第19講 相似三角形及其應(yīng)用 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（廣東專用）

第四章三角形第19講相似三角形及其應(yīng)用（6~12分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)與判定考點(diǎn)二相似三角形的常見模型考點(diǎn)三相似三角形的應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一相似三角形的判定與性質(zhì)?題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似?題型02利用相似的性質(zhì)求解?題型03利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)?題型04證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例?題型05利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象（動(dòng)點(diǎn)問題）?題型06相似三角形綜合應(yīng)用命題點(diǎn)二相似三角形的常見模型?題型01A字模型?題型028字模型?題型03字母型模型?題型04一線三垂直模型?題型05旋轉(zhuǎn)相似模型命題點(diǎn)三相似三角形的應(yīng)用?題型01測(cè)量高度問題?題型02相似三角形的實(shí)際問題?題型03相似三角形與其他知識(shí)交匯05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測(cè)相似三角形的性質(zhì)與判定了解相似三角形的判定定理.了解相似三角形判定定理的證明.了解相似三角形的性質(zhì)定理.10年7考相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是難度最大的一個(gè)考點(diǎn).它不僅可以作為簡(jiǎn)單考點(diǎn)單獨(dú)考察，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問題一起考察.而且在很多壓軸題中，經(jīng)常通過(guò)相似三角形的判定以及性質(zhì)來(lái)得到角相等或者邊長(zhǎng)間的關(guān)系，也是動(dòng)點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段.需要考生在復(fù)習(xí)的時(shí)候給予加倍的重視!相似三角形的常見模型認(rèn)識(shí)八大相似模型近10年連續(xù)考查相似三角形的應(yīng)用會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.10年8考考點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似用符號(hào)“∽”，讀作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2）兩個(gè)三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．④斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.相似三角形的性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.判定兩個(gè)三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法．有時(shí)條件不具備，需從以下幾個(gè)方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個(gè)三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；3）兩個(gè)三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；1.1.判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運(yùn)用勾股定理計(jì)算出三邊的長(zhǎng)度，再看對(duì)應(yīng)邊的比例是否相等.考點(diǎn)二相似三角形的常見模型模型圖形結(jié)論證明過(guò)程（思路）A字模型①?ADE~?ABC②1)已知DE∥BC則∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以?ADE~?ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以?ADE~?ABC共邊反A字模型①?ABC~?ACD②③AC2=AB?AD剪刀反A字模型①?ABC~?ADE②證明過(guò)程參照按照2）8字模型正8字模型①?AOB~?COD②反8字模型①?AOB~?DOC②3)已知AB∥DC則∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以?AOB~?COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以?AOB~?DOC一線三垂直①?ABC~?CDE②③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，?ABC~?CDE~?ACE5)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°則∠1=∠3由此可得?ABC~?CDE6)∵?ABC~?CDE∴而點(diǎn)C為BD中點(diǎn)則又∵∠B=∠ACE=90°∴?ABC~?ACE則?ABC~?CDE~?ACE三角形內(nèi)接矩形①?ABC~?ADG②③若四邊形DEFG為正方形即=若假設(shè)DG=x則=若已知BC、AN長(zhǎng)，即可求出x的值7)∵四邊形DEFG為矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴?ABC~?ADG∠AMG=∠ANC=90°=旋轉(zhuǎn)相似模型①?ABD~?ACE∵?ADE~?ABC∴∠BAC=∠DAE而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴?ABD~?ACE考向洞悉考點(diǎn)三相似三角形的應(yīng)用1.利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度．①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決．②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長(zhǎng)來(lái)，再計(jì)算出被測(cè)量物的長(zhǎng)度．2.利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）．①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測(cè)量方法：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．3.借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度．利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．命題點(diǎn)一相似三角形的判定與性質(zhì)?題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似1．（2023·廣東陽(yáng)江·一模）如圖，在中，D是上一點(diǎn)，連接，下列條件中不能判斷的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)，，并不滿足相似三角形的判定條件中的“兩邊成比例且夾角相等”所以，不能判斷，故本選項(xiàng)符合題意；B、因?yàn)?，，滿足相似三角形的判定條件“兩組對(duì)應(yīng)角相等”，所以，，故本選項(xiàng)不符合題意；C、因?yàn)?，，滿足相似三角形的判定條件“兩組對(duì)應(yīng)角相等”，所以，，故本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)椋?，滿足相似三角形的判定條件中的“兩邊成比例且夾角相等”所以，，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．（2022·廣東佛山·一模）如圖，點(diǎn)P是△ABC的AC邊上一點(diǎn)，連接BP，添加下列條件，不能判定△ABC∽△APB的是（）A．∠C＝∠ABP B．∠ABC＝∠APB C．＝ D．＝【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件求解即可．【詳解】解：添加條件∠C＝∠ABP，再由∠A=∠A，可以判斷△ABC∽△APB，故A不符合題意；添加條件∠ABC＝∠APB，再由∠A=∠A，可以判斷△ABC∽△APB，故B不符合題意；添加條件＝，再由∠A=∠A，可以判斷△ABC∽△APB，故C不符合題意；添加條件＝，再由∠A=∠A，不可以判斷△ABC∽△APB，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．3．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P在的邊上，要判斷，添加一個(gè)條件，下列不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，又∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，又∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，又∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，無(wú)法得到，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．（2024·云南昆明·二模）如圖，已知，添加下列條件后，能判斷的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，先根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．【詳解】解：∵，∴，、添加，不能判定，此選項(xiàng)不符合題意；、添加，不能判定，此選項(xiàng)不符合題意；、添加，利用“兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”能判定，此選項(xiàng)符合題意；、添加，不能判定，此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．?題型02利用相似的性質(zhì)求解5．（2023·廣東陽(yáng)江·一模）已知，若與的相似比為，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方計(jì)算．【詳解】解：∵，相似比為，∴與的面積之比為，即，故選：D．6．（2023·廣東深圳·二模）如圖，平行四邊形中，，，，點(diǎn)O為對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)E為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于H，延長(zhǎng)交于M，，由，令，，勾股定理得，則，得到，由四邊形是平行四邊形得到，，，則，得到是等腰直角三角形，則，可得，由得到，求得，證明，則，得到，由得到，即可得到的長(zhǎng)度．【詳解】解：作于H，延長(zhǎng)交于M，，

∵，∴令，，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東廣州·二模）如圖，點(diǎn)，都是邊上的點(diǎn)，，交于點(diǎn)，若，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出的值．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，能熟記相似三角形的性質(zhì)和判定是解此題的關(guān)鍵，相似三角形的面積之比等于相似比的平方．8．（2022·廣東深圳·二模）如圖，在中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，．若，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C．6 D．【答案】A【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合已知證得，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，最后求出問題得解．【詳解】解：如圖∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∴，∵，，∴．∴，∴，（舍去）．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，合理的選擇恰當(dāng)?shù)娜切蜗嗨?，并學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)求解線段是解決問題的關(guān)鍵．?題型03利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)9．（2021·黑龍江大慶·一模）如圖，已知矩形OABC與矩形FEDO是位似圖形，P是位似中心，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到DE//OP，OD//BC，AB//OP，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求出BC，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴OD=3，AD=3，DE=2，∵矩形OABC與矩形FEDO是位似圖形，P是位似中心，∴DE//OP，OD//BC，AB//OP，∵AD=DO，∴OP=AB=OC，∵DE//OP，∴△ADE∽△AOP，∴，即，解得，OP=4，∵OD//BC，∴△POD∽△PCB，∴，即，解得，BC=6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似的兩個(gè)圖形必須是相似形、對(duì)應(yīng)邊平行仰角相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、．已知，則．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，先證CDE≌CDB（ASA），進(jìn)而可得DE＝DB＝4－n，再證AOE∽CDE，進(jìn)而可得，由此計(jì)算即可求得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，交y軸于點(diǎn)D，則CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y軸，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴CDE≌CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．11．（2020·遼寧營(yíng)口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線y=﹣x+2與x軸y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，以AC為對(duì)角線作第一個(gè)矩形ABCO，對(duì)角線交點(diǎn)為A1，再以CA1為對(duì)角線作第二個(gè)矩形A1B1CO1，對(duì)角線交點(diǎn)為A2，同法作第三個(gè)矩形A2B2CO2對(duì)角線交點(diǎn)為A3，…以此類推，則第2020個(gè)矩形對(duì)角線交點(diǎn)A2020的坐標(biāo)為．【答案】(2﹣，)【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理證得：，且相似比是（）n，即可求得AnOn，OOn的長(zhǎng)，進(jìn)而確定An的坐標(biāo)，即可求得A2020的坐標(biāo)．【詳解】解：在y=﹣x+2中令x=0，解得：y=2；令y=0，解得：x=2.∴則OC=2,OA=2.∵A1是矩形ABCO的對(duì)角線的交點(diǎn)，O1A1//OA，∴，相似比為，同理：，相似比是（）n；∴∴∴An的坐標(biāo)為∴A2020的坐標(biāo)為(2﹣，)【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，證得且確定相似比（）n是解答本題的關(guān)鍵．12．（2019·廣西·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，，，，，，的圓心在軸上，且半徑均為，的坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為射線與相切于點(diǎn)，射線與相切于點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，的橫坐標(biāo)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)An作AnB⊥x軸于點(diǎn)B，連接AnOn，由切線的性質(zhì)及所作的垂線可得∠OAnOn＝∠AnBOn＝90°，進(jìn)而可證得△OOnAn∽△AnOnB，從而表示出OnB的長(zhǎng)，再由計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)An作AnB⊥x軸于點(diǎn)B，連接AnOn，∵的坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，坐標(biāo)為∴On的坐標(biāo)為（2n，0）即OOn＝2n，且AnOn＝1，∵射線與相切于點(diǎn)，AnB⊥x軸，∴∠OAnOn＝∠AnBOn＝90°，又∵∠OOnAn＝∠AnOnB∴△OOnAn∽△AnOnB∴∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了找規(guī)律，切線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，能夠根據(jù)規(guī)律表示出OAn的長(zhǎng)以及運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．?題型04證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例13．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，在中，AC和BC上分別有一點(diǎn)E和點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)H分別作BC和AC的平行線交于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)G，DH交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角相等，證明三角形相似即可求出對(duì)應(yīng)線段比例相等.【詳解】解：A選項(xiàng)：，.，..A選項(xiàng)正確，不符合題意.B選項(xiàng)：，，，，四邊形為平行四邊形...B選項(xiàng)正確，不符合題意.C選項(xiàng)：，，C選項(xiàng)不正確，符合題意.D選項(xiàng)：，，，，，，.D選項(xiàng)正確，不符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于是否能熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和判定.14．（2022·河南南陽(yáng)·二模）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，，BE與CD相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的性質(zhì)可得內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出和，在根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等量代換即可得出答案．【詳解】解：，，，，，，由，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，考查學(xué)生對(duì)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例知識(shí)點(diǎn)及等量代換技巧的掌握情況．15．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線上，連接分別交于點(diǎn)則下列式子錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，且AB=CD，AD=BC，A、在△EBF中，∵AG∥BF，∴，故此選項(xiàng)正確；B、∵AE∥DH，∴，故此選項(xiàng)正確；C、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，又∵AD=BC，∴，故此選項(xiàng)正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)來(lái)分析判斷.?題型05利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象（動(dòng)點(diǎn)問題）16．（2020·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)H為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段DH上一點(diǎn)，且∠BGC=90°，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CG交AD于點(diǎn)F，當(dāng)CD=4，DE=1時(shí)，則DF的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)AD，BE相交于點(diǎn)M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD，BE相交于點(diǎn)M，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴，∵DM∥BH，∴△DMG∽△HBG，∴，∵CH=BH，∴DF=DM，又∵矩形△MDE∽△CDF，∴∴∴

∴DF＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并熟練掌握矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2024·山東泰安·一模）如圖1，在等腰中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿折線方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與之間關(guān)系的圖象如圖2所示，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，并注意進(jìn)行分類討論．設(shè)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，且停止運(yùn)動(dòng)，分別求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)時(shí)，，列出方程，求出，（舍去），得出的長(zhǎng)是即可．【詳解】解：設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，由題意知：，，∵在等腰中，，，，∴，，其函數(shù)圖象為拋物線對(duì)稱軸（軸）右側(cè)的一部分；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，如圖，

當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，且停止運(yùn)動(dòng)，，，由圖2知，當(dāng)時(shí)，，，解得，（舍去），的長(zhǎng)是．故選：C．18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），為矩形的邊上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是秒．設(shè)、同時(shí)出發(fā)秒時(shí)，的面積為．已知與的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)秒時(shí)，；其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，從而得到、的長(zhǎng)度，再根據(jù)、是從5秒到7秒，可得的長(zhǎng)度，然后表示出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后針對(duì)各結(jié)論分析解答即可．【詳解】解：如圖所示：根據(jù)圖（1）（2）可得，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)的速度都是秒，，，故①正確；動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度都是秒，設(shè)、同時(shí)出發(fā)秒時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，即是等腰三角形，則，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，從到的變化是2，，，在中，，，，，，，設(shè)，在中，由勾股定理可得，則，解得，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，故②錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，故③正確；當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)，，，，，，又，，故④正確；綜上所述，正確的有①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，涉及從函數(shù)圖象中獲取信息、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)圖（1）（2）判斷出點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．19．（2023·廣東湛江·三模）如圖，在中，，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→C→B的路徑移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為D．設(shè)，的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分類討論①當(dāng)點(diǎn)E在上②當(dāng)點(diǎn)E在上的情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：在中，，由勾股定理可得，①當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，如圖，∵，∴∵，∴，∴，∵，∴此時(shí)，即，∴是開口向上的一段拋物線；排除，②當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，，如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，為開口向下的拋物線，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題與相似三角形的綜合．分類討論是解題關(guān)鍵，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)定理內(nèi)容是推理關(guān)鍵．20．（2023·河北邯鄲·三模）在中，于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段的長(zhǎng)為，線段的長(zhǎng)為（如圖1），而關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示．是函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)．當(dāng)為銳角三角形時(shí)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到的長(zhǎng)度，分類討論為直角三角形時(shí)的情況即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，點(diǎn)到的距離為，即，此時(shí)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為直角三角形，則在右側(cè)時(shí)，為銳角三角形，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題為動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，考查了二次函數(shù)圖象最小值的實(shí)際意義以及直角三角形的分類討論，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是以為直角三角形作為臨界條件解決問題．?題型06相似三角形綜合應(yīng)用21．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段是的直徑，弦于點(diǎn)H，點(diǎn)M是上任意一點(diǎn)，，．(1)求的半徑r的長(zhǎng)度；(2)求(3)直線交直線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值【答案】(1)5(2)(3)16【分析】（1）在中，利用勾股定理即可解決問題；（2）只要證明，求出即可；（3）由，推出，推出，又，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，連接，，，在中，，，∴，．（2）解：如圖1中，連接．，是直徑，，，，，．（3）解：如圖2中，連接．是直徑，，，，，，∴，，，∵，∴，∴，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合題、垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、相交弦定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．22．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合探究已知在矩形中，，，過(guò)點(diǎn)C作對(duì)角線的垂線l，點(diǎn)E為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，交直線l于點(diǎn)F．(1)如圖（1）所示，當(dāng)點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)如圖（2）所示，過(guò)點(diǎn)F作的延長(zhǎng)線，垂足為點(diǎn)G，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)連接，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)30度(2)相等，理由見解析(3)或或【分析】（1）首先由特殊角的三角函數(shù)值求出，然后證明出，得到，進(jìn)一步證明出，即可得到；（2）首先由含角直角三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可；（3）設(shè)，則，首先判斷出若是等腰三角形，則或，然后分情況討論，分別根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)O，∵在矩形中，∴∵，∴∴∵，∴又∵∴∴∴又∵∴∴；（2）相等，理由如下：∵，∴∵∴∴∵，∴∵，∴∴∴，即又∵∴∴∵，∴∴∴又∵∴；（3）設(shè)，則∵，∴若是等腰三角形，則或①如圖所示，當(dāng)，且點(diǎn)F位于上方時(shí)，作，∵∴四邊形是矩形∴，∴∴在中，∴解得，（舍去）；②如圖所示，當(dāng)，且點(diǎn)F位于下方時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，在中，同理可得解得，(舍去)；③如圖所示，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，∵，，綜上可得，或或．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．23．（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，點(diǎn)分別在邊上，，連接．將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)[問題發(fā)現(xiàn)]當(dāng)時(shí)，_____；當(dāng)時(shí)，____；(2)[拓展研究]試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖的情形給出證明；(3)[問題解決]在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的最大值為_______．【答案】(1)；；(2)沒有變化，證明見解析；(3)．【分析】（）利用等腰三角形的性質(zhì)判斷出，，進(jìn)而得出，得出，即可得出結(jié)論；同的方法，即可得出結(jié)論；（）利用兩邊成比例，夾角相等，判斷出，即可得出結(jié)論；（）判斷出點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，再求出，即可得出結(jié)論；此題是考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，判斷出兩三角形相似熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）在中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；如圖，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）當(dāng)時(shí)，的大小沒有變化；證明：在中，∵，，∴，，同理，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，其最大值為，在中，，∴，∴，由（）知，，∴，∴，∴，故答案為：．24．（2024·廣東韶關(guān)·二模）如圖，為的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，連接，，(1)求證：是的切線；(2)若點(diǎn)P是上的一點(diǎn)，連接．①求的值；②若為的角平分線，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)，證明，再根據(jù)圓周角定理得出，即可證明，即可證明；（2）①連接，證明，設(shè)的半徑為，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解．本題考查圓的綜合應(yīng)用，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接，．，，，，為的直徑，，，是的切線；（2）解：①如圖，連接，是的中點(diǎn)，，，為的直徑，，，，．，設(shè)的半徑為，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，，，，，．②如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，是的角平分線，，，，，，，．命題點(diǎn)二相似三角形的常見模型?題型01A字模型25．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．26．（2020·浙江杭州·一模）如圖．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，則圖中相似三角形有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ACD∽△ADE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠B=∠DCE，∴△CDE∽△BCD，故共4對(duì)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．27．（2020·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作直線PQ，分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長(zhǎng)為（）A．5 B． C．5或 D．6【答案】B【分析】當(dāng)PQ∥BC時(shí)，△APQ∽△ABC，如圖1，根據(jù)角平分線的定義得到∠PBD＝∠CBD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PB＝PD，同理，DQ＝CQ，設(shè)AP＝4x，AQ＝3x，根據(jù)勾股定理得到PQ＝5x，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；當(dāng)∠APQ＝∠ACB時(shí)，△APQ∽△ACB，由勾股定理得到BC＝10，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF＝DG，根據(jù)三角形的面積公式得到DE＝＝2，四邊形AEDF是正方形，推出△PED∽△DFQ∽△CAB，求得＝＝＝，得到PE＝，F(xiàn)Q＝，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)PQ∥BC時(shí)，△APQ∽△ABC，如圖1，∵DB平分∠ABC，∴∠PBD＝∠CBD，∵PD∥BC，∴∠PDB＝∠DBC，∴∠PBD＝∠PDB，∴PB＝PD，同理，DQ＝CQ，∵∠APQ＝∠ABC，∴tan∠APQ＝tan∠ABC＝＝＝，∴設(shè)AP＝4x，AQ＝3x，∴PQ＝5x，∵PB＝PD＝8﹣4x，PQ＝CQ＝6﹣3x，∴8﹣4x+6﹣3x＝5x，∴x＝，∴PQ＝5x＝；當(dāng)∠APQ＝∠ACB時(shí)，△APQ∽△ACB，∵AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，∴BC＝10，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，∴DE＝DF＝DG，∵S△ABC＝DE（AB+AC+BC）＝AB?AC，∴DE＝＝2，四邊形AEDF是正方形，∴DF∥AP，∴∠EPD＝∠FDQ，同理∠EDP＝∠FQD，∴△PED∽△DFQ∽△CAB，∴＝＝＝，∴PE＝，F(xiàn)Q＝，∴PD＝＝＝，DQ＝＝＝，∴PQ＝PD+DQ＝+＝，綜上所述，若△APQ與△ABC相似，則線段PQ的長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，角平分線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2021·山東濱州·中考真題）在銳角中，分別以AB和AC為斜邊向的外側(cè)作等腰和等腰，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，連接MD、MF、FE、FN．根據(jù)題意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：①，②，③，④，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接DF，EN，通過(guò)SAS定理證明△MDF≌△FEN判斷結(jié)論②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論③，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④．【詳解】解：∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，且△ABM是等腰直角三角形，∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故結(jié)論①正確；連接DF，EN，∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，且△ACN是等腰直角三角形，∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，∴∠MDF=∠FEN，在△MDF和△FEN中，，∴△MDF≌△FEN（SAS），∴∠DMF=∠EFN，故結(jié)論②正確；∵EF∥AB，DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴∠DFE=∠BAC，又∵△MDF≌△FEN，∴∠DFM=∠ENF，∴∠EFN+∠DFM=∠EFN+∠ENF=180°-∠FEN=180°-（∠FEC+∠NEC）=180°-（∠BAC+90°）=90°-∠BAC，∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，∴MF⊥FN，故結(jié)論③正確；∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∴，∴S△CEF=S四邊形ABFE，故結(jié)論④錯(cuò)誤，∴正確的結(jié)論為①②③，共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．?題型028字模型29．（2021·山東聊城·一模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)對(duì)邊平行而構(gòu)建相似三角形．先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，則可判斷，，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，，，∴，∴，，，∴，∴．故選：A．30．（2020·廣東深圳·三模）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CE平分∠DCB交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE，下列結(jié)論：①∠ACD＝30°；②S平行四邊形ABCD＝；③OE：AC＝1：4；④S△OCF＝2S△OEF．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等邊三角形，證得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；由AC⊥BC，得到S?ABCD=AC?BC，故②正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故③錯(cuò)誤；由三角形的中位線可得BC∥OE，可判斷△OEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=2，求得S△OCF=2S△OEF；故④正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BCD=120°，∵CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等邊三角形，∴BE=BC=CE，∵AB=2BC，∴AE=BC=CE，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CAB=30°，故①正確；∵AC⊥BC，∴S?ABCD=AC?BC，故②正確，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴AC=BC，∵AO=OC，AE=BE，∴OE=BC，∴OE：AC=：6；故③錯(cuò)誤；∵AO=OC，AE=BE，∴OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴=2∴S△OCF：S△OEF==2，∴S△OCF=2S△OEF；故④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．31．（2020·四川遂寧·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，證明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．32．（2020·安徽合肥·一模）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線于G．首先證明PB＝PG，EP+PB＝EG，由EG∥BC，推出＝＝3，即可求出EG解決問題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EF交BQ的延長(zhǎng)線于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．?題型03字母型模型33．（2024·浙江·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，平分交于E，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)線交于G，則的值是．?【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的有關(guān)知識(shí).由等腰三角形的判定與性質(zhì)知是等腰三角形的中垂線.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、等腰三角形的性質(zhì)列出比例式，即，最后在直角中利用勾股定理來(lái)求的值．【詳解】，四邊形是正方形,，又∵平分交于,，,，在和中,，，即，即,即，故答案為：．34．（20-21九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，正方形ABCD中，BC=2，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連接DM，DM與AC交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為DM中點(diǎn)，點(diǎn)E為DC上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠DFE=45°時(shí)，則DE=．【答案】．【分析】如圖，連接．首先求出、的長(zhǎng)，證明，可得，即求出．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，∵點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，，在中，，，，∴，，∵點(diǎn)F為DM中點(diǎn)，∴，∵，∴∴即有．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題．35．（2020·江蘇鹽城·一模）如圖，在中，AB=AC=4，，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ED，連接CE，則面積的最大值為【答案】【分析】設(shè)CD=x，過(guò)A作與Z，過(guò)B作的延長(zhǎng)線于N，過(guò)E作的延長(zhǎng)線于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，證出，即可得出結(jié)果；【詳解】設(shè)CD=x，過(guò)A作與Z，過(guò)B作的延長(zhǎng)線于N，過(guò)E作的延長(zhǎng)線于M，如圖所示：∵AB=AC，∴，∵AC=4，∴，又∵，∴，∴，∴，解得，根據(jù)勾股定理得，∴，根據(jù)題意可得，即可得到,線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ED∴，∴ME=DN=CN-CD=，∴，∴面積最大時(shí)，，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活應(yīng)用，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．36．（20-21九年級(jí)上·四川·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4正方形中，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，點(diǎn)在上，且．連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】作于，交于，根據(jù)勾股定理可得BG，再由相似三角形的性質(zhì)可得BH，繼而判定，并求得BF的長(zhǎng)，由全等三角形的性質(zhì)可得ME，利用線段的和差求得EN，進(jìn)而由三角形面積公式即可求解．【詳解】作于，交于，如圖，則，∵，∴，，在中，，∵，∴．∴即解得∵，而，∴，即，而，∴．∴，∴BF⊥AE．∴，∵∠BME＝EFB，∠MBE＝∠FEB，BE＝EB，∴△BME≌△EFB（AAS），∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線求得關(guān)鍵線段的長(zhǎng)解決問題．?題型04一線三垂直模型37．（2023·河南周口·三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上取點(diǎn)D，使得，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；（2）類比探究：如圖2，若，作，且，其他條件不變，寫出變化后線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）拓展延伸：如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)合“一線三等角”推出，從而證得結(jié)論即可；（2）利用條件證明，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；（3）作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，結(jié)合“一線三垂直”證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和，最后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵將邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵，，∴．在和中，∴，∴．故答案為：（2）．證明：同（1）可得，，，∴，∴，∵，∴，∴．（3）如圖所示，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，由（1）同理可證，，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握一線三等角全等和相似模型，并熟練運(yùn)用是解題關(guān)鍵．38．（20-21九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖1，正方形和正方形，連接．(1)[發(fā)現(xiàn)]：當(dāng)正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，線段與之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)[探究]：如圖3，若四邊形與四邊形都為矩形，且，，猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)[應(yīng)用]：在(2)情況下，連接點(diǎn)在上方，若，且，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，，理由見解析(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而得出，，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（2）先利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等判斷出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）先求出，進(jìn)而得出，即可得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得出，求出的長(zhǎng)，借助（2）得出的相似，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，理由如下：四邊形和四邊形是正方形，，，，，，；如圖2，延長(zhǎng)交于，交于，，，，，，，，，故答案為：，；（2），，理由如下：如圖3，延長(zhǎng)交于，交于，四邊形與四邊形都為矩形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）如圖4，設(shè)與的交點(diǎn)為，，，在中，，，根據(jù)勾股定理得：，，，，四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)，，在同一條直線上，如圖5，，在中，根據(jù)勾股定理得，，由（2）知，，，即，．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形得性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，證明和是解本題的關(guān)鍵．39．（2021·黑龍江哈爾濱·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，，的面積為2．(1)如圖1，求直線的解析式．(2)如圖2，線段上有一點(diǎn)C，直線為，軸，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（用含k的式子表示）(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，交直線于點(diǎn)E，若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用的面積為2，求出的長(zhǎng)度，得到B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求的解析式；（2）利用，過(guò)D作軸于H，證明，得到，，由直線析式，求得C的坐標(biāo)，從而得到長(zhǎng)度，再證明四邊形為矩形，得到D的坐標(biāo)；（3）利用，得到A，C，B，D四點(diǎn)共圓，則，，又，轉(zhuǎn)化得到，在上取一點(diǎn)M，使，構(gòu)造出，利用兩個(gè)角的正切值相等，列出關(guān)于參數(shù)的方程，求出參數(shù)k，再利用直線和直線相交，列出二元一次方程組，求得交點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線AB的解析式為：，代入點(diǎn)，得，∴，∴直線的解析式為：；（2）如圖1，過(guò)D作軸于H，∵軸，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題可得，，∴，又∵，∴，在與中，，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，∴；（3）如圖2，連接，取中點(diǎn)N，連接，，則在中，，同理，，∴，∴A，C，B，D四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又，∴，在上取一點(diǎn)M，使，則，∴，∴，∴，，．∵，∴，∴，∴，解得，，∴直線解析式為：，，設(shè)直線解析式為：，把代入得，∴，則直線解析式為：，聯(lián)立，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法，一線三等角模型構(gòu)造全等，四點(diǎn)共圓，三角函數(shù)，交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，其中轉(zhuǎn)化角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．40．（2020·山東濟(jì)南·二模）矩形中，，分別以所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．(2)連接，求的正切值；(3)如圖2，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)G處，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再用點(diǎn)F是中點(diǎn)，求出點(diǎn)F坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k，最后將點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3代入反比例函數(shù)解析式中即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)；（2）設(shè)出點(diǎn)，代入反比例函數(shù)中得出，進(jìn)而用m表示出，即可得出結(jié)論．（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于H，證明，得到，則．【詳解】（1）解：，，四邊形是矩形，，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，且縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，（2）解：如圖，設(shè)點(diǎn)，∴，點(diǎn)E，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，，在中，；（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于H，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，求角正切值，折疊的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．?題型05旋轉(zhuǎn)相似模型41．（2021·廣東佛山·一模）如圖1，、分別是的內(nèi)角、的平分線，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，如果，且，求的值；(3)如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)，或，【分析】（1）由題意：，證明即可解決問題．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明，可得，，由，可得．（3）因?yàn)榕c相似，，所以中必有一個(gè)內(nèi)角為因?yàn)槭卿J角，推出．接下來(lái)分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，，同理，，，，．（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，平分，，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個(gè)內(nèi)角為是銳角，．①當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，，，與相似，，此時(shí)．綜上所述，，．，．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．42．（2024·安徽安慶·二模）如圖1，在中，，與邊分別交于點(diǎn)D、E，連接，點(diǎn)F、G、H分別是的中點(diǎn)，分別連接．(1)觀察、猜想觀察圖1，猜想，(2)探究、說(shuō)理把繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(3)拓展、思考在所在的平面內(nèi)，把繞點(diǎn)C自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)度的取值范圍【答案】(1)，90(2)（1）中的結(jié)論還成立，理由見解析(3)【分析】（1）由平行得，則，由平行得到，則，由三角形中位線定理得到，故，，再根據(jù)平行導(dǎo)角即可；（2）由角正切得到，證明，則，由三角形中位線得到，，再根據(jù)平行和相似三角形的性質(zhì)導(dǎo)角即可；（3）由題意可知，，則，由于是的中位線，則，繼而可求取值范圍．【詳解】（1）解：在中，，∴，∵，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∵點(diǎn)F、G、H分別是的中點(diǎn)，∴分別為的中位線，∴，∴，，∵，∴，∵，∴,故答案為：，90；（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：證明：如圖2，在中，，∴，在中，∴，∴又，∴∴∴∵是的中位線，∴．同理可得，∴∵是的中位線，∴，∴∵，由于，有，由得：∴；（3）解：由題意可知，，∴，即∴繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)D點(diǎn)落在邊上時(shí)，AD最小值為6；當(dāng)點(diǎn)D落在延長(zhǎng)線上時(shí)，最大值為14，∵是的中位線，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，綜合性強(qiáng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)和基本圖形是解題的關(guān)鍵．43．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）【操作與思考】（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，邊上的點(diǎn)，且，且繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出，并證明；【嘗試與應(yīng)用】（2）如圖2，正方形邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，邊上的點(diǎn)，．交于M，求證；【拓展與創(chuàng)新】（3）如圖3，矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，邊上的點(diǎn)，，交于M．若，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，再證明，可得，由此證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到G，使得，連接，證明，得到，，，．過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，得到，．證明，結(jié)合正切函數(shù)證明即可解題．（3）模仿（2），延長(zhǎng)到G，使得，連接，過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，構(gòu)造，再證明，可得，再延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，結(jié)合，證明，列出比例式計(jì)算即可．【詳解】（1）∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，∴，，∴，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴，（2）①延長(zhǎng)到G，使得，連接，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴．過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴，．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∴．∴．∵，∴．（3）延長(zhǎng)到G，使得，連接∴，∵矩形ABCD中，，，，∴，，∴，∴，，∴，．過(guò)點(diǎn)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴，．∵，∴．，∴∵，∴，∴，∴．∴．延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，∵，∴，∴．∵四邊形是矩形，，，∴，，∴，∴，整理，得，解方程，得（不合題意舍去），綜上所述，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形與全等三角形、相似三角形的綜合，解題關(guān)鍵是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形或相似三角形，轉(zhuǎn)化線段關(guān)系．44．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖（1），在，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使，連接，可得與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）【探究遷移】如圖（2），在中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，試判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）或．【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)相似模型；解題關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似模型轉(zhuǎn)換線段關(guān)系．（1）根據(jù)三角形中位線可直接得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)相似模型證明，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線，再由不同位置分兩種情況討論，結(jié)合（2）的結(jié)論即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴，；（2）結(jié)論：，理由∶如圖2-1，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴由題意∶，∴，由旋轉(zhuǎn)知∴，∴，∴∵，，∴，即：，∴，∴，∴∴（3）當(dāng)時(shí)，∵，即：，∴，又∵，∴點(diǎn)在直線，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖2-2，∵，∴點(diǎn)在直線，∵，，，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2-2，同理可證：點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線，，，∴，∴；綜上所述：的長(zhǎng)為或．命題點(diǎn)三相似三角形的應(yīng)用?題型01測(cè)量高度問題45．（22-23九年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，邊與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角紙板中，，測(cè)得眼睛D離地面的高度為，他與“步云閣”的水平距離為，則“步云閣”的高度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，得到，求出，即可得到“步云閣”的高度．【詳解】解：，，，，，，，測(cè)得眼睛D離地面的高度為，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)時(shí)解題關(guān)鍵．46．（2023·廣東深圳·一模）如圖，九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組利用平面鏡測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在觀測(cè)員與旗桿之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記E，當(dāng)觀測(cè)到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合時(shí)，測(cè)得觀測(cè)員的眼睛到地面的高度為，觀測(cè)員到標(biāo)記E的距離為，旗桿底部到標(biāo)記E的距離為，則旗桿的高度約是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵鏡子垂直于地面，∴入射角等于反射角，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．47．（21-22九年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測(cè)量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，測(cè)得邊離地面的高度，則樹高等于（

）A． B． C． D．都不對(duì)【答案】C【分析】先判定，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答．【詳解】解：在與中，即樹的高為故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．48．（2024·河北邯鄲·二模）如圖是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，把一個(gè)簡(jiǎn)易刻度尺與地面垂直放置，其中與“0”刻度線重合，點(diǎn)落在“3”刻度線上，與“5”刻度線重合，若測(cè)得，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴，∴，∵，∴，故選：B．?題型02相似三角形的實(shí)際問題49．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組想利用標(biāo)桿測(cè)量佛山千燈湖市民廣場(chǎng)醒獅雕塑的高度，見圖（醒獅雕塑線條圖）．已知點(diǎn)A，C，E在同一直線上，標(biāo)桿高度，標(biāo)桿與雕塑的水平距離，人的眼睛與地面的高度，人與標(biāo)桿的水平距離，求醒獅雕塑的高度．【答案】12.8米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，利用三角形相似中的比例關(guān)系，首先由題目和圖形可看出，求的長(zhǎng)度分成了2個(gè)部分，和部分，其中，剩下的問題就是求的長(zhǎng)度，利用，得出，把相關(guān)條件代入即可求得的長(zhǎng)度即可．【詳解】如圖所示，設(shè)線段與線段交于點(diǎn)G．∵，∴，四邊形、是矩形，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴答：醒獅雕塑的高度為．50．（23-24九年級(jí)上·浙江金華·期末）如圖，小李利用鏡面反射原理測(cè)樹高，小李在點(diǎn)，鏡子為點(diǎn)，表示樹，點(diǎn)，，在同一水平線上，小李身高米，米，米，則樹高為()A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定；根據(jù)題意得出，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】如圖可知：，，，，，，∴，米，米，米，∴，解得：，答：樹高為米．故選：A．51．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）路邊有一口廢棄的圓柱形枯井，出于安全考慮，大家準(zhǔn)備運(yùn)來(lái)泥土把它填平，如圖，先測(cè)得井口的直徑，然后在D處立一根長(zhǎng)的鐵管，用聚光筆從鐵管的頂端E點(diǎn)照射井底B點(diǎn)，光線與直徑交于點(diǎn)O，測(cè)得．求填平這口井需要的泥土的體積（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】【分析】本題考查的是相似三角形判定與性質(zhì)及圓柱體積計(jì)算，先證明，求出枯井的深，進(jìn)而求出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴∴解得，∴圓柱形枯井的體積為，∴填平這口井需要的泥土的體積大約是．52．（2024·廣東東莞·一模）如圖1是一張折疊型方桌子，圖是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，支架與交于點(diǎn)，測(cè)得，．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)將桌子放平后，兩條桌腿叉開角度，求距離地面的高．結(jié)果保留整數(shù)參考數(shù)值，【答案】(1)AB的長(zhǎng)為cm(2)AB距離地面的高為48cm【分析】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用，（1）先證明，再由相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，在中，，在中，，，進(jìn)而作答即可．【詳解】（1）解：，，與是等腰三角形，，，，即的長(zhǎng)為；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖，∵，∴E、O、F三點(diǎn)共線，，與是等腰三角形，，在中，，在中，，，距離地面的高為．?題型03相似三角形與其他知識(shí)交匯53．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接交于E，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和等量代換求得，再利用圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；（2）利用圓周角定理得到，則，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和相似三角形的判定與性質(zhì)得到的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵點(diǎn)C是半圓的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∵，∴，即，∴．∵為的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴．∵，∴∴∵，∴，∴，∵，∴．設(shè)的半徑為r，則，∵，∴，解得：．∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．54．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）綜合探究如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，分別為，的角平分線．

(1)求證：；(2)如圖2，以點(diǎn)O為圓心，為直徑的與相切于點(diǎn)E，若，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)F，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析；(2)(3)四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，得出，由角平分線的定義得出，運(yùn)用垂直的定義解答即可；（2）連接，得出，再利用圓的切線的性質(zhì)定理，切線長(zhǎng)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）連接，利用（1）（2）的結(jié)論，以及圓的切線的性質(zhì)定理，則，，得出垂直平分，即，運(yùn)用三個(gè)內(nèi)角等于90度來(lái)證明四邊形是矩形，進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）證明：，，，分別為，的角平分線，，，，，，；（2）解：連接，如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，與相切于點(diǎn)，，．．，，，．分別與，，相切于點(diǎn)，，，，，，，，∵，，，即：，．（3）解：四邊形是矩形，理由如下：為的直徑，．由（1）得：，由（2）得：是的切線，連接，如圖，，，垂直平分，．，四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．55．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知等腰，，作的外接圓為，小明同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖：①以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于兩點(diǎn)，②再以點(diǎn)A為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑畫弧交于點(diǎn)M，③以點(diǎn)M為圓心，以兩弧交點(diǎn)間的距離為半徑，交第一個(gè)弧于點(diǎn)N；過(guò)點(diǎn)C作的垂線交射線于點(diǎn)D，為∠CAD的角平分線；(1)求證：是的切線；(2)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．（1）連接并延長(zhǎng)，交于H，證明，得，由作圖得，得，從而得出結(jié)論；（2）過(guò)E作交于F，證明，得出，再證明和，求出的長(zhǎng)，再由三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)，交于H，∵是的外接圓，

∴平分，

∵，∴，∴，

∴由作圖可知，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線.（2）解：過(guò)E作交于F，∴∵平分，∴，∴，

∴，∵，，∴，∴，

∵，平分，∴=1，∴，∴，∵，∴，∴，

∵，∴，∴56．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合探究【教材回顧】（1）如圖（1），在中，，垂足為D．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖（2），是的高．以為邊在右側(cè)作菱形，點(diǎn)E恰好落在上，且，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展提高】（3）如圖（3），在中，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，于點(diǎn)H，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在上，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）【分析】（1）先得出，再進(jìn)行角的等量代換得證明，故，即可作答．（2）先連接與相交于點(diǎn)G．再結(jié)合四邊形為菱形，得與同理（1）可得因?yàn)椋瑒t，即可作答．（3）先運(yùn)用（1）中的結(jié)論，表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的值．再過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)P，求出的值，然后運(yùn)用平行線分線段成比例求出的值，即可作答．【詳解】證明：∵，∴．又∵，∴∴∴∴，即．（2）．理由：如圖（1），連接與相交于點(diǎn)G．∵四邊形為菱形，∴又∴∴∴又∵，∴∴∴∴，同理（1）可得∴（3）．∴可設(shè)，則．∵，∴同理（1）可得∴∴如圖（2），過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)P，則，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又，∵【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，因?yàn)橄嗨票仁?，所以面積比是相似比的平方，據(jù)此列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵，，∴，故選：D．2．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在三角形中，D、F是邊上的點(diǎn)，E是邊上的點(diǎn)，，，則下列式子中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，通過(guò)證明以及平行線分線段成比例可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故只有C選項(xiàng)不正確故選：C．3．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，且，若的周長(zhǎng)為8，則的周長(zhǎng)為（

）A．4 B． C．16 D．32【答案】C【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似比等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，且，∴，且相似比為，∴與的周長(zhǎng)比為：，∵的周長(zhǎng)為8，∴的周長(zhǎng)為16．故選：C．4．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在四邊形中，，，以為腰作等腰，，點(diǎn)E恰好落在邊上，若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作，交于F，證明是等腰直角三角形，得，，進(jìn)而證明，再由勾股定理得，然后證明，得，求出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作，交于F，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．二、填空題5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）小明希望測(cè)量出電線桿的高度，于是在陽(yáng)光明媚的一天，他在電線桿旁的點(diǎn)處立一標(biāo)桿使標(biāo)桿的影子與電線桿的影子部分重疊即點(diǎn)，，在一直線上，量得，，，則電線桿的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用舉例，根據(jù)題意易證，得到，利用相似三角形的相似比即可求出電線桿長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，，，，，，故答案為：．6．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）已知在中，且，，則．【答案】3【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于邊長(zhǎng)比的平方．因?yàn)?，所以，，可得，所以，已知，，可得，因?yàn)椋傻茫驹斀狻俊?，，，∴，，，，∴，，故答案為?．7．（2024·廣東深圳·三模）已知等腰中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，沿翻折，使點(diǎn)A落在同一平面的點(diǎn)E處，若，則．【答案】【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．記的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，證明，則，即，可得，則，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，則，，由勾股定理得，，即，可求滿足要求的解，，進(jìn)而可求的值．【詳解】解：如圖，記的交點(diǎn)為F，設(shè)，，則，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，∵，∴，，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，∴，∴，，由勾股定理得，，即，解得，或（舍去），∴，故答案為：．三、解答題8．（2024·廣東韶關(guān)·二模）【操作探究】在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師組織同學(xué)們開展以“測(cè)量小樹的高度”為主題的探究活動(dòng)．【學(xué)生】查閱學(xué)校資料得知樹前的教學(xué)樓高度為12米，如圖1，某一時(shí)刻測(cè)得小樹、教學(xué)樓在同一時(shí)刻陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是米，米．（1）請(qǐng)根據(jù)同學(xué)的數(shù)據(jù)求小樹的高度；【學(xué)生】借助皮尺和測(cè)角儀，如圖2，已知測(cè)角儀離地面的高度米，在處測(cè)得小樹頂部的仰角，測(cè)角儀到樹的水平距離米．（2）請(qǐng)根據(jù)同學(xué)的數(shù)據(jù)求小樹的高度（結(jié)果保留整數(shù)，，）．【答案】（1）大樹高是4米；（2）米【分析】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和解直角三角形應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解，解題時(shí)還要注意認(rèn)識(shí)圖形．（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）在中，根據(jù)解直角三角形即可求解；【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，，，，

，即大樹高是4米．（2）如圖，在中，∵，∴米．9．（2024·山東濰坊·二模）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別在線段，上，且，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定證明，即可得．（2）結(jié)合相似三角形的判定證明，則可得．【詳解】（1）證明：，．，，，，．（2）證明：，，．，，，，，10．（2024·廣東深圳·三模