2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破：抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)（解析版）

重難點(diǎn)專題1-2抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

(1)熟悉常見(jiàn)函數(shù)的抽象

賦值法判斷抽象函數(shù)的奇偶性，

2023年新高考1卷，第11題表達(dá)式

周期性

(2)用賦值法判斷抽象函

數(shù)性質(zhì)

2022年新高考2卷，第8題

模塊一熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1］抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型2］抽象函數(shù)的奇偶性【題型10］賽函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性【題型11］正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域【題型12］余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型5］抽象函數(shù)的對(duì)稱性【題型13］正切函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型6】抽象函數(shù)的周期性【題型14］二次函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型15］其它函數(shù)的抽象表達(dá)式

【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式

模塊二核心題型?舉一反三(講與練)

【題型1］抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值

核心?送15

賦值法是求解抽象函數(shù)問(wèn)題最基本的方法，一般有以下幾種：

1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解

2024-長(zhǎng)沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練

1.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃力，滿足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且〃0)片0,

/(-2)=0,則〃2)=.

【答案】0

【詳解】由〃x+y)=〃x)/(y)―/(2—x)/(2—y),

令X=y=1,則”2)=[/⑴了-[/(1)J=0

2.(2024?福建龍巖?一模)已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽,且〃x+y)+/(x-y)-/(x)/(y)=0,

八一1)=1，貝U/(O)=

【答案】2

【詳解】令x=y=0,得2/(0)—/(0)=0得/(0)=0或"))=2,

當(dāng)/(0)=0時(shí)，令y=0得/U)=0不合題意，故/(0)=2

【鞏固練習(xí)1】定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/'(x+y)=/'(x)+/(y)+2孫(x,yCR),/(1)=2,則

/⑶=，八-3)=.

【詳解】火1+1)=加)+加)+2=6,42+1)=<2)+穴1)+4=12

易知內(nèi))尸0,X-l+l>A-l)+Xl)-2?A-l)=0?A-2)=2X-l)+2=2iX-3)=A-2)+A-l)+4=6

【鞏固練習(xí)2】已知對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)x,y(xNy)均有

〃x+y)+〃x-y)-x+y-l=；[〃2x)+〃2y)],若/(1)=3,則〃5)=.

【答案】31

【解析】令x=y=o,則”0)+〃0)-0+0-i=g[〃0)+〃0)],可得"0)=1,

當(dāng)y=0時(shí)〃2x)="a)—2x—3,令x=⑵=7,令x=2n〃4)=21,

令x=2,y=l,則〃3)+〃1)-2=g[〃4)+〃2)],可得"3)=13,

所以〃6)=4〃3)-6-3=43,

令x=3,>=2,則“5)+/⑴一2=；[〃6)+〃4)],可得"5)=31

【鞏固練習(xí)3](2024-安徽合肥?一模)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+“)，且

(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(l)=e,記a=了］；)。=〃2),c=43),貝ij()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)滿足的表達(dá)式以及/'⑴=e,利用賦值法即可計(jì)算出a,》,c的大小.

【詳解】由(x+y)/(x+y)=^(x)/(y)，Hl)=e可得,

令x=y=g,代入可得/⑴=

即a=/

2

令x=y=l,代入可得2/(2)=產(chǎn)(l)=e2,即匕=/⑵=/,

23

令x=l,y=2,代入可得3〃3)=2/⑴〃2)=2exq=e3,?pc=/(3)=y;

l23

由ey2.71828…可得±2&<—e<一e，

23

顯然可得a<b<c.

【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性

核心?技巧/

證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到/(-x)與/(%)的關(guān)系

2024?福建莆田?二模

3.已知定義在R上的函數(shù)滿足：/(x+y)=/(x)+/(y)—3刈(x+y),證明：y=/(x)是奇函

數(shù)

【詳解】F(x)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

對(duì)原式，令％=>=0,可得/(0)=2/(0),解得"0)=0：

對(duì)原式，令尸T,可得/(())=/⑺+〃_力，即/(x)+〃r)=o,

故y=/(x)是奇函數(shù)

2024?長(zhǎng)沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練

4.4知定義域?yàn)镽的函數(shù)“X),滿足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且“0)/0,

/(-2)=0,證明：是偶函數(shù)

【詳解】令>=2,貝"〃x+2)=〃x)/(2)—廣。一耳/^六一/0一句①，

知函數(shù)/(X)關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱，

令X=y=2,則/(4)=卜⑵了一[/(0)]2=-1,

令y=4,則〃x+4)=〃x)/(4)-(-2)=—〃x)②，

由①可得：y(x+4)=—/(—x)③，由①②可知：/(-X)=/(%),

且函數(shù)『(X)的定義域?yàn)镽,則函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

【鞏固練習(xí)1】(多選)定義在R上的函數(shù)“X)滿足：對(duì)任意的MyeR"(丈+y)=〃x)+〃y),則

下列結(jié)論一定正確的有()

A./(O)=OB./(x-y)=/(x)-/(_y)

C.為R上的增函數(shù)D./(X)為奇函數(shù)

【答案】ABD

【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A：令x=y=O,結(jié)合題意運(yùn)算求解；對(duì)于D:令)=-%,根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)

的定義分析判斷；對(duì)于B:根據(jù)奇函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于C:舉反例分析判斷.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的wR,〃x+y)=/(x)+/(y),

對(duì)于選項(xiàng)A：令x=y=O,則”O(jiān))=/(O)+/(O),解得"0)=0,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)C:令尸一%,則/(O)=/(x)+〃-x)=。，可得=

且/"(x)的定義域?yàn)镽,所以/'(X)為奇函數(shù)，故D正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?(%)為奇函數(shù)，

所以f(x)—/(y)=/(x)+(—y)=/(x—y),故B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C：例如〃x)=o滿足題意，但/(X)為常函數(shù)，不具有單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；

故選：ABD

【鞏固練習(xí)2】(多選)已知定義在R上的函數(shù)/(》)滿足

/(xy)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(O)<2,/(O)^/(l),且〃x)>0,則()

A./(0)=1B."-1)=2

C./(-x)=2/(x)D.〃—x)=/(x)

【答案】ABD

【思路點(diǎn)撥】由已知，利用賦值法計(jì)算判斷得解.

【詳解】定義在R上的函數(shù)了⑺滿足〃沖)=〃切〃，)一〃》)一〃>)+2,

令x=y=0,得/(O)=[/(O)f_2/(O)+2,而/■(0)<2,則/(O)=l,A正確；

令龍=丁=1,得/。)=[/(1)]2_2/(1)+2,而/(O)x/(l),則/(1)=2,令x=y=-l,

得/(l)="(—l)F-2/(-l)+2,即[/(-1)]2=2/(-1),而〃x)>0,即/(一1)>0,貝可〃-1)=2,B

正確；

令V=T,得〃r)=/(―1)/(x)-/(-l)-/(x)+2,

即有〃f)=2〃x)—2—〃x)+2,因此/(T)=/(X),C錯(cuò)誤，D正確.

【鞏固練習(xí)3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)镽,滿足

f^)f(y)-f(x)=xy-y,則()

A."0)=1B.=1

C./(x+1)為偶函數(shù)D./(x+1)為奇函數(shù)

【答案】AD

【分析】令y=。，f(x)=。或/(o)=i,分類討論可求/(0)=1,判斷A；令x=0,可得〃y)=i—y,

進(jìn)而可求了(—l),判斷B：由B可得/(x+l)=—X,可判斷CD；

【詳解】對(duì)于A：令y=o,得/(x)/(o)-〃x)=o,即〃x)(〃O)T=O,所以/⑺=0或〃0)=1.

當(dāng)f(x)=。時(shí)，不恒成立，故/(。)=1,故A正確.

對(duì)于B：令x=o,得/(0)/(y)-/(0)=-y,又“0)=1,所以〃y)=i-y,

故/(-1)=1+1=2,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C、D：由B選項(xiàng)可知/(x)=l—x,則/(x+l)=-x,所以/(x+1)為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正

確.

【鞏固練習(xí)4】(2024屆韶關(guān)市一模)已知/(x)是定義在R上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)。力

滿足〃曲)=4僅)+"(。)，若〃e)=e,貝!!()

A.—B.—C.1—D.1H—

eeee

【答案】A

【分析】對(duì)。,方取特殊值0,1,-l,e」代入已知表達(dá)式，結(jié)合奇偶性即可求解.

e

【詳解】當(dāng)。=6=0時(shí)，/(0)=0,

當(dāng)a=6=l時(shí)，/(1)=2/⑴,可得/⑴=0,

貝廳(0)=〃1)=。，

當(dāng)口=6=_[時(shí)，f(l)=-2/(-1)=0,則/(一1)=0,

函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)镽,

令a=-l/=x時(shí)，f(-1xx)=(-1)/(x)+V(-1),

所以得〃-尤)=-/(力，所以函數(shù)是奇函數(shù)，

令a=e，￡"(l)=W4卜r(e)=0得《卜一,

【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性

/核心?技巧/

判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結(jié)論；

(2)賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數(shù)/(X+、)=???,判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

/(%)一/(乙)=/((%—占)+M)一/(%)或/(&)—/(%)=/(%)一/((%—％)+%);

②若給出的是“積型”抽象函數(shù)/(盯)=…，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：

(、c、

/(^2)-/(^l)=/一/(%)或/(9)—/(%)=/(%)一/尤2,土■

IX?)

5.函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?。,+8),對(duì)于Vx,ye(O,—),/3)=/(x)+/(y),且當(dāng)X>1時(shí),f(x)<0,

證明：/(x)為減函數(shù).

【詳解】⑴設(shè)”e(0,+CO),且占＜刀2,則手＞1，/申＜。，

因?yàn)?⑸T⑷=八"標(biāo)/區(qū))=/?＜°，所以/⑷＜小)，即"X)為減函數(shù)

6.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的函數(shù).對(duì)任意”,beR,總有〃a+6)=〃“)+〃b),/(-1)=|,

且x＜o(jì)時(shí)，y(x)＞o恒成立.

⑴求了⑵

(2)判斷的奇偶性并證明

(3)證明〃力在(0,+。)上單調(diào)遞減

【答案】(1)/(2)=-1,(2)奇函數(shù);(3)在(0,+8)上單調(diào)遞減

【詳解】(1)由對(duì)任意。,6eR,總有〃a+b)=〃a)+/0),

令折6=0,貝|〃。+0)=〃。)+/(。)，貝汁"0)=0,

72

又由可得

貝，J/⑵=/(1+1)=/(1)+f(l)=[+,1)=q,故選項(xiàng)A判斷正確;

(2)令<2=無(wú)力=_無(wú)，則—=/(%)+/(-X),

則有/(x)+/(—尤)=/(0)=0,故〃一元)=—/(*),則“X)是奇函數(shù)

(3)設(shè)任意外，%?0,口)，不<%,

則/(五)-/(々)=/(再)+/(-電)=/(%-電),

又占一無(wú)2<。，則/(不一々)>。，則/(占)>，(*2),

則“X)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

【鞏固練習(xí)I】(多選)定義在(YO,0)U(0,+⑹上的函數(shù)/⑺，對(duì)于任意的x，y都有

/(xy)=/(%)+/(y)-l;且/'⑵=3；當(dāng)了>1時(shí)，〃x)>l；則下列結(jié)論正確的是()

A./(1)=1B./(x)是奇函數(shù)

C./(X)在(0,+00)上單調(diào)遞增D./0-1)>7的解集為{3》<-7或工>9}

【答案】ACD

【思路點(diǎn)撥】對(duì)于A：利用賦值法求出了⑴=1;

對(duì)于B：借助于賦值法，利用奇偶性的定義直接證明；

對(duì)于C：利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；

對(duì)于D：利用賦值法求出48)=7,把/Xx—l)幻化為/(x-l)>/(8),即可解得.

【詳解】對(duì)于A：對(duì)于任意的％〉都有/3)=/(x)+/(y)-1,令尤=y=l,則有=+

所以/'(1)=1.故A正確；

對(duì)于B：對(duì)于任意的X。都有/3)=/(x)+〃y)—l,令無(wú)=y=_i,則有=

所以〃-1)=1；令y=-l,貝I有〃r)=〃x)+〃-l)T,所以〃一尤)=/(力，故f(x)是偶函數(shù).故

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：任取y>x>0,不妨令y=比?>1),則有/(y)-/(無(wú))=f(tx)-f(x)=f(t)+/(x)-i-f(x)=fit)-1,

因?yàn)楫?dāng)x〉l時(shí)，/(x)>l,所以即/'(>)-/(元)>0,所以/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.故c正

確；

對(duì)于D:由B的判斷過(guò)程，可知/(x)是偶函數(shù)；由C的推導(dǎo)過(guò)程，/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.

對(duì)于任意的x，y都有/3)=/(x)+/(y)T,且"2)=3,令x=y=2可得：

/(4)=/(2)+/(2)-1=5,令x=4,y=2可得:/(8)=/(4)+/(2)-1=7.

所以可化為：/(x-l)>/(8),即,一1|>8解得：x<-7或x>9,即的解集為

{尤Ix<-7或無(wú)>9}.故D正確

【鞏固練習(xí)2】若定義在R上的函數(shù)對(duì)任意沏,第6民都有五沏+尤2)=/3)+7(無(wú)2)—1成立，且當(dāng)x

>0時(shí)，

(1)求證:丁=式尤)一1為奇函數(shù)；

(2)求證:凡x)是R上的增函數(shù);

(3)若<4)=5,解不等式火3加一2)<3.

[解]⑴證明：因?yàn)槎x在R上的函數(shù)危)對(duì)任意凡x￡R,者口有加1+飽)=/5)+%2)—1成立.

所以令M=即=0,則人0+0)=式0)+八0)—1.即八0)=1.

令Xi=x,Xi——x,則fl^x—X)—fl,x)+/—x)—1.所以[/(x)—+x)—1]=0,故y—fl,x)—1為奇函數(shù).

(2)證明：由(1)知y=/(x)—1為奇函數(shù)，所以人x)-l=—[/(—x)—1].

任取Xi,X2G7?,JLXi<x2,則此一Xi>0.

所以人沏—xi)=/(M)+八一沏)-1=犬期)一[/(xi)-1]=AM)—六沏)+1.

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，.所以人用一尤1)=人尤2)—/(汨)+1>1,即尤2),故火龍)是R上的增函數(shù).

(3)因?yàn)槭姐?蒼)=武即)+人即)一1,且負(fù)4)=5,所以穴4)=式2)+式2)—1=5,即大2)=3,

由不等式式3加-2)<3,得大3機(jī)-2)〈穴2).由(2)知式x)是R上的增函數(shù)，

4(公

所以3根一2<2,即3，"一4<0,即機(jī).故不等式式3加-2)<3的解集為(一8,可.

【鞏固練習(xí)3】(2023?湖南師大附中校考)已知連續(xù)函數(shù)〃x)滿足：①Vx,yeR,則有

〃x+y)=〃x)+/(y)T，②當(dāng)x>。時(shí)，/?<1,?/(D=-2,則以下說(shuō)法中正確的是()

A./(0)=1

B./(4x)=4/(x)-4

C.f(x)在[—3,3]上的最大值是10

D.不等式/(3d卜2〃x)>〃3x)+4的解集為|x||<x<lj

【答案】ACD

【思路點(diǎn)撥】依題意令x=y=O,求出”0),從而判斷A；令丫=》得到〃2x)=2/(x)-l,再令x=2x,

y=2x,即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價(jià)于

/(3X2)>/(5X-2),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，即可判斷D.

【詳解】因?yàn)閂x,yeR,則有/(x+y)=/(x)+/(y)T,

令x=y=O,貝1/(0)=/(0)+/(0)—1,貝4/(。)=1,故A正確；

令…,則/(2x)=/(x)+/(x)—1=2/(*-1,

令2x代無(wú)，>=2彳則/(2%+2尤)=/(2尤)+/(2尤)-1=2/(2尤)一1,

即〃4x)=2〃2x)-l=即〃4x)=4〃x)-3,故B錯(cuò)誤；

設(shè)wR且％,則％-%>o,由/(x+y)=/(x)+/(y)T,

令〉=一％,0'l/(0)=/(%)+/(-x)-l,即/(x)+/(—x)=2,

令x=x?,丫=一再，則f(^-^)=/(^2)+/(-^)-l=f(^)+2-/(jq)-l,即

/(々-菁)-1=/(%)-/(%),

因?yàn)閤>0時(shí)，/(x)<l,又9-玉>0,故-%)<1,

所以/（%）-/（芯）=/（%-玉）—1＜。，所以,即/'（X）在R上單調(diào)遞減,

又/（1）=-2,所以/（2）=2/（1）—1=-5,/（3）=/（2）+/（1）-1=-8,

又〃3）+〃-3）=2,所以八一3）=2-/（3）=10,

故/'（X）在［-3,3］上的最大值為10,故C正確；

由/（3X*2）3-2/（X）＞/（3X）+4,即/（3X2）＞/（X）+/（X）+/（3X）+4,

即/（3f）＞〃2x+3x）+2+4,即/（3/）＞/（5"+7-1,

又因?yàn)椤?）+/（—2）=2,即〃-2）=7,

所以7?（3/）＞〃5可+〃-2）-1,即/（3/）＞/5-2）,

2

故3尤2＜5尤-2,即（3x—2）（x—1）＜0,解得無(wú)＜1,

即原不等式的解集為故D正確

【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域

核心?技巧

結(jié)合奇偶性與單調(diào)性來(lái)判斷最值或值域

7.已知函數(shù)“X）對(duì)任意的羽＞eR,總有〃x+y）=/（x）+/（y）,若xe（-co,0）時(shí)，f（x）＞0,且

〃1）=一（，則當(dāng)xe［—3,l］時(shí)，〃x）的最大值為（）

2

A.0B.-C.1D.2

3

【答案】D

【解析】令元=y=o,則/（。）="。）+/（0）,得/（。）=0,

令》=一無(wú)，則〃0）="力+/（—力，所以〃—%）=—/（%）,所以“外為奇函數(shù)，

任取玉,馬€1＜,且尤1＜尤2,則占一了2＜°,/（占-%）＞。，

所以/（%）—/02）=/［（%—彳2）+々］一/（馬）=/（為-%）+/0：2）-/（*）=/（占-電）＞。，

所以/（%）＞/（々），所以/（X）在R上遞減，

所以當(dāng)xe［—3』時(shí)，"X）的最大值為/（—3）,

2?

因?yàn)?。）=一］,所以

2

所以〃-3）=〃-1）+〃-2）=〃-l）+〃-l）+〃-l）=3x］=2,故選：D

【鞏固練習(xí)1】已知連續(xù)函數(shù)/5)滿足：①Wx,yeR,則有〃x+y)=〃x)+/(y)-l,②當(dāng)x>o時(shí)，

/W<1,?/(D=-2,則f(x)在［一3,3］上的最大值是

【答案】10

【解析】設(shè)?R且不<々，則馬-%>。，由/(x+y)=/(x)+/(y)T,

令》=_%,^/(0)=/(^)+/(-%)-1,即/(x)+/(—x)=2,

令無(wú)=%,y=F,則“9一%)=/(9)+/(-菁)—1=/(9)+2—/(菁)—1,即

"馬-占)-1=/(尤2)-“王)，

因?yàn)橛?gt;0時(shí)，,又9一尤1>0,故一不)<1,

所以/(%)—/(菁)=/(%2-石)一1<0,所以/'(9)</(番)，即/'(X)在R上單調(diào)遞減，

又/(1)=-2,所以"2)=2/。)—1=一5,〃3)=/(2)+〃1)一1=一8,

又〃3)+/(-3)=2,所以〃—3)=2-/(3)=10,故/⑴在［—3,3］上的最大值為10

【鞏固練習(xí)2】已知連續(xù)函數(shù)〃九)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有/■(x+y)=/(x)+/(y),當(dāng)xX)時(shí)，/(x)<0,

7(1)=—2,則式x)在［―3,3］上的最大值是

【答案】6

【詳解】令x=-y,W/(0)=/U)+/(-%)=0,所以f(x)=-/(-x),

所以/(x)是奇函數(shù)；

令x<3,則〃y)-/(x)=/(y)+/(—x)=/(y-x),

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，犬x)<0,

所以/(y-x)<。,Fp/(y)-/(x)<0,

所以〃無(wú))在(o,y),(F,0)均遞減，

因?yàn)閒(x)<。,所以/(X)在R上遞減；

/(1)=-2,可得〃-1)=2；

令y=l,可得/(x+l)=/(x)_2

外2)=T,/(3)=-6；

〃3)=-/(-3)=6,，/(尤)在［-3,3］上的最大值是6

【題型5】抽象函數(shù)的對(duì)稱性

核心?技巧

抽象函數(shù)的對(duì)稱性常有以下結(jié)論

(1)/(%+?)=關(guān)于x=軸對(duì)稱,

(2)〃x+a)+/(b-x)=2cn/(x)關(guān)于中心對(duì)稱,

2024?江蘇南通?二模

8.(多選)已知函數(shù)/(X),g(x)的定義域均為R,f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,g(O)=g(2)=1,

g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),貝！］()

A.“X)為偶函數(shù)B.g(x)為偶函數(shù)

c.g(T-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

【答案】ACD

【分析】

由賦值法，函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)——判斷即可得出答案.

【詳解】令丁=7,則g(x-y)+g(x+y)=g(x)/(-y),注意到g(x)不恒為o,

故〃y)=/(-，)，故A正確；

因?yàn)榱?力的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，所以〃2)=0,

令x=0,y=2,得g(2)+g(-2)=g(0)f(2)=0,

故g(-2)=-lwg(2),故B錯(cuò)誤;

令x=y=-1,得g(-2)+g(0)=g(-l)/(-l)=0,

令x=y=l,得g(2)+g(0)=g⑴/⑴=2,故g⑴"⑴片0,

從而〃T)*0,故g(-D=O,

令x=-l,得g(T+y)+g(-l-y)=。，化簡(jiǎn)得g(-l-y)=-g(-l+y),故C正確；

令y=2,得g(x+2)+g(x-2)=0,而g(l-x)=-g(x-3)=g(l+x),故D正確.

故選：ACD.

【鞏固練習(xí)1］已知對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，》函數(shù)/(尤)滿足，(肛+l)=/(x+l)+/(y+l),則/(x)()

A.有對(duì)稱中心B.有對(duì)稱軸

C.是增函數(shù)D.是減函數(shù)

【答案】B

【分析】依題意取特值即可求解.

【詳解】令x=y=l,得〃2)=〃2)+〃2),；"(2)=0；

令x=y=T,得〃2)=2〃0)=0,.?.40)=0；

令y=-1,得〃I)=/(x+l)+〃O)=〃l+x),

f(X)的圖象關(guān)于直線關(guān)于x=1對(duì)稱

【鞏固練習(xí)2】(2024?重慶八中校考)(多選)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且〃x+y)=/(x)+/(y),

當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)>0,且滿足"2)=1,則下列說(shuō)法正確的是()

A.為奇函數(shù)

B./(-2)=-l

C.不等式〃2x)-"x-3)>-2的解集為(-5,小)

D.f(-2023)+f(-2022)+L+/(0)+Lf(2022)+f(2023)=2023

【答案】AB

【詳解】對(duì)于A中，令x=y=0,可得〃0)=/(0)+〃0)=2〃0),所以"0)=0,

令產(chǎn)T,得到〃f)+〃x)=〃0)=0,/(-%)=-/(%),

所以〃龍)為奇函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B中，因?yàn)椤▁)為奇函數(shù)，所以/(-2)=-/⑵=-1,故B正確；

對(duì)于C中，設(shè)％>尤2，彳=匕，>=%,可得了(%—%)=/(占)+/(-%)，

所以/(占)-，(%)=/(%)+/(-巧)=/(%-3),

又因?yàn)樵?gt;々，所以再一無(wú)2>。，所以/(占一馬)>。，即/(%)>/伍)，

所以〃x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?)=-1,所以”7)="-2-2)=2〃-2)=-2,由

/(2x)-/(x-3)>-2,可得〃2x)>/(x—3)+/(T),

所以了(2了)>/(%_3_4)=/(%_7),所以2x>x—7,得到無(wú)>_7,

所以了(2彳)-/(%-3)>-2的解集為(-7,+00),所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，因?yàn)?'(龍)為奇函數(shù)，所以/(—x)+/(x)=0,

所以/(—2023)+/(2023)=/(-2022)+/(2022)=L=/(-1)+/(1)=0,

又〃0)=0,故/(-2023)+f(-2022)+L+/(0)+L/(2022)+/(2023)=0,所以D錯(cuò)誤

【鞏固練習(xí)3](多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有

f(x+y)+〃x—y)=2〃x)/(y),且了2]=0,則以下結(jié)論一定正確的有()

A.”0)=-1B./(尤)是偶函數(shù)

C.關(guān)于中心對(duì)稱D./(l)+f(2)+...+/(2023)=0

【答案】BC

【分析】根據(jù)賦值法，可判斷了(。)=1或/(。)=。，進(jìn)而判斷A,根據(jù)賦值法結(jié)合奇偶性的定義可判

斷C,根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進(jìn)而可判斷CD.

【詳解】令x=y=0,則〃0)+〃0)=2〃0)〃0)=/(0)=0或〃0)=1,故A錯(cuò)誤，

若"0)=1時(shí),令x=o,則*y)+/(-y)=2/(y)*0)?/(y)=f(y),此時(shí)廣⑺是偶函數(shù)，若

"0)=0時(shí)，令y=o,則/(x)+*x)=2/(x)〃0)=0?/(x)=0,此時(shí)〃x)既是偶函數(shù)又是奇函

數(shù)；因此B正確，

令x=則f-+y+/0〃力。=/y卜°,所以關(guān)于

中心對(duì)稱，故c正確，

由〃x)關(guān)于g,。)中心對(duì)稱可得/(%)=-/(1-X),結(jié)合〃x)是偶函數(shù)，所以

f(x)=-/(I-x)=-f^x-1)=-(-/(x-2))y(x-2),所以的周期為2,

=0,故*l)+f(2)%l)+f(0)=0,

進(jìn)而〃1)+〃2)+…+〃2022)=1011x[〃l)+〃2)]=0,而/(2023)=〃1)=一/(0),由A選項(xiàng)知

40)=0或40)=1,所以/(1)+〃2)+…+/(2023)=0或T,故D錯(cuò)誤.

【題型6】抽象函數(shù)的周期性

/核心?技巧/

抽象函數(shù)周期問(wèn)題一般先求對(duì)稱性

2024山東青島?統(tǒng)考三模

9.設(shè)/■(%)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，/(1)=1,/(2)=0,/(-1)<0,對(duì)任意的整數(shù)均有

f{x+y)=f(x)f[l-y)+f[1-x)f{y},則"55)=.

【答案】-1

【分析】采用賦值的方式可求得令、=1和>=-x可證得了(x)的對(duì)稱軸和奇偶性，由

此可推導(dǎo)得到了(X)的周期性，利用周期性可求得函數(shù)值.

【詳解】令x=y=i,則〃2)=〃1)/(0)+〃0)〃1)=2〃0)=0,.?"(0)=0；

令x=2,y=-l,則/⑴=/⑵+/(—1)=/(—1)=1,又〃_1)<0,.?"(-!)=一1；

令y=i,則〃%+1)=〃")”0)+/(1-2〃1)=〃1一%),，〃力關(guān)于直線％=1對(duì)稱；

令》=—￡則/=++=++=

,.,〃1+*=0不恒成立，；.，(%)+〃一力=0恒成立，，/(%)為奇函數(shù)，

?.?/(x+2)=/(-x)=-/(x),.-./(%+4)=-/(%+2)=/(%),

，/(%)是周期為4的周期函數(shù)，二"55)=/(4xl4—1)=〃—1)=—1.

10.函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且〃x+2)=-/(x+l)—〃尤)，/(x)=/(2-x),/(365)=-1,則

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/(X)的周期，再結(jié)合〃x)=〃2-x)求出/(1)/(2)"(3)即可求解

作答.

【詳解】函數(shù)〃無(wú))的定義域?yàn)镽,由〃x+2)=—/(x+l)—/(x),

/(x+3)=-/(x+2)-/(%+1)=/(%+1)+/(x)-/(x+1)=/(%),

因此函數(shù)/(%)是以3為周期的周期函數(shù)，且/(x)+/(x+l)+f(x+2)=。，即/⑴+/(2)+/(3)=0,

由/(365)=-1,得/(2)=-1,又/(x)=/(2-x),/⑶=/(0)=〃2)=-1,從而

/(1)=-/(2)-/(3)=2,

2023

所以￡f(k)=674x[/(l)+/(2)+/(3)]+/(I)=/(1)=2.

k=\

11.(2024屆廈門(mén)一中?？?若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)Ax)滿足/(尤)=/(x+l)+/(x-l),且/(1)=2,

則”2024)=.

【答案】2

【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.

【詳解】由7?(尤)=〃x+l)+y(x-l),得/(x+l)=/(x+2)+/(x),

所以l)"(x+2)+f(x),即一/(元-l)=f(x+2),于是有-/(x)=F(x+3),

所以_J(x+3)"(x+6),即/(x)=/(x+6).

所以函數(shù)/(x)的周期為6.

因?yàn)閒W是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

所以/(-0)=-/(0),即"0)=0.

令x=l,則/⑴=/(2)+/(0),解得f(2)=/(l)-=(0)=2,

所以/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=2.

【鞏固練習(xí)1】2024?山東青島?一模

VxeR,f(x)+/(x+3)=1-f(x)f(x+3),/(-1)=0,則”2024)的值為()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】利用賦值法求出了(2)的值，將/(尤)+/(x+3)=l-f(x)/(x+3)變形為/(x+3)=：一，，,

1+/W

即可推出f(x+6)=/(尤)，可得函數(shù)周期，由此即可求得答案.

【詳解】由題意知VxeR,f(x)+f(x+3)=l-f(x)f(x+3),/(-1)=0,

令x=-1,則/(-1)+/(2)=1-/(-1)/(2),.-./(2)=1

顯然/(x)=—1時(shí)，-1+/(尤+3)=1+/(尤+3)不成立，故/(x)w-l,

11—

故小+3)=號(hào)則/+6)=/|||=於)，

+l+/w

即6為函數(shù)f(x)的周期，則/(2024)=/(337X6+2)=f(2)=1

【鞏固練習(xí)2】(2024?福建龍巖?一模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且

f(x+y)+f(x-y)-f(x)f(y)^0,f(-l)=l,則()

A./(0)=0B.為奇函數(shù)

c./(8)=-lD.“X)的周期為3

【答案】C

【分析】令x=y=O,則得/'(0)=2,再令x=0即可得到奇偶性，再令y=T則得到其周期性，最

后根據(jù)其周期性和奇偶性則得到/(8)的值.

【詳解】令x=y=0,得"⑼―/(0)=0得/(0)=0或"))=2,

當(dāng)/(0)=0時(shí)，令y=0得/(x)=0不合題意，故/(0)=2,所以A錯(cuò)誤；

令％=0得/(y)=/(-y),且〃x)的定義域?yàn)镽,故/(x)為偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；

令J=-l,得f(x-l)+f(x+l)=f(x),所以f(x)+f(x+2)=f(x+l),

所以/(x+2)=-/(%-1),則/(x+3)=-/(x),則/(尤+6)=-/0+3)=/(力，

所以f(x)的周期為6,所以D錯(cuò)誤；

令x=y=l,得/(2)+/(0)=/2(1),因?yàn)?=1

所以〃2)=-1,所以/(8)=/(2)=-1,故C正確.

【鞏固練習(xí)3］(2024-福建廈門(mén)?一模)已知函數(shù)fM的定義域?yàn)镽,Vx,yeR,

f(x+l)f(y+l)=f(x+y)-f(x-y),若〃0)/0,則”2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

［分析］利用賦值法對(duì)x,y進(jìn)行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.

【詳解】令x=y=o,得/(l)-/(l)=/(o)-/(o)=o,即，(1)=0,

^x=0,^-f(l)-f(y+l)=f(y)-f(-y)=o,^f(-y)=f(y),所以函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，

令x=y=i,得r(2)=〃2)-〃0),

令x=y=T,得產(chǎn)(o)=〃一2)—〃0)=〃2)-〃0),

???/2(2)=f(0)，二〃2)=〃0)或"2)=-/(0),

若"2)=/(0),解得"0)=。與已知/(0)工0矛盾,

.-./(2)=-/(0),即門(mén)2)=2〃2),解得"2)=2,〃0)=-2,

令'=1,得〃x+l)"(2)=〃x+l)-〃x—1),

.?.2/(X+1)=/(X+1)-/(A:-1),=..-./(x+2)=-/(x),

/(x+4)=/(x),所以函數(shù)〃尤)的周期為4.

【鞏固練習(xí)4】函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x,yeR,恒有/(無(wú))+=

12022

若〃1)=+則〃一1)=,1/(?)=.

【答案】1,0

【分析】取特殊值可得/(-1)；取特殊值可得/(%)是周期為6函數(shù)，計(jì)算出

“T),〃0),"l),〃2),〃3),〃4)的值可得答案.

【詳解】令x=y=i,^/(1)+/(1)=2/Rj./RL解得〃O)=I,

令n,則/(l)+/(-l)=2/(O)./(l),

因?yàn)榱?。?；,所以/（T）=；；

則“2)+”0)=2/J,"2)=J,

令％=2,y=。，

令x=3,y=-l,則〃3)+〃-1)=2(|}(￡|=-]”3)=-1,

令x=4,y=-2,則〃4)+〃_2)=2/0./1|J=_l,f(4)=-1,

〃T+/(O)+〃l)+〃2)+〃3)+/(4)=l+L'=。，

令》=一》，貝廳(x)+〃x)=2(*](寧J,即〃尤)+“T)=27/}(早[=2〃x),可

得〃T)="尤)，

令x=〃+l,y=—〃+l,則/(M+1)+/(-H+1)=2/(1)-/(?)=/(?),

令〃=5+x,則/(x+6)+/(-x-4)=/(x+5),

可得f(x+6)+/(x+4)=/(x+5),從而/(x+5)+〃x+3)=〃x+4),

所以“x+6)=—/(x+3),可得〃尤+3)=—〃尤),

所以〃x+6)=〃x),〃x)是周期為6的函數(shù)，

2022

￡/⑺=["T+"0)+”1)+“2)+”3)+/(4)]X337=0.

n=l

故答案為：①3：②0.

【鞏固練習(xí)5】深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題

(多選)已知函數(shù)〃力的定義域?yàn)镽,且"x+y)"x7)=產(chǎn)⑺一產(chǎn)(y),/(1)=V3,

為偶函數(shù)，則（）

A.為偶函數(shù)B.f(2)=y/3

2023

c./（3+x）=-/（3-x）D.

k=\

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到〃o）=o,進(jìn)而得到〃-y）=-/（y）,y（x）為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選

項(xiàng)，由/（2x+|）為偶函數(shù)得到〃無(wú)）關(guān)于x=|對(duì)稱，所以/（2）=/（1）=6；C選項(xiàng)，由

了12x+|j=小x+力結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，得到〃3+x）=—"3—x）,C正確；D選項(xiàng)，推導(dǎo)出〃x）

的一個(gè)周期為6,利用關(guān)系式得到/（1）+/（2）+〃3）+/（4）+〃5）+/⑹=0,結(jié)合函數(shù)周期得到

2023

1/㈤=省.

女=1

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

令x=y=。，則〃。)〃。)=尸⑼一尸⑼，故產(chǎn)(0)=o,則"0)=0,

令x=0,則/(y)〃—y)=/2(。)一產(chǎn)(y),又〃y)不恒為0,故〃一y)=-〃y),

所以〃尤)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?■(zx+T)為偶函數(shù)，所以/1-2x+：j=/(2x+1^,

所以〃無(wú))關(guān)于x=3對(duì)稱，所以〃2)=〃1)=百，故B正確；

對(duì)于