27.2.2 相似三角形的性質(zhì)課件2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊

第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性質(zhì)

新課講解

知識點(diǎn)1相似三角形對應(yīng)線段的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線的比各是多少？ABCA'B'C'新課講解練一練1.如果兩個相似三角形的對應(yīng)高的比為2:3，那么對應(yīng)角平分線的比是

，對應(yīng)邊上的中線的比是______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3:4，若BC邊上的高AD＝12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝______.2:32:316cm新課講解如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而結(jié)論相似三角形周長的比等于相似比.新課講解

知識點(diǎn)2相似三角形面積的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'新課講解由前面的結(jié)論，我們有ABCA'B'C'D'D新課講解結(jié)論相似三角形面積的比等于相似比的平方．課堂小結(jié)相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比當(dāng)堂小練1.判斷：(1)一個三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴(kuò)大為原來的5倍

()(2)一個四邊形的各邊長擴(kuò)大為原來的9倍，這個四邊形的面積也擴(kuò)大為原來的9倍

()√×當(dāng)堂小練3.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ的值為()A．2B．4C．1D.C如圖，兩個三角形相似，則：相似比k＝對應(yīng)邊的比＝

的比＝

的比＝

的比．

對應(yīng)角平分線對應(yīng)中線相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)對應(yīng)高小結(jié)：一般地，相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.(1)對應(yīng)角平分線的比等于

；

(2)對應(yīng)邊上的高的比等于

；

(3)對應(yīng)邊上的中線的比等于

．

2∶3

2∶3

1．(人教9下P37、北師9上P106)如圖，若△ABC∽△DEF，相似比為2∶3，則：

2∶3

相似三角形周長的比＝

．

相似三角形周長的性質(zhì)相似比2．若△ABC∽△DEF，周長比為2∶1，則下列說法錯誤的是(

)A．相似比為2∶1 B．對應(yīng)中線的比為2∶1C．對應(yīng)角的比為2∶1 D．對應(yīng)高的比為2∶1C相似三角形面積的比＝

．

相似三角形面積的性質(zhì)相似比的平方

C小結(jié)：相似三角形對應(yīng)線段、周長和面積的性質(zhì)的簡單綜合，注意其中只有面積比不同.4．【例1】若△ABC∽△DEF，面積比為9∶1，則下列說法正確的是(

)A．相似比為9∶1 B．對應(yīng)中線的比為9∶1C．周長比為9∶1 D．對應(yīng)角的比為1∶1D小結(jié)：應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)求三角形的面積比.

B6．【例3】如圖，在?ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，且AF＝2FD．(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△CEB的面積為9，求?ABCD的面積．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，∵△CEB的面積為9，∴△FDE的面積為1，∴△ABF的面積為4，∴?ABCD的面積＝9－1＋4＝12．(2)若△CEB的面積為9，求?ABCD的面積．小結(jié)：求面積的一種新方法——應(yīng)用相似三角形面積的性質(zhì).

D

C

(2)若S△ADE＝S四邊形DBCE，則AD∶DB等于多少？

據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.知識點(diǎn)1利用相似三角形測量高度知識探究素養(yǎng)考點(diǎn)1利用相似三角形測量高度知識探究解：太陽光是平行的光線,因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高為134m.又∠AOB=∠DFE=90°，例1、如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.∴△ABO∽△DEF.AFEBO┐┐還可以有其他測量方法嗎？△ABO∽△AEF平面鏡【想一想】知識探究知識探究測高方法二：可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.【歸納總結(jié)】測量不能到達(dá)頂部的物體的高度2.如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P

處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端C

處，已知AB=2米，且測得

BP=3米，DP=12米，那么該古城墻的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B知識探究素養(yǎng)考點(diǎn)2利用相似三角形測量寬度知識探究

如圖，為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q和S，使點(diǎn)P，Q,S共線且直線PS與河垂直,接著在過點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,RT確定PT與過點(diǎn)Q且垂直PS的直線b的交點(diǎn)R.已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.知識探究分析：設(shè)河寬PQ長xm,由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到_______∽_______，△PST△PQR再解x的方程可求出河寬．因此有即已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.知識探究解：

設(shè)河寬PQ長Xm，依題意得：a//b∴△PST∽△PQR∴∴解得X=90

因此河寬為90m。經(jīng)檢驗：X=90是原分式方程的解。已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù),計算河寬PQ.【討論】測量前面例題中的河寬，你還有哪些方法？【方法總結(jié)】利用相似測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，構(gòu)造的相似三角形可以為“A”字型，也可以為“X”字型，并測量出必要的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出所要求的兩點(diǎn)間的距離．知識探究鞏固練習(xí)3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時如果測得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求兩岸間的大致距離AB．EADCB30m24m80m鞏固練習(xí)解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

解得AB=64.因此，兩岸間的大致距離為64m.EADCB30m24m80m鞏固練習(xí)測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構(gòu)造相似三角形求解.【歸納總結(jié)】例3

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m．一個人估計自己眼睛距地面1.6m.她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點(diǎn)C了？分析：如圖（1），設(shè)觀察者眼睛的位置為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB、CD于點(diǎn)H、K．視線FA、FG的夾角∠AFH是觀察點(diǎn)A時的仰角.類似地，∠CFK是觀察點(diǎn)C時的仰角．由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）之內(nèi)．素養(yǎng)考點(diǎn)3利用相似三角形測量有遮擋的物體圖（1）仰角水平線視線知識探究解：如圖（2），假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹頂端點(diǎn)A、C恰在一條直線上．由題意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，即她與左邊樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它．圖（2）∴知識探究【討論】利用相似來解決測量物體高度的問題的一般思路是怎樣的?【方法總結(jié)】一般情況下，可以從人眼所在的部位向物體作垂線，根據(jù)人、物體都與地面垂直構(gòu)造相似三角形數(shù)學(xué)模型，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等解決問題．知識探究4.

如圖，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G點(diǎn)，則AD＝_____＝_____，圖中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC鞏固練習(xí)1.

如圖，要測量旗桿AB

的高度，可在地面上豎一根竹竿DE，測量出DE

的長以及DE

和AB

在同一時刻下地面上的影長即可，則下面能用來求AB長的等式是（）

A．B．

C．D．C課堂檢測2.

如圖，九年級某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高1.6米的楚陽同學(xué)站在C

處時，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合，同一時刻，其他成員測得AC=2米，AB=10米，則旗桿的高度是____米．

8課堂檢測3.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后，再選點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m課堂檢測解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，兩岸間的大致距離為100m.EADCB60m50m120m課堂檢測

4.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度.ABCDGEF課堂檢測ABCDGEF解：由題意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，則

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗桿的高度為11.5m.∴

課堂檢測

5.如圖，某一時刻，旗桿AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墻面上．小明測得旗桿AB在地面上的影長BC為9.6m，在墻面上的影長CD為2m．同一時刻，小明又測得豎立于地面長1m的標(biāo)桿的影長為1.2m．請幫助小明求出旗桿的高度．ABCD課堂檢測解：如圖：過點(diǎn)D作DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一時刻