3.3.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

教學(xué)設(shè)計教科書版本及章節(jié)人民教育出版社A版（2019）數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課題3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課型新授課?章/單元復(fù)習(xí)課□專題復(fù)習(xí)課□習(xí)題/試卷講評課□學(xué)科實踐活動課□其他□教學(xué)內(nèi)容分析拋物線是平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡，其中的定點、定直線（不經(jīng)過定點）試確定拋物線的幾何要素，這一概念反映了拋物線的幾何特征，根據(jù)拋物線的概念類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。由于焦點的位置不同，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式也不同。此時，要根據(jù)拋物線的位置，充分運(yùn)用坐標(biāo)法，對方程的形式轉(zhuǎn)化，獲得焦點分別在軸負(fù)半軸、軸正半軸、軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合拋物線的概念，可以研究拋物線的幾何性質(zhì)及其簡單應(yīng)用，特別是過焦點的直線的有關(guān)性質(zhì)，上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般過程。本節(jié)內(nèi)容包含的核心思想方法還是坐標(biāo)法，這在結(jié)合拋物線的幾何特征，推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中得到了充分的展示。另外還有多種研究方法，例如，類比橢圓、雙曲線的研究過程與方法；在觀察圖形特征的基礎(chǔ)上，形成拋物線的概念；在坐標(biāo)系中研究焦點位置不同的拋物線得到的標(biāo)準(zhǔn)方程不同，用到了分類討論的思想；求解課本中的兩個例題時使用了待定系數(shù)法；對二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線的研究用到了化歸與轉(zhuǎn)化的思想等等。學(xué)習(xí)者分析有了前面橢圓和雙曲線的奠基，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓錐曲線的研究架構(gòu)，應(yīng)該能發(fā)揮一般概念的作用，自覺地展開對于拋物線的研究，但是在具體細(xì)節(jié)上可能還會出現(xiàn)困難，比如用坐標(biāo)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，學(xué)生會選擇器對稱軸為坐標(biāo)軸，但坐標(biāo)原點的確定可能會有不同的選擇，從而確定坐標(biāo)原點。對此，可以讓學(xué)生自主完成，之后通過比較選擇簡單得到方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)習(xí)目標(biāo)確定=1\*GB2⑴能從幾何情境中認(rèn)識拋物線的幾何特征，給出拋物線的定義，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；=2\*GB2⑵能類比橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，運(yùn)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能運(yùn)用它解決簡單的問題，進(jìn)一步體會建立曲線方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。學(xué)習(xí)重點難點拋物線的幾何特征，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。學(xué)習(xí)評價設(shè)計通過復(fù)習(xí)回顧進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生感受三種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用幾何畫板演示拋物線的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察、直觀感知拋物線的幾何特征，類比求橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法與過程，用坐標(biāo)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生自主建系，之后通過比較做出選擇，感受數(shù)學(xué)的簡潔之美，通過兩道例題，讓學(xué)生運(yùn)用拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題，經(jīng)理將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決問題的過程，并了解圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)應(yīng)用意思。學(xué)習(xí)活動設(shè)計教師活動學(xué)生活動環(huán)節(jié)一：導(dǎo)（問題導(dǎo)入，明確目標(biāo)）創(chuàng)設(shè)情境、提出問題、引入主題教師活動1橢圓的第二定義：；定義中常數(shù)的范圍：。雙曲線的第二定義：；定義中常數(shù)的范圍：。橢圓、雙曲線的第二定義的共同特點：。4、如果橢圓和雙曲線的第二定義中的常數(shù)，我們能得到什么樣的幾何條件？學(xué)生活動1學(xué)生思考回答橢圓第二定義及常數(shù)范圍；學(xué)生思考回答雙曲線第二定義及常數(shù)范圍；學(xué)生通過橢圓和雙曲線的第二定義，找到共同特征；當(dāng)時，通過討論、交流得出幾何特征。通過復(fù)習(xí)鞏固進(jìn)而引導(dǎo)思考，一方面使學(xué)生感受三種曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面讓學(xué)生體會如何從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部聯(lián)系中自然合理地提出問題，尋找新環(huán)節(jié)二：思（自主思考、必備知識）教師活動2思考1：如圖點是定點，是不經(jīng)過點的定直線，是上任意一點，過點作，線段的垂直平分線交于點。拖動動點，觀察點的軌跡，與我們學(xué)過的那種曲線類似，你能發(fā)現(xiàn)點滿足的幾何條件嗎？思考2：你能類比橢圓、雙曲線的第二定義，用語言描述一下上面思考1中得到的的軌跡嗎？定義：。其中定點叫做的；定直線叫做的。學(xué)生活動2學(xué)生通過分析得出點M滿足的幾何條件，通過幾何畫板動畫演示觀察拋物線的形成過程，類比橢圓、雙曲線給出拋物線的定義。活動意圖說明利用信息技術(shù)動態(tài)演示，將動點軌跡呈現(xiàn)，引導(dǎo)進(jìn)行觀察，直觀感知拋物線的幾何特征，體會作圖時研究曲線幾何特征的重要途徑，在此基礎(chǔ)上歸納得出拋物線的定義，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象能力。環(huán)節(jié)三：議、（）教師活動31、概念深化：=1\*GB2⑴定義中要求的定點和定直線的位置關(guān)系？=2\*GB2⑵若定點在定直線上，那么動點的軌跡是什么圖形？=3\*GB2⑶只有定點不在定直線上，且動點滿足時才是拋物線。拋物線方程的推導(dǎo)：=1\*GB2⑴類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你認(rèn)為應(yīng)如何建立坐標(biāo)系，可能使所求拋物線的方程形式簡單？=2\*GB2⑵在你所建立的坐標(biāo)系下，如果設(shè)焦點到準(zhǔn)線的距離為，求拋物線的軌跡方程（寫出推導(dǎo)過程）。3、方程的理解=1\*GB2⑴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（開口向右為例）=2\*GB2⑵焦點的坐標(biāo)為；準(zhǔn)線方程為；頂點坐標(biāo)為；=3\*GB2⑶的幾何意義為；與拋物線開口大小的關(guān)系為；=4\*GB2⑷值與一次項系數(shù)的關(guān)系為；與焦點到頂點距離的關(guān)系是。學(xué)生活動3學(xué)生小組探究回答概念深化的三個問題，進(jìn)一步深化對概念的理解；小組類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立，自己建立坐標(biāo)系，通過各組求出的方程進(jìn)行對比，進(jìn)而讓學(xué)生自己歸納出開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。辨析拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式，及拋物線的焦點和準(zhǔn)線之間的關(guān)系?；顒右鈭D說明類比橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和過程，用坐標(biāo)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生自主建立坐標(biāo)系，之后通過比較做出選擇，積累優(yōu)化解法，感受數(shù)學(xué)的簡潔之美。環(huán)節(jié)四：展（問題展示、科學(xué)探究）（展學(xué)）教師活動4 學(xué)生活動4在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，選擇不同的坐標(biāo)系能得到不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有那些不同形式？請思考之后填寫下表。你能說明二次函數(shù)的圖像為什么是拋物線嗎？請指出它的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程。學(xué)生活動4小組討論，得出在不同坐標(biāo)下、不同開口方向下拋物線的其它標(biāo)準(zhǔn)方程；通過二次函數(shù)與拋物線的關(guān)系，進(jìn)一步鞏固拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式?；顒右鈭D說明判斷其焦點位置、開口方向的辦法，得出其它坐標(biāo)系下的標(biāo)準(zhǔn)方程。研究二次函數(shù)圖象與拋物線的關(guān)系，在更抽象的層次，將它們統(tǒng)一起來，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性。提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及數(shù)學(xué)思維的深刻性。環(huán)節(jié)五：評（點評精講、提升能力）教師活動51、例1=1\*GB2⑴已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；=2\*GB2⑵已知拋物線的焦點是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。例2一種衛(wèi)星接收天線如圖3.3-3左圖，其曲面與軸截面的交線為拋物線。在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，如圖3.3-3（1）。已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為。試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)。學(xué)生活動5學(xué)生小組討論，自主解決問題，辨析拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式，及拋物線的焦點和準(zhǔn)線之間的關(guān)系。活動意圖說明讓學(xué)生運(yùn)用拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問題，經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決問題的過程，并了解圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。板書設(shè)計作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計1、若是定直線外一定點，則過點且與直線相切的圓的圓心軌跡為（）直線B、橢圓C、線段D、拋物線2、與圓外切，且與軸相切的動圓圓心的軌跡方程是.3、若動點到點的距離比它到直線距離小，則點的軌跡方程是.4、設(shè)為拋物線的焦點，為該拋物線上的三點，若，則。5、如果是拋物線上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為，是拋物線的焦點，若，則。6、已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為。課后說課反思考慮到本節(jié)課的概念抽象及學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平，通過問題引入概念，鼓勵學(xué)生大膽猜想，經(jīng)歷探究解決問題的過程，進(jìn)一步體現(xiàn)“教為主導(dǎo)，學(xué)為主體”的教學(xué)思想。通過通過動畫演示，學(xué)生們觀察得出點滿足的幾何特征，及自己歸納拋物線的定義，培養(yǎng)他們合作學(xué)習(xí)的意識，充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性，學(xué)習(xí)興趣濃厚，精神抖擻，完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，每一位學(xué)生都有所收獲。當(dāng)然總體感覺本節(jié)課學(xué)生探究的還不夠。學(xué)完橢圓雙曲線以后，學(xué)生完全可