導(dǎo)數(shù)常考題型全歸納（七大題型）原卷版-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考）

熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題09導(dǎo)數(shù)?？碱}型全歸納

?>-----------題型歸納?定方向------------*>

目錄

題型01導(dǎo)數(shù)與極值（含有參數(shù)的單調(diào)性分類討論）................................................1

題型02導(dǎo)數(shù)與最值（含恒成立和有解問(wèn)題）......................................................4

題型03導(dǎo)數(shù)與方程的根（含隱零點(diǎn)問(wèn)題）........................................................6

題型04極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.........................................................................9

題型05導(dǎo)數(shù)與不等式..........................................................................12

題型06導(dǎo)數(shù)中其他雙變量問(wèn)題..................................................................14

題型07導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列..........................................................................15

o-----------題型探析?明規(guī)律-----------*>

題型01導(dǎo)數(shù)與極值（含有參數(shù)的單調(diào)性分類討論）

【解題規(guī)律?提分快招】

一、含參數(shù)單調(diào)性討論

（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的

區(qū)間）；

（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分.定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，

無(wú)需單獨(dú)討論的部分）；

（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；

（4）根的分布來(lái)定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；

（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；

【一般性技巧】

1、導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù)，首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形，易于判斷；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，

討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間.

2、若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)，令該二次函數(shù)等于零，求根并比較大小，然后再劃分定義域，

判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.

3、若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)，就要通過(guò)判別式來(lái)判斷根的情況，然后再劃分定義域討論.

二、函數(shù)的極值

函數(shù)/(X)在點(diǎn)X。附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)都有/(X)<則稱/(x0)是函數(shù)的一個(gè)極大值，

記作，極大值=〃不)?如果對(duì)尤0附近的所有點(diǎn)都有，(元)>/(%)，則稱/(X。)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作

y極小值=/(毛).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱與為極值點(diǎn).

求可導(dǎo)函數(shù)/(X)極值的一般步驟

(1)先確定函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)尸(x)；

(3)求方程-(無(wú))=0的根；

(4)檢驗(yàn)((x)在方程/'(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那

么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/(x)在

這個(gè)根處取得極小值.

注①可導(dǎo)函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處取得極值的充要條件是：/是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即((為)=0,且在不左側(cè)

與右側(cè)，f'(x)的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②((%)=0是不為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如人》=/，((0)=0,但毛=0不是極值點(diǎn).另外，

極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)〃元)=國(guó)，在極小值點(diǎn)無(wú)。=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：不為可導(dǎo)

函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)n/(%)=0；但f'(x0)=0/%為/(x)的極值點(diǎn).

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024高三.全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=2(“-lnx)+e,討論/(x)的單調(diào)性與極值.

2.(2024.河南開封.二模)已知函數(shù)十)=lnx-3

(1)討論了(尤)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；

⑵函數(shù)g(尤卜工；若方程〃尤)"(g⑺)在xe［上存在實(shí)根，試比較/⑺與int的大小.

1—x\)4

3.(24-25高三上?山西呂梁?期末)已知函數(shù)/(x)=e2*-依+a(aeR),g(x)=(3-2x)e".

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求函數(shù)“X)的極值；

(3)若毛為函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，則稱(尤。"(尤0))為函數(shù)“X)的“靚點(diǎn)”.證明：g(x)上任意一點(diǎn)都有可能成

為/(x)的“靚點(diǎn)”.

4.(24-25高三上?安徽淮北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(x+l).

⑴求曲線y=/(x)在x=3處的切線方程.

⑵求函數(shù)尸(無(wú))=X-4-(4+1)/(尤-1)的極值;

X

(3)設(shè)函數(shù)g(x)=(x+1)/]J-/(I+1)

.證明：存在實(shí)數(shù)加，使得曲線〉=8(彳)關(guān)于直線x=對(duì)稱.

5.(23-24高三上?安徽六安?期末)已知函數(shù)〃無(wú))=21nx+￡x2-(2m+l)x+lWeR).

⑴求函數(shù)的極值；

⑵設(shè)函數(shù)〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉，%,求證：/(x1)+f(x2)<2/

6.(24-25高三上?云南德宏?期末)已知函數(shù)/(x)=alnx-x+a3(aeR).

⑴若函數(shù)〃x)在x=2處的切線與直線2x-3y+l=0垂直，求實(shí)數(shù)°；

(2)若函數(shù)/(X)有極大值，且極大值不大于0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=x2+Mn(x+D(meR).

⑴當(dāng)機(jī)=-4時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)/'(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求加的取值范圍.

8.(2025?山西臨汾?一模)已知函數(shù)f(x)=e'-收.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=f(尤)在點(diǎn)處的切線方程；

⑵當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)+sinx-cosx在上的極值.

9.(24-25高三下?河北滄州?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=x-21n(x+l)+"b，aeR.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若x=l是函數(shù)f(x)唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型02導(dǎo)數(shù)與最值(含恒成立和有解問(wèn)題)

【解題規(guī)律?提分快招】

一、函數(shù)的最值

函數(shù)y=/(x)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)f{x}最小值為極小值與靠近極大值

的端點(diǎn)之間的最小者.

一般地，設(shè)y=/(x)是定義在的，山上的函數(shù)，y=/(x)在("Z,〃)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)y=/(x)在即，闈上

的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

(1)求y=/(尤)在〃)內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

(2)將丫=/(%)的各極值與/(㈤和/(〃)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是

對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

二、恒成立和有解問(wèn)題

1、若函數(shù)”可在區(qū)間。上存在最小值“X)1nm和最大值”尤%以，則

不等式°在區(qū)間。上恒成立o/⑴血>a；

不等式/(x)?a在區(qū)間。上恒成立o/⑴血>a；

不等式/(x)<6在區(qū)間。上恒成立o/(%)_<b；

不等式/(%)”在區(qū)間。上恒成立of⑺儂*<b；

2、若函數(shù)“X)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?加，〃)，則

不等式/(x)>。(或/(x)>a)在區(qū)間D上恒成立<=>/n>a.

不等式或在區(qū)間￡)上恒成立.

3、若函數(shù)/⑺在區(qū)間。上存在最小值/(力3和最大值即網(wǎng)可，則對(duì)不等式有解問(wèn)題有

以下結(jié)論：

不等式在區(qū)間。上有解=a</(x)111ax；

不等式在區(qū)間。上有解oaW6尤/；

不等式在區(qū)間￡>上有解1n；

不等式a2在區(qū)間。上有解血.；

4、若函數(shù)/(可在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?加，n),則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：

不等式或aW/(x))在區(qū)間。上有解

不等式6>或b2在區(qū)間D上有解

5、對(duì)于任意的國(guó)e[a,b],總存在々e[m,〃],使得〃當(dāng))4g^)o/㈤1rat4g(%)3;

6、對(duì)于任意的漓e[a,b],總存在％e[m,n],使得〃否"g(%)o"xj*2g(%)向”；

7、若存在石e[a,b],對(duì)于任意的々?[m,n],使得Vg(%)o/(%)1nhiV8(3二；

8、若存在％e[a,b],對(duì)于任意的々€加，,使得2g(%)="占^g(%)1mx；

9、對(duì)于任意的苦e[a,b],x2G[m,可使得“xjVg(%)。”占人(；

10、對(duì)于任意的再w[a,b],x2e[m,可使得“xj2g(%)o"網(wǎng)濡'g(xj1nM；

11、若存在西e[a,6],總存在X2?m,n],使得乳/)0，㈤111ta4g(%)1Mx

12、若存在再e[a,]，總存在％e[m,n],使得/(%)Wg(%)o皿2g(%)所.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三下?四川內(nèi)江?階段練習(xí))已知函數(shù)〃無(wú))=3辦2+(。一口元-Mx.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)/⑺在[L2]的最小值g(a).

2.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)”x)=x+alnx(aHO)的圖象的一條切線方程是y=2x-l.

⑴求a;

(2)若關(guān)于X的不等式/(X)〈加1M有解，求機(jī)的取值范圍.

3.(24-25高三上?湖北?期中)已知x=2為函數(shù)/(無(wú))=尤。-4」的極小值點(diǎn).

e

⑴求C的值；

kx

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=M，若對(duì)V%w(0,+8),3x2eR,使得/(不)-g?)20,求人的取值范圍.

e一

4.(24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=el+1x(x-a)(aeR),f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),

且/'(0)=0.

⑴求“X)的最值；

⑵求證：+lru+—x>2.

x2

5.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=廣"-6的最小值是0.

⑴求。；

（2）若實(shí)數(shù)加，"滿足mn=em-l+“In”，求mn的最小值.

6.（24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lnx+2x+,aeR）.

（1）討論函數(shù)/'（X）的單調(diào)性;

⑵若〃x）>2x-l+a在（1,y）上恒成立，求整數(shù)。的最大值.

7.（24-25高三下?北京?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=e'-“x-Jx2.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=〃”在（。,〃。））處的切線方程；

⑵若函數(shù)〃*）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

⑶若無(wú)）士-萬(wàn)廠+x+6,求的最大值.

21

8.（24-25IWJ二上,湖南常德,階段練習(xí)）已知/（%）=Q（X—lnx）H--------fa>0）,

XX

⑴討論八X）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)4=1時(shí)，證明/（力>廣（力+5對(duì)于任意的％42,+⑹成立.

（參考數(shù)據(jù)：In2=0.69,In2.3=0.83）

題型03導(dǎo)數(shù)與方程的根（含隱零點(diǎn)問(wèn)題）

【解題規(guī)律?提分快招】

一、隱零點(diǎn)問(wèn)題

隱零點(diǎn)問(wèn)題是函數(shù)零點(diǎn)中常見的問(wèn)題之一，其源于含指對(duì)函數(shù)的方程無(wú)精確解，這樣我們只能得到存在性

之后去估計(jì)大致的范圍（數(shù)值計(jì)算不再考察之列）.

基本步驟：

第1步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程/'（%）=0,并結(jié)合/（x）的單調(diào)性

得到零點(diǎn)的范圍;

第2步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)f\x)的正負(fù)，進(jìn)而得到/(%)的最值表達(dá)式;

第3步：將零點(diǎn)方程/''(%)=0適當(dāng)變形，整體代入/(%)最值式子進(jìn)行化簡(jiǎn)：

(1)要么消除/(x)最值式中的指對(duì)項(xiàng)

(2)要么消除其中的參數(shù)項(xiàng)；

從而得到了(x)最值式的估計(jì).

二、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［凡句上連續(xù)，且那么在開區(qū)間(a,。)內(nèi)至

少有函數(shù)/(%)的■個(gè)零點(diǎn)，即至少有■點(diǎn)光使得/(%)=0.

三、隱零點(diǎn)的同構(gòu)

實(shí)際上，很多隱零點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生的原因就是含有指對(duì)項(xiàng)，而這類問(wèn)題由往往具有同構(gòu)特征，所以下面我們看到

的這兩個(gè)問(wèn)題，它的隱零點(diǎn)代換則需要同構(gòu)才能做出，否則，我們可能很難找到隱零點(diǎn)合適的代換化簡(jiǎn)方

向.我們看下面兩例：一類同構(gòu)式在隱零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用的原理分析

xexxlnx

=<x+ex=>/(lnx)={x+lnx

ex—x—1x-lnx-1

/(%)=xexn/In尤)=一=>x2ex+In%=0

所以在解決形如ex=-^x+\nx=O,這些常見的代換都是隱零點(diǎn)中常見的操作.

X

四、一般思路

針對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”，求解取值范圍時(shí)，需要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)代入方程，把參數(shù)表示成含隱零點(diǎn)的函數(shù),

再來(lái)求原函數(shù)的極值或者最值問(wèn)題或證明不等式。構(gòu)建關(guān)于隱零點(diǎn)作為自變量的新函數(shù)，求函數(shù)值域或者

證明不等式恒成立問(wèn)題。在使用零點(diǎn)存在定理確定區(qū)間時(shí)往往存在困難，必要時(shí)使用放縮法取含參的特殊

值來(lái)確定零點(diǎn)存在區(qū)間。

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三下?河南?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=x+lnx—xlnx—2(0＜尤＜4).

(1)探究了(尤)在定義域內(nèi)是否存在極值點(diǎn)；

(2)求了(尤)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'(x-l)-ge"x2,a＜0.

⑴求曲線y=在點(diǎn)(o,/(o))處的切線方程；

⑵求了。)的極值；

⑶求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.(24-25高三下?山西?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=(x-G(x+l)+alnx.

⑴當(dāng)。=-2時(shí)，討論的單調(diào)性；

⑵記函數(shù)g(x)=〃x)-3x+l,己知g(尤)只有1個(gè)零點(diǎn)，求正整數(shù)。的最小值.

4.(24-25高三上?寧夏吳忠?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2sinx-x.

⑴當(dāng)xe[O,兀]時(shí)，/(x)<;n,求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

⑵若函數(shù)尸(無(wú))與小)的圖象關(guān)于點(diǎn)(今,寸稱，求尸(無(wú))的解析式；

⑶判斷函數(shù)g(x)=(x+l)〃x)+l在，，+J的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

5.(24-25高三上?天津西青?期末)已知函數(shù)/⑺=ei-ax-lnx(a>0).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)處的切線方程；

⑵求證：“X)有唯一極值點(diǎn)；

(3)若)(X)有唯一零點(diǎn)看,求證：1<%<2.

6.(2025?云南曲靖?一模)已知函數(shù)/(x)=e2'+(l—2a)e“一依(aeR).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求〃x)在尤=0處的切線方程；

⑵討論的單調(diào)性；

⑶若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

7.(24-25高三下?湖南岳陽(yáng)?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=6ix-lnx,g(x)=alnA-+一,。為實(shí)數(shù).

⑴當(dāng)°=1時(shí)，求〃力與g(x)的極值;

⑵是否存在aeR,使與g(x)均有2個(gè)零點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型04極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

【解題規(guī)律?提分快招】

即可視為極值點(diǎn)偏移考察

三、答題模板(對(duì)稱構(gòu)造)

若已知函數(shù)/(%)滿足/'(七)=/■(%),%為函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)，求證：/+馬<2%.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出/(%)的極值點(diǎn)x0;

假設(shè)此處/(x)在(7),/)上單調(diào)遞減，在(％,田))上單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)造/(無(wú))=f(x0+x)—f(x0-%)；

注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成2x)=/(x)-/(2x0-x)的形式.

(3)通過(guò)求導(dǎo)廣(x)討論歹(x)的單調(diào)性，判斷出/(幻在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出/(%+x)與/(%-x)

的大小關(guān)系；

假設(shè)此處F(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出F(x)>F(x0)=/(x0)-/(/)=0,從而得到：

X〉。時(shí),/(x0+x)>/(x0-x).

(4)不妨設(shè)玉</<々，通過(guò)/(x)的單調(diào)性，/(x1)=/(x2),/(x0+x)與的大小關(guān)系得出

結(jié)論；

接上述情況，由于X〉/時(shí)，/(/+X)〉/(%-X)且看</<%，/"(xj=/(尤2)，故

/(/)=/(x2)=f[x0+(%2-x0)]>f[x0-(x2-x0)]=/(2x0-x2),又因?yàn)橛?lt;x0，2/—<X。且

/(x)在(-8,%)上單調(diào)遞減，從而得到吃<2%；-々，從而斗+%2<2x()得證.

(5)若要證明了'(五(義)<0,還需進(jìn)一步討論七三與小的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而

得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)槎?々<2/，故土產(chǎn)<X°,由于

/(X)在(-8,/)上單調(diào)遞減，故/'(馮強(qiáng)人。.

研究f(x)的單調(diào)性與極值]數(shù)形結(jié)合

§

◎構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)F(x)F(x)=f(x)_f(2x0-x)

演

盥

研究并運(yùn)用F(x)的單調(diào)性化雙變量為單變量

運(yùn)用/'(X)的單調(diào)性脫去f利用=f(x2)

四、其他方法

1、比值代換

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的

比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的.設(shè)法用比值(一般用f表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即彳=土，化為

單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于/的函數(shù)問(wèn)題求解.

2、對(duì)數(shù)均值不等式

a—b/,、

------------(aA力)，

兩個(gè)正數(shù)。和。的對(duì)數(shù)平均定義：L(a,b)=hna-lnb

a(a=b).

對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：猴WL(a,b)4號(hào)(此式記為對(duì)數(shù)平均不等式)

取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立.

3、指數(shù)不等式

n

2-e

--------(mwri)

在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)〃=*，b=en,則片m-n-----------,根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下

em(m=ri)

—m.n

關(guān)系：e亍<E(a,b)<

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(23-24高三下?北京西城?期中)已知函數(shù)/(x)=x—Inx-a.

⑴若〃x)20,求。的取值范圍；

(2)證明：若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)七，％，則再々<1.

2.(23-24高三上?河北唐山?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-l)lnrr2+flx(aeR).

⑴若函數(shù)y=7'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍；

X+X2

(2)設(shè)為,無(wú)2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：!2>.

3.(24-25高三上?江蘇連云港?期末)己知函數(shù)〃x)=2尤+<2r2+xlnx,aeR.

⑴當(dāng)。=。時(shí)，求曲線y=f("在％=e處的切線方程；

⑵若“X)有兩個(gè)零點(diǎn)再，無(wú)2，且%>3%，證明：玉馬>斗.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=xlnx-x.

⑴求函數(shù)/(X)的最值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-o?+。有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作玉,馬,且玉＜%，求證：1叫+21ar2＞3.

5.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=e［依2(。＞0).

2

⑴當(dāng)a=?時(shí)，判斷了(x)在區(qū)間(L—)內(nèi)的單調(diào)性；

⑵若/(x)有三個(gè)零點(diǎn)%%，且玉＜/＜三.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：占+x2+x3＞3.

6.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=(尤-e-DeX-gef+e4.

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

%3X1

(2)若〃%)=/(%)=/(%)(玉＜%。3),求證：2＜e-l.

題型05導(dǎo)數(shù)與不等式

【解題規(guī)律?提分快招】

一、利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí))已知函數(shù)"X)=/+；尤(尤-eR),/(%)的導(dǎo)函數(shù)為f\x),

且，(0)=。

⑴求〃元)的最值；

,x|

(2)求證：e1-Inx+—x＞2.

x2

2.(24-25高三下?全國(guó)?開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=ln(x+l),g(x)=*(x>-l).

⑴比較〃無(wú))與g(尤)的大??；

11111111

⑵證明:ln3>--1--1---1---1---1---1---1---

357911131517

3.(24-25高三下?四川樂(lè)山?期末)已知函數(shù),(%)=卜”+中一1,且曲線丁=/(力在點(diǎn)(I"⑴)處的切線斜率

是e-1.

⑴求〃的值.

⑵證明：/(x)>0.

(3)證明：>inx-1.

4.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=獷⑺的極值點(diǎn).

⑴求。；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=W證明：g(無(wú))<1

5.(2025?山東日照?一模)已知函數(shù)/(x)=Gclnx.

⑴當(dāng)。>0時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)0<。<2時(shí),若曲線上的動(dòng)點(diǎn)尸到直線2x-y-lle=0距離的最小值為2&e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

①求實(shí)數(shù)。的值；

②求證：/(x)<er+cos.Y-2.

6.(24-25高三下?吉林長(zhǎng)春?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(尤)=ln尤-幺曰(aeR).

X+1

⑴討論了(X)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

〃1

(2)證明：V〃cN*,ln(n+l)>V—~~-；

仁21+1

2

⑶若關(guān)于尤的方程/(x)=(a+D尤-吟?有兩個(gè)不同實(shí)根々，%，求”的取值范圍，并證明：V2>e.

7.(24-25高三下?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=e*T,g(x)=Hnr-x(4eR).

⑴討論g(x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)-g(x)2x+l恒成立，求a的值;

(3)若。4%<X2，求證：e^2/一1>ln(%2+1)—也(再+1)。

題型06導(dǎo)數(shù)中其他雙變量問(wèn)題

【解題規(guī)律?提分快招】

一、雙變量不等式的處理策略

含兩個(gè)變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，

具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(24-25高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí))已知〃無(wú))=-ge2,4e'-iu-5.

⑴當(dāng)。=3時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,尤2.

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：/(x1)+/(%2)+%1+%2<0.

2.(24-25高三上?山西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(犬)=犬2-曲:+2111》,。€1^.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1"(1))處的切線方程；

(2)已知/(無(wú))有兩個(gè)極值點(diǎn)X”起,且占<%，

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)求"(占)-/伍)的最小值.

3.(24-25高三上?天津南開?期末)已知函數(shù)〃x)=xe\

⑴求曲線y=〃司在其零點(diǎn)處的切線方程；

⑵若方程/'(x)=x"M(x>0)有兩個(gè)解無(wú)|,尤2，且不<乙.

(i)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(ii)若演+包N二恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

e-2

4.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)=3*e2，‘-e'+x+2(aeR).

(1)若/'(x)是定義域上的增函數(shù)，求。的取值范圍;

(2)當(dāng)4=-g時(shí)，證明：x2f(ln.r)<4e1-2；

/⑺一/㈤

(3)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)石<々)，證明:

-eV1-e'2

5.(24-25高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=豈2,函數(shù)g(x)=%(x>0).

⑴若沒(méi)有任何一段區(qū)間使函數(shù)與函數(shù)g(x)同時(shí)單調(diào)遞增或同時(shí)單調(diào)遞減，求機(jī)的取值范圍;

(2)若方程g(x)=l有兩個(gè)不同的解占.

①求加的取值范圍；

②若42>2'，證明：玉+%2>31n2.

6.(24-25高三上?內(nèi)蒙古?期末)在我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)模型十分重要.已知若

/(x)=mex+ox2+&v+cP(4%)與。(%，%)在上，則有，/(、\.現(xiàn)有

mLAh±^\kpQ

/(x)=mex-x2-2x(m^0),回答下列問(wèn)題:

(1)當(dāng)機(jī)<0時(shí)，證明/［七三］>原2；

⑵“X)上有4(%,%),8(々,%)<(七,力)三點(diǎn)(占,3,三均不為。且工產(chǎn)馬w%)，滿足為，%，工3成等差數(shù)列且

x3=3項(xiàng).

(i)若不存在A8,C三點(diǎn)，使%,%，％成等差數(shù)列，求機(jī)的取值范圍;

(ii)若〃2<0,再+加=0,g(x)=J,證明：g(m)+g(-/〃)>2.

題型07導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列

【解題規(guī)律?提分快招】

導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量,

通過(guò)多次求和(常常用到裂項(xiàng)相消法求和)達(dá)到證明的目的，此類問(wèn)題一般至少有兩問(wèn)，己知的不等式常

由第一問(wèn)根據(jù)特征式的特征而得到.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2025?云南大理?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=lnx-〃a+1.

⑴若加=0,求函數(shù)“X)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程;

(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

+7<e

(3)求證：VMGN,,"V2]'

2.(2025高三下?全國(guó)?專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)。>0,函數(shù)/(x)=e，-ax-l(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及最小值；

⑵若/(%)>0對(duì)任意的尤eR恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

(3)證明：ln[l+2]+ln(l+4]+ln(l+-^-1+…+ln1+.,2"-------.

I2x3)(3x5)5x9)[(2K-'+1)(2Z,+1)JV'

3.(24-25高三下?安徽?階段練習(xí))已知函數(shù)f(無(wú))=x+ln(lr).

⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

⑵若數(shù)列｛4｝滿足q=；,a“M=/(a“)，記S”為數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和.求證:

①當(dāng)〃上2時(shí)，一1<%<0；

3

②當(dāng)〃之1時(shí)，S>——2In2.

2

9

4.(24-25高三上?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=31口%+依2-5%+3.

⑴討論函數(shù)〃%)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)?=：時(shí)，數(shù)列何｝滿足：求證：｛為｝的前〃項(xiàng)和滿足“<S“<〃+|.

5.(24-25高三下?江蘇?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(%)=8少+加-1.

(1)當(dāng)。=g時(shí)，證明：/(x)20；

⑵若/(%)在無(wú)金[0,y)上為增函數(shù)，求Q的取值范圍；

(3)證明：白

ztan-

?>題里通關(guān)?沖高考<>

一、解答題

1.(24-25高三上?湖北武漢?期末)已知函數(shù)=］(：；“).

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)x<l時(shí)，/(%)<!,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.(2024.四川成都.模擬預(yù)測(cè))設(shè)/⑺=9一，(2尤2+4依+4°).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求〃x)的極小值；

⑵若的極大值為4,求a的值.

3.(2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=e'(lnx—a).

⑴若曲線y=/(x)在點(diǎn)(L〃l))處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)。的值;

⑵若函數(shù)“X)在(I”內(nèi)存在極值，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

4.(24-25高三上?廣西河池?期末)已知函數(shù)〃尤)=(x-l)e'-|尤2+1.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求的極值；

⑵當(dāng)。>1時(shí)，設(shè)看,無(wú)2為“X)的極值點(diǎn)，若/(占)+〃々)41-］，求。的取值范圍.

5.(24-25高三上?河南漂河?期末)已知函數(shù)/(x)=a(x+a)-lnx.

⑴討論函數(shù)g(x)=/(x)-/在區(qū)間1,e2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

3

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>21na+-

6.(24-25高三下?湖南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-a)e，+a.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若aVl,證明：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)+ex>x+\wc+2.

7.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)=其中。>0.

⑴若〃x)在(0,2］上單調(diào)遞增，求”的取值范圍；

⑵當(dāng)a=l時(shí)，若玉+z=4且0＜占＜2,比較/(石)與/(9)的大小，并說(shuō)明理由

8.(2024?四川宜賓.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/"(x)=、-xliu,g(x)=a(x+liu)+o2-鼻.

⑴求〃x)過(guò)原點(diǎn)的切線方程；

(2)求證：存在使得/(x"g(x)在區(qū)間(1,+⑹內(nèi)恒成立，且/(x)=g(x)在(1,+刃)內(nèi)有解

9.(2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃%)=罐+b一2-獲"＞0且"I),當(dāng)左=。時(shí)，/(x)＞0.

⑴求。；

⑵若“0)為〃尤)的極小值，求左的取值范圍；

10.(24-25高三上?湖南婁底?期末)已知函數(shù)〃x)=e*,g(x)=lnx.

⑴證明：函數(shù)y=〃x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線＞=苫對(duì)稱；

(2)設(shè)尸(x)=/(x)g(x)-L

(i)判斷函數(shù)尸(x)的單調(diào)性；

(ii)證明：VXG(2,+OO),.(x+1)＞尤2+*—:.

ee

11.(24-25高三上?河北?期末)已知函數(shù)/(x)=Mn(x+l)-sinAx,左wN*,awR.

(1)若左=1,函數(shù)在0弓上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)，的取值范圍；

⑵若a=l,k=2,求函數(shù)〃x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

12.(24-25高三上?湖北襄陽(yáng)?期末)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+mln(x+l)(MeR).

⑴當(dāng)帆=-4時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求加的取值范圍；

⑶若函數(shù)〃力在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

13.(23-24高三下?廣東東莞?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x2+ar-xlnx的導(dǎo)函數(shù)為7''(%),若/'(x)存在兩

個(gè)不同的零點(diǎn)