海南某校2024-2025學年高二年級上冊期末考試數學試題（解析版）

2024-2025學年度第一學期期末考試

高二數學試題

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共19小題，共150分，考試時

間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

第I卷（共58分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設數列｛%｝的前〃項和S”="+1,則"6的值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【解析】

【分析】利用4=二。C求解即可.

[Sn-Sn^,n>2

【詳解】4=62+1=37,$5=52+1=26,

故4=毛-$5=37-26=11.

故選：D

2已知函數/（%）及其導函數/'（力滿足/（x）=lnx—則廣⑴=（）

111

A.-B.0C.；D.-

423

【答案】A

【解析】

【分析】根據題意，對原式進行求導，然后令x=l,代入計算，即可得到結果.

【詳解】因為=則/（力=工—3/'（1）

X-

令x=l,則/''（I）=1—3/'。），解得廣⑴二；

故選:A

3.已知｛4｝為等差數列，前〃項和為S“，且q=2,品=%+18,則4=（）

A.54B.45C.23D.18

【答案】C

【解析】

【分析】設等差數列｛4｝的公差為2,依題意由等差數列求和公式及通項公式求出2,從而得解.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,

因為q=2,S3=%+18,

所以3x2+3d=2+d+18,解得d=7,

所以%=q+3d=2+3x7=23.

故選：C

4.已知S“是正項等比數列｛4｝的前〃項和，且q+%=82,4a4=81，則工=（）

A.212B.121C.168D.186

【答案】B

【解析】

【分析】由條件結合等比數列性質求出％,生，再列方程求出數列的公比4,利用等比數列求和公式可求項.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為4,因為數列｛4｝為正項等比數列，所以q>0,

因為％〃4=4。5,又。2。4=81，所以％%=81,

=816Zi—1

因為〃1+〃5=82,所以｛或｛,

〃5=1=81

a.=81｛a=811

若<―貝叫]4/解得。i=81,q=-,

。5=1a、q—13

60-081x0一

所以§5=△-4=—<廣4"=121,

”qi-l

3

%a,==811'則|—1

若4O1，解得。I=1,9=3,

axq=81

%(1—4。1x(1—243)]?]

所以原=

i—q1-3

綜上工=121.

故選：B.

5.若％=1是函數〃力=(%2+依—1)L1的極值點，則/(%)的極大值為()

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】先根據極值點，求出參數。，再據此求導，討論單調性，求得最大值.

【詳解】因為/。)=(/+以—1把1,

故可得了'(無)=(2x+a)e*T+(%2+ax-l)e*T=e*T[無？+(a+2)尤+a—i],

因為x=l是函數/(月=(/+奴—De-的極值點，故可得了'(1)=0,

即2a+2=0,解得a=—1.

此時((x)=e*T(J+x_2)=e*T(x+2)(x-l)

令/'(x)=0,解得石=—。彳2=1，

由/'(尤)>0可得無<一2或1>1；由/'(x)<0可得一2<X<1,

所以/(力在區(qū)間(-*-2)單調遞增，在(-2,1)單調遞減，在(1,+8)單調遞增，

故/(%)的極大值點為x=—2.

則/(%)的極大值為/(-2)=(4+2-l)e-3=5e-3.

故選：C.

6.已知函數/(%)=。d—111%在區(qū)間(2,3)上單調遞增，則實數。的最小值為()

.011

A.e~B.2e02C.D.—

【答案】C

【解析】

【分析】根據單調性將問題轉化為了'(x)=ae-工20在(2,3)上恒成立，分離參數，構造函數

g(x)=朧”,]?2,3),利用導數求解單調性得最值求解.

【詳解】由于/(%)=g,—111%在區(qū)間(2,3)上單調遞增，故/'(力=”1—工20在(2,3)上恒成立，顯然

X

〃>0,所以xe'N—，

a

設g(x)=AeX,x?2,3),所以g'(x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(2,3)上單調遞增，

g(x)〉g(2)=2e?,故2e2z：,即。之力，即。的最小值為，.

故選：C.

7.已知直線/:近―y—2左+2=0恒過定點A,點8為圓。：(%—1)2+(丁—3)2=18上的動點，。為坐標原

點，則VAOB面積的最大值為()

A.10B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出直線過定點A的坐標，再求出圓心坐標與半徑，求出|。4|及直線Q4的方程，再求出圓

心到直線Q4的距離，從而求出點B到直線距離的最大值，從而得解.

【詳解】由乙一y—2k+2=0,整理為左(x—2)+(—y+2)=0,

x—2=0x=2/、

令<解得彳_2,所以直線/恒過定點4(2,2),

-y+2=o

圓C:(x—1)2+(y—3)2=18的圓心3),半徑r=3夜,

如圖，|。叫=2拒，直線。4的方程為丁=不

|1-3|I-

則圓心C到直線0A的距離d="+(1)2=72,

則點B到直線OA距離的最大值為圓心C到直線的距離d+廠=夜+3近=40，

111

所以NAOB面積的最大值為一x2J2義4J2=8.

2

故選：D

8.已知實數。/滿足e〃+a=lnb+b+2,則下列選項中一定正確的是()

A.b>eaB.b<eaC.b<a+lD.b>a+l

【答案】B

【解析】

【分析】AB選項，令/(x)=x+Inx+2,在(0,+8)內單調遞增，由于⑸=/(efl)-2</(ea)得到b<ea;

CD選項，舉出反例得到CD錯誤

【詳解】對于AB,令/(x)=x+lnx+2,則/(x)在(0,+8)上單調遞增，

由e"+a=lnb+b+2可得lnb+Z?+2=lne"+e"，即FS)=F(e")-2</(e"),

b<ea>故A錯誤，B正確；

對于C,取a=—3,則/。)=/(e")—2=e"+a=e-3—3<0,且/(l)=3>0,

又在(0,+8)上單調遞增，故0<)<1,止匕時>>。+1,故C錯誤；

對于D,取a=O,則/0)=3+。=1,且/(1)=3>1,

又/(%)在(0,+8)上單調遞增，故0<6<1,止匕時〃<。+1,故D錯誤.

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：構造/(x)=x+lnx+2,得到/S)=/(e°)—2</(e"),結合函數單調性得到

b<ea，通過對。賦值舉反例即可推得CD錯誤.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列求導數的運算正確的是()

A.(ln2)f=1B.02—」=2X+4

/\V/

C.(xe,=(x+l)e*D.[sin5J=cosg

【答案】BC

【解析】

【分析】根據基本初等函數的導數和求導法則，逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.

【詳解】選項A,因為ln2是常數，所以(In2)'=。，選項A錯誤；

選項B,根據基本初等函數及導數的求導法則知，=2x+±，選項B正確；

選項C,根據基本初等函數及導數的求導法則知，=ex+xex=(x+l)ex＞選項C正確；

選項D,根據復合函數的求導法則知，fsin^=-cos^,選項D錯誤.

I22

故選：BC.

22

10.己知橢圓C：土+匕=1的左、右焦點為耳，歹2,點尸在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則

63

下列關于片鳥的說法正確的有()

A.耳心的周長為2(#+6)

B.歸耳卜|。耳|的最大值為4

C.當/百尸居=60。時，APHK的面積為出

D.橢圓上存在6個不同的點P,使得APKK為直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據已知求出a,b,c的值，結合橢圓的定義，即可判斷A選項；由基本不等式結合橢圓的定義，

即可判斷B選項；根據焦點三角形面積公式得出面積，即可判斷C選項；設|P耳|=相，求出滿足

/耳尸8=90。的尸點的個數，即可判斷D項.

22

【詳解】對于A,由上+二=1得。=6力=6,。=百，

63

AP耳耳的周長為2(痛+6)，故A正確；

對于B,忙耳卜怛耳歸㈤叫=a2=6,故B錯誤；

I2J

ZTQO

對于C,APK6的面積為〃tan與-=3tan3O°=JL故C正確;

對于D,設存在點。使得/耳產工=90。，

設歸耳|=根，根據橢圓的定義有加，

因為/耳產工=90。，所以歸片「+歸與「=閨閭2,

即加2+（2#一加）=（2班），

整理可得rn2—2y/6m+6=0，解得m=屈■

如上圖，當點?位于短軸頂點時有忸娟=，2+°2=R,

所以，當/耳尸8=90。時，點尸為橢圓的上下兩頂點，則P點有2個；

分別過點耳，瑪，作X軸的垂線，此時與橢圓有4個交點，

即滿足NPF[F2=90°以及NPFzR=90°的p點有4個.

綜上所述，橢圓上有且僅有6個點。使得與耳為直角三角形，故D正確.

故選：ACD.

11.若首項為1的數列｛4｝的前〃項和為S“，且S,+i=2S.+2,則下列結論正確的是（）

A.數列｛邑+2｝為等比數列B.數列｛4｝不是等比數列

C.Sn=2an-2D.｛4｝中存在三項構成等差數列

【答案】AB

【解析】

【分析】由己知得出｛邑+2｝是以2為公比的等比數列，得出S“和a,,再分別判斷各選項即可.

【詳解】對于A,由S〃+i=2S.+2得,S?+1+2=2(S?+2),

所以｛S,+2｝是以2為公比的等比數列，首項為1+2=3,故A正確；

對于B,由A知S“+2=3-2"T,即S,=3-2'T—2,

n2n2

當〃22時，an=Sn-=3-2-'-2-(3-2"--2)=3-2-,

1,H=1

所以a.=〈cc"2c，故B正確；

3-2n-2,n>2

對于C,當〃=1時，51=1,2q—2=0,顯然2,故C錯誤；

對于D,取加、“、pGN*,且1(根<“<p,

假設存在am,an,ap能構成等差數列，則2an=am+ap,

則有2?3?2"-2=3-2m-2+3?2。-2，即2"-1=2m-?+2P-2>

所以2"f+i—2人"=1，

〃一"2+1=0

因為21一2°=1，所以<八，與1<機<〃<"矛盾；

p—m=0

m2

假設存在1,4,an能構成等差數列，則2am=l+an,即2.3?29=3.2"-+1，

則3(2"i—2"-2)=1,即2戊一1—2"一2=；,顯然當加,〃eN*時無解，

所以｛4｝中任意三項都不能構成等差數列，故D錯誤；

故選：AB.

第II卷(共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.已知等差數列｛4｝前〃項和為S“，若名>。，?6+?u<0,則S“取得最小值時〃的值為

【答案】8

【解析】

【分析】由等差數列的性質得到。8<0,公差d>0，｛4｝為遞增數列，從而得到當〃=8時，S,取得最

小值

【詳解】由已知數列｛%｝為等差數列，則&+41=/+。9<0，又。9〉°，所以。8<0,

所以d=%-小〉0，數列｛4｝為遞增數列，

則當〃<8時，氏,當〃N9時，>0，

所以當〃=8時，5〃取得最小值.

故答案：8.

22

13.若雙曲線與—2T=1（。＞0,/?>0)與直線〉=3工無交點，則離心率e的取值范圍是

a2b2

【答案】(i,Vio]

【解析】

【分析】

根據直線與雙曲線的位置關系求得。*的關系，結合離心率公式，即可容易求得離心率范圍.

【詳解】???若雙曲線]—斗=l(a〉01〉0)與直線y=3x無公共點,

ab

bb

等價為雙曲線的漸近線y=一%的斜率一,,3,即人<3〃，

aa

即/<9片，即02一口2<9〃2,即段,10〃2,則G,麗4，則6M,

Qe>1,「?離心率滿足1<g,JTU，

故答案為：(1,^0].

【點睛】本題考查雙曲線離心率的范圍，涉及直線與雙曲線的位置關系求參數范圍，屬綜合基礎題.

兀兀

14.若函數/(x)=cos2x+Qsmx在上存在單調減區(qū)間，則實數。的取值范圍是________

_36

【答案】(f),2)

【解析】

TTTT

【分析】求出尸(%)=C0sM—4sinx+a),由已知可得/'(%)<。在xe有解，即a<4sinx在

36

7171

xe有解，即可求得實數〃的取值范圍.

36

［詳解】因為ff(x)=-2sin2x+acosx=Tsinxcosx+acosx=cosx(Tsinx+a),

7171

而工￡時，函數/(x)存在單調減區(qū)間，

_3o

jrjr

所以/'(%)<。在］￡—有解，

36

即(一4sinX+Q)cosxvO有解，

r7i7i

因為cosx>0,所以Tsinx+avO,即〃<4sinx在X￡有解，

36

W］

又因為----<sinx<—，所以一2百44sin%(2，所以〃<2.

22

故答案為：(30,2).

四、解答題：本題共6小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數/(X)=/-3x+a(aeR).

(1)求函數/(尤)的單調遞增區(qū)間；

(2)若函數/(九)有兩個零點，求實數。的值.

【答案】(1)1)和(1,+。)

⑵±2

【解析】

【分析】(1)令/'(%)>。并求出x的范圍，即可求函數/(%)的單調遞增區(qū)間；

(2)根據函數/(力有兩個零點，利用函數極大值等于零或極小值等于零列方程即可求實數。的值.

【小問1詳解】

因為/(x)=x3-3x+a(aeR),

所以/'(X)=3X2_3=3(X+1)(X_1),

令尸(x)>0,則X<—1或x>l,

所以/(%)的單調遞增區(qū)間為-1)和(1,+。).

【小問2詳解】

由(l)得“力的單調遞增區(qū)間為(—8,T)和(1,+8).

令/'(x)<0可得—1<X<1,/(光)的單調遞減區(qū)間為(—1,1),

當天=—1時，“X)取得極大值/(—l)=a+2；

當％=1時，/(%)取得極小值/⑴=a—2.

所以若“力有兩個零點，則。+2=0或a—2=0,

解得a=±2.

所以a=±2.

16.在①S“=〃2+2〃；②％=70+綜=18；③q=3,S5=35這三個條件中任選一個，補充在下面問題

中，然后解答補充完整的題目.

問題：已知等差數列｛a'｝,S”為其前”項和，若.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)設"=二一(〃eN*),求證：數列也｝的前“項和4<L

anan+l3

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)an=2n+l

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)選①由%與S”的關系求解即可；選②③由等差數列的通項公式與求和公式求解即可；(2)由

(1)可得2==二-丁二，利用裂項相消法證明即可.

2〃+12〃+3

【小問1詳解】

若選①：在等差數列｛4｝中，q=S]=3,

22

當"之2時，an-Sn—Sn_x~n+2n-(n-l)-2(n-l)=2n+l,

%也符合，

a”=2〃+1；

若選②：在等差數列｛%｝中,

“3=7

V,

Cl?+。6=18

+2d=7fa=3

C-1。，解得《c

2q+6d=18[d=2

an=+(n—1)J=3+2(〃-1)=2〃+1；

若選③：等差數列｛%｝中,

q=3

4=3

解得'

d—2

an=ax+(n—1)<7=3+2(〃—1)=2〃+1；

【小問2詳解】

211

證明：由⑴得'7"=(2〃+1)(2〃+3)

2n+lIn+3

11111

所以]二-----H——L------------------------------<_

"35572n+12n+332〃+33

17.已知拋物線C：y2=4x的焦點為「直線/過點尸(2,1),交拋物線于A、B兩點.

(1)若P為AB中點，求/的方程;

⑵求|A同+忸同的最小值.

23

【答案】(1)y=2x—3(2)—

4

【解析】

【分析】(1)方法一：利用點差法求中點弦所在直線斜率，再根據點斜式得結果；注意驗證所求直線與拋物

線有兩個交點；

方法二：設中點弦所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及中點坐標公式求中點弦所在直線

斜率，再根據點斜式得結果；注意考慮中點弦直線斜率不存在的情況是否滿足題意；

(2)由拋物線的定義轉化|A4+忸同=%+/+0,方法一：設直線/：y-l=k(x-2),與拋物線方

程聯(lián)立，利用韋達定理以及二次函數性質求最值，注意比較直線斜率不存在的情況|人司+忸目的值；方法

二：設直線/：x-2=t(y-l),與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及二次函數性質求最值，此種設法

已包含直線斜率不存在的情況.

【詳解】解：⑴方法一：設A（XQJ,B（x2,y2）,Xj*%2,則城=4菁,

,,y,-y4

—%,化簡得9

因為AB的中點為P（2,l）,%+%=2,

，左AB=K=2,..?/的方程為y—l=2（x—2）,即y=2x—3.

經檢驗，符合題意.

方法二：設A&,%）,53%），

當斜率不存在時，顯然不成立.

當斜率存在時，設直線/：y-l=k（x-2）,顯然左wO,

由<,「1=左（》—2）得上2彳2_（4左2_2左+4）x+（2左一Ip=0

、yx

曰/rrtAC\4k2—2左+4

易知A>0,xx+x2-------------,

K

因為AB的中點為P（2,l）,.?.%+々=4,即絲一手上=4,

解得左=2,；./的方程為y=2x—3

（2）方法一：由拋物線的定義可知|人尸|+忸同=%+%+。

當斜率不存在時，直線/：x=2,.?.|AF|+忸同=6

當斜率存在時，設直線/：y-l=k(x-2),顯然左wO,

由,y~1=k^X~2\^k2x2-(4k2-2k+4)x+(2k-l)2=0,

、yx

易知A>0,

,%+%2+〃=

.j=4時，|4司+忸司的最小值為

23

綜上，|AF|+忸周的最小值為才

方法二：由拋物線的定義可知|Ab|+忸同=%+/+0

顯然直線/不平行于x軸，設直線/：x-2=t(y-\),

x—2=%(y—1)9/\

由,241/得y_4療+4?_2)=0,

易知△>(),二%+為=4/,%%=々-8,

,Y+Y+〃_弁+第+2_5+%)2—2乂%+2

..X十X。十〃——---1----rZ----------------rZ

]-444

=4產—2/+6=4(.—11

123

.」=1時，|A同+忸司的最小值為j

【點睛】本題考查拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系；考查數形結合、分類討論以及函數方程等數

學思想；考查邏輯推理、直觀想象以及數學運算等核心素養(yǎng).

、伉,+1,“為奇數

18.已知數列｛(4｝滿足％=l,a.+i=｛小便將■

[2%,“為偶數

(1)記2=4”,寫出片也也也，并猜想數列也｝的通項公式；

(2)證明(1)中你的猜想；

(3)若數列｛4｝的前"項和為S“，求邑，.

【答案】(1)4=2也=5也=11也=23,猜想〃=3X2"T—1

(2)證明見解析⑶$2'=3x2"+i-3〃-6

【解析】

【分析】⑴根據｛??｝的遞推關系式及首項，寫出4，%，%，L,小，進而求得久,瓦力3力4，根據推導過程及各項

即可猜想其通項公式；

⑵因為2=。2“，所以找到。2.+2和。2”的關系，即%與口的關系，對式子進行配湊，可發(fā)現也+1｝是以3為

首項,2為公比的等比數列,即可得｛勿｝的通項公式；

⑶根據=2aa*，可得a2n_x=2b,i，將S2”寫為(6+%---。24-1)+(4+%----)，再將

=包代入，可得S2“=3(4+4+…+*)+4+4,將a=3X2"T_I代入,再利用等比數

列的求和公式即可得昆,「

【小問1詳解】

由您知4“+]=，c斗＞便料，

、2a〃,“為偶數

因為4=1,所以4=g=%+1=2,

%=2a2=4,4=%=%+1=5,

=a

a5—2%=10也6=4+1=11，

%—2a6=22,d=cig=%+1=23,

綜上:偽=2也=5也=11也=23,

猜想a=3X2"T-1

【小問2詳解】

由題意，知。2.+1=，。2"+2=。2"+1+1，代入得。2"+2=242”+1,

于是。2”+2+1=2a2"+2,即bn+1+1=2（b"+1）,

因為2+1=3,所以也+1｝是以3為首項,2為公比的等比數列,

故么=3x2"T—1.

【小問3詳解】

a

因為%,1=2（?-i）+i=2a2（”-i）=2bti_i,

+Ct

S2n=(4+g+?一+。2"-1)+(。24H^一+fl2?)

=(4+絞+2打+…+2優(yōu)-i)+(4+b2H—+優(yōu))

=3伯+b2+---+bn_l)+bn+q

=3(3X2°+3X21+---+3X2,J-2-(H-1))+3X2,!-1-1+1

=3(3X2°+3X21+-..+、3X2"-2-(H-1))+3X2,!-1-1+1

(n-1)+3X2"T

7

=3x2,!+1-3/7-6.

19.設函數/(尤)=ln(x+l)—ta,aeR,曲線y=/(x)在原點處的切線為x軸,

(1)求。的值；

V2

(2)求方程/(X)=—二―的解;

x+2

(2024V023-5

(3)證明:<6<[2023J

2022

【答案】(1)a=l

(2)x=Q

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據題意可知/(%)在％=0處的導數值為0,解方程即可；

2x

(2)構造函數g(x)=ln(x+l)———,利用導數證明其單調性，再通過觀察法得尤=0是g(x)的零點,

x+2

從而得解；

202411(11

(3)利用(2)中結論證明In——>---------,再構造函數〃(x)=lnx——x——,利用導數證得

20232023.52(x

20231

，從而賦值證得In<---------由此得證.

20222022.4

【小問1詳解】

因為/(x)=ln(x+1)-or(%>-1),

所以/‘(x)=」——a,

x+1

因為曲線y=/(x)在原點處的切線為x軸，所以尸(0)=1-。=0,即。=1.

【小問2詳解】

1*22無

方程/(%)=—可化為ln(x+1)---------=0,

x+2x+2

2T

令g(%)=ln(x+l)--------(x>-1),

x+2

則g，(x)=J______J=22)2-…)=

>0,

x+1(