2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第八章 立體幾何初步 8.6 空間直線、平面的垂直 8.6.2 第1課時(shí) 直線與平面垂直的判定（教學(xué)用書）教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2第1課時(shí)直線與平面垂直的判定（教學(xué)用書）教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修第二冊(cè)課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容分析哈嘍，親愛的同學(xué)們！今天咱們來聊聊高中數(shù)學(xué)中一個(gè)超級(jí)有趣的話題——立體幾何初步里的“空間直線、平面的垂直”。咱們今天要學(xué)習(xí)的，是教材里8.6節(jié)“直線與平面垂直的判定”。這里，我們會(huì)用到之前學(xué)過的點(diǎn)、線、面等基本概念，還會(huì)涉及到一些新的定理和性質(zhì)。

別看這章內(nèi)容看起來有點(diǎn)兒復(fù)雜，其實(shí)只要咱們把基礎(chǔ)打牢，就能輕松駕馭。比如說，咱們會(huì)通過幾個(gè)具體的例子，來探究直線和平面垂直的條件，掌握一些判定定理。這些知識(shí)，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有用，在生活中的很多場(chǎng)景也能用到哦！二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.**邏輯推理能力**：學(xué)會(huì)運(yùn)用邏輯推理來探究直線與平面垂直的條件，形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維。

2.**空間想象能力**：通過空間圖形的構(gòu)建和觀察，提高對(duì)空間結(jié)構(gòu)的理解能力。

3.**數(shù)學(xué)建模能力**：能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。

4.**數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)**：認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的重要性，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

同學(xué)們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸了立體幾何的基本概念，包括點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系。此外，大家對(duì)平面幾何中的線面垂直的概念也有一定的了解，這是今天學(xué)習(xí)直線與平面垂直判定的基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣因人而異，有的同學(xué)對(duì)幾何圖形的空間關(guān)系特別感興趣，喜歡通過動(dòng)手操作來理解概念；而有的同學(xué)可能更傾向于通過邏輯推理來解決問題。在能力上，同學(xué)們已經(jīng)具備一定的抽象思維能力，能夠理解和應(yīng)用基本的幾何定理。學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，有的同學(xué)可能更喜歡通過視覺化的圖形來學(xué)習(xí)，有的則更傾向于通過文字和符號(hào)進(jìn)行推理。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定時(shí)，同學(xué)們可能會(huì)遇到以下困難：一是對(duì)空間想象能力的要求較高，對(duì)于一些空間概念的理解可能不夠直觀；二是邏輯推理的過程較為復(fù)雜，需要較強(qiáng)的抽象思維能力；三是判定條件的使用可能不夠熟練，容易混淆不同的判定方法。此外，對(duì)于一些邏輯推理能力較弱的同學(xué)來說，理解并運(yùn)用定理可能會(huì)比較吃力。四、教學(xué)方法與策略1.采用講授與討論相結(jié)合的教學(xué)方法，先通過生動(dòng)的例子和直觀的圖形介紹直線與平面垂直的基本概念和判定定理，隨后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，加深理解。

2.設(shè)計(jì)一系列實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，如使用直尺和三角板在空間中構(gòu)建不同的圖形，讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，增強(qiáng)空間感。

3.利用多媒體技術(shù)展示空間幾何的動(dòng)態(tài)變化，通過3D動(dòng)畫或軟件模擬，幫助學(xué)生直觀理解復(fù)雜的空間關(guān)系。

4.設(shè)計(jì)角色扮演游戲，讓學(xué)生分別扮演直線和平面，通過互動(dòng)體驗(yàn)垂直關(guān)系的判定。五、教學(xué)流程**用時(shí)：45分鐘**

1.**導(dǎo)入新課**

-詳細(xì)內(nèi)容：首先，我會(huì)用一幅描繪建筑工地上工人用鉛錘垂直測(cè)量墻面的圖片來吸引學(xué)生的注意力。接著，我會(huì)提問：“同學(xué)們，你們知道鉛錘是如何確保墻壁垂直的嗎？”通過這個(gè)問題，引出今天要學(xué)習(xí)的主題——直線與平面垂直的判定。然后，我會(huì)簡(jiǎn)要回顧平面幾何中直線與直線垂直的概念，并指出在立體幾何中，直線與平面的關(guān)系更為復(fù)雜。

2.**新課講授**

-第一條：我會(huì)展示幾個(gè)簡(jiǎn)單的空間幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察并總結(jié)直線與平面垂直的基本特征。例如，我會(huì)提問：“觀察圖中的直角梯形，你能找出哪條直線與哪個(gè)平面垂直？”通過這樣的問題，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系的存在。

-第二條：接著，我會(huì)介紹直線與平面垂直的判定定理，并通過具體的例子進(jìn)行講解。比如，我會(huì)使用一個(gè)長(zhǎng)方體模型，演示如何根據(jù)定理判斷一條直線是否與一個(gè)平面垂直。

-第三條：在講解過程中，我會(huì)強(qiáng)調(diào)判定定理的應(yīng)用，并舉例說明在不同場(chǎng)景下如何靈活運(yùn)用定理。例如，我會(huì)提出一個(gè)實(shí)際問題：“一個(gè)房間的長(zhǎng)、寬、高分別是5米、4米和3米，如何確定房間內(nèi)的一個(gè)角是直角？”讓學(xué)生思考并解答。

3.**實(shí)踐活動(dòng)**

-第一條：我會(huì)讓學(xué)生分組，使用直尺和三角板在紙上繪制空間圖形，如長(zhǎng)方體或正方體，并嘗試找出其中的垂直關(guān)系。

-第二條：我會(huì)提供一些實(shí)際問題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，如計(jì)算一個(gè)直角三角形的面積，其中一條直角邊與一個(gè)平面垂直。

-第三條：我會(huì)組織一個(gè)小組競(jìng)賽，看哪個(gè)小組能最快找出給定空間圖形中所有垂直關(guān)系，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4.**學(xué)生小組討論**

-第一方面內(nèi)容舉例回答：在討論“如何判斷一條直線與一個(gè)平面垂直”時(shí)，學(xué)生可能會(huì)回答：“首先，我們需要找到平面上的兩條相交直線，然后判斷這條直線是否與這兩條直線都垂直?！?/p>

-第二方面內(nèi)容舉例回答：討論“判定定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用”時(shí)，學(xué)生可能會(huì)說：“例如，在建筑設(shè)計(jì)中，我們可以利用判定定理來確保結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性?！?/p>

-第三方面內(nèi)容舉例回答：在討論“如何解決實(shí)際問題”時(shí)，學(xué)生可能會(huì)舉例：“如果我們需要確定一個(gè)房間的墻角是否是直角，我們可以使用直尺和三角板來測(cè)量，如果兩條相鄰的邊垂直，那么這個(gè)角就是直角?！?/p>

5.**總結(jié)回顧**

-內(nèi)容：在課程結(jié)束前，我會(huì)引導(dǎo)學(xué)生回顧今天所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，包括直線與平面垂直的基本概念、判定定理以及實(shí)際應(yīng)用。我會(huì)強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重難點(diǎn)，如空間想象能力和邏輯推理能力的重要性。最后，我會(huì)提問學(xué)生：“你們認(rèn)為在日常生活中，如何運(yùn)用今天所學(xué)的知識(shí)來解決實(shí)際問題？”通過這樣的總結(jié)，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。六、教學(xué)資源拓展1.**拓展資源**：

-**空間幾何的歷史背景**：介紹空間幾何的發(fā)展歷程，從古希臘的歐幾里得到現(xiàn)代的幾何學(xué)，讓學(xué)生了解空間幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要性。

-**空間幾何的應(yīng)用實(shí)例**：收集一些空間幾何在工程、建筑、物理學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，如建筑設(shè)計(jì)中的空間結(jié)構(gòu)分析、物理學(xué)中的三維運(yùn)動(dòng)軌跡等。

-**空間幾何的趣味問題**：提供一些具有挑戰(zhàn)性的空間幾何趣味問題，如著名的“三等分角”問題，激發(fā)學(xué)生的探索精神。

2.**拓展建議**：

-**閱讀推薦**：推薦學(xué)生閱讀一些關(guān)于立體幾何的科普書籍，如《幾何原本》、《幾何學(xué)的藝術(shù)》等，以拓寬學(xué)生的知識(shí)視野。

-**實(shí)驗(yàn)操作**：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的空間幾何實(shí)驗(yàn)，如使用三維建模軟件構(gòu)建空間圖形，或使用物理實(shí)驗(yàn)器材進(jìn)行空間幾何的直觀演示。

-**在線資源**：指導(dǎo)學(xué)生訪問一些在線教育資源平臺(tái)，如國(guó)家地理空間數(shù)據(jù)云平臺(tái)、數(shù)學(xué)教育資源網(wǎng)站等，獲取更多與空間幾何相關(guān)的學(xué)習(xí)資料。

3.**全面知識(shí)點(diǎn)**：

-**空間直線的概念**：包括空間直線的定義、性質(zhì)、表示方法等。

-**空間平面的概念**：包括空間平面的定義、性質(zhì)、表示方法等。

-**直線與平面的位置關(guān)系**：包括直線與平面的相交、平行、垂直等關(guān)系。

-**空間幾何的度量**：包括空間距離、角度、體積等度量方法。

-**空間幾何的證明方法**：包括演繹推理、歸納推理、反證法等證明方法。

4.**實(shí)用性建議**：

-**結(jié)合實(shí)際案例**：在教學(xué)中，結(jié)合實(shí)際案例講解空間幾何知識(shí)，如建筑圖紙中的空間結(jié)構(gòu)分析、城市規(guī)劃中的三維模型構(gòu)建等。

-**跨學(xué)科學(xué)習(xí)**：鼓勵(lì)學(xué)生將空間幾何知識(shí)與物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等其他學(xué)科知識(shí)相結(jié)合，進(jìn)行跨學(xué)科學(xué)習(xí)。

-**項(xiàng)目式學(xué)習(xí)**：設(shè)計(jì)一些項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動(dòng)，如設(shè)計(jì)一個(gè)三維模型、解決一個(gè)空間幾何問題等，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。七、課后作業(yè)1.**題目**：已知直線AB和直線CD在同一平面內(nèi)，且AB垂直于CD。若點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，求證：EF垂直于平面ABCD。

**答案**：證明：由于AB垂直于CD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，我們知道直線AB垂直于平面ABCD。又因?yàn)辄c(diǎn)E在直線AB上，所以點(diǎn)E也在平面ABCD內(nèi)。同理，點(diǎn)F在直線CD上，也在平面ABCD內(nèi)。因此，EF作為平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線，根據(jù)平面幾何中的垂直判定定理，EF垂直于平面ABCD。

2.**題目**：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1垂直于平面ABCD，求證：BC1垂直于平面A1B1C1D1。

**答案**：證明：由于AA1垂直于平面ABCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，AA1垂直于平面ABCD內(nèi)的任意直線。又因?yàn)锽C1是正方體A1B1C1D1的棱，所以BC1垂直于平面ABCD。由于正方體的性質(zhì)，AA1也垂直于BC1。因此，BC1垂直于平面A1B1C1D1。

3.**題目**：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB垂直于平面ABC，求證：A1B1垂直于平面A1B1C1。

**答案**：證明：由于AB垂直于平面ABC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，AB垂直于平面ABC內(nèi)的任意直線。又因?yàn)锳1B1是直三棱柱A1B1C1的棱，所以A1B1垂直于平面ABC。由于直三棱柱的性質(zhì)，AB也垂直于A1B1。因此，A1B1垂直于平面A1B1C1。

4.**題目**：在空間四邊形ABCD中，已知AB垂直于平面BCD，求證：BC垂直于AD。

**答案**：證明：由于AB垂直于平面BCD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，AB垂直于平面BCD內(nèi)的任意直線。又因?yàn)锽C是平面BCD內(nèi)的直線，所以AB垂直于BC。同理，由于AB垂直于AD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，AD垂直于平面BCD。因此，BC垂直于AD。

5.**題目**：在正四面體ABCD中，已知AB垂直于平面ACD，求證：BD垂直于平面ABC。

**答案**：證明：由于AB垂直于平面ACD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，AB垂直于平面ACD內(nèi)的任意直線。又因?yàn)锽D是正四面體ABCD的棱，所以BD垂直于平面ACD。同理，由于AB垂直于AD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，AD垂直于平面ACD。因此，BD垂直于平面ABC。八、內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-空間直線與平面的垂直關(guān)系

-直線與平面垂直的判定定理

-空間幾何圖形的構(gòu)建與性質(zhì)

②關(guān)鍵詞：

-垂直

-判定定理

-空間幾何圖形

-交點(diǎn)

-平面

③重點(diǎn)句子：

-“直線與平面垂直，當(dāng)且僅當(dāng)直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離相等?！?/p>

-“若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直?！?/p>

-“在空間幾何中，直線與平面的垂直關(guān)系可以通過判定定理來確認(rèn)?！?/p>

①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-空間直線的表示方法

-空間平面的表示方法

-空間直線與平面的位置關(guān)系

②關(guān)鍵詞：

-表示方法

-位置關(guān)系

-直線方程

-平面方程

-交點(diǎn)坐標(biāo)

③重點(diǎn)句子：

-“空間直線可以用兩點(diǎn)式或參數(shù)式表示?！?/p>

-“空間平面可