2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷5（新高考全國Ⅱ卷）及答案

備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬試卷05（新高考全國II卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.已知集合4={-1,0,1,2},8={小2川，則人口3=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2）

2.（2-i）（l+3i）=（）

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

3.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1,這是一座斜

拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2,已知拉索上端相鄰兩個錨的間距

|阜浦（，=1,2,3,…,9）約為4m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|A4JU=1，2,3,…,9）均為18m.最短拉索的錨耳,

A滿足"用=84m,|Q4j=78m,以耳。4。所在直線為x軸，。幾所在直線為y軸，則最長拉索所在直線的

州棗塔

W森繆運3

二:紜經(jīng)衫'、苦三三姿一

叢0o橋面44oX

圖2

cI62

ABD.±----

-4-4129

4.己知平面向量〃z=（4,3）,方=（2,0）,t=m+knf若（九，二"，州，貝！1k=（）

A-iB.5C.2D-1

5.2023年杭州亞運會期間,甲、乙、丙3名運動員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰、丙不

排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

6.已知角名，￡(0㈤，且sin(a-/?)+cos(a+/?)=0,sinasin/?=3cosacos￡,貝|tan(a?。)=()

A.—2B.—C.-D.2

22

7.已知正三棱錐P-ABC的外接球的表面積為3%，若尸平面P5C,則三棱錐P-ABC的體積為（）

A.-B.—C.—D.—

634824

8.函數(shù)八%）和g（%）的定義域均為R,已知丁=〃1+3”為偶函數(shù)，y=g（x+l）+l為奇函數(shù)，對于VXGR,

均有〃x）+g（x）=f+3,則f（4）g（4）=（）

A.66B.70C.124D.144

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.對于函數(shù)〃x）=-2sin,+：］+；（xeR）,有以下四種說法正確的是：（）

3

A.函數(shù)的最小值是

B.圖象的對稱軸是直線犬=與*（皿）

7T

C.圖象的振幅為2,初相為了

4

7717T

D.函數(shù)在區(qū)間一花，一§上單調(diào)遞增

10.（多選題）“塹堵”“陽馬”和“鱉篇”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，

得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉席”.一個長方體沿對角面斜解（圖1）,得到一模一樣的兩個

塹堵（圖2）,再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2）,得一個四棱錐稱為陽馬（圖3）,一個三棱

錐稱為鱉腌（圖4）.若長方體的體積為匕由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉席的體積分別為匕，匕,

%，則下列選項正確的是（）

圖1圖2

A.K+K+%=VB.Vt=2V2

11.己知。為坐標(biāo)原點，點A（-2,-l）在拋物線C:x2=_2py（p>0）上,過點8。1）的直線交拋物線C于P,Q

兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=lB.直線A3與拋物線C相切

C.而?麗為定值3D.\BP\-\BQ\>\BA^

12.若實數(shù)x,>滿足4爐+6盯+9>2=3,貝I]（）

A.4x+3y<2yf3B.4x+3y>-l

C.4/-6孫+9>2<8D.4x2-6xy+9y2>1

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（4,〃），且p（J>6）=0.2,則P（2<歲<4）=.

14.已知函數(shù)〃x）=lnx+x,過原點作曲線y=/（x）的切線/,則切線/的斜率為.

15.已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0,直線/：G〃+2）x+（7〃—l）y+4-4m=0,若在/上總存在點M,使得

過M點作的圓C的兩條切線互相垂直，則實數(shù)，〃的取值范圍是.

22

16.已知橢圓C：]+4=的左，右焦點分別為《，F(xiàn)2,過點耳且垂直于x軸的直線與橢圓交于

A、2兩點，4月、分別交y軸于尸、。兩點，APQ工的周長為4.過尸?作/居A月外角平分線的垂線與

直線區(qū)4交于點N,則|。叫=.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（（10分））已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且出-d=%-&=2-%.

（1）證明：4=仿；

⑵若集合M=肽也=禽+4,1<冽<50｝,求集合M中的元素個數(shù).

18.（12分）在①sinB=\/^sinA;②》（?$。+*0$8=28$3這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并

解答.

問題：設(shè)44SC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,JLsin>1+sin（B-A）=sinC,b=6，.

（1）求B；

（2）求AASC的周長.

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第一個解答計分.

19.（12分）據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費，計劃在本市試行居民生活用水

定額管理，即確定一個合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)x（單位：噸），月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x

的部分按議價收費.為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，獲得了“戶居民某年的月均用水量（單

,并將數(shù)據(jù)制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（2）若該市政府希望使80%的居民月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)無噸，試估計無的值；

（3）在（2）的條件下，若實施階梯水價，月用水量不超過x噸時，按3元/噸計算，超出x噸的部分，按5

元/噸計算.現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費均不超過70元，則該市居民月用水量最多為多少

噸？

20.（12分）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，底面ABCDE,尸分別是尸C,AD

中點.

⑴求證：￡>￡7/平面尸F(xiàn)B；

⑵若AZ）=1,尸2與平面ABC。所成角為45。，求平面PEB與平面夾角的余弦值.

22

21.（12分）已知雙曲線C：5-馬=1（°>0,6>0）經(jīng)過點尸（4,6）,且浙近線方程為'=±若了.

ab

⑴求C的方程；

⑵過點p作y軸的垂線，交直線/：x=i于點交y軸于點N.不過點尸的直線交雙曲線c于4、B兩點,

直線E4,尸8的斜率分別為a,k2,若匕+履=2,求沁.

葭NAB

22.(12分)已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)-m

⑴當(dāng)a=l時，求〃x)的極值；

⑵若〃x)ZO,求。的值；

(3)求證：sin--——Fsin------1-------1-sin—<ln2(nGN*

n+1n+22n'

參考答案

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

9101112

ADACDABDAD

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

31

13.0.3/—14.-+115.-2<m<1016.V17

10e

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.（10分）

%+d—2b、=%+2d—4bl

【詳解】（1）證明：設(shè)數(shù)列｛g｝的公差為d,則

q+d_2bl-8Z?]—(q+3d)

=2Z,1

Bpf

14+2d-5%=0

解得4=4=(,所以原命題得證.

(2)由(1)知伉=4=弓，所以瓦.=a,“+%o%x2"i=%+Qw-l)d+q,

因為qwO,所以m=2?2e[l,50],?^2<Z:<log250+2=3+log225,

由2"=15,25=32,故4<log225<5,即7<3+log?25<8,

所以滿足等式的解左=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素個數(shù)為6.

18.（12分）

【詳解】（1）在AABC中，C=TI-A-B,

sinC=sin(A+B),

,/sinA+sin(B-A)=sinC,

sinA+sin(B-A)=sin(A+B),

貝|JsinA+sinBoosA—cosBsinA=sinBcosA+cosBsinA,

化簡得sinA=2sinAcosB.

在AABC中，sinAw0,

,cosB=—.

2

又?..0v6V7l,

3

(2)由余弦定理，得/-2〃ccos3,即6+片一〃c=3.

若選①，

22

,/sinB=6sinA,即b=y/3a,^a+c—ac=39

?.ci—\,c=2,

此時AA6C的周長為3+VL

若選②，

,/Z?cosC+ccosB=2cosB,

ja2+b2-c2a2+c2-b2__1

/.bx----------------hex--------------=2cosB,即HnQ=2ocos5D=2ox—=11,

lablac2

又,*.*a2+c2—ac—3，

c=2,

此時AABC的周長為3+VL

19.(12分)

【詳解】(1)?,1(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+a)x3=1,

1

a=-----.

300

39

??,用水量在(9,12］的頻率為0.065x3=0.195,.?.〃=鼠旃=200(戶)

(2)???(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80-0.72

15+3x=16.6(噸)

0.87-0.72

(3)設(shè)該市居民月用水量最多為加噸，因為16.6x3=49.8<70,所以m>16.6,

則w=16.6x3+(m-16.6)x5<70,解得〃zV20.64,

答：該市居民月用水量最多為20.64噸.

20.(12分)

【詳解】(1)設(shè)G為尸3中點，連接GErG,

又瓦尸分別是PC、AD中點，

所以GE/IBC,

22

又底面ABC。是正方形，

所以FD=GE,GE//FD,故四邊形EDEG為平行四邊形，則OE//FG,

由DEU平面PFB,FGu平面PFB,則?！?/平面PFB.

(2)因為P2與平面ABC。所成角為45。，所以NPBO=45。，以。為原點，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,

由于AD=1,則尸。=。2=0,

'1五、

所以3(1,1,0),D(0,0,0),E0,-,^-，尸(g,o,o1,p(o,o,0),

\7

所以詼=o,g，3，麗=［，。，。］，麗=(1，1，-拒)，麗=［gl，。

m-DE=—y+^-z=0

令加=(%,y,z)為平面EFQ的一個法向量,則22

—?1

m?DF=—%=0

2

令尸上，即記=(0,0,-1卜

n?PB=a+b-41c=0

令為=g,"c）為平面尸-B的一個法向量，貝人—?1

n-FB=—a+b=O

2

-（0

令〃=2,即〃=2,-1,——

I2J

3755

所以卜osG”,"）1=m-n

55

即平面PFB與平面￡DB夾角的余弦值上畫.

55

21.（12分）

丫221U

【詳解】（1）由二一與=0ny=±Zx,即'=百=>〃=3",

abaa

將尸（4,6）代入雙曲線方程得郎-||=1=>/=4,62=12=9一*1；

當(dāng)直線A3的斜率存在時，不妨設(shè)直線的：〉=辰+%，4（%,乂）,3（%2，%），

\y=kx+m/°、°

聯(lián)立雙曲線方程產(chǎn)。一個—Ihwc—m2-12=0,

其中左2，3,A=4左2蘇—4（3—用（—機(jī)2一12）>。=毋+12—4左2>0,

2km-m2-12

123—%2123_k2

『+5=2=2kxix2+（加一6—4左）（苔+x2）—8（m—6）

易知勺+左2=

%一4/一4x{x2-4（jq+X2）+16

（2左一2）玉%2+（機(jī)+2—4%）（石+x2）-8m+16=0,

化簡得"+2km—Sk2—12（k+m）+36=（m—206）（m+406）=。

所以〃i=2k+6或m=—4k+6，

當(dāng)〃?=Y上+6時，直線A3過P,不符題意舍去,

故〃?=2左+6,則此時直線AB:y=k(x+2)+6,過定點。(一2,6).

如圖所示，易知M(l,6),N(0,6),

DN2，

'S-NAB；力-%的\\

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，可設(shè)AB:x=f,

22_________

與雙曲線方程聯(lián)立，則4-匕=1n六±/3?_12,

412

可令4，,一12),3，-43/-12),

ipn-+>,二3廣-12-6-J3f2-12-6

此日寸k、+k,=-------+—-------=2nt=-2,

-f-4t-4

此時A,3重合，不符題意舍去.

綜上可知產(chǎn)=1

、ANAB2

22.(12分)

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，/(%)=In(X+1)-,x>—l,

則廣⑺=之一湍廣篙廣

當(dāng)xe(-l,O)時，/'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(O,+w)時