2025年上海普陀區(qū)高三二模高考數(shù)學(xué)模擬試卷（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市普陀區(qū)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分.考試時(shí)問120分鐘.2.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.3.務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙相應(yīng)位置正面清楚地填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將核對(duì)后的條碼貼在指定位置上.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1．不等式的解集是.2．已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則.3．已知事件與事件相互獨(dú)立，若，則.4．設(shè)，，是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為.5．設(shè)，拋物線上的點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)到軸的距離為3，則的值為.6．設(shè)，若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為10，則.7．在一個(gè)不透明的盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的大小與質(zhì)地都相同的小球各2個(gè)，現(xiàn)從該盒中一次取出2個(gè)球，設(shè)事件為“取出2個(gè)球的數(shù)字之和大于5”，事件為“取出的2個(gè)球中最小數(shù)字是2”，則.8．若一個(gè)圓錐的高為，側(cè)面積為，則該圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角的大小為.9．設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，皆有成立的一個(gè)充分條件是.10．設(shè)為正整數(shù)，集合，若集合滿足，且對(duì)中任意的兩個(gè)元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為，則.11．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，，若一動(dòng)點(diǎn)滿足，則三棱錐體積的最大值為.12．設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在大題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，否則一律得零分.13．某市職業(yè)技能大賽的移動(dòng)機(jī)器人比賽項(xiàng)目有19位同學(xué)參賽，他們?cè)陬A(yù)賽中所得的積分互不相同，只有積分在前10位的同學(xué)才能進(jìn)入決賽.若該比賽項(xiàng)目中的某同學(xué)知道自己的積分后，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，則他只需要知道這19位同學(xué)的預(yù)賽積分的（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差14．設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則角屬于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．設(shè)，點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的左焦點(diǎn)，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線的右支在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則雙曲線的離心率的一個(gè)可能的值是（

）A． B． C． D．16．設(shè)，，、，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，數(shù)列是由個(gè)大于的整數(shù)組成的有窮數(shù)列，若，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“數(shù)列”.對(duì)于數(shù)列有如下兩個(gè)命題：①若，則數(shù)列不是數(shù)列的“數(shù)列”；②若，則數(shù)列的“數(shù)列”至少有5個(gè).則下列結(jié)論中正確的是（

）A．①為真②為真 B．①為真②為假 C．①為假②為真 D．①為假②為假三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．如圖，在三棱柱中，，且.

(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.18．設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為.(1)若，設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，求的面積.(2)對(duì)任意的，皆有成立，且該函數(shù)在區(qū)間上不存在最小值，求函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間.19．某區(qū)為推進(jìn)教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型，通過聚合區(qū)域?qū)W校的教育資源，依托AI技術(shù)搭建了區(qū)域智慧題庫系統(tǒng)，形成了“通識(shí)過關(guān)—綜合拓展—?jiǎng)?chuàng)新提升”三層動(dòng)態(tài)原庫，且三層題量之比為，設(shè)該題庫中任意1道題被選到的可能性都相同.(1)現(xiàn)有4人參加一項(xiàng)比賽，若每人分別獨(dú)立地從該題庫中隨機(jī)選取一道題作答，求這4人中至少有2人的選題來自層的概率；(2)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，使用智能組卷系統(tǒng)從該題庫中選取12道題生成試卷，若某老師要從生成的這份12道題的試卷中隨機(jī)選取3道題做進(jìn)一步改編，記該老師選到層題的題數(shù)為，求的分布與期望．20．設(shè)，點(diǎn)分別是橢圓的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，且，直線經(jīng)過點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)在直線上，向量在直線上的投影為向量，證明.21．已知，對(duì)于函數(shù)，，設(shè)集合，，記.(1)若函數(shù)，請(qǐng)判斷中元素的個(gè)數(shù)，并說明理由；(2)設(shè)，函數(shù)，若，求的值以及曲線在點(diǎn)處的切線方程；(3)設(shè)，函數(shù)，若對(duì)于任意的，皆有成立，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】因?yàn)?所以原不等式的解集為：.故答案為：2．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：3．##【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和對(duì)立事件概率公式來求解即可.【詳解】由獨(dú)立事件性質(zhì)，，,故答案為：4．##【分析】根據(jù)等差數(shù)列數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合通項(xiàng)公式、求和公式，可直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，.所以，，所以：.故答案為：5．9【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用拋物線的定義列式求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由點(diǎn)到軸的距離為3，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為5，得，解得或，而，所以.故答案為：96．2【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】項(xiàng)為，由.故答案為：27．##【分析】首先求出事件、事件的基本事件數(shù)，再由條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】事件（數(shù)字之和大于5）的基本事件數(shù)（數(shù)字組合），共有種；而事件（最小數(shù)字是2且和大于5，即）的基本事件數(shù)有種，由條件概率公式.故答案為：8．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可,【詳解】設(shè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為l由，得，又，由勾股定理，所以，解得，底面圓周長(zhǎng)，扇形中心角，故答案為：9．【分析】由題意分析出區(qū)間至少包含一個(gè)完整的周期，才能保證能取到時(shí)的所有函數(shù)值，再利用周期的公式求出的取值范圍，結(jié)合充分條件的定義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，要使，則周期，即，因?yàn)?，所以一個(gè)充分條件是，故答案為：10．28【分析】利用分類思想，列舉思想即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，若為空集，符合題意；只有1種，若為一元集：共有8種，若為二元集：如，共有15種，若為三元集：如共有4種，所以總共有：種；故答案為：28.11．【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)已知列出方程，化簡(jiǎn)得出點(diǎn)的軌跡為球.進(jìn)而結(jié)合圖象即可得出點(diǎn)到平面的最大距離，結(jié)合體積公式即可得出答案.【詳解】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有.又，所以.設(shè)，則.因?yàn)?，代入可得，整理可得，即在以點(diǎn)為球心，為半徑的球上.又的面積為，平面到平面的距離為4，所以到平面的最大距離為.體積最大值為.故答案為：.12．【分析】根據(jù)和的符號(hào)，將分為三個(gè)區(qū)間，，，并得到對(duì)應(yīng)的不同的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有唯一解，通過分離常數(shù)得到，借助導(dǎo)數(shù)得到在上的值域，即可得到的取值范圍；當(dāng)時(shí)，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)在上恰有兩解的問題，即可求出的取值范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，所以，，，解得，不符合題意，所以在上無解.②當(dāng)時(shí)，，所以，，，令，所以，即令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即.此時(shí)在上有唯一解；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩解，即在上有兩解，即在上有兩解.令所以，即解得，綜上①②③，所以的取值范圍是.故答案為：.13．C【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?9位同學(xué)的積分，中位數(shù)是第10名，所以知道中位數(shù)即可判斷是否在前10.故選：C14．B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得，再根據(jù)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，異?hào)，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故選：.15．D【分析】先確定直線與圓的位置關(guān)系，表示出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)直線斜率與雙曲線漸近線斜率的關(guān)系，得到的關(guān)系，求出離心率的取值范圍，即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖：因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，方程為：.因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為：，所以直線與圓相切.又過點(diǎn)，且，直線與雙曲線的右支在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，所以直線的斜率為：.又一、三象限雙曲線的漸近線的斜率為：.又.即.故選：D16．A【分析】先根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合“數(shù)列”的概念判斷①②的真假即可.【詳解】對(duì)數(shù)列：①②①－②得：，所以是以3為公比的等比數(shù)列，令，對(duì)①：若，.因?yàn)椋覟檎麛?shù)，，其余.以為例，.若，則，這與矛盾.所以不能恒成立.故①為真.對(duì)②：以為例：設(shè)，令，則方程的解有，，，，5個(gè)滿足.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”有5個(gè).當(dāng)時(shí)，，令，則方程滿足的解的個(gè)數(shù)更多.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”多于5個(gè).……依次類推：當(dāng)數(shù)列至少5個(gè)，故②為真.故選：A17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連結(jié)，結(jié)合已知證明為菱形，以及.進(jìn)而即可根據(jù)線面垂直以及面面垂直的判定定理得出證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出相關(guān)點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，然后求出平面的法向量以及，然后根據(jù)向量法求解即可得出答案.【詳解】（1）連結(jié)，連結(jié)CO在中，，故是等邊三角形，所以為菱形，所以，且是的中點(diǎn).因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，OC為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即.令，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，直線與平面所成的角的正弦值為.18．(1)(2)函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通過驗(yàn)證可得，然后根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解；（2）由已知可得，又函數(shù)在無最小值，可得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，解得或，所以或，若，則，不符；所以，所以，所以，由，得，所以，；（2）由，得，所以，，令，因?yàn)?，所以，又函?shù)在無最小值，所以，解得，所以，則，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.19．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）先求出在層選題的概率和不在層選題的概率，再結(jié)合題意得到，最后利用二項(xiàng)分布概率公式求解即可.（2）先依據(jù)題意求出在層最多抽到7道，再求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而求出分布列和數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）因?yàn)槿龑宇}量之比為，所以在層選題的概率為，不在層選題的概率為，設(shè)至少2人的選題來自層的概率為，從層選題數(shù)量為，由題意得，而二項(xiàng)分布概率公式為，則至少2人的選題來自層的概率為，故.（2）因?yàn)槿龑宇}量之比為，所以在層最多抽到7道，且可取，則，，其分布列為所以期望.20．(1)(2)或(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和的長(zhǎng)度求出基本量后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出直線與橢圓的交點(diǎn)后可得關(guān)于橫坐標(biāo)的方程，從而可求其坐標(biāo).（3）利用兩角和的正切結(jié)合韋達(dá)定理可證.【詳解】（1），直線l過所以右焦點(diǎn)，即，所以，橢圓方程為.（2）當(dāng)，直線，，解得，，設(shè)，到直線距離，由面積，得或，即或.（3）

設(shè)，因?yàn)橄蛄吭谥本€上的投影為向量，故，故直線的斜率為，故直線的方程為，故，而，故，聯(lián)立，，，故，設(shè)，設(shè)，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得在為增函數(shù)，故，故，.21．(1)有2個(gè)元素，理由見解析(2)，(3)【分析】（1）求