高一數(shù)學(xué)重難點專項復(fù)習(xí)：輕松搞定立體幾何的軌跡問題 （三大題型）（解析版）

重難點專題11輕松搞定立體幾何的軌跡問題

【題型歸納目錄】

題型一：軌跡圖形

題型二：軌跡長度

題型三：軌跡面積

【典型例題】

題型一：軌跡圖形

【典例1-1］（2024?浙江溫州.一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱ABC-AB?,BE=2EC,點、F是

側(cè)棱A4上的動點，且AF=2CG，H為線段上的動點，直線CHc平面AEG=M,則點/的軌跡為

（）

4一<

R

A.三角形（含內(nèi)部）B.矩形（含內(nèi)部）

C.圓柱面的一部分D.球面的一部分

【答案】A

【解析】如下圖所示：

,W；

AC

首先保持“在線段FB上不動，假設(shè)H與尸重合

根據(jù)題意可知當(dāng)F點在側(cè)棱AA上運動時，若F點在A點處時，G為cq的中點，

此時由AF=2CG可得滿足FM=2MC，

當(dāng)尸點運動到圖中片位置時，易知A與=2CG1,取4G|CC￡=/,,可得耳尸=2尸C,

取棱AC上的點N,滿足4V=2NC，根據(jù)三角形相似可得M,N,P三點共線，

當(dāng)點尸在側(cè)棱&A上從A點運動到A點時，M點軌跡即為線段MN；

再研究當(dāng)點71在線段用上運動，

當(dāng)點H在線段FB上從點尸運動到點B時，/點的軌跡是線段ME,

當(dāng)點H在線段RB上從點耳運動到點B時，/點的軌跡是線段PE，

因此可得，當(dāng)點尸是側(cè)棱9上運動時，H在線段網(wǎng)上運動時，點■的軌跡為oMNE及其內(nèi)部的所有點的

集合；

即可得M的軌跡為三角形（含內(nèi)部）.

故選：A

【典例1-2】（2024?高二?湖北黃岡?期末）如圖所示，/MOP為正三角形，四邊形A3CO為正方形，平面

皿＞，平面A3CD.M為平面A3CD內(nèi)的一動點，且滿足MP=MC,則點M在正方形ABC。內(nèi)的軌跡為

【答案】A

【解析】在空間中，過線段PC中點，且垂直線段PC的平面上的點到P,C兩點的距離相等，此平面與平

面ABCD相交，兩平面有一條公共直線.

在空間中，存在過線段PC中點且垂直線段PC的平面，平面上點到P,C兩點的距離相等，記此平面為

a,平面a與平面ABCD有一個公共點D,則它們有且只有一條過該點的公共直線.取特殊點B,可排除

選項B,故選A.

考點：軌跡方程.

【典例2-1】（2024.高一.遼寧鐵嶺?階段練習(xí)）如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點，P點

在側(cè)面4SCD內(nèi)及其邊界上運動，并且總是保持PELAC.則動點P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最

有可有是圖中的（）

【答案】A

如圖：連BD交AC與。,F、G分別是SC、CD中點；易證平面SBD〃平面砂G,AC_L平面SB。

AClTWFG；所以P在FG上.故選A

題型二：軌跡長度

【典例3-1】（2024?高一?浙江紹興?期末）已知點尸是邊長為1的正方體A3。-AACQ表面上的動點，若

7T

直線針與平面MC所成的角大小為“則點尸的軌跡長度為（）

A.3^/2B.2-^2+nC.-^-（4+7t）D.2A/2+—

【答案】D

【解析】若點尸在正方形內(nèi)，過點尸作尸尸」平面ABCD于P，連接AP,A/.

7T

則/RW為直線AP與平面ABC。所成的角，則NPAP=：,

又PP=L則PA=0,得尸4=1,

則點尸的軌跡為以A為圓心半徑為1的圓（落在正方形內(nèi)的部分），

若點尸在正方形ABB,A內(nèi)或ADAA內(nèi)，軌跡分別為線段ABt和ADX,

因為點P不可能落在其他三個正方形內(nèi)，所以點尸的軌跡如圖所示：

故點尸的軌跡長度為2g+梟2冗=2應(yīng)+士

42

故選：D

【典例3-2]（2024.高一.湖南長沙.期末）在如圖所示的棱長為1的正方體ABC。-AAGA中.點尸在該正方

體的表面上運動.且尸A=x（0<x<@.記點尸的軌跡長為〃x）.則〃1）+/（五）的值為（）

C.3兀D.3+30

【答案】C

【解析】如圖，當(dāng)x=l時，點尸在正方體表面上的軌跡是以A為圓心，1為半徑的三個面上的三段弧.

127r

分別為B"AB,4。，貝?。萘耍?）=3*不2兀=?；

當(dāng)芯=&時，點尸在正方體表面上的軌跡分別為在平面上以4為圓心，I為半徑42，

在平面4BCG上以8為圓心，1為半徑的BQ，

在平面DCC12上以。為圓心，1為半徑的CR,

則〃偽=3X：*2*當(dāng).所以f（1）+/詆=3兀.

42

故選：C.

【變式3-1］（2024.全國.模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體A3CD-A4GA中，￡為棱BC的中點，F(xiàn)

為底面ABC。內(nèi)一動點（含邊界）.若D///平面AEG，則動點尸的軌跡長度為（）

A.73B.45C.272D.&

【答案】D

【解析】如圖，取的中點M、C。的中點N,連接D\M,MN,D、N,ME,AC,

因為E為8C的中點，M為AO中點，由正方體的性質(zhì)可得，

CE=DM,CEHDM,所以四邊形CEMD是平行四邊形，

所以ME//CD,ME=CD,又因為CQ"/。，CR=CD,

所以ME//G2，ME=CR,所以四邊形是平行四邊形，

所以RM//QE,由正方體的性質(zhì)可得，

AA=GC,AA//CC，所以四邊形44CG是平行四邊形,

所以AG//AC,又因為M為AD中點，N為CD中點、,

所以MN〃AC,所以MN//AG，

因為RM,W平面AEG,GE,AGu平面AEC,,

所以2M〃平面AEG，MN〃平面AEC],

又D、MMN=M,所以平面RMN〃平面AEC一

因為。///平面AEG，所以￡>￡u平面RMN,

所以動點F的軌跡為線段跖V,

又削=叵亙=0,故動點尸的軌跡長度為0.

2

【變式3-2]（2024?高三?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形，AP=AB=4,

側(cè)棱PAL底面ABCD,T是CO的中點，。是內(nèi)的動點，TQ1BP,則。的軌跡長為（）

A.屈B.6C.2A/2D.2石

【答案】B

【解析】先找到一個平面總是保持與3尸垂直，取3P，。的中點E,F,連接AE,EF,DF.

因為ABC。是正方形，所以ABJ_AD.因為R1_L底面ABCD.所以必_LAD.又AB=A,所以AD_L平面

B4B.所以AD_Lm.

因為在一中，AP=AB,E為3P的中點，所以又AEcAZ)=A,所以"_L平面AE產(chǎn)D.

進一步.取BE,CF,A3的中點/,N,S,連接MS,MN,NT,ST,易證平面肱V7S〃平面AETO.

故3P_L平面肱V7S,

記STAC=O,又。是AR4c內(nèi)的動點,

根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：點Q的軌跡為平面MNTS與平面PAC的交線段NO,

在，NOC中，NC=5CO=2五,cosZNCO=^~,

由余弦定理得:NO?=8+3-2x2血x有x^=3.故"。=退.

3

故選:B.

題型三：軌跡面積

【典例4-1】(2024.高一.江蘇南通?階段練習(xí))已知正四面體S-ASC的棱長為2g,點M為平面A8C內(nèi)的

動點，設(shè)直線與平面ABC所成的角為凡若sinOe［手,1］,則點M的軌跡所形成平面圖形的面積為

()

71

A.—B.兀C.2TID.4兀

4

【答案】B

【解析】在正四面體S-ABC中，頂點S在底面A3C的投影為正；ABC的中心，即50,平面A3C,

因為正四面體S-ABC的棱長為26，所以AO=2x1x2百=2,

32

所以SO=y/SA2-AO2=712-4=2V2，

因為直線SM與平面4BC所成的角為夕，所以sin0=^=述，

SMSM

因為sin。e[2^,1]所以述e［逑』］,

SM3

所以20WSMV3,

因為OM={SM。-S(f=JSM?-8，所以。WOMV1，

所以點M的軌跡是以。為圓心，1為半徑的圓面，

所以點M的軌跡所形成平面圖形的面積為兀，

故選：B

【典例4-2】(2024?高一?浙江杭州?期末)如圖，已知正方體ABC。-AgG2的棱長為2,長為2的線段

MN的一個端點M在棱。2上運動，點N在正方體的底面A3CD內(nèi)運動，則的中點P的軌跡的面積是

()

71

A.4%B.乃C.2〃D.—

2

【答案】D

【解析】連接DN,則△MAN為直角三角形，在RtMDN中,MN=2,尸為MN的中點，連接。尸，則

DP=-MN=1

2

所以點尸在以。為球心，半徑R=1的球面上

又因為點P只能落在正方體上或其內(nèi)部

所以點p的軌跡的面積等于該球面面積的5

O

故所求面積S=lx4萬R2=%.

82

故選：D.

【變式4-1]（2024?高一?廣東廣州?期末）已知正方體ABCDA/B/C/Q/的邊長為2,M是88/的中點，點尸

在正方體內(nèi)部或表面上，且MP〃平面AB/O/,則動點P的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.⑺B.2石C.3A/3D.46

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，過點M作出平面AB。1的平行平面，如下所示：

因為〃〃〃耳2,KI//MN//AD,,MJ//HK//AB,,

又BXDXcAD}=D],BQ],AD}u平面ABXDX,

HNcMN=N,HN,MNu平面MNHKIJ,

故平面A4A//平面MNHK1J.

則點P的軌跡圖形如上圖陰影部分所示.

顯然，該六邊形是正六邊形，邊長為耳=也.

故該六邊形面積為6個全等的邊長為正的三角形的面積和.

即S=6x-^x=3\/3.

故選：C

【過關(guān)測試】

1.（多選題）（2024.高一?遼寧大連?期末）如圖，正三棱錐尸-ABC和正三棱錐￡>-ABC的側(cè)棱長均為1,

BC=后.若將正三棱錐尸-ABC繞旋轉(zhuǎn)，使得點A尸分別旋轉(zhuǎn)至點A',P處，且P,民四點共面，

點P',D分別位于BC兩側(cè)，連接A4，，貝U（）

A.4P〃平面ABC

B.A!B±AC

C.多面體A4F3DC的體積為原多面體PA6CD的體積的2倍

D.點A尸旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等

【答案】BC

【解析】正三棱錐P-ABC和正三棱錐的側(cè)棱長均為1,BCf，

可得NBPC=ZBE>C=90,

則三棱錐尸-ABC的側(cè)棱互相垂直，正三棱錐ABC的側(cè)棱互相垂直，

于是旋轉(zhuǎn)前后的正三棱錐D-ABC和P'-ABC可以放在正方體中，

四邊形PMC為該正方體的一個側(cè)面，如圖所示，

A'

對于A中，AP'//AD,而ADc平面ABC=A,

則AP不平行于平面ABC,所以A錯誤；

對于B中，如圖所示，連接OE,

因為AB//DE,DE_LAC,則A3_LAC,所以B正確；

11?

對于C中，多面體的體積為l-2x_x—xlxlxl=_,

323

原多面體尸ABC。的體積為2x』xL><lxlxl=L

323

所以多面體的體積為原多面體E43C。的體積的2倍，所以C正確;

對于D中，根據(jù)題意，點A尸的旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，

則運動的軌跡不相等，所以D錯誤.

故選：BC.

故答案為：36.

2.（2024.高一.河北保定?開學(xué)考試）如圖，點P是棱長為2的正方體表面上的一個動點,

直線AP與平面ABCD所成的角為45。，則點P的軌跡長度為.

【解析】若直線AP與平面A3CD所成的角為45。，則點尸的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌,

在平面43AA內(nèi)，點尸的軌跡為對角線A瓦（除掉A點，不影響）；

在平面A。。A內(nèi)，點尸的軌跡為對角線A，（除掉A點，不影響）；

在平面4耳G2內(nèi)是以點A為圓心2為半徑的;圓弧，如圖，

故點尸的軌跡長度為c=兀+4亞.

故答案為：TH-4A/2.

3.（2024?高三.重慶.階段練習(xí)）已知四面體ABCD滿足BC=Cr>=BD=4^,它的體積為284，其外接球

球。的表面積為100兀，則點A在球。表面的軌跡長度為；線段A8長度的最小值為.

【答案】6兀5A/2

【解析】設(shè)外接球半徑為R，

因為外接球的表面積為100萬，則4兀尺2=100兀，解得R=5,

設(shè)△BCD的中心為。-貝IB。［=4Ax*xg=4,

如圖過點8作球的軸截面，

222

貝|JOOX=y)OB--OxB=V5-4=3,

設(shè)點A到平面BCD的距離為〃，

VA_BCD=2873=衿x(4何h,解得h=7.

則由題意知，點A在以5為半徑的球面上，且距離平面BCD為7的平面內(nèi),

則點A在球。表面的軌跡為圓，設(shè)圓心為色，且。。2=〃-3=4

貝UAO；=OA2—OO；=52-42=9,即圓。2的半徑為3,

所以點A在球。表面的軌跡長度為6兀；

由題意可看作點A在圓臺底面圓周02上運動，

則當(dāng)A8為圓臺母線時，AB最小，

即當(dāng)AB,?！?。,四點共面時，AB取最小值，

如圖，AB^=yjAH2+BH2=772+(4-3)2=572.

故答案為：6兀；5VL

4.(2024?高三?江蘇南京?階段練習(xí))如圖，在矩形ABCD中，AB=y/2AD=4,E,F,G,H分別為

AB,BC,CD,AD的中點，AC與8。交于點0,現(xiàn)將△AS/,△BEF,△CFG,DGH分別沿

EH,EF,FG,GH把這個矩形折成一個空間圖形，使A與。重合，3與C重合，重合后的點分別記為

M,N,。為的中點，則多面體MVEFGH的體積為；若點尸是該多面體表面上的動點，滿足

PQ，CW時，點尸的軌跡長度為.

【答案】202+20

【解析】連接EG,ON,有EGLFH,而NG=NE=2,。為EG中點，則有ONLEG,

ONFH=O,則EG_L平面OFZV,同理EG_L平面OHM,又平面O/W與平面OHM有公共點。，

于是點共面，而NG2+NE?=8=GE?,即有NGLNE,ON=-EG=41=NF=HM,

2

因為NF_LNG,NFINE,NGNE=N,NG,NEu平面NEG,則NF_L平面NEG,

又ONu平面NEG,即有NFJ_ON,則NNOF=NNFO=45,同理NOHM=45,

即從而ON//H拉，即四邊形OMW為平行四邊形，MN//HF,MN=OH=2,

等腰梯形肱VFH中，高OQ=N/sin45=1,其面積=（皿+?OQ=（2+；）x1=3,

顯然EG，平面MNFH,所以多面體MNEFGH的體積V=2眩-=2xgSMNFHOE=2xgx3x亞=2/；

E

因為NF_L平面NEG,同理可得平面MEG,又ONIIHM,則QV_L平面MEG,

依題意，動點P所在平面與ON垂直，則該平面與平面MEG平行，而此平面過點Q,

令這個平面與幾何體棱的交點依次為6，Q,T,S,R,則6Q//EM,QT//MG,T5〃M//《R,RS〃EG,

又。為MN的中點，則點片,T,S，R為所在棱的中點，即點尸的軌跡為五邊形24RST,

長度為：QJ\+P；R+RS+ST+TQ=^{ME+NF+EG+NF+MG)

=g（2+0+20+0+2）=2+20.

故答案為：2也;2+2加

5.（2024?高一?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，正方體ABCO-AAGR的棱長為2,E是棱的中點，平面

ABE截正方體4BCD-AB1GA所得截面圖形的周長為,若尸是側(cè)面C￡?￡>G上的動點，且滿足

B\FII平面A.BE,則點F的軌跡長度為.

【答案】30+2石/2君+3^72

【解析】取CD中點G,連接BG、EG,

正方體中，BC//AM,BC=AA，四邊形8cD4為平行四邊形，則網(wǎng)〃CQ,

E是。2中點，G是C。中點，GEIICDJIBA,,則等腰梯形AEGB為截面，

而AE=GB=VLAB=2叵EG=0,

故梯形AEGB的周長為3&+2遂；

取CR中點M,CC中點N,連接B、M,B\N,MN,NE,MG,

則NE//A瓦,NE=A4,故四邊形A4NE為平行四邊形，

則得4N//4E,而4NcZ平面A]BE,A,Eu平面ABE,

故與N〃平面ABE,同理耳M〃平面ABE,

而用V片用=與，用N,B|Mu平面故平面與MN〃平面4出￡,

二點F的運動軌跡為線段MN,其長度為V2.

故答案為：3忘+26；也..

6.（2024?高一?河北邢臺?階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A4GA的棱長為2,E為8的中點，且點尸在

四邊形BCC4內(nèi)部及其邊界上運動，（1）若總是保持砂〃平面瓦，則動點P的軌跡長度為；

（2）若總是保持AP與A8的夾角為30。，則動點尸的軌跡長度為.

【答案】2儲

3

【解析】分別取BC,與G的中點EG,連接EF,FG,EG,則=：BC,耳G=34G,

因為BC〃4￡,BC=B￡,所以跳'〃瓦G,BF=Bfi,

所以四邊形8FG瓦為平行四邊形，所以B片〃尸G,

因為E為C。的中點，所以E尸〃3￡）,

因為所，尸G<Z平面BDRB],BD,BBXu平面BDD^,

所以斯〃平面BDRBi,FG〃平面BDRB],

因為EFcFG=F,所以平面￡FG〃平面以兀>4,

因為平面￡FGc平面BCC&1=FG,點、尸在四邊形BCC.B,內(nèi)部及其邊界上運動，EPH平面BDD.B,,

所以點P的軌跡是FG,

因為尸G=5瓦=2,所以動點尸的軌跡長度為2,

因為平面BCC4，3Pu平面BCC4，所以AB_L3尸，

在RtABP中，AB=2,ZBAP=30°,貝ljtan/BAP=殷=走，

AB3

所以即=走48=地，

33

所以點尸的軌跡是以8為圓心，逑為半徑的一段弧，且圓心角為直角，

3

所以動點P的軌跡長度為冬叵=走兀，

433

故答案為：2,。乃

7.（2024高一?遼寧沈陽?期末）在棱長為1的正方體ABC。-A耳GA中，E在棱上且滿足RE=即,

點廠是側(cè)面A84A上的動點，且。尸〃面AEC,則動點尸在側(cè)面A54A上的軌跡長度為.

【答案】立

2

【解析】如圖，取ABBiA的中點G,并連接G。、GB、BQ,

因為E在棱。2上且滿足2E=匹，即E是棱。2的中點，

所以BG//CE,又8GO平面AEC,CEu平面AEC,

所以3G//平面AEC,同理可證2G〃平面AEC,

又BGGD、=G,所以平面2G，〃平面AEC,又BGu平面BG',

所以3G//平面AEC,所以動點E在側(cè)面A84A上的軌跡即為BG,

因為正方體的棱長為1,由勾股定理有：BG=^B^+AG2=—.

2

BC

故答案為：立.

2

8.（2024.高一.北京昌平.期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是正方形，24,底面

A5CD,B4=A5=1.G為尸。的中點，M為內(nèi)一動點（不與P,民。三點重合）.給出下列四個結(jié)論:

P

①直線BC與PD所成角的大小為;；②AGLBM；③GM的最小值為且；④若AM=正，則點/的軌

432

7T

跡所圍成圖形的面積是3

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】由于BC//AD,所以即為直線3C與尸。所成的角或其補角，

TT

由于PA_L底面ABCRAOu平面A5cD,所以24J_AD,又24=AD=1,所以=①正確;

由于PA_L底面A3C￡）,C￡）u平面ABC。，所以R4J_CD,

又AD_LCD,P4cAD=A,PA,AOu平面PAD,

所以CD_L平面尸AD.

取尸￡)中點為N,連接NA,NG,

由于G為尸C的中點，所以NG//CD,所以NG,平面上4￡>,PDu平面上4￡>,則NGJ_BD,

又上4=AZ)=1,PD中點為N,所以PD_LAN,

ANcNG=N,AN,NGu平面4VG,所以PDJ_平面⑷VG,AGu平面4VG,則尸口_LAG,

AC±BD,BD±PA,PAcAC=A,P4,ACu平面R4C,所以BD工平面PAC,AGu平面PAC.

所以3。，AG,

PD'8。=。,尸￡>,加><=平面尸3￡),所以AG_L平面尸皮入MBu平面尸BD,

所以AGL3M,故②正確；

當(dāng)GM_L平面PB￡>時，GM最小，設(shè)此時點G到平