的夾角為60。，則在下列向量中，與匕垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a—2bD.2a-b

21.（2020?北京?高考真題）已知正方形ABC。的邊長為2,點P滿足AP=g（A5+AC）,則|尸。|=：

PBPD=

22.（2020?浙江?高考真題）設(shè)c,02為單位向量，滿足|2q-e2|v0,a=ex+e2,b=3q+e；,設(shè)°,b的

夾角為。，則cos?。的最小值為.

23.（2020?山東?高考真題）己知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則APAB的取值范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

24.(2020?全國?高考真題)已知向量a,6滿足|a|=5,\b\=6,d-b=-6>貝1kos<a,a+b>=()

31-19-17-19

AA.——B.——C.—D.——

35353535

3

25.(2020?天津?高考真題)如圖，在四邊形ABC。中，ZB=60°,AB=3,BC^6,S.AD=ABC,ADAB=——,

2

則實數(shù)4的值為，若KN是線段2c上的動點，且|MN|=1,則O0.DN的最小值為.

第02講平面向量的數(shù)量積

（7類核心考點精講精練）

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第3題,5分向量垂直的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

數(shù)量積的運算律

2024年新II卷，第3題,5分已知數(shù)量積求模模長的相關(guān)計算

垂直關(guān)系的向量表示

向量垂直的坐標(biāo)表示

2023年新I卷，第3題,5分平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

利用向量垂直求參數(shù)

2023年新II卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律向量的模長運算

2022年新II卷，第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

坐標(biāo)計算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡、求值

二倍角的余弦公式

2021年新H卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律無

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度不定，分值為5分

【備考策略】1通過物理中功等實例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積

2會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會表示及計算兩個平面向量的夾角

4會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)

和實際問題中的作用

5會用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問題

【命題預(yù)測】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理

解，易得分，需重點復(fù)習(xí)。

知識講解

1.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量a,方的夾角為仇記作(叫，且Je[o，T

定義

則數(shù)量MMIcos3叫做a與b的數(shù)量積，記作ab

|a|cos6叫做向量a在萬方向上的投影，

投影

|Z>|cos6叫做向量〃在a方向上的投影

幾何

數(shù)量積ab等于a的長度⑷與8在a的方向上的投影版|cos0的乘積

意義

3.向量數(shù)量積的運算律

(2)(4。)?辦=%>》)=a?(勸).

(3)(a+》)c=ac+"c.

3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi,yi),8=(x2,>2),a與1的夾角為夕

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積|a||Z>|cos（叫a-b=xiX2+yiy2

模\u\=7|a戶.%?+完

_ab%1.2+11月

夾角COSu—IiiiiC°S山?+.々二+貢

a±b的充要條件ab=0xix2~\-y\y2=0

|a?臼與|a||臼的關(guān)系|a創(chuàng)W|aM|\x1x2-\-y1y2\（%?+丁彳）（送十支）

2.數(shù)量積運算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，

例如，a^=a-c(aWO)不能得出8=c,兩邊不能約去一個向量.

2.a仍=0不能推出a=0或8=0,因為a仍=0時，有可能a_LZ>.

3.在用⑷=訴求向量的模時，一定要先求出解再進(jìn)行開方.

考點一、求平面向量的數(shù)量積

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?高考真題)已知向量°力滿足|a|=l,|b|=6,|a-2b|=3,則1%=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】解：回|。一2切2=|°|2-44力+4網(wǎng)2,

又即。|=1,聞=后|。-26|=3,

09=l-4fl-&+4x3=13-4a-Z?，

團(tuán)〃力=1

故選：C.

2.(2024?山東濰坊?三模)已知向量a=(l,2),b=(4,-2),c=(l,X),若c(2a+6)=0,則實數(shù)2=

【答案】-3

【分析】根據(jù)向量線性運算和數(shù)量積公式得到方程，求出答案.

【詳解】2辦)=(2,4)+(4,-2)=(6,2),

c(2a+6)=(l">(6,2)=6+22=0,

解得4=-3.

故答案為：-3

3.(2021?全國考真題)已知向量〃+b+c=0，=1，"=k|=2,a-b+b-c+c-a=.

9

【答案】-耳

【分析】由已知可得(〃+b+c『=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳角軍】由已知可得(Q+0+c)=J+//+J+2(Q.b+b.0+c.Q)=9+2(a./?+b.c+c.Q)=0,

————9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

a

故答案為：-彳.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖所示，在邊長為2的等邊ABC中，點E為中線3。的三等分點（靠近點B）,

點廠為BC的中點，則（）

【答案】D

【分析】由平面向量數(shù)量積公式以及平面向量基本定理求解結(jié)果.

【詳解】由已知有18Al=2,|BC|=2,ZABC=60°,

所以BABC=|BA||8C|COS/ABC=2X2XL=2.

2

已知。是AC的中點，則3。=」（胡+20，BE='BD=L（BA+BC）,BF=FC=LBC,

2362

所以尸￡=防-8/=」（胡+36-』"」班-！8。，

6263

RllJFEFB=|-BA--BC||--BC|=-—BABC+-BC2=--x2+-x4=-.

（63八2J1261262

故選：D.

1.（2023?全國?高考真題）正方形ABC。的邊長是2,E是的中點，則石（：磯）=（）

A.小B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【分析】方法一：以為基底向量表示EC,即，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以為基底向量，可知/4=/。|=2,45乂。=。，

umuurumiuunuumuunuiruumiuunuum

則EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

22

mmUUBI（iuuauumA（iuuauumAiuun?uum2

所以EC?ED=5A5+AO]—2A