第四節(jié)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)

第四節(jié)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)第七章無窮級數(shù)7、1常數(shù)項(xiàng)級數(shù)得概念與性質(zhì)7、2

正項(xiàng)級數(shù)7、3

任意項(xiàng)級數(shù)7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)7、5

函數(shù)展開成冪級數(shù)7、6

函數(shù)得冪級數(shù)展開式得應(yīng)用7、7函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得一致收斂性及一致收斂級數(shù)得基本性質(zhì)7、8傅里葉級數(shù)7、9正弦級數(shù)與余弦級數(shù)7、10以2l為周期得周期函數(shù)得傅里葉級數(shù)目錄學(xué)習(xí)得基本要求與預(yù)期目標(biāo)

1)理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散得概念及,理解無窮級數(shù)與得概念,掌握級數(shù)得基本性質(zhì)及收斂得必要條件。

2)熟悉幾何級數(shù)與級數(shù)得收斂性。

3)掌握正項(xiàng)級數(shù)得比較審斂法,掌握正項(xiàng)級數(shù)得比值審斂法,回用根式審斂法。

4)掌握交錯級數(shù)得萊布尼茲定理。

5)了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂得概念,以及絕對收斂與收斂得關(guān)系。

6)了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得收斂域及與函數(shù)得概念。

7)理解冪級數(shù)收斂半徑得概念,掌握冪級數(shù)得收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域得求法。學(xué)習(xí)得基本要求與預(yù)期目標(biāo)

8)了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)得一些基本性質(zhì),會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)得與函數(shù),并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)得與。

9)了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)得必要條件與充分條件。

10)掌握得麥克勞林展開式,會用它們將一些簡單函數(shù)展開為冪級數(shù)。

11)了解冪級數(shù)在近似計算中得簡單應(yīng)用。

12)理解付氏級數(shù)得概念,狄利克雷定理,函數(shù)展開為付氏級數(shù)得充分條件,會將定義在上得函數(shù)展開為付氏級數(shù),會將定義在上得函數(shù)展開為正弦與余弦級數(shù),會寫出付氏級數(shù)與函數(shù)得表達(dá)式。7、4、1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得概念7、4、4冪級數(shù)及其收斂性7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)7、4、2函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得一致收斂及其判別法7、4、5冪級數(shù)得運(yùn)算與與7、4、3一致收斂級數(shù)得性質(zhì)7、4、1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得概念7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定義4、1如果ui(x)(i=1,2,···,n,···)

就是定義在I上函數(shù)列,則u1(x)+u2(x)

u3(x)

···

un(x)

···稱為定義在I上得函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù),簡稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。例如，幾何級數(shù)就是定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。例如，幾何級數(shù)就是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定義4.2設(shè)x0?I，且收斂，則稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在該點(diǎn)收斂，稱x0為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)，而所有收斂點(diǎn)的集合稱為收斂域。如果發(fā)散，稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在該點(diǎn)發(fā)散，稱x0為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，而所有發(fā)散點(diǎn)的集合稱為發(fā)散域。在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x),稱s(x)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)，其定義域就是級數(shù)的收斂域，并寫成7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定義4、3函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得前n項(xiàng)與記為sn(x),余項(xiàng)記為rn(x),則在收斂域內(nèi)例4.1求級數(shù)的收斂域收斂域(-∞,-2)[0,+∞)7、4、2函數(shù)項(xiàng)級數(shù)得一致收斂及其判別法7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定義4、4設(shè){sn(x)}

就是定義在I上函數(shù)列,如果對于任意得正數(shù)ε>0,總存在正整數(shù)N(僅與ε有關(guān)),使對于一切n>N,以及I上得一切x,恒有|sn(x)-s(x)|<ε,則稱函數(shù)列{si(x)}

在I上得一致收斂于函數(shù)s(x)。注:函數(shù)在[-1,1]以及區(qū)間(-∞,+∞)上并不一致收斂。例4.2證明函數(shù)在區(qū)間(-a,a)(0<a<1)上一致收斂于7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)例4.3證明級數(shù)在區(qū)間(-a,a)上一致收斂(0<a<1)，在(-1,1)內(nèi)不一致收斂。定義4.5設(shè){sn(x)}

是級數(shù)的部分和序列，如果序列{sn(x)}

在I上一致收斂于函數(shù)s(x)，則稱該級數(shù)在I上一致收斂于函數(shù)s(x)。12大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定理4、1(魏爾斯特拉斯Weierstrass定理)

魏爾斯特拉斯德國數(shù)學(xué)家、1815─1897如果函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

在區(qū)間I上滿足條件：則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

在I上一致收斂。收斂例4.4證明級數(shù)在區(qū)間(-∞,+∞)上一致收斂。7、4、3一致收斂級數(shù)得性質(zhì)7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定理4.2如果級數(shù)的每一項(xiàng)un(x)在I上連續(xù)，且該級數(shù)一致收斂于和函數(shù)s(x)，則函數(shù)s(x)在I上也連續(xù)．定理4.3如果級數(shù)

在區(qū)間I上收斂于和函數(shù)s(x)，每一項(xiàng)具有連續(xù)的可導(dǎo)u'(x)，且

在區(qū)間I上一致收斂,則級數(shù)在區(qū)間I上的一致收斂和函數(shù)s(x)可微，并且可逐項(xiàng)求導(dǎo)：7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)其中，a≦x0≦x≦b，并且上式右端級數(shù)在[a,b]上一致收斂．定理4.4如果級數(shù)的每一項(xiàng)un(x)在[a,b]上連續(xù)，且該級數(shù)一致收斂于和函數(shù)s(x)，則函數(shù)s(x)在[a,b]上可積,且可以逐項(xiàng)求積．7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)7、4、4冪級數(shù)及其收斂性定義4.6形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為(x-x0)的冪級數(shù)；若取x=0，則級數(shù)收斂。說明至少有一個收斂點(diǎn)若令t=x-x0，則級數(shù)形如的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為x的冪級數(shù)。7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定理4、5(阿貝爾Abel定理)

如果冪級數(shù)

在點(diǎn)x0處收斂,則對滿足不等式|x|<|x0|的x處冪級數(shù)絕對收斂；如果冪級數(shù)

在點(diǎn)x0處發(fā)散,則對滿足不等式|x|>|x0|的x處冪級數(shù)發(fā)散。阿貝爾挪威數(shù)學(xué)家、1802─1829幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域說明:存在點(diǎn)x*,使得當(dāng)|x|<|x*|時級數(shù)絕對收斂,當(dāng)|x|>|x*|時級數(shù)發(fā)散。7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定義4、7記R=|x*|稱為冪級數(shù)得收斂半徑,(-R,R)稱為收斂區(qū)間?？赡艿檬諗坑?yàn)?[-R,R]、(-R,R]、[-R,R)、(-R,R)。7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)注;若0<

<+∞，則

若

=0，則R=+∞若

=+∞，則R=0定理4.6設(shè)冪級數(shù)，且an≠0，設(shè)或7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)舉例例4、5求下列冪級數(shù)得斂散半徑與收斂域7、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)7、4、4冪級數(shù)得運(yùn)算及其性質(zhì)記R=min{R1,R2},則在(-R,R)內(nèi)注:定理只給出了等式右邊級數(shù)在(-R,R)內(nèi)收斂,但不一定就是收斂域。定理4.7設(shè)冪級數(shù)，的收斂半徑分別是R1和R27、4

函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與冪級數(shù)定理4.8設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑是R(R>0)，則收斂和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)連續(xù)．如果冪級數(shù)在x=R(或x=-R)也收斂，則和函數(shù)s(x)在(-R,R](或[-R,R))連續(xù)．定理4.9設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑是R，則收斂和s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)．且可逐項(xiàng)求導(dǎo)：注:逐項(xiàng)求導(dǎo)所