河北省石家莊市某中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年河北省石家莊二十八中八年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共14小題，每小題3分，共42分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1?若分式鼻無意義，貝式）

A.x=-1B.x=3C.x——1且X—3D.x=-1或x=3

2.若a、b均為正整數(shù)，且a>b〈冠，貝Ua+b的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

3.如果點(diǎn)“（￡1+3,（1+1）在直角坐標(biāo)系的；1軸上，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A.(0,-2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)

4.用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)1.58xICT?精確到哪一位？（)

A.十分位B.百分位C.干分位D.萬分位

5.比較2,，虧，舊的大小，正確的是（）

A.2<A<5<V7B.2<V7<<5C.V7<2<<5D.<5<V7<2

6.點(diǎn)4（-2,-3）向上平移3個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(-2,-6)B.(-2,0)C.(2,-6)D.(2,0)

7.四邊形A3C。的邊長如圖所示，對(duì)角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)

△4BC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知點(diǎn)M（a,b）在第二象限內(nèi),且|a|=l,網(wǎng)=2,則M的坐標(biāo)是（）

A.（-2,1）B.（-1,2）C.（2,-1）D.（1,-2）

9.若關(guān)于x的分式方程在9=弱勺解為非負(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

X-Zo

2222

A.u—B.a<—C.a之W且。工4D.a<§且。?！?

10.如圖，A/IBC的三邊AB,BC,CA的長分別是20,30,40,其三條角B

平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S-B。：SABC。：SA“O等于（）

A.1：1：1

B.1：2：3

C.2：3：4

D.3：4：5

11.考查50名學(xué)生的年齡，列頻數(shù)分布表時(shí)，這些學(xué)生的年齡落在5個(gè)小組中，第一、二、三、五組的數(shù)

據(jù)個(gè)數(shù)分別是2,8,15,5,則第四組的頻率是（）

A.20B.0.4C.0.6D.30

12.如圖，已知鈍角△4BC,依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.

步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫?、伲?/p>

步驟2：以8為圓心，8A為半徑畫?、冢?/p>

步驟3：連接AD,交8C延長線于點(diǎn)”；

下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.8”垂直平分線段

B.AC平分NBA。

1

C.S^ABC=2BC,AH

D.AH=DH

13.如圖，在直角△ABC中，ZC=9O°,AC=8,BC=6,按圖中所示方法，將

△BCD沿BD折疊,使點(diǎn)。落在邊A3上的點(diǎn)O處，則△ADC，的面積為（）

A.6

B.9

C.10

D.12

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,=90。.直角NEPF的頂點(diǎn)尸是

8C中點(diǎn)，兩邊PE、尸尸分另I」交A3、AC于點(diǎn)E、F,給出以下四個(gè)結(jié)

論：?AF=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=

?A4BC；?EF=AP.當(dāng)NEPF在AABC內(nèi)繞頂點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)￡不與

A,2重合），上述結(jié)論中始終正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

15.若用反證法證明命題“若a?>b2,則a>b”,應(yīng)假設(shè)

16.在四邊形A8CD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1,且NB=90。，則

/.DAB=

17.已知a,方都是實(shí)數(shù)，設(shè)點(diǎn)P(a,6),若滿足3a=2b+5,則稱點(diǎn)P為“新奇點(diǎn)”.若點(diǎn)—1,3m+2)

是“新奇點(diǎn)”，則點(diǎn)M在第象限.

18.如圖，在△4BC中，AB=AC=BC=2,AD,CE是△4BC的兩條中線,

(1)ZBXD=°；

(2)P點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝IBP+EP的最小值是.

19.觀察下列幾組勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；…按此規(guī)律，當(dāng)直角三角形的

較短直角邊長是11時(shí)，較長直角邊長是；當(dāng)直角三角形的較短直角邊長是2n+1(71為正整數(shù))時(shí)，

較長直角邊長是.

三、解答題：本題共3小題，共24分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.(本小題8分)

(1)先化簡，再求值：(x+1—>其中x=1；

fl

(2)/484-<3-x^12+<24.

21.(本小題8分)

某服裝店用960元購進(jìn)一批服裝，并以每件46元的價(jià)格全部售完.由于服裝暢銷，服裝店又用2220元，

再次以比第一次進(jìn)價(jià)多5元的價(jià)格購進(jìn)服裝，數(shù)量是第一次購進(jìn)服裝的2倍，仍以每件46元的價(jià)格出售.

(1)該服裝店第一次購買了此種服裝多少件？

(2)兩次出售服裝共盈利多少元？

22.(本小題8分)

小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角

頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,若△ABC和AADE均是頂角為40。的等腰三角形，BC、分別是底邊，求證：

BD=CE-,

(2)拓展探究：如圖2,若AZCB和ADCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、。、E在同一條直線上，連接BE,則

N4EB的度數(shù)為；線段3E與之間的數(shù)量關(guān)系是.

(3)解決問題：如圖3,若A4CB和ADCE均為等腰直角三角形，乙4cB=NDCE=90。，點(diǎn)A、D、E在同

一條直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接BE.

①請(qǐng)求出乙4EB的度數(shù)；

②線段。0、AE、8E之間的數(shù)量關(guān)系為.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：若分式無意義，

則/—2%—3=0,即(x—3)(x+1)=0,

即久-3=0或x+1=0,

解得x=或x=3.

故選：D.

分式?jīng)]有意義的條件分母為0,即廣―2久-3=0,解得彳的值.

本題考查的是分式無意義的條件分母等于0和一元二次方程的解法.

2.【答案】B

【解析】解：a、b均為正整數(shù)，且a>，7,b<VL

a的最小值是3,

b的最小值是：1，

則a+b的最小值4.

故選：B.

本題需先根據(jù)已知條件分別求出a、b的最小值，即可求出a+b的最小值.

本題主要考查了如何估算無理數(shù)的大小，在解題時(shí)要能根據(jù)題意求出a、b的值是本題的關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】解：,點(diǎn)M(a+3,a+1)在直角坐標(biāo)系的無軸上，

???a+1=0,

解得a=-1,

所以，。+3=-1+3=2,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

故選：B.

根據(jù)x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0列式求出。的值，即可得解.

本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記無軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】解:1.58x10-2=0.0158,

所以精確到萬分位.

故選：D.

先化成原數(shù)，再進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：???23=8,(AT=5愿=11.2,(V7)3=7

?-?V7<2<V-5.

故選：C.

首先把各數(shù)同時(shí)立方，然后比較被開方數(shù)的大小，即可解決問題.

此題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，本題可通過比較它們的立方來比較大小.

6.【答案】B

【解析】解：點(diǎn)(—2,—3)向上平移3個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是(—2,—3+3),即(—2,0).

故選：B.

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的平移規(guī)律：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減求解即可.

此題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.

7.【答案】B

【解析】解：當(dāng)47=48=3時(shí)，△48C為等腰三角形，

當(dāng)4C=BC=4時(shí)，在△ADC中，AC<AD+CD,即AC<4,此種情況不成立，

故選：B.

分力C=AB,AC=BC兩種情況，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可.

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：；|a|=1,\b\=2,點(diǎn)M(a,b)在第二象限，

???a=—1,b=2,

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,2).

故選：B.

根據(jù)第二象限點(diǎn)的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)求出以方的值，即可得解.

本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)

特點(diǎn)分別是：第一象限(+,+)；第二象限(-,+);第三象限(-,-)；第四象限(+,-).

9【答案】9

【解析】解：去分母得：6%-3a=%-2,

解得：x=V，

由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，得到等20,且喈中2,

解得：a>|且a豐4.

故選：C.

表示出分式方程的解，由解為非負(fù)數(shù)確定出a的范圍即可.

本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，注意對(duì)分式方程增根的討論是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】C

【解析】解：過點(diǎn)。作。D1BC于點(diǎn)。，作。E14C于點(diǎn)E,作。F14B于點(diǎn)F.

OA,OB,OC是AABC的三條角平分線，OD1BC,0E14C于，OF1AB

OD=OE=OF,

???△4BC的三邊A3、BC、AC長分別為20、30、40,

SAAB。：^ABCO:^HCAO

1i1

=Cx4BxOF)：(ifiCxOD)：(^xACxOE)

=BA：CB：CA

=2：3：4.

故選：C.

過點(diǎn)。作。D1BC于點(diǎn)。，作0EL2C于點(diǎn)E,作。FLAB于點(diǎn)孔由。4,OB,OC是A4BC的三條角平

分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得。。=。5=。/，然后利用三角形面積的計(jì)算公式表示出SMB。、

S^BCO、SACAO，結(jié)合已知，即可得到所求的三個(gè)面積的比?

本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性

質(zhì)定理解決問題.

11.【答案】B

【解析】解：???第一、二、三、五組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別是2,8,15,5,

???第四組的頻數(shù)是50-(2+8+15+5)=20,

第四小組的頻率為：=0.4.

故選：B.

根據(jù)題意可得：第四小組的頻數(shù)是50-(2+8+15+5)=20,再代入公式即可求得頻率.

本題是對(duì)頻率、頻數(shù)靈活運(yùn)用的綜合考查，各小組頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總和，各小組頻率之和等于1.

12.【答案】B

【解析】解：連接CO,8D.

由作圖可知：CA=CD,BA=BD,/

???直線BC垂直平分線段AD,帝二-------4-

a,』②

???S^ABc=1-BC-AH,故A,C,D正確，

故選：B.

根據(jù)線段的垂直平分線的判定即可解決問題.

本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問題.

13.【答案】A

【解析】解：???NC=90。，AC=8,BC=6,

.-.AB=10.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，BC=BC,CD=DC,ZC=^AC'D=90。.

???AC=10-6=4.

在△AC'。中，設(shè)DC'=x,貝1]4。=8-刀，根據(jù)勾股定理得(8-乂)2=/+42.

解得x=3.

CD=3,

1-1

的面積=搟xAC、/x4x3=6,

故選：A.

首先根據(jù)勾股定理求出A2的長，然后利用折疊的性質(zhì)求出4C'的長，在△AC'。中，設(shè)。C'=x,則

8-久，根據(jù)勾股定理求出x的值即可，即可求解.

本題考查了翻折變換，勾股定理，掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】B

【解析】解：?；AB=AC,/.BAC=90°,

???Z-B=Z-C—45°,

?.P為邊的中點(diǎn)，/\

??.AP=BP=CP,Z-BAP=NG4P=45°,APIBC,BPC

???Z-EAP=",

又???/,EPA+AAPF=90°,乙FPC+^APF=90°,

???Z-EPA=Z.FPC,

在△EPA和中，

ZEAP=ZC

AP=PC,

.Z.EPA=FPC

AE=CF,EP=FP,所以①正確；

.?.△EPF是等腰直角三角形，所以②正確；

???四邊形AEPF的面積等于△4PC的面積，

???2s四邊形AEPF=ABC,所以③不一定正確；

又▽??,EreF=—PF,

而只有歹點(diǎn)為AC的中點(diǎn)時(shí)，AP=^-,

即點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)時(shí)有EF=4P,所以④不一定正確.

所以當(dāng)NEP尸在A8C內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、8重合），上述結(jié)論中始終正確的有①②，共2個(gè).

故選:B.

由等腰直角三角形的性質(zhì)可得NB=NC=45。，AP=BP=CP,Z.BAP=ACAP=45°,AP1BC,由直角

三角形的兩個(gè)銳角互余，可得NEP4=NFPC,所以△EPA^^FPC,所以①②③都得到證明.當(dāng)EF是三

角形ABC的中位線時(shí)，才有EF=4P.

本題考查了三角形全等的證明、直角等腰三角形的性質(zhì)、以及三角形的中位線定理.解決本題的關(guān)鍵是利

用直角三角形的性質(zhì)，說明△EPAgAFPC.

15.【答案】a<b

【解析】解：用反證法證明命題“若a?>b2,則a>6"，應(yīng)假設(shè)a<b,

故答案為：aWb.

反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立.

本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反

面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定.

16.【答案】135°

【解析】解：連接AC.

設(shè)=貝MB=2k,BC=2k,CD=3k.A，、\

???ZB=90°,AB；BC=2：2,''、、\

???ABAC=45",AC2=AB2+BC2=4fc2+4fc2=8k2,、'、\

v(3fc)2-k2=8k2,Bc

：./.DAC=90°,

???^DAB=^BAC+^DAC=135".

故答案為：135。.

連接AC,由已知和等腰三角形的性質(zhì)可知N84C=45。，在4c中利用勾股定理的逆定理可ND4C=

90°,從而求出的度數(shù).

本題考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的逆定理的應(yīng)用.本題將ND4B分成/B4C,4c是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】三

【解析】解：由題意得：

3(m-1)=2(3m+2)+5,

解得m=-4,

■■■m—1——5,3m+2——10,

M的坐標(biāo)為(-5,-10).

.??點(diǎn)M在第三象限.

故答案為：三.

直接利用“新奇點(diǎn)”的定義得出加的值，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，正確掌握“新奇點(diǎn)”的定義是解題關(guān)鍵.

18.【答案】3073

【解析】解：(1)???AB=AC=BC=2,

.?.△2BC為等邊三角形，

???/.BAC=60",

又???4。是中線，

1

,-.4BAD=^ABAC=30°.

故答案為：30；

(2)如圖,連接尸C,

???AB=AC,BD=CD,

：.AD1BC,

：.PB=PC,

PB+PE=PC+PE,

■：PE+PC>CE,

P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，

CE=<AC2-AE2=V22-1=<3,

BP+EP的最小值是JW

故答案為：73.

如圖連接PC,只要證明P8=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC2CE,推出尸、C、E共線

時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度.

本題考查軸對(duì)稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)解決問題.

19.【答案】602n2+2n

【解析】解：設(shè)勾股數(shù)中最小數(shù)是。，最大數(shù)是c,中間數(shù)是6,

由幾組勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41可以看出：c=b+l,a2^b+c,

則直角三角形的較短直角邊長是11時(shí)，1/=121,

則較長直角邊長是60,

當(dāng)直角三角形的較短直角邊長是2?i+1(n為正整數(shù))時(shí)，(2n+I)2=4n2+4n+1,

較長直角邊長2幾2+2n,

故答案為：60；2n2+2n.

根據(jù)題意得到c=b+l,a1=b+c,根據(jù)規(guī)律解答即可.

本題考查的是勾股數(shù)，正確找出三個(gè)勾股數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)原式==+—三)

、'X—1X—1x—r

X—2%2—4

~X—1.X—1

x—2X—1

~X—1(%+2)(%—2)

=x+2f

當(dāng)久=V-3-1時(shí)，

原式一二一一田?

原八一/3+1-2'

(2)原式=V16—V-6+V24

=4-V6+2A/-6

=4+AA6.

【解析】(1)先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將x的值代入計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算，再化簡，最后計(jì)算加減即可.

本題主要考查分式的化簡求值、二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法

則、二次根式的乘除運(yùn)算法則.

21.【答案】解：(1)設(shè)該服裝店第一次購買了此種服裝1件，則第二次購進(jìn)2x件，

根據(jù)題意得：^--=5,

2%x

解得：%=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的根，且符合題意.

答：該服裝店第一次購買了此種服裝30件.

(2)46x(30+30x2)-960-2220=960(元).

答：兩次出售服裝共盈利960元.

【解析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)數(shù)量

間的關(guān)系