高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版+解析）

第11講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

［考情分析］高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查,

屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的

第（1）問(wèn)的形式考查，屬中檔題.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：空間直線、平面位置關(guān)系的判定

★空間點(diǎn)、直線、平面之間的彳立置關(guān)系

?考點(diǎn)二：空間平行、垂直關(guān)系

考點(diǎn)一：空間直線、平面位置關(guān)系的判定

判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

（1）根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問(wèn)題.

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行

判斷.

規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相

關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立.

【例1】（多選）（2023?廣州模擬）已知直線與平面a有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.平面a內(nèi)存在直線/與直線優(yōu)平行

B.平面a內(nèi)存在直線/與直線機(jī)垂直

C.存在平面-與直線相和平面a都平行

D.存在過(guò)直線機(jī)的平面￡與平面a垂直

【變式1】（2024?吉林白山?二模）已知心〃為兩條不同的直線，名￡為兩個(gè)不同的平面，且機(jī)，

則下列說(shuō)法正確的是（）

A."/〃機(jī)"是"々//尸"的充分不必要條件

B.加"是的必要不充分條件

C.若卻“異面，則a,6有公共點(diǎn)

D.若d/有公共點(diǎn)，則/,7〃有公共點(diǎn)

【變式2】（2024?江西鷹潭?一模）設(shè)。、6是兩條不同的直線，口是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正

確的是（）

A.若a//6,alia,則6//aB.若aJ_6，aLa,b1/3,則（z_L6

C.若aL/3,則a//aD.若&_L￡,alia,貝

【變式3］（22-23高三上?河南安陽(yáng)?階段練習(xí)）已知平面。，夕交于直線/,直線加，九滿足加〃￡,

〃￡且"?_L〃，貝!J（）

A.a，/3B.nA.aC.m//lD.m///3

考點(diǎn)二：空間平行、垂直關(guān)系

平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

面面平行的性質(zhì)

面面垂直的判定

面面垂直的性質(zhì)

考向1平行、垂直關(guān)系的證明

規(guī)律方法（1）證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.

（2）證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.

【例2】（2023?全國(guó)甲卷）如圖，在三棱柱ABC—481G中，4CJ_平面ABC,ZACB=9Q°.

（1）證明：平面ACGAi_L平面881clC；

（2）設(shè)AAi=2,求四棱錐ALBBCIC的高.

【變式1】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知私尸是兩個(gè)不同的平面，儀，是平面以月外兩條不同的直線，給出

四個(gè)條件：?all（3.③“//￡；?mVa,以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填

寫正確推理與證明的序號(hào)）

(1)已知②③④,則①成立

(2)已知①③④,則②成立

已知①②④,則③成立

(4)已知①②③,則④成立

【變式2】（23-24高三上?遼寧?期末）如圖，在五棱錐尸-MCDE中，24,平面ABCDE,AB//CD,

ACHED,AEIIBC,ZABC=45。，AB=2也,BC=2AE=4.

⑴求證：平面PCD_L平面PAC；

（2）已知直線尸8與平面PCD所成的角為30。，求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

考向2翻折問(wèn)題

翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于"折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、

面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的

關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.

易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立

足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.

【例3】（多選）（2023?山東名校大聯(lián)考）如圖，在矩形ABC。中，AB^2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將△AOE沿

直線。E翻折成△AbDE.若M為線段4c的中點(diǎn)，則在△ADE翻折的過(guò)程中，下面四個(gè)命題中正確的是（）

A.8M的長(zhǎng)是定值B.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上

C.存在某個(gè)位置，使QE_LACD.4不在底面8CQ上時(shí)，MB〃平面4DE

【變式1］（多選）（23-24高三上?福建莆田?階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2石的正方形AEFC中，B為E尸中

點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB,3c將△ABEqBCF翻折，使點(diǎn)E,尸重合，記為點(diǎn)尸，翻折后得到三棱錐尸-ABC,則

3

A.三棱錐尸-ABC的體積為大

2

B.直線以與直線BC所成角的余弦值為。

C.直線上4與平面PBC所成角為7:T

D.三棱錐P-ABC外接球的表面積為19兀

【變式2］（多選）（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）M,N分別為菱形ABC。的邊BC,C。的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)

角線AC折起，使點(diǎn)。不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的有（）

A.MN〃平面ABO

B.異面直線AC與MN所成的角為定值

C.設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為a,NCft4=60。，當(dāng)二面角O-AC-B為120。時(shí)，棱錐O-ABC的外接球表面

7

積為工兀/

O

D.若存在某個(gè)位置，使得直線與直線8c垂直，則0ABe的取值范圍是［。片J

【變式3］（多選）（23-24高三上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，平面四邊形ABC。中，△BCD是等邊三角

形，ABLBDSLAB=BD^2,M是A。的中點(diǎn).沿2。將△BCD翻折，折成三棱錐C-A5D,翻折過(guò)程

中下列結(jié)論正確的是（）

28冗

A.當(dāng)平面平面8OC時(shí)，三棱錐C-ABD的外接球的表面積是亍

B.棱C。上存在一點(diǎn)N,使得MN〃平面ABC

C.存在某個(gè)位置，使得CM與2。所成角為銳角

D.三棱錐C-的體積最大時(shí)，二面角C-AD-3的正切值為"

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（23-24高三上?江蘇南京?期中）設(shè)加，n,/是三條不同的直線，。，B,7是三個(gè)不同的平面，有下

列命題中，真命題為（）

A.若mHn,mlla,則〃//aB.若加_L〃，M±/,則根J_/

C.若mJLa,miln,則〃_LaD.若。_L/?,0工y,則。_17

2.（2024?山東煙臺(tái)?一模）設(shè)〃力為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若。//a,b//a,貝！|a//6

B.若與a所成的角相等，則a〃b

C.若<z_L￡,a〃〃夕，貝心_L力

D.若a_L,,4_La,》_L#,貝

3.（22-23高三下?河北承德?階段練習(xí)）已知小，"是兩條不同的直線，a,B,7是三個(gè)不同的平面，則

下列正確的是（）

A.若in//a,nila,貝“〃z〃/B.若<z_L7,尸_L7,則or〃6

C.若mJLa,n±a,則D.若mlla,ml![3,則a〃￡

4.（2023?河南新鄉(xiāng)?二模）在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M,N,。分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直

5.（2023?浙江嘉興?二模）已知正方體ABC。-4月￡。的棱長(zhǎng)為2,尸為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足AP/平面

\BD,過(guò)AB作與”平行的平面，與用G交于點(diǎn)Q,則CQ=（）

A.1B.72C.6D.V5

6.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A冉GR中，E為線段AB上的點(diǎn)，且

訴=3,點(diǎn)尸在線段2E上,則點(diǎn)尸到直線AD距離的最小值為（）

儲(chǔ)

7.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知正方體ABC。-A耳6。的棱長(zhǎng)為4,M為棱DC的中點(diǎn)，N為側(cè)面8G

的中心，過(guò)點(diǎn)M的平面。垂直于,則平面a截正方體AG所得的截面面積為（）

A.4（A/5+5/2）B.2A/3

C.5也D.4n

8.（22-23高三?江西?期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-中，點(diǎn)M,N滿足

QN=gB,其中4〃40,1）,在下列說(shuō)法中正確的是（）

①存在4〃e（0,1）,使得BM〃口N

②存在4〃40,1）,使得肋V，平面24c

③當(dāng)九=〃=g時(shí)，MV取最小值

④當(dāng)〃=：時(shí)，存在2e（0,l）,使得ZZRWN=90°

A,①②B.②③C.③④D.②④

二、多選題

1.（2023?安徽安慶?三模）如圖，已知四邊形A3。,AB。是以8。為斜邊的等腰直角三角形，AABD為等

邊三角形，BD=2,將△ABD沿對(duì)角線3D翻折到在翻折的過(guò)程中，下列結(jié)論中正確的是（）

A.BDLPC

B.。尸與3C可能垂直

c.四面體尸&R的體積的最大值是"

3

D.直線DP與平面BCD所成角的最大值是45。

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形ABCD中，XABC=90°,AB=4,CD=3,BC=6AB!ICD,

產(chǎn)在CD上，E,G在AB上，BE=CF=AG=1.將△ADG沿直線DG翻折至△PDG的位置，將四邊形

A.尸￡）與NP所成的角為30。

B.平面GDP//平面瓦

C.直線尸尸與平面PGD所成的角為45。

D.四棱錐P—EEDG的體積占巨

3

3.（2023?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在44BC中，=y,AB=6,BC=1,過(guò)AC中點(diǎn)M的直線/與

線段AB交于點(diǎn)N.將AAW沿直線/翻折至△AMV,且點(diǎn)A在平面3CW內(nèi)的射影H在線段8C上，連

接A"交/于點(diǎn)。，。是直線/上異于。的任意一點(diǎn)，則（）

A.ZA'DH>ZA'DC

B.ZA'DH<ZAOH

c.點(diǎn)。的軌跡的長(zhǎng)度為f

6

D.直線AO與平面BCMN所成角的余弦值的最小值為8-—13

三、填空題

1.（22-23高三?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）若直線/與直線相垂直，根平面a,貝心與a的位置關(guān)系是.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為.

（1）不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；

（2）若點(diǎn)A,B,C,。共面，點(diǎn)A,B,C,E共面，則A,B,C,D,E共面；

（3）若直線a,6共面，直線a,c共面，則直線6,c共面；

（4）依次首尾相接的四條線段必共面.

3.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)加，〃是兩條不同的直線，4是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命

題:

①若機(jī)_La,n^a,則

②若〃m±a,〃回￡,則a_L。；

③若a回/，mua,則加回夕；

④若機(jī)_La,相，￡,則夕.

其中正確命題的序號(hào)有.

四、解答題

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,對(duì)角線

4。,血交于點(diǎn)。,尸。，平面98,平面a是過(guò)直線A3的一個(gè)平面，與棱PC,尸。交于點(diǎn)瓦尸，且

AB

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在正方體中，E和尸分別為BC和8月的中點(diǎn).

⑴判斷直線所和直線4。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）判斷直線AB,和直線C2的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3.（23-24高三上?福建龍巖?期中）如圖，在正三棱錐P-ABC中，。及M,N分別為PC,尸AAB,3c的中

⑴求證：四邊形DEMN為矩形.

⑵若四邊形。為正方形，求直線3C與平面PAC所成角的正弦值.

4.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，四面體ABC。中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ABDC,E為AC

的中點(diǎn).

D

(1)證明：平面BED_L平面AC。；

(2)設(shè)AB=BD=2,NAC3=60。，點(diǎn)尸在BD上；

①點(diǎn)P為中點(diǎn)，求CF與AB所成角的余弦值；

②當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求C尸與平面所成的角的正弦值.

5.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))利用定義法、向量法證明直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一

個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.

第11講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

［考情分析］高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查,

屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的

第（1）問(wèn)的形式考查，屬中檔題.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一*空間直線、平面位置關(guān)系的判定

★空間點(diǎn)、直線、平面之間的彳立置關(guān)系

?考點(diǎn)二：空間平行、垂直關(guān)系

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：空間直線、平面位置關(guān)系的判定

判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

（D根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問(wèn)題.

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行

判斷.

規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相

關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立.

【例1】（多選）（2023?廣州模擬）已知直線機(jī)與平面a有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.平面a內(nèi)存在直線/與直線機(jī)平行

B.平面a內(nèi)存在直線/與直線機(jī)垂直

C.存在平面P與直線m和平面a都平行

D.存在過(guò)直線機(jī)的平面/與平面a垂直

【答案】BD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線機(jī)與a相交，且平面a內(nèi)存在直線/與直線機(jī)平行，由于亦ta,則加〃a,

這與直線相與a相交矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，若mUa,則在平面a內(nèi)必存在/與直線機(jī)垂直；若直線機(jī)與a相交，設(shè)如圖所

示，

p

若相_La,且/u%則〃z_L/；若相與a斜交，過(guò)直線相上一點(diǎn)尸（異于點(diǎn)A）作尸8_La,垂足為點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A

作直線/,使得/J_48,因?yàn)镻8J_a,/U*則/_LP3,又因?yàn)長(zhǎng)LA8,PB^AB=B,PB,4BU平面以8,所

以△平面PAB,

因?yàn)?"U平面E48,所以/J_nt,

綜上所述，平面a內(nèi)存在直線/與直線相垂直，B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線7"與平面a的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)A,假設(shè)存在平面夕，使得a〃「且相〃夕，

過(guò)直線機(jī)作平面力使得因?yàn)楦ㄏΓ?Uy,yC0=l,則，〃/n,

因?yàn)閍〃B，記aCy=w,又因?yàn)?口夕=/,貝!I"〃/,

因?yàn)樵谄矫妗穬?nèi)過(guò)點(diǎn)A有且只有一條直線與直線/平行，且Ad"，故相，"重合，

所以mUa,但根不一定在平面a內(nèi)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，若ni_La,則過(guò)直線機(jī)的任意一個(gè)平面都與平面a垂直，

若機(jī)與a不垂直，設(shè)直線機(jī)與平面a的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)A,

則過(guò)點(diǎn)A有且只有一條直線/與平面a垂直，記直線/,機(jī)所確定的平面為6則aJ_￡,D正確.

【變式1】（2024?吉林白山?二模）己知/,〃1為兩條不同的直線，d6為兩個(gè)不同的平面，且/_La,相，力，

則下列說(shuō)法正確的是（）

A."/〃加"是"a〃?”的充分不必要條件

B."/，加"是"a，尸"的必要不充分條件

C.若/，機(jī)異面，則名月有公共點(diǎn)

D.若d尸有公共點(diǎn)，則卻〃有公共點(diǎn)

【答案】C

【分析】對(duì)于A,推理說(shuō)明"/〃加"是"a//尸"的必要條件即可判斷；對(duì)于B,推理說(shuō)明"/L""是

的充分條件即可判斷；對(duì)于C,通過(guò)反證法易判斷命題正確；對(duì)于D,由a,6有公共點(diǎn)和題設(shè)條件，易得

/，加可相交或異面即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,由c//〃，Ua可得必萬(wàn)，又〃故得即"/〃加"是"￡〃夕"的必要條件，故

A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由機(jī)_L￡,/_!_根可得/u,或/〃尸，當(dāng)/u/時(shí)，因/_La,則

當(dāng)/〃△時(shí)，經(jīng)過(guò)/和平面月內(nèi)一點(diǎn)可確定平面九且7c￡=/，則//〃，由可得?1.a,同理可得&，乃,

即加"是的充分條件，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,運(yùn)用反證法說(shuō)明，假設(shè)a,〃沒(méi)有公共點(diǎn)，貝〃尸，又由/，見(jiàn)機(jī)，力可得/〃加，這與/,相異面矛盾，

故假設(shè)不成立，即C項(xiàng)正確；

對(duì)于D,由a,￡有公共點(diǎn)可得a,夕相交，因/_Ld〃?JL￡,則/，根相交或異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式2］（2024?江西鷹潭?一模）設(shè)。、匕是兩條不同的直線，a、P是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正

確的是（）

A.若q//6,alia,則6//。B.若a_L6，aLa,b，0,則

C.若a_L#,a，B,則D.若a_L#,alia,則。_L/?

【答案】B

【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷ACD,利用空間向量判斷線面位置關(guān)系，從而

判斷B,由此得解.

【詳解】對(duì)于A,若a//6,alia,則有可能匕ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a_l_a,b1/3,則直線。,卜的方向向量a,B分別為平面a,△法向量，

又。_1力，即￡_LB，所以故B正確；

對(duì)于C,若。，乃，aVp,則有可能aua,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若al?月，alia,則有可能au4,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【變式3】（22-23高三上?河南安陽(yáng)?階段練習(xí)）已知平面“，夕交于直線/,直線加，w滿足相〃口，

"_L。且〃?J_〃，貝!］（）

A.aL/3B.nVaC.m//lD.m//（3

【答案】C

【分析】利用空間值線面位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】a,夕相交，?,夕的二面角不僅僅是直角，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妗?，夕交于直線/,C/3,顯

然“不垂直與a,故B錯(cuò)誤;因?yàn)榍蚁鄤t〃〃/月或機(jī)u/7,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；又因?yàn)楦–,平面

a,夕交于直線/,則相〃/,故C選項(xiàng)正確.

故選：C

考點(diǎn)二：空間平行、垂直關(guān)系

平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

面面平行的性質(zhì)

面面垂直的判定

面面垂直的性質(zhì)

考向1平行、垂直關(guān)系的證明

規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.

(2)證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.

【例2】(2023?全國(guó)甲卷)如圖，在三棱柱ABC—A181G中，4CJ_平面ABC,ZACB=9Q°.

(1)證明：平面平面BB1GC；

(2)設(shè)AAi=2,求四棱錐人一BBCC的高.

【解析】(1)證明因?yàn)锳iCJ_平面ABC,8CU平面ABC,

所以4C1.BC,

又因?yàn)镹ACB=90。，EPAC±BC,

因?yàn)锳C,ACU平面ACCiAi,4CCAC=C,

所以BC,平面ACGAi,

又因?yàn)锽CU平面BBiCiC,

所以平面ACCi4_L平面BBiCiC.

⑵解如圖，

C.

匚

過(guò)點(diǎn)4作ACCCi于點(diǎn)O.

因?yàn)槠矫鍭CG4_L平面321clC,平面ACG4Pi平面BSGC=CG,4。（=平面ACG4,

所以4。，平面BBCC,

所以四棱錐4—BB1CC的高為40.

因?yàn)?C_L平面ABC,AC,8CU平面ABC,

所以4C_L8C,AiCXAC,

在RtAABC與RtAAiBC中，

因?yàn)?8=AB,BC=BC,

所以RtAABC^RtAAiBC,

所以4C=AC

TS:AIC—AC—X,則AiG=x,

所以。為CCi中點(diǎn)，OCi=^AAi=l,

又因?yàn)锳iC±AC,

所以AIC2+AC2=A^,

即f+x2=22,解得x=也，

所以AQ=qAiC—OC=y（^）2—12=1,

所以四棱錐Al—8B1GC的高為1.

【變式1】（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知以月是兩個(gè)不同的平面，聯(lián)〃是平面以月外兩條不同的直線，給出

四個(gè)條件：①機(jī)_L〃；②e〃￡；③"〃力；@m±a,以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填

寫正確推理與證明的序號(hào)）

（1）已知②③④，則①成立

（2）已知①③④，則②成立

（3）已知①②④，則③成立

（4）已知①②③，則④成立

【答案】（1）（3）

【分析】由線面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及面面平行的判定，性質(zhì)定理判斷即可，不正確的

舉出一個(gè)反例即可.

【詳解】(1)若m_L(z,3甲,所以“["I/?,因?yàn)椤?/尸，所以加_L”,(1)正確；

(2)若加，a,m±n,且"是平面a外的直線，則獻(xiàn)/a,又因?yàn)椤啊?，所以a與夕平行或相交，(2)錯(cuò)

誤；

(3)因?yàn)椤！ㄔ?，mla,則能，￡,又因?yàn)榧?，〃，〃是平面夕外的直線，所以"〃尸，(3)正確；

(4)若"%,al1(3,且〃是平面a外的直線，則〃//口，又因?yàn)闄C(jī)，〃，則加與。平行或相交，(4)錯(cuò)誤.

故答案為：(1)(3)

【變式2】(23-24高三上?遼寧?期末)如圖，在五棱錐P-A5CDE中，24_L平面AB8E,AB//CD,

ACHED,AE//BC,ZABC=45°,AB=2垃,BC=2AE=4.

⑴求證：平面尸CD_L平面PAC；

(2)已知直線尸8與平面尸CD所成的角為30。，求點(diǎn)A到平面尸CD的距離.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析.

(2)2

【分析】(1)根據(jù)已知條件先證CD，平面PAC,通過(guò)線面垂直，再證面面垂直.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知條件通過(guò)空間向量先確定P4,再利用空間向量求點(diǎn)到面的距離即可.

【詳解】(1)因?yàn)锳B=20，BC=4,NABC=45。，在AABC中，由余弦定理有：

2222

|AB|+|Bd-|AC|nn8+16-lACl…廣

cosZABC=J_J」_L,即COS45。=------L_L,解得AC=2夜，

2\AB\-\BC\1672

所以有|河「+|AC『=|8C「，由此可知AABC為等腰直角三角形，所以/區(qū)4c=90。，

又因?yàn)锳B〃CD,所以NACD=90。，即AC_LCD；

因?yàn)镻AJ_平面45CDE,CDu平面ABCDE,所以PA_LCD；

因?yàn)锳C_LCD,PA1,CD,ACu平面PAC,PAu平面PAC,R4nAe=A,

所以CD_L平面PAC,又因?yàn)镃Du平面尸CD,所以平面尸CD_L平面PAC.

(2)

建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,AP分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)|A尸|=/z,

如圖，取AC中點(diǎn)歹，連接E尸，因?yàn)锳E〃3C,ZBCA^ZCAE=45°,

_A「2AJ72_

AC=20,AE=2,在"砥中由余弦定理有cosNCAE=-----------------------

2ACAE

解得CE=2,AC2=AE2+CE2,所以ZXACE為等腰直角三角形，

24c[―

所以EF/AC,EF=—=V2；又因?yàn)锳B〃CD,所以4L4C=NACZ)=90。,

所以EF//CD,又ACHED,EF=CF=E所以四邊形CDE廠為正方形，

所以CD=6；。點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為CD,。點(diǎn)到x軸距離為AC,

所以O(shè)卜應(yīng),20,0),尸(0,0/),4(0,0,0),8(2夜,0,0),C(O,20,O)；

所以而=(2四,0,-力，CD=(-72,0,0),

PC=((O-O),(2V2-O),(O-/z)j=(0,2V2,-/7),

PC-n=02s/2yl-hzx=0

設(shè)平面PC￡＞的法向量為而=(占,%,為),則有,一，即

CD-n=0=0

解得五=(o,也:

；因?yàn)橹本€網(wǎng)與平面PC。所成的角為30。,

，整理有：/一16*+64=0,

僅2一8）一=0,因?yàn)?z>0,解得/z=2夜；設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d,

衣=（0,20,0）,平面尸CD的法向量為耳=僅,血,3）,所以］=寫小

-=2,

2

所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為2.

考向2翻折問(wèn)題

翻折問(wèn)題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、

面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的

關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決.

易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立

足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.

【例3】（多選）（2023?山東名校大聯(lián)考）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將沿

直線OE翻折成△AQE.若M為線段AC的中點(diǎn)，則在△AOE翻折的過(guò)程中，下面四個(gè)命題中正確的是（）

AEB

A.8M的長(zhǎng)是定值B.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上

C.存在某個(gè)位置，使QE_LACD.4不在底面8CQ上時(shí)，MB〃平面4DE

【答案】ABD

【解析】如圖所示，取C。的中點(diǎn)F,連接MF,BF,AC,

BF//DE,

?.?MFC平面AiZJE,AQU平面AQE,

〃平面A1ZJE,

同理可得〃平面AQE,

又MFCBF=F,MF,B尸U平面BMF,

二平面〃平面AiDE,

平面BMF,

:.BM〃平面AiDE,D選項(xiàng)正確；

又/BFM=ZAiDE,

為定值，BF=DE為是值,

由余弦定理知，

BM2=MF2+BF2—2MFBF-cosZMFB,

的長(zhǎng)為定值，A選項(xiàng)正確；

.?.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)2為圓心，為半徑的圓周上，B選項(xiàng)正確;

在平面A2C￡＞中的射影在直線AC上，且AC與。E不垂直，

二不存在某個(gè)位置，使。C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【變式1］（多選）（23-24高三上?福建莆田?階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2月的正方形g7c中，B為EF中

點(diǎn)，現(xiàn)分別沿將翻折，使點(diǎn)瓦尸重合，記為點(diǎn)尸，翻折后得到三棱錐尸-A5C,則

()

3

A.三棱錐尸-ABC的體積為不

2

B.直線出與直線BC所成角的余弦值為。

C.直線9與平面P3C所成角為:

D.三棱錐尸-ABC外接球的表面積為19兀

【答案】BCD

【分析】求得三棱錐尸-ABC的體積判斷選項(xiàng)A；求得直線9與直線BC所成角的余弦值判斷選項(xiàng)B；求

得直線出與平面P3C所成角判斷選項(xiàng)C；求得三棱錐P-ABC外接球的表面積判斷選項(xiàng)D.

【詳解】由題意可得，三棱錐P—ABC中，PA=PC=AC=2PB=2也,

BA=BC=屈，PBLPA,PBLPC,

又24npe=P，上4,PCU平面PAC,則PB,平面PAC,

選項(xiàng)A：三棱錐3-P4C的高為尸3=百,

底面積%PAC=一■*（26）=3百，則匕"隹=§*3君'百=3,

故三棱錐P-ABC的體積為3.判斷錯(cuò)誤；

PABCPA（PC-PB）

選項(xiàng)B：cos（FA,BC^j=

網(wǎng)園—273x715

_用灰-麗?麗_26x26cos60°-0_B

675一6755

故直線上4與直線3c所成角的余弦值為。.判斷正確；

選項(xiàng)C：設(shè)三棱錐A-P3C的高為d,

又^/\PBC=2^XX=3,^B-PAC=^A-PBC

貝Ij；x3d=3,貝ljd=3,

設(shè)直線出與平面尸BC所成角為6,則sin6=4-=j=走,

PA2^/32

JTjr

又Me0,-,則0=:

JT

故直線以與平面P3C所成角為1.判斷正確；

選項(xiàng)D：APAC外接圓半徑r=———=2石=2

2sinZAPC2sin60°

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,又平面PAC,

貝|1=/+（工8/＞］=22+-=—,解之得R=巫,

1.2J442

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為4兀義［半］=19兀.判斷正確.

故選：BCD

【變式2】（多選）（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）M,N分別為菱形ABC。的邊8C,C。的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)

角線AC折起，使點(diǎn)。不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論正確的有（）

A.〃平面A3。

B.異面直線AC與MN所成的角為定值

C.設(shè)菱形ABC￡>邊長(zhǎng)為a,ZCft4=60°,當(dāng)二面角。-AC-5為120。時(shí)，棱錐￡>-ABC的外接球表面

7

積為2M2

O

D.若存在某個(gè)位置，使得直線與直線8c垂直，則0ABe的取值范圍是［。片J

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，證得MN//&）,證得MN〃平面可判定A正確；證得AC_L平面跳證得

ACJ.BD,得到ACLMN,可判定B正確；取AA3C,A3C￡）的中心,設(shè)外接球的球心為。，根據(jù)球

的截面圓的性質(zhì)，求得外接球半徑為R=Xga,可判定C錯(cuò)誤；分/ABC為直角和鈍角時(shí)，結(jié)合H在線

2V3

段CB的關(guān)系，結(jié)合DB<DO+O3,可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)镸,N分別為菱形ABCD的邊BCCD的中點(diǎn)，

所以MN為△BCD的中位線，所以MN//BD,

因?yàn)镸NU平面ABD,BDu平面ABD,所以MN//平面ABD,所以A正確；

對(duì)于B中，取AC的中點(diǎn)。，連接30,。。，則AC，OO,AC，3O,

因?yàn)?0且30,。。<=平面800,所以AC_L平面800,

又因?yàn)锽Du平面所以AC13D,因?yàn)镸N//BD,所以AC_LMN,

即異面直線AC與MN所成的角為定值90。，所以B正確;

對(duì)于C中，取AABC,A3C￡）的中心0“Q,設(shè)外接球的球心為。,

連接。。，平面ABC,平面BCD,連接BO1，并延長(zhǎng)2。1交AC于點(diǎn)E,

因?yàn)锳ABC的邊長(zhǎng)為。，可得2￡=立4,則=且,

236

又因?yàn)镹CZM=60。，當(dāng)二面角。-AC—5為120。時(shí)，可得NOEQ=60。,

1

在直角AOEO,中，可得OQ=QEtan60°=——a,

2

=4a,即外接球半徑為

在直角中，可得05=Joo：+50：R=Ra,

2V32V3

所以外接球的表面積為S=4兀玄=（7儂2,所以c錯(cuò)誤;

對(duì)于D中，過(guò)A作垂足為若/ABC為銳角，H在線段3c上；

若/ABC為直角，則H與B重合；若—ABC為鈍角，則H在線段CB的延長(zhǎng)線上，

若存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直，因?yàn)锳NL8C,所以8C1平面AHD,

因?yàn)椤癉u平面AHD,所以CB_LHD,

若/ABC為直角，H與8重合，所以

在△CB。中，因?yàn)镃B=CD,所以CBL3D不可能成立，即—ABC為直角不可能成立；

若/ABC為鈍角，H在線段CB的延長(zhǎng)線上，則在菱形ABCD中，NDCB為銳角，

由于立體圖中DB<DO+OB,所以立體圖中NDCB一定小于平面圖中的NDCB,

所以NDC3為銳角，CB1HD,故點(diǎn)H在線段8C上與“在線段CB的延長(zhǎng)線上矛盾，

因此/ABC不可能是鈍角；綜上,/ABC的取值范圍是"ij,所以D正確.

故選:ABD.

【變式3】（多選）（23-24高三上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角

形，AB±BD^AB=BD=2,〃是A。的中點(diǎn).沿3。將△3CD翻折，折成三棱錐C-A5D,翻折過(guò)程

中下列結(jié)論正確的是（）

28冗

A.當(dāng)平面平面3￡>C時(shí)，三棱錐C-ABD的外接球的表面積是亍

B.棱C。上存在一點(diǎn)N,使得〃平面ABC

C.存在某個(gè)位置，使得CM與所成角為銳角

D.三棱錐C-45。的體積最大時(shí)，二面角C-AZ)-3的正切值為"

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,確定外接球球心位置，求得外接球半徑，即可求得外接球的表面積；對(duì)于B,取8的

中點(diǎn)N,證明MN〃AC,根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)于C,證明平面CME,推出

CMLBD,即可判斷CM與8。所成角不可能為銳角；對(duì)于D,確定三棱錐C-的體積最大時(shí)，平面

/曲，平面BOC,作出二面角C-AD-3的平面角，即可求得其正切值，判斷D.

【詳解】對(duì)于A,三棱錐C-A5D的外接球被平面2。所截小圓圓心。|是正△BCD的中心，

△BCD是等邊三角形，設(shè)￡為3。的中點(diǎn)，連接CE,

則。［在CE上，BD=2,貝!|0］￡='。石=&2*走=立，

3323

由于回，%),故外接球被平面A3。所截小圓圓心為點(diǎn)M,

設(shè)球心為。，連。。1,0M,則，平面BCD,OM_L平面A3。，

由于△BCD是等邊三角形，故CE_LBD,而平面ABD_L平面BDC,

平面ABDc平面3DC=3Z),CEu平面8DC,故CE_L平面A3，

因?yàn)锳B_L5D,同理可證平面BCD,M,E為的中點(diǎn)，連接ME,

故則ME_L平面BCD,

故。OOt//ME,故四邊形。。為矩形，0M=0再=9,

連A。，由于?1B=B￡>=2,則AD=4AB。+BD。=2近，

在Rt^AOM中，AO=ylAM2+OM2=^(^2)"+?=［，

所以三棱錐C-ABD的外接球的表面積S=4無(wú)?AO?=等，A正確；

對(duì)于B,取C。的中點(diǎn)N,連MN,因M是的中點(diǎn)，則MN〃AC,

ACu平面ABC,MN<z平面ABC,所以MN〃平面ABC,B正確；

對(duì)于C,如圖，因ABCD是正三角形，有CELBD,而〃是A。的中點(diǎn),

有ME〃AB,而ABJLBD,則CEcME=E,CE,MEu平面CME,

于是得班?上平面CME,CMu平面CME,所以C/0_L，

即CM與所成角不可能為銳角，C不正確；

因?yàn)榭?gA8?=2,要使三棱錐C-ABD的體積最大，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面A3。距離最大，即平面平面BDC時(shí)，

由選項(xiàng)A知，點(diǎn)C到直線8。的距離為CE=8，

由A可知CEL平面48。，作EG,AD,垂足為G,連接CG,

由于ADu平面AB。，故CELAD,

而EGnCE=E,EG,CEu平面CGE,故AD_L平面CGE,

平面CGEp］平面C4￡）=CG,平面CGEp|平面AB￡）=EG,

故NCGE為二面角C-AD-3的平面角，

由題意知且AB=8D=2,則DE=L

故在Rt^CEG中，EG=—xDE=—,故退=",

22—

2

即三棱錐C-ABD的體積最大時(shí)，二面角C-AD-B的正切值為?,D正確，

故選：ABD.

日強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

L（23-24高三上?江蘇南京?期中）設(shè)加，n,/是三條不同的直線，?,口，/是三個(gè)不同的平面，有下

列命題中，真命題為（）

A.若“〃/“，mlla,則”//eB.若〃_!_/,則

C.若加_La,miln,則〃_LaD.若a_L#,則a_Ly

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中直線和平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選

擇.

【詳解】對(duì)A：若m/ln,mlla,則"〃a或故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：如下圖所示，直線"_La,則“垂直于平面a內(nèi)的任意一條直線/,

則m,l的位置關(guān)系是任意的，故B錯(cuò)誤.

對(duì)C：若〃z_La,mHn,則〃_Lcz,故C正確；

對(duì)D：若。，力，…,則a,7的位置關(guān)系是任意的，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

2.（2024?山東煙臺(tái)?一模）設(shè)。為兩條不同的直線，％夕為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若。//a,b//a,貝!|a//6

B.若。,6與a所成的角相等，則?！╞

C.若<z_L￡,a/////，則，,力

D.若a_L/7,a_La,》_!_，，則；_L,

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故