高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)講義：妙用極化恒等式解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題（三大題型）解析版

重難點(diǎn)專(zhuān)題03妙用極化恒等式解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題

【題型歸納目錄】

題型一：定值問(wèn)題

題型二：范圍與最值問(wèn)題

題型三：求參問(wèn)題以及其它問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四邊的平方和:

證明：不妨設(shè)==b,則AC=a+6,DB=a-b

2

|AC|=AC2=（67+b）2=|a|2+2a2+W①

|f）B|2=￡>j52=[a-b^=\a^-2a-b+\^\②

①②兩式相加得：

+|阿=2（仲+附=2（網(wǎng)2+網(wǎng)]

（2）極化恒等式：

上面兩式相減，得:[4+6）2一,一--------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-b=^\AC^-\DB^

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線(xiàn)''與“差對(duì)角線(xiàn)”平方差

②三角形模式：a-b=\AM^~^\DB^為8。的中點(diǎn)）

【典型例題】

題型一：定值問(wèn)題

【例1】（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）在ASC中，。是8C的中點(diǎn)，E,尸是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)（其中點(diǎn)

￡靠近點(diǎn)A）,且BA.CA=4,BFCF=~1,則2ECE的值是.

7

【答案】-/0.875

O

【解析】由題意，

在，ABC中，。是BC的中點(diǎn)，

BACA=4,BFCF=-1

BA-CA=AB-AC=\AD^-\DB^=4,

BF-CF=FB-FC=|FD|2-|DB|2=-i,

,:E,尸是AO上的兩個(gè)三等分點(diǎn)(其中點(diǎn)E靠近點(diǎn)A),

/.|AD|=3|FZ)|,|￡￡>|=2|FD|,

9m_阿『=4,[|f4=i

〕“H例=TMl=y.

BECE=EBEC=(ED+DB^ED+DC)=(ED+DB)(ED-DB)=回?一|阿=4同2T網(wǎng)?=Z.

7

故答案為：—.

o

【變式1?1】（2024.貴州畢節(jié).統(tǒng)考一模）如圖，在中，。是3C邊的中點(diǎn)，E,尸是線(xiàn)段AD的兩個(gè)三

等分點(diǎn)，若84?C4=7，BECE=2,則56CF=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】依題意，。是BC邊的中點(diǎn)，E,E是線(xiàn)段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn),

22

36FD—BC

則R4.CA=g3C-A。]g8C-AD^=44"：''二7，

4

22

(12W121421216FD—BC

BECE=\-BC——AD?——BC——AD\=-AD——BC二2，

(23八23J944

4x1-8i

因止匕FD=1,BC2=8，BFCF=[^BC-FD^-^-^BC-FD^=4五Dj'C--------=—1.

4

故選：B.

【變式1-21（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)校考一模）如圖，在平行四邊形ABCD+,AB=1,AD=2,^E,F,G,H

分別是AB,BC,CD,AD邊上的中點(diǎn)，則.9G+GH出石=

AEB

【答案】A

【解析】取HF中點(diǎn)O,則,

■2-2133

GHHE=GHGF=GO-OH=l-(^)2=-,因止匕EPR?+G/f."￡=/,選A.

題型二：范圍與最值問(wèn)題

【例2】（2024?浙江湖州?高三期末）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,放V是它的外接圓的一條弦，點(diǎn)尸為正方

形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，PM-PN的取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[。,勾C.[1,2]D.[-1,1]

【答案】A

【解析】當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，弦過(guò)正方形ABCD的外接圓的圓心0,

因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為2,所以圓0的半徑為夜，

如下圖所示：

所以，PM-PN=^PO+OM^PO-OM^=PO2~OM2.

因?yàn)辄c(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以

又|OM|=0,所以PM.PNe[-LO],

故選：A.

【變式2-1]（2024?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)。在邊A3上，且BO=2D4，

三角形ABC的外接圓的一條弦MN過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)P為邊8c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，PM-PN的取

值范圍是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【答案】D

【解析】設(shè)。為ABC外接圓的圓心，

因?yàn)锽D=2m，所以O(shè)D=；AC=1,

當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，MN1OD,

1AB_13_Q

在，ABC中，由正弦定理知，外接圓半徑2sinC273，即OM=石，

所以政V=2MD=2>JOM2-OD2=2-I2=272,

因?yàn)椋≒M+PN『=（PM—PN）2+4PM.PN,即（2PO『=2W?+4PM.PN,

一-21-2-21//—\2-2

所以PM-PN=PD--NM=PD一]（2應(yīng)）=PD-2,

因?yàn)辄c(diǎn)尸為線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合（DQL3C）時(shí)，|麗1mhi=|。。|=忸冰也60。=2'5=有；

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，1尸0皿=|。|,

在△3CD中，由余弦定理知,

|CD|2=|BCI2+|BD|2-2|BC|-|B￡>|cosZABC=9+4-2x3x2x^=7,

所以IP01mx=|CD|=S,

綜上，|尸4"君,夕],

所以PM-PNuPD2-2w[1,5]

故選：D.

【變式2-2］（2024?陜西榆林?統(tǒng)考一模）四邊形ABCD為菱形，/A4c=30。，AB=6,P是菱形ABCD所

在平面的任意一點(diǎn)，則P4PC的最小值為（）

A.-30B.-27C.-15D.-9

【答案】B

【解析】由題意，四邊形ABCD為菱形，44C=30。，可得NZMC=60。,

在，ABC中，由余弦定理得到AC=6g,

連接AC和交于點(diǎn)0,則點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

連接。4,OC,OP,則尸A=PO+Q4,PC=PO+OC=PO-OA,

所以尸A.PC=（PO+OA＞（PO—OA）=PO2-OA2=尸02—272-27.

故選：B.

題型三：求參問(wèn)題以及其它問(wèn)題

【例3】（2024?浙江杭州高一校聯(lián)考期末）設(shè)二ABC,4是邊A3上一定點(diǎn)，滿(mǎn)足”；AB,且對(duì)于邊A3

上任一點(diǎn)尸，恒有尸3.尸（？2弓8.卷？.則（）

c

C.AB=ACD.AC=BC

【答案】D

【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)，

由極化恒等式可得：PB-PC=PD。-BD，，

1

同理，P0BP0C=P0D--BD,由于

則|尸味電所以

因?yàn)槠珺=。是BC的中點(diǎn)，于是AC=8C.

故選：D.

【變式3-1］（2024.江蘇南京.南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在ABC中，AC=2BC=4,/ACB為鈍角，M,N

3

是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=1,若函CN的最小值為“貝hosNAO=

【答案】T

【解析】取跖v的中點(diǎn)尸，取PN=-PM,|PA^|=|PM|=1,

CM-CN=[cP+PMy[cP+PN^=[cP+PMy[cP-PM^=CP

3

因?yàn)镃MCN的最小值“

所以CRin=l.

則C"=l,又BC=2,所以NB=30。，

因?yàn)锳C=4,

所以由正弦定理得：sinA=icosA=^,

44

所以cosZACB=cos(150°-A)=-岑cosA+gsinA

A/3V15111-375

=----------X------------1-----X—=

24248

故答案為：匕邁

8

【變式3-2］（2024.遼寧?高一東港市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）在_ABC中，AC=2BC=6,—ACB為鈍角，M,

N是邊A3上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MV=2,若CMCN的最小值為3,貝hos/AC3=

2-2M

【答案】

~9

【解析】取線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P,連接CP,過(guò)C作COLAS于。，如圖，PM=LMN=1,

2

依題意，CM.CN=（CP+PM）（CP-PM）=CP。-PM。=CP。-1,

因CATCN的最小值為3,則|CP|的最小值為2,因此CO=2,

COi7F)CO2R

在RtAOC中，cosZ.OCA=——=—,sinAOCA=------,在RtBOC中，cosZ.OCB=——=—,sin/OCB=—,

GA33CB33

所以cosZACB=cos(ZOC4+ZOCB)=cosNOG4cosZOCB-sinZOCAsinZOCB=212M

9

2-2>/10

故答案為:

9

【變式3-3](2024?江蘇常州?常州高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))設(shè)直角ABC,凡是斜邊A3上一定點(diǎn).滿(mǎn)足

用B=!AB=1,則對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有尸aPCWKB.4C,則斜邊A8上的高是______.

6

【答案】20

uuruunzuuoiuunxzuunumixuun，uunzuuuUUDXUUUuumllinn1nlm

【解析】取BC中點(diǎn)O,貝qP8PC=(P￡>+￡>B)(PD+DC)=PD+PD(DC+DB)+DC-DB=PD-_DB,同理

2

PaBP0C=RQZ-DB。，又PBPCZP0B.EC,故甥飛舫,即2W4恒成立，所以“，AB.作CE1,

則凡為EB中點(diǎn)，故EB=2RB=2,所以AE=4.又因?yàn)橹苯牵珹BC,故CE?=4￡班=8,所以CE=2&,

即斜邊AB上的高是2點(diǎn)

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.(2024?四川涼山?統(tǒng)考一模)已知下圖中正六邊形ABCD所的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為正六邊形的中心,

直徑為2,若點(diǎn)尸在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓。的直徑，則尸M./W的取值范圍是()

C.[12,15]D.[11,14]

【答案】B

【解析】由正六邊形ABCDE尸的邊長(zhǎng)為4,圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為1,

所以正六邊形ABCDfiF的內(nèi)切圓的半徑為廠(chǎng)=OAsin60=4sin60=2乖>,

外接圓的半徑為R=4,

又由PMPN=(PO+OM)-(PO+ON)=(PO+OM)-(PO-OM)

.22-2

=PO-OM=PO—1，

因?yàn)榧磡P0|e[2g,4],可得尸O?-1，

所以尸M?尸N的取值范圍是[11,15].

故選：B.

2.（2024?山東.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之

一.每年新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄

托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六

邊形ABCD班的邊長(zhǎng)為4,圓0的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)尸在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN

為圓。的直徑，則尸的取值范圍是（）

CD

圖一圖二

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

【答案】C

【解析】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，Q4B、△O3C、OCD,ODE、OEF、OE4均

為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

當(dāng)點(diǎn)尸位于正六邊形ABCD跖的頂點(diǎn)時(shí)，|PO|取最大值4,

當(dāng)點(diǎn)尸為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，忸。|取最小值，即卜41mli=4sin2g,

所以，|叫e[264].

A“__￡_AF

cD

所以，PMPN==Pd-4G[8jI2].

故答案為：[8,12].

3.（2024?山西?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在ABC中,NABC=90,A3=2,2C=2g,M點(diǎn)是線(xiàn)段AC上

一動(dòng)點(diǎn).若以M為圓心、半徑為1的圓與線(xiàn)段AC交于P,。兩點(diǎn)，則的最小值為（）

【答案】B

【解析】由題意，MQ=-MP,且|依卜1,\AC\=yl\AB^+\BC^=4,

所以8P=BM+MP，BQ=BM+MQ=BM-MP,

^VXBPBQ=(BM+MP}-(BM-MP)=\BM^-1,

易知，當(dāng)LAC時(shí)，及W最小，

所以忸A(yù)|?忸C|=|AC|.忸閭曲,即2x20=4X|BM*,解得忸叫麗=6,

故BPBQ的最小值為(省『-1=2.

故選：B.

4.(2024?全國(guó)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)如圖，直角三角形ABC中，ZABC=90。,A5=3,8C=4,M點(diǎn)是線(xiàn)

段AC一動(dòng)點(diǎn)，若以M為圓心半徑為逐的圓與直線(xiàn)AC交于P,Q兩點(diǎn)，則的最小值為()

19

D.

15

【答案】B

【解析】因?yàn)镸P=-MQ,

^\^BP-BQ=(BM+MP)-(BM-MP)=\BMi2-\MP^,

即BPBQ=\BM|2-5,

只需要求忸的最小值即可，

12

當(dāng)時(shí)，懊圖最小，此時(shí)忸叫=日，

14419

所以（3尸田。）*=石一5=方，

故選：B

5.（2024?廣東清遠(yuǎn)?高三統(tǒng)考期末）已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形A5c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

AP=AAB+（2-22）AC（AeR）,則PA.PC的最小值為（）

A.16B.12C.5D.4

【答案】C

【解析】如圖，延長(zhǎng)AC到D,使得AO=2AC.

因?yàn)锳P=/lAB+(2-2/l)AC=/lAB+(l-/l)Ar>,所以點(diǎn)P在直線(xiàn)5D上.

取線(xiàn)段AC的中點(diǎn)。，連接OP,

貝ijPAPC=(PO+OA)■(PO-OA)=|PO|2-1OA|2=|PO|2-4.

顯然當(dāng)龍）時(shí)，|PO|取得最小值,

2A/3X6e

因?yàn)?。=26,。。=6,則23=46，所以1Poiin

mwr=3

所以PA?PC的最小值為32-4=5.

6.（2024?江西?校聯(lián)考一模）已知△ABC是面積為4君的等邊三角形，且AQ=xA8+yAC,其中實(shí)數(shù)x,y

滿(mǎn)足x+§=l,則D4.OC的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】依題意34笈=4行，解得48=4,延長(zhǎng)AC至M,使得AM=2AC,如圖,

—T——\

M

因?yàn)锳D=xA5+yAC=xA5+(2-2x)AC=xAB+(l-x)AM,

所以點(diǎn)。在直線(xiàn)上，取線(xiàn)段AC的中點(diǎn)。，連接0D,

則ZM.OC=(DO+OA).(DO-OA)=DCf-OK=DCf-4,

顯然當(dāng)時(shí)，|。。|有最小值3,所以ZM.￡)C=DO2-425，

故D4.OC的最小值為5,

故選：B.

7.(2024?江蘇蘇州?高一蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))半徑為2的圓。上有三點(diǎn)A,8,C滿(mǎn)足

OA+AB+AC=0,點(diǎn)尸是圓內(nèi)一點(diǎn)，則P4PO+PB-尸C的取值范圍為()

A.[T14)B.(-4,14)C.H，4)D.(T,4]

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)OA交BC于點(diǎn)D,由。4+A2+AC=0，可得AB+AC=A。，

所以四邊形054C為平行四邊形，

因?yàn)?。B=OC=2,所以四邊形054C為菱形，且。8=。4=2,

所以AD=OD=1,8￡>=OC=6，

由圖可知，PB=PD+DB.PC=PD+DC,DB=-DC,

所以尸8.PC=(PD+DB)■(PD-DB)=|PD|2-|BD|2=|PD|2-3,

因?yàn)槭珹=PD+ZM,尸O=PD+DO,ZM=-DO,

所以尸A.尸0=(PD-DO"PD+￡)O)=|PD|2-|D(?|2=|PD|2-1,

所以P4P0+PB.PC=2?-4,

因?yàn)辄c(diǎn)尸為圓內(nèi)一點(diǎn)，所以04|尸4<3,

所以-4421呵-4<14,

所以PAPO+PRPC的取值范圍為[-4,14）,

故選：A

8.（2024?湖北武漢?高三武鋼三中校聯(lián)考階段練習(xí)）半徑為4的圓。上有三點(diǎn)A、B、C,滿(mǎn)足

OA+A8+AC=0，點(diǎn)P是圓。內(nèi)一點(diǎn)，則尸4PO+PB/C的取值范圍為（）

A.[-16,56）B.[0,16）C.[-8,56]D.[16,64]

【答案】A

【解析】

如圖所示，

設(shè)。4與8c交于點(diǎn)D,

由OA+AB+AC=0>

得四邊形OB4C是菱形，MOA=OB=4,貝?。軦D=OD=2,BD=CD=2^3?

由圖知尸3=尸￡>+。8，PC=PD+DC，而。B=-DC，

所以尸PC=PD2-DB2=|P0p-|DB|2=|PD|2-12,

同理PA=PD+ZM，PO=PD+DO-DA=-DO，

所以尸4Po=PD2-DO2=|P￡)|2-|D0|2=|PD|2-4,

所以尸A?尸。+PaPC=2pO1-16,因?yàn)辄c(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，貝1」04|尸曰<6,

所以一16WP4PO+尸RPC<56,

即P4PO+P8?尸C的取值范圍為［T6,56）,

故選：A.

9.（2024?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的漢族

傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受?chē)?guó)內(nèi)外人士所喜愛(ài).如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，

圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形ABCDEFG8的邊長(zhǎng)為20,M是正八邊形

ABC-DEFGH邊上任意一點(diǎn),則跖的最大值為（）

【答案】D

【解析】如圖，取A3的中點(diǎn)。，連接M。，連接分別過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)。作BE的垂線(xiàn)，垂足分別為

所以-MB=（MO+OA）（MO+OB）=（MO+OA）■（MO-OA）--OA=MO-2，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)產(chǎn)或點(diǎn)E重合時(shí)，取得最大值，

易得四邊形CD〃為矩形，BCI,DE7為等腰直角三角形，則〃=20，

BI=EJ=2,貝l18E=4+2&，80=夜，

MO2取得最大值為BO2+BE?=（忘了+（4+20）2=26+16忘，

所以MA-A必的最大值為24+16近，

故選：D.

10.（2024?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，

圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH

的邊長(zhǎng)為2,尸是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則PAPB的最大值為（）

【答案】D

【解析】由題意可知，取的中點(diǎn)。，如圖所示

所以PA.PB=(PO+OA)?(PO+O8)=(PO+OA)?(PO-OA)=PO2_OA2.

-2

=PO-1，

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)E或點(diǎn)尸重合時(shí)，,。|取的最大值，PO?取得最大值，且最大值為F+（2+2&）2=13+8&,故

PABB的最大值為12+8后.

故選：D.

11.（2024.湖南長(zhǎng)沙.高三寧鄉(xiāng)一中?？计谀﹫A是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿(mǎn)”和“飽滿(mǎn)”,

是自古以和為貴的中國(guó)人所崇拜的圖騰.如圖，是圓。的一條直徑，且IA例=4.C,。是圓。上的任

意兩點(diǎn)，I。1=2,點(diǎn)尸在線(xiàn)段8上，則P4PB的取值范圍是（）

D

A

A.[-1,2]B.聲2]C.[3,4]D.[-1,0]

【答案】D

【解析】如圖，。為圓心，連接。P,

則PA?=(FO+Q4)?(FO+03)=P(f+POOB+POOA+OAOB^PCX+PO{OB+OA)-Q?=|PO『T，

因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段CO上且|CD|=2,則圓心到直線(xiàn)CD的距離d=在=F=6，

所以像1|PO|2,

所以3領(lǐng)||P?！?,則-1剝PO『-40,

即尸APB的取值范圍是［T,。］.

故選：D.

二、填空題

12.（2024.黑龍江大慶?高一大慶一中?？计谀┤鐖D，在,ABC中，。是BC的中點(diǎn)，E,尸是AD上的兩

個(gè)三等分點(diǎn)54?C4=5,BF-CF=-2,則BECE的值是.

【答案】|

O

-2-2-2-2

【解析】因?yàn)榘?G4=(l8C_AD)(_，5C_A￡))=4AD=36FD3C=§,

2244

11114FD-BC

BFCF=(-BC--AD)<--BC--Aiy)=----------------=—2，

23234

crc”-2-2-22

因止匕即=.,BC-二彳，BE-CE=dBC-EEi).(-LBC-EEi)=4ED一如=16尸D—BC=9.

8222448

故答案為：（

O

13.（2024?江蘇徐州?高三徐州市第三中學(xué)階段練習(xí)）如圖，在AABC中，。是的中點(diǎn)，E,尸是上兩

個(gè)三等分點(diǎn)，BECE=2，BFCF=-1，則BACA=.

【答案】7

【解析】，3ECE=ED'-BD2=4FD2-BD2=2^BFCF=FI)~BIX=-1：.FI)=1,=2,因此BACA=

2222

AD-BD=9FD-BD=7

14.(2024?江蘇南通?校聯(lián)考一模)如圖，在ABC中，。為BC中點(diǎn)，E,尸為AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若

BECE=ZBC=旭,則.

82

■>*"/7

BDC

【答案】-1

【解析】解答：

D為BC的中點(diǎn)，E,F為AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

BE=BD+DE,CE=-BD+DE,

227

BECE=DE-BD=-,

8

.?.南上+13=5,

884

BF=BD+DF=BD+-DE,CF=-BD+-DE,

22

1-2-2

:.BFCF=—DE-BD=-l.

4

15.（2024?山東?山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦,

點(diǎn)P為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是.

【答案】0。

【解析】如下圖所示:

設(shè)正方形A3CD的內(nèi)切圓為圓0,當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，MN為圓0的一條直徑,

PM-PAf=(P0+0M)-(P0-0M)=|P0|2-1|2=|PC?|2-,

當(dāng)尸為正方形ABCQ的某邊的中點(diǎn)時(shí)，|。尸|=|,

IImin2

當(dāng)P與正方形A3CD的頂點(diǎn)重合時(shí)，|。尸|=也，即L|0P|w@,

IImax22??2

1

因此，PM-PN^PO'f-上0。.

444

故答案為：0。.

16.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))如圖直角梯形ABCD中，斯是8邊上長(zhǎng)為6的可移動(dòng)的線(xiàn)段，A￡>=4,

AB=8A/3,3c=12,則8E-5F的最小值為,最大值為

【解析】在BC上取一點(diǎn)G,使得3G=4,取EF的中點(diǎn)P,連接。G,BP,如圖所示:

貝I」DG=86，GC=8,C￡>=渦+(8廚=16,tanZBCD=-^=73,即ZBCD=60,

BE-BF=^BE+BF^-^BE-BF^=^2BP^-FE2=BP-9,

當(dāng)3P_LCD時(shí)，陽(yáng)取得最小值，此時(shí)網(wǎng)=12xsin60=6有，所以（BE.班j=（6@19=99.

當(dāng)尸與。重合時(shí)，CP=13,BC=12,則網(wǎng)2=122+132-2x12x13x3=157,

當(dāng)E與C重合時(shí)，CP=3,BC=12,則B尸1=i22+32_2xl2x3x；=117,

所以=157-9=148,

\/max

故答案為：99；148.

17.（2024廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M,N分別為邊2C,C。上的動(dòng)點(diǎn),

以為邊作等邊PMN,使得點(diǎn)A,尸位于直線(xiàn)MN的兩側(cè)，則PN.RB的最小值為.

【答案】4

【解析】如圖，連接BN,設(shè)BN,MN中點(diǎn)分別為E,F,連接PE,PF,EF.

^CM=a,CN=b(O<a<2,O<b<2),

C、2f、2

PN+PBPN—PB22

PNPB==PE-BE,

在Rt3CN中，由勾股定理得BN?=8C2+CN2=，2+4,則郎2=［與，=9+1,

BN,中點(diǎn)分別為E,F,則所為"MN的中位線(xiàn),

AEF//BM^.EF^-BM=l--a,：.ZEFM=ZCMN,

22

在RtCMV中，由勾股定理得MN=《CM。+CN?=V?行，

CNh

.??sinZCMN=——二,=sinNEFM,

MN

PF=^MN=—^a2+b2,

在等邊.PMN中，尸為MV中點(diǎn)，則P/JL跖V,

22

b

cosZ.PFE=cos—+NEFM=-sinZEFM=-

(2yJa2+Z?2'

在！PEF中，由余弦定理得

PE2=EF2+PF2-2EF-PFcosZPFE=a2+-b2-—ab-a+j3b+l

42

當(dāng)N與C重合時(shí)，ABCW,CMN,!PEF不存在，但可驗(yàn)證上述等式依然成立,

PNPB=a2+-b2-—ab-a+43b

2、2

；為+空迪zU

ci-——b+—

U216441644

7

當(dāng)且僅當(dāng)a=@b+，時(shí)等號(hào)成立.

42

???關(guān)于b的函數(shù)y晨八乎在［0,2］上單調(diào)遞增,

.-.A^+^/3當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)等號(hào)成立.

16444

11

"PB）當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：廿

18.（2024?浙江杭州?高二校聯(lián)考期末）在ABC中，AB=4,3C=5,AC=6,點(diǎn)M為，ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn),

PQ是ABC外接圓的直徑，則的取值范圍是

【答案】［一9,0］

【解析】根據(jù)向量關(guān)系可得MPMQ=MO2-R2,即判斷〃4―o改的取值范圍即可，由圖可知因。的最大

值為R,最小值為VFW.設(shè)外接圓的圓心為。，半徑為我，

BP

可得MPMQ=（MO+OP）（MO+OQ）

=MO+MO\OP+OQ^+OPOQ

一2c

=M0-R2>

IUULTI

M為ABC三邊上的動(dòng)點(diǎn)，可知慳。|的最大值為。到三角形頂點(diǎn)的距離，即為半徑R,

IUUITI

且四。|的最小值為。到AC邊的距離，過(guò)0作OM°，4C,垂足為

貝I］10此卜正一32=正-9,

MP-MQ的最大值為R2_R2=0,最小值為|0"o「一代=4一9一代=一9,

故MP?的取值范圍是［-9,0］.

故答案為：［-9,0］.

19.（2024?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在ABC中，A5=5,AC=4,BC=3,已知MN為ABC內(nèi)切圓

的一條直徑，點(diǎn)尸在，ABC的外接圓上，則的最大值為.

［答案］13+5&

2

【解析】因?yàn)闉橹苯侨切?，所以?xún)?nèi)切圓Q的半徑4=七3+上4-5=1,

外接圓ca的半徑4=*=|,

PM-PN=(PO[+O.M)?(PQ+O|N)

2

=PO1+POi-(OXM+0]N)+OXM-GN=|POJ-1.

20.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）設(shè)三角形ABC,Po是邊A3上的一定點(diǎn)，滿(mǎn)足尸必且對(duì)于邊AB上

4

任一點(diǎn)尸，恒有PE.PCZ4B/C,則三角形ABC形狀為.

【答案】C為頂角的等腰三角形

【解析】取BC的中點(diǎn)。，連接P。，PoD,如圖所示：

=+=同理［-［。=慟。］—；,。，PBPC>P0BP0C,

■■-14414"IM->cl2

.?.|PD|>|^D|.-.POD±AB,設(shè)O為AB的中點(diǎn)，

P0B=^OB^P0D//OC^OClAB,AC=BC即三角形ABC為以C為頂角的等腰三角形.

故答案為：C為頂角的等腰三角形.

21.（2024?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖,在平面四邊形ABCD中，。為3D的中點(diǎn)，且04=3,OC=5.若ABAD^

-7,則2。DC的值是

B

【答案】9

【解析】根據(jù)平面向量的線(xiàn)性表示與數(shù)量積運(yùn)算，禾I用AB.AD=（AO+03）?（AO+OD），求出1031=|OD\=4,

再禾I」用BC3C=（BO+OC）-（r>O+OC）,運(yùn)算可求出結(jié)果.在平面四邊形ABCD中，。為的中點(diǎn)，且

OA=3,OC=5,OB+OD=。若?AD=-7,則（A。+O