函數(shù)的不等式恒成立與有解問題 2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)精煉-函數(shù)的不等式恒成立與有解問題

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知不等式e(j)*＞依+lnx在區(qū)間(。工[上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.(-oo,l-eT)

C.(ro,0)D.(-8,1)

2.函數(shù)/(尤)=lnx-〃ir+l,若存在xe(O,+cc),使/(x)20有解，則"?的取值范圍為()

A.(-oo,l]B.(-oo,2]C.[1,+co)D.[2,+oo)

1Q

3.已知函數(shù)/(%)=耳％3_3%2+8%一§,g(x)=x—lnx,若V%,G(0,3),g(%)+左之/仁)恒成立,

則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

A.[2+ln2,+oo)B.[-3,+a?)

C.g'+0°jD.[3,-H?)

4.若對任意的X],x2e(l,3],當(dāng)玉＜當(dāng)時，與-龍2＞51叫-'|11?2恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[3,+oo)B.(3,+GO)C.[6,+co)D.(6,+co)

5.已知函數(shù)/(x)=〃e、-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則〃的最小值為().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

6.當(dāng)工之。時，不等式-ox〉(％-1)2恒成立，則〃取值范圍是()

A.(-oo,l]B.

C.(-00,e]D.(-oo,3]

7.已知函數(shù)〃x)=￡-l+ln無，若存在%>0,使得/(天)40有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.(-8,-3)

C.(-oo,l]D.[3,+GO)

8.當(dāng)時，關(guān)于％的不等式(2asinx+cos2x—3)(sinx—x)K0有解，則a的最小值是()

A.2B.3C.4D.472

丫2_D|丫v

工5,且恒成立，則。的取值范圍為()

｛e—ox—1,x2。

A.(-oo,0]B.[-2,1]C.[-2,0]D.[0,2]

10.已知函數(shù)"x)=ox2-(2a-l)x+a-l-xlnx,若“可大0在區(qū)間(1,+8)上恒成立，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

11

A.B.—,+ooC.D.—,+oo

44922

11.已知不等式oxe"+%〉l-lnx有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(

T收1

A.B.--,+00C.D.—00,—

12.已知〃>0,設(shè)函數(shù)/(x)=e2"+(2--Ina,若〃九)之。在(0,+動上恒成立，則。的取值范

圍是()

A.〔0,(B.(0,1]C.(0,e]D.(0,2e]

二、填空題

13.設(shè)函數(shù)/(工)=%2一(Q+2)%+alnx(Q￡R),若恒成立，求〃的取值范圍_______.

14.若存在正數(shù)心使得不等式In(")有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

a

三、解答題

b

15.已知函數(shù)f(x)=x--,g(x)=2alnx.

⑴若b=0,函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象相切，求。的值；

(2)若a>0,b=-l,函數(shù)F(x)=xf(x)+g(x)滿足對任意X1,x2e(0,l],都有F(xJ-F(X2)(3|^----|

X1X2

恒成立，求。的取值范圍；

16.已知函數(shù)〃x)=a(e*+a)-x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)a>0時，〃x)>21na+/.

17.已知函數(shù)〃x)=e'

⑴過點(diǎn)1作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；

(2)當(dāng)xNO時，〃彳)20?+：尤2+%+］恒成立，求。的取值范圍.

參考答案

1.B

1Y_iir_i

設(shè)/z(x)=x-ln%-l,貝!J對0<x<l有=1——=----<0,對]>1有〃(力=1一一=---->0.

XXXX

從而〃(無)在(0,1)上遞減，在。,內(nèi))上遞增，所以⑴=1—0—1=0,故/z(x”0.

①一方面，在條件中令x=e,即得6(1一力>g+1,

彳段設(shè)貝^ffj]e=eee>e(1-a)e>ae+l>fl--']e+l=e,矛盾.

eevej

所以一定有a<l--.

e

②另一方面，若〃<1-工：

e

ri\<iri\A/i\i

-x-l-x-l-x-l-x-lI1-x

首先有OVe%e-ee-e-teee-Y-xee-x.

\J\\J)\e7

以及OW/z—=---In---1=---In

\eJeee

將兩個不等式相加，就得到0W—x+1—In=e?———Inx,從而胸z[l—，)x+lnx.

由于acl-，，所以對任意xe(0,+co),有e(「")”>e「21l-」jx+lnx>ox+lnx.

而對任意的彳4。]],顯然也有xe(O,"K?),所以e(-卜>ox+lnx,從而a<1」時條件一定滿足.

綜合①②兩個方面，可知。的取值范圍是，8,1-：].

故選：B.

2.A

構(gòu)造函數(shù)8^卜上廣，利用導(dǎo)數(shù)求最值，進(jìn)而得小的取值范圍.

若存在xe(0,y),使得/(力20有解，即機(jī)$-----.

設(shè)g(x)=l±J竺，(x>0),則g，(x)=>(l：lnx)=_/.

XXX

令g'(x)=0,解得x=l,

當(dāng)xw(0,l)時,g,x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

，

當(dāng)xe(L+s)時，g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)1mx=g(l)=l.

故機(jī)的取值范圍為(-8,1].

故選：A

3.D

fr^x^=x2-6x+8=(x-2)(x-4),

當(dāng)尤?0,2)時，尸(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，當(dāng)九?2,3)時，尸(力<。，/(%)單調(diào)遞減,

所以/(力在(0,3)上的最大值是"2)=4.

g,(x)=l--=^-,

XX

當(dāng)xe(O,l)時，g'(x)<0,g(尤)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,3)時,g,(x)>0,g(無)單調(diào)遞增,

所以g(x)在(0,3)上的最小值是g⑴=1,

若依,x2e(O,3),g(%)+-上/(%2)恒成立,貝U[g(x)+左L2〃尤)1mx,即1+左24,

所以左23,所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是[3,+8).

故選:D.

4.C

當(dāng)玉<%2時，X]—馬>萬1取i—5IM2恒成立，即當(dāng)王<兀2時，石—5I1IX]>%2—]1皿2怛成立,

設(shè)“x)=x-^|lnx,xe(l,3],則單調(diào)遞減，

而尸(切=1-(40在0,3]上恒成立，即a22x在(1,3]上恒成立，

所以〃26.

故選：C.

5.C

根據(jù)((X)=ae*-J20在(L2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

依題可知，-(無)=比。,20在(1,2)上恒成立，顯然”>0,所以xe-L

xa

設(shè)g(x)=xe",xe(l,2),所以g〈x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，

g(x)>g(l)=e,故eZ，,即aW』=eT,即a的最小值為e!

ae

6.C

恒成立問題一般采用分離參數(shù)的方法，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值即可.

當(dāng)x=0時，不等式顯然成立,

e%—~+2丫—]

當(dāng)x>0時，由題意可得

X

e"—%2+2x—1

g(x)=(%>0),

x

則有aVgd.

則g，")=(l)e；(、T)=(l)[e；(x+l)]

設(shè)/2(x)=e*-x-l,x>0,

則"(x)=e*-1>0,所以旗x)=e'-X-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以e->0,

所以當(dāng)xe(O,l)時,g,x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+oo)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

所以g(x)1nin=g#=e,

所以aWe

故選：C

7.C

根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為aVx-xlnx在(0,+e)有解，設(shè)g(x)=x-xlnx,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(x)的單調(diào)性

與最大值，即可求解.

若存在M>0,使得〃x。)40有解，

由函數(shù)〃x)=￡-l+lnxW0,gp1<l-lnx,即aWx—xlnx在(0,+巧有解，

設(shè)g(x)=x-xlnx,可得=l-(lnx+x，)=-Inx,

當(dāng)xe(0,l)時，g,x)>0,g(尤)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+8)時,g,(%)<0,g(無)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=l時，函數(shù)g(x)取得極大值，也為最大值g(l)=l-lnl=l,即g(x)41,

所以即實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：C.

8.A

JT

當(dāng)時，，己y=sin=cos%—140,

7T

故函數(shù)丁=sinx-x在0<兀《—上單調(diào)遞減，

2

故sinx—%vsin0—0=0,故sinX〈尤，

TT

所以2asinx+cos2x-3\0在0<x4一上有解,

2

TT一~

由于0<xV—,所以sinx>0,

2

所以2asinx>3—cos2x=2+2sin2x，所以就

由「一+sinx22,當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號，所以。的最小值是2.

sinx2

故選：A

9.C

當(dāng)x<0時，/(x)=x2-2ax+2

若a'O,則〃x）>2,要使恒成立，即0VaV2,

若a<0,貝|/（力2/（。）=。2-2/+2,要使/。恒成立,

即—4/2+220,(。+2)(?！?)W0,即—2Wa<0

當(dāng)xNO時，J(x)=e'-ox-1

/(O)=O,.-.a<O,/,(x)=eT-a>ex>O

.?"(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

要使"X)1恒成立，即/⑺2/(0),a40

綜上所述，。的取值范圍為［-2,0］,

故選：C.

10.D

解：因?yàn)椤?加一(2。—l)x+a—l-xlnx,x>0,

所以『'(X)=2ax-(2a-l)-lnx-l=2a(x-l)-lnx,

又因?yàn)閤e(l,+co),

所以當(dāng)aVO時，［(x)<0,f(x)在(1,y)上單調(diào)遞減,

所以/(“<八1)=0,不滿足題意；

所以。>0,

令g(%)=/'(%)—2a(x—1)—Inx,x>1,

EI，/、c12ax-l

則g(x)=2a——=---------,

XX

令g，(x)=O,得尤=),

2a

當(dāng)Lwl,即421時，g'(x)?o在(1,+8)上恒成立,

2a2

所以g(x),即f\x)在(L+8)上單調(diào)遞增，

所以廣。)>廣⑴=。，

所以/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則⑴=0,滿足題意；

當(dāng)人>1,即0<。<工時，

2a2

當(dāng)XG(1,3)時,g'(x)<0,則g(x),即尸(x)單調(diào)遞減，

2a

當(dāng)xe('-,+?>)時，g'(x)>0,則g(x),即尸(%)單調(diào)遞增，

2a

又因?yàn)閞a)=o,

假設(shè)存在唯一X。?1,4W),使/'(x)=。成立，則必有

所以當(dāng)xe(l,x°)時，尸(無)<0,“X)單調(diào)遞減，

當(dāng)尤e(無o，+co)時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

又/⑴=。，

所以當(dāng)xe(l,x。)時，必有了(無)<0,不滿足題意;

綜上,

故選：D.

11.A

1-x-lnx構(gòu)造函數(shù)“X)=J：；nx,利用導(dǎo)數(shù)法求出“力5,a>〃x"即

分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為“〉n

xex

為所求.

1-x-lnx

不等式謫+x>lnx有解，即。x>0,只需要〃>

xemin

令=

_(x+1)(x-2+lnx)

一八)-X2ex'x>0,

令g(x)=x-2+lnx,x>0,

.?./(x)=l+J>0,所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又g⑴=-l<0,g(2)=ln2>0,所以存在??1,2),使得g伉)=0,即無。-2+ln%=0,

.?.xe(O,A^),g(x)<0,gp/,(x)<0；xe(如+8),g(x)>0,即尸(x)>0,

所以函數(shù)“X)在(0,動上單調(diào)遞減，在伍,+功上單調(diào)遞增，

.../(不)=匕牛沖，又由毛-2+ln無。=。，可得x°e3=e2,

xoe

.￡/\_1—%Tn/_1—%+<0-2___1_

…八v"-獷。-e2e2,

1

a>——.

e

故選：A.

12.D

根據(jù)題意同構(gòu)可得e2'+ln(e""ax+ln(ax),構(gòu)建g(x)=x+lnx,x>0,結(jié)合單調(diào)性可得e?a公，參

2x2x

變分析可得aWJ,構(gòu)建“x)=二，尤>0,利用導(dǎo)數(shù)求最值結(jié)合恒成立問題分析求解.

XX

由題意可知：/(x)=e2x+(2-?)x-lnx-ln?>0,整理可得e?x+ln(e2x)><2x+ln(at),

設(shè)g(x)=x+lnx,x>0,貝！J短(力=1+：>0,可知g(%)在(。,+。)內(nèi)單調(diào)遞增，

由題意可知：^(e2x)>g(ox),貝！Je?x>依對任意x?0,+8)內(nèi)恒成立，

2x

可得aWJ對任意xe(0,+8)內(nèi)恒成立，

X

設(shè)函數(shù)"x)=U,x>0,則〃(力=往?二，

令〃(x)>0,解得x>:；令為'(x)<0,解得0<x<；；

可知/z(x)在(0,，內(nèi)單調(diào)遞減，在&,+，]內(nèi)單調(diào)遞增，

所以力(力的最小值為〃[￡|=2e,可得0<〃M2e,

所以。的取值范圍為(。,2寸

故選：D.

13.(一8,-2]

由題意得〃x)血021,對/(尤)求導(dǎo)，對。分aVO和。>0討論，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，求出函數(shù)的最

值即可求解.

,(2x-a\(x-\\

f(x)=-----八——^龍>0，

x

由題意21恒成立,則/(冗)〃21,

①當(dāng)a<0時，令((無)>0,得X>1;

令尸(x)<0,得0<x<l,

所以/(-V)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，

所以/(x)皿=/6=—。一121，解得。4一2

②當(dāng)。>0時，存在f(l)=-a-l<0,不滿足題意，

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是-2].

故答案為：(-?,-2].

14.(e,-H?)

由J<ln(6ix)轉(zhuǎn)化為xe*<Gcln(or),然后構(gòu)造函數(shù)〃x)=xe”,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而

求解.

因?yàn)閤>0,ax>0,所以。>0,不等式J<ln(ox)可以化為xe*<axln(a無)，

a

令/(x)=xex,則ax]n(ax)=eta(<K)ln(at)=/(ln(ax)),所以/(x)</(ln(a尤)).

當(dāng)x>0時，f\x)=(x+l)ex>0,故函數(shù)/(x)=xe*在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

當(dāng)In(依)40時，/(In(火))40,不合題意，舍去.

當(dāng)ln(ox)>0時，x>-,因?yàn)樵?0,+s)上單調(diào)遞增，/(x)</(ln(ax)),

a

1jr—1

所以x<ln(or),即x—lnx<lna.令g(x)=x-ln無，則短(%)=1--=-——,

XX

當(dāng)0<%<1時，g'(尤)<0,當(dāng)尤>1時，gf(x)>0,

所以g。)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)OvaWl時，->1,所以g(x)在(L+e]上單調(diào)遞增，故lna〉g(，],

所以ln〃>---In—,即0>—,矛盾，故舍去.

aaa

當(dāng)時，O<L<1,所以當(dāng)時，g(%)min=g(D=l，

aa

所以lna>l,即。>e.

綜上可得，實(shí)數(shù)，的取值范圍是(e,+8).

15.(1)—；(2)0<a?—.

22

2a

-=1

(1)設(shè)切點(diǎn)為(西,2alnxJ,得到切線方程，可得為，求解可得。值；(2)當(dāng)a>0,

-2a+2aInxi=0

6=-1時，F(xiàn)(%)=V，(x)+g(%)=x2+l+2?lnx,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，不妨設(shè)0<%<1，原

(11A33

不等式0廠(々)一廠(%)<3---------,即仆X2)+—</&)+一,令

xX

I石X2J21

h(x)=F(x)+—=x2+l+2aln尤+二，把原不等式轉(zhuǎn)化為/z(x)在(0,1］上遞減,由〃'(x)W0在(0,1］上恒

xx

成立，分離參數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求最值得答案.

(1)若1=0,函數(shù)〃力=》的圖象與g(x)=2alnx的圖象相切

設(shè)切點(diǎn)為(玉,2aln%),貝I］切線方程為y=陽彳-2。+2。111周

再

生=1ki=ee

<玉得，e???〃=77

a——2

-la+2tzInx=02

(2)當(dāng)Q>0,Z?=—l時，F(xiàn)(x)=xf(x)+g(x)=x2+l+2?lnx

F((x)=2x+^>0n網(wǎng)x)在(0,1］上單調(diào)遞增

不妨設(shè)?！凑?lt;々41,原不等式。尸(無,)一網(wǎng)占)<31工-工

-1占x2)

33

即/伍)+丁〈廠(石)+不

設(shè)力(力=/⑺+―=/+i+2〃lnx+—,則原不等式一妝犬)在(0,1］上遞減

即/(》)=2》+干一指〈0在(0,1］上，恒成立

，2041-2/在(0』上恒成立.

函數(shù)>='一2/在(0』上遞減=>'=3-2=1

...2々<1又。>0「.0vaW—

2

16.(1)答案見解析

(2)證明見解析

(1)因?yàn)?(x)=a(e，+a)-x,定義域?yàn)镽,所以/,

當(dāng)時，由于1>0,貝lUe'WO,故/■'(彳)=溫一1<0恒成立，

所以/(X)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，令/''(x)=4e&-l=0,解得x=-lna,

當(dāng)九v—lna時，/f(x)<0,則/(x)在(ro,—Ina)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>—Ina時，/r(x)>0,則/(%)在(—Ina,收)上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)a?O時，/(%)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)Q>0時，/(力在(ro,-Ina)上單調(diào)遞減，/(%)在(-加。,y)上單調(diào)遞增.

(2)方法一：

由(1)得，〃x)min="-lna)=a(e，"+〃)+1口〃=1+/+111〃，

331

要證f(x)>2\na+—,即證l+〃2+inQ>21n〃+5，即證。?一萬一Ina〉。恒成立，

令g(a)=a2------lna(a>0),貝|=2a—————-,

2aa

令g?)<0,則0<“<條令g，(a)>0,則a考;

所以g(a)在卜，乎］上單調(diào)遞減，在［日,上單調(diào)遞增，

((萬丫r-

=

所以g(a)1ni"=gVV-：-ln與=ln近>0,則g(a)>。恒成立，

k27\2)22

3

所以當(dāng)。>0時，/(x)〉21n〃+5恒成立，證畢.

方法二：

令/i(x)=e"-x-l,貝1」”(力=匕"-1,

由于y=在R上單調(diào)遞增，所以”(力=e、-1在R上單調(diào)遞增，

又“(O)=e°—l=O,

所以當(dāng)％<0時，/zf(x)<0；當(dāng)］>0時，

所以/i(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故九(%)之九(0)=0,則e'Nx+1,當(dāng)且僅當(dāng)>0時，等號成立，

因?yàn)閒(x)=a(e^+a^—x=aex+a2—x=ex+ina+O2—x>x+\na+l+a2—x,

當(dāng)且僅當(dāng)尤+lna=O,即x=—Ina時，等號成立，

331

所以要證/(無)>21口〃+,，即證x+lna+l+Q?>Zlna+g,即證/一萬一lna>0,

2

令g(Q)=a------lnQ(a>0),貝|=2a——=--,

2aa

令g'(a)<0,則o<a<]；令g'(4)>0,則a>4;

所以g(a)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

所以g(aL=gV=V-^-ln與=ln&>0,則g(a)>。恒成立,

(2)(2)22

3

所以當(dāng)。>0時，/(x)>21na+5恒成立，證畢.

17.(1)>=工+1和>=。：

⑵"4

(1)設(shè)〃x)圖像上的切點(diǎn)為(如峭)，因?yàn)?(x)=e，，貝1］尸(力=巴

令g(x)=e"，則g'(x