2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)57排列與組合理含解析新人教A版

PAGE1-課后限時(shí)集訓(xùn)(五十七)排列與組合(建議用時(shí)：40分鐘)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．30 B．42C．36 D．35C[因?yàn)閍＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36個(gè)虛數(shù)．]2．高三年級的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參與社會實(shí)踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必需有班級要去，則不同的安排方案有()A．16種 B．18種C．37種 D．48種C[三個(gè)班去四個(gè)工廠不同的安排方案共43種，甲工廠沒有班級去的安排方案共33種，因此滿意條件的不同的安排方案共有43－33＝37種．故選C.]3．已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10C[分兩類狀況：第1類，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個(gè)不同的平面．]4.一個(gè)旅游景區(qū)的巡游線路如圖所示，某人從P點(diǎn)處進(jìn)，Q點(diǎn)處出，沿圖中線路巡游A，B，C三個(gè)景點(diǎn)及沿途風(fēng)景，則不重復(fù)(除交匯點(diǎn)O外)的巡游線路有()A．6種 B．8種C．12種 D．48種D[從點(diǎn)P處進(jìn)入后，參觀第一個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有6個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有Ceq\o\al(1,6)種選法，參觀完第一個(gè)景點(diǎn)，參觀其次個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有Ceq\o\al(1,4)種選法，參觀完其次個(gè)景點(diǎn)，參觀第三個(gè)景點(diǎn)時(shí)，有2個(gè)路口可以選擇，從中任選一個(gè)，有Ceq\o\al(1,2)種選法，則共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝48(種)線路．故選D.]5．某地實(shí)行高考改革，考生除參與語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為()A．6 B．12C．18 D．19D[在物理、政治、歷史中選一科的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種．所以學(xué)生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)，故選D.]6．(2024·南昌一模)某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前三位，且節(jié)目丙、丁必需排在一起．則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出依次的編排方案共有()A．120種 B．156種C．188種 D．240種A[法一：記演出依次為1～6號，對丙、丁的排序進(jìn)行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法種數(shù)分別為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故總編排方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝120(種)．法二：記演出依次為1～6號，按甲的編排進(jìn)行分類，①當(dāng)甲在1號位置時(shí)，丙、丁相鄰的狀況有4種，則有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(種)；②當(dāng)甲在2號位置時(shí)，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；③當(dāng)甲在3號位置時(shí)，丙、丁相鄰的狀況有3種，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)．]7．(2024·長沙模擬)三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是()A．72 B．144C．240 D．288D[第一類：選一對夫妻相鄰捆綁，插入其次對夫妻中間，最終一對夫妻排在首尾，則有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝48.其次類：選一對夫妻相鄰捆綁，插入形如BCbc(其中Aa，Bb，Cc為三對夫妻)中，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)＝240種．故共有48＋240＝288種排列方式．]二、填空題8．由數(shù)字2,0,1,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為________．10[依據(jù)所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)位是否為0進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，個(gè)位是0時(shí)，滿意題意的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＝6；其次類，個(gè)位是2時(shí)，滿意題意的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4.由分類加法計(jì)數(shù)原理得，滿意題意的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為6＋4＝10.]9．國家教化部為了發(fā)展貧困地區(qū)的教化，在全國重點(diǎn)師范高校免費(fèi)培育教化專業(yè)師范生，畢業(yè)后要將他們安排到相應(yīng)的地區(qū)去任教．現(xiàn)要將6名免費(fèi)培育的教化專業(yè)師范畢業(yè)生平均安排到3所學(xué)校去任教，有________種不同的安排方法．90[先把這6名畢業(yè)生平均分成3組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))種方法，再將這3組畢業(yè)生安排到3所學(xué)校，有Aeq\o\al(3,3)種方法，故將這6名畢業(yè)生平均安排到3所學(xué)校去任教，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)安排方法．]10．12個(gè)相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球個(gè)數(shù)不少于其編號數(shù)，則不同的方法有________種．10[先把每個(gè)盒子裝上與其編號數(shù)相同的小球，還剩2個(gè)小球，2個(gè)小球裝在4個(gè)盒子里需3個(gè)隔板，3個(gè)隔板看成3個(gè)元素，共5個(gè)元素，最終從5個(gè)元素里選出3個(gè)隔板就行了，共有Ceq\o\al(3,5)＝10種．]B組實(shí)力提升1．(2024·日照模擬)甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每一級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)為()A．336 B．84C．343 D．210A[若3人站在不同的臺階上共有Aeq\o\al(3,7)種不同的站法；若3人中恰有2人同時(shí)在一個(gè)臺階上，則共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種不同的站法．故共有Aeq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)＝336種不同的站法，選A.]2．把3男2女5名新生安排到甲、乙兩個(gè)班，每個(gè)班分到的新生不少于2名，且甲班至少安排1名女生，則不同的安排方案種數(shù)為()A．16 B．20C．26 D．40A[把5名新生安排到甲、乙兩個(gè)班，每個(gè)班分到的新生不少于2名，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)種安排方案，其中甲班都是男生的安排方案有(Ceq\o\al(2,3)＋1)種，則不同的安排方案種數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)－(Ceq\o\al(2,3)＋1)＝16.故選A.]3.(2024·衡水模擬)已知一個(gè)公園的形態(tài)如圖所示，現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物，則不同的種法共有________種．18[依據(jù)題意，分兩步進(jìn)行分析．第一步，對于A，B，C區(qū)域，三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，種的植物都不能相同，將3種不同的植物全排列，支配在A，B，C區(qū)域，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)種法；其次步，對于D，E區(qū)域，若A，E區(qū)域種的植物相同，則D區(qū)域有1種種法，若A，E區(qū)域種的植物不同，則E區(qū)域有1種種法，D區(qū)域有2種種法，則D，E區(qū)域共有1＋2＝3(種)不同的種法．故不同的種法共有6×3＝18(種)．]4.如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩頂點(diǎn)異色，假如只有5種顏色可供運(yùn)用，則不同的染色方法種數(shù)是________．420[法一：由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，不同的染色方法共有5×4×3＝60(種)．當(dāng)S，A，B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，其余兩種顏色為4,5，若C染2，則D可染3或4或5，有3種不同的染色方法；若C染4，則D可染3或5，有2種不同的染色方法；若C染5，則D可染3或4，有2種不同的染色方法．所以當(dāng)S，A，B染好時(shí)，C，D還有7種不同的染色方法，故不同染色方法有60×7＝420(種)．法二：以S，A，B，C，D的依次分步染色．第一步，S點(diǎn)染色，有5種不同的方法．其次步，A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種不同的方法．第三步，B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種不同的方法．第四步，C點(diǎn)染色，也有3種不同的方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C分別在同一條棱上，須要對A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種不同的染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種不同的染色方法，D點(diǎn)也有2種不同的染色方法．由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理，得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)