2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第1篇專題8函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講小題考法-函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

PAGEPAGE1第1講小題考法——函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、主干學(xué)問(wèn)要記牢函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的隨意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，假如對(duì)于定義域內(nèi)的隨意一個(gè)x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期．二、二級(jí)結(jié)論要用好1．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論(1)當(dāng)f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)．(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.(3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)．(5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過(guò)原點(diǎn)，即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)＝0．(6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù)．2．抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的結(jié)論(1)函數(shù)的周期性①若函數(shù)f(x)滿意f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a②若函數(shù)f(x)滿意f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a③若函數(shù)f(x)滿意f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝2a．(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱性①若函數(shù)y＝f(x)滿意f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a②若函數(shù)y＝f(x)滿意f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,③若函數(shù)y＝f(x)滿意f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．3．函數(shù)圖象平移變換的相關(guān)結(jié)論(1)把y＝f(x)的圖象沿x軸左右平移|c|個(gè)單位(c＞0時(shí)向左移，c＜0時(shí)向右移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))．(2)把y＝f(x)的圖象沿y軸上下平移|b|個(gè)單位(b＞0時(shí)向上移，b＜0時(shí)向下移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))．三、易錯(cuò)易混要明白1．求函數(shù)的定義域時(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來(lái)列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開(kāi)偶次方根，被開(kāi)方數(shù)肯定是非負(fù)數(shù)；對(duì)數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)．列不等式時(shí)，應(yīng)列出全部的不等式，不能遺漏．2．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“和”連接或用“，”隔開(kāi)．單調(diào)區(qū)間必需是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．3．推斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，要留意定義域必需關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必需留意使定義域不受影響．4．用換元法求解析式時(shí)，要留意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問(wèn)題．5．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)．考點(diǎn)一函數(shù)的概念及表示1．函數(shù)定義域的求法求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出解集即可．2．分段函數(shù)問(wèn)題的5種常見(jiàn)類型及解題策略常見(jiàn)類型解題策略求函數(shù)值弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對(duì)應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層往外計(jì)算求函數(shù)最值分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值，然后比較大小解不等式依據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要留意取值范圍的大前提求參數(shù)“分段處理”，采納代入法列出各區(qū)間上的方程利用函數(shù)性質(zhì)求值必需依據(jù)條件找到函數(shù)滿意的性質(zhì)，利用該性質(zhì)求解1．(2024·邵陽(yáng)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2(x－1)＋eq\r(2－x)，則函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))的定義域?yàn)?B)A．(1,2] B．(2,4]C．[1,2] D．[2,4)解析f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0，,x－1＞0))?1＜x≤2,故1＜eq\f(x,2)≤2,2＜x≤4,所以選B．2．(2024·南充三聯(lián))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－2，x≤0，,fx－2＋1，x＞0，))則f(2018)＝__1_008__．解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－2，x≤0，,fx－2＋1，x＞0，))則f(2018)＝f(2016)＋1＝f(2014)＋2＝…＝f(0)＋1009＝1－2＋1009＝1008,故答案為1008．3．(2024·百校聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)，x＞1，,x＋1，x≤1))若f(1－a)＝f(1＋a)(a＞0)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_1__．解析∵a＞0，∴1－a＜1,1＋a＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝eq\f(1,a)，即a2－2a＋1＝0，所以a＝1．考點(diǎn)二函數(shù)的圖象及應(yīng)用由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象的策略1．(2024·郴州二模)函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,8)x2的大致圖象是(A)解析因?yàn)閒′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,4)x＝eq\f(4－x2,4x)，所以0＜x＜2，f′(x)＞0，x＞2，f′(x)＜0，函數(shù)在(0,2)上是增函數(shù)，(2，＋∞)上是減函數(shù)，故C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，又f(2)＝ln2－eq\f(1,2)＝ln2－lneeq\f(1,2)＝lneq\f(2,\r(e))＞ln1＝0，故選A．2．(2024·江門一模)函數(shù)y＝eq\f(1－ln|x|,1＋ln|x|)·sinx的部分圖象大致為(A)解析設(shè)f(x)＝eq\f(1－ln|x|,1＋ln|x|)·sinx，由1＋ln|x|≠0得x≠±eq\f(1,e)，則函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，\f(1,e)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))．∵f(－x)＝eq\f(1－ln|－x|,1＋ln|－x|)·sin(－x)＝－eq\f(1－ln|x|,1＋ln|x|)·sinx＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，解除D．又1＞eq\f(1,e)，且f(1)＝sin1＞0，故可解除B．eq\f(1,e2)＜eq\f(1,e)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＝eq\f(1－ln|\f(1,e2)|,1＋ln|\f(1,e2)|)·sineq\f(1,e2)＝eq\f(1－－2,1－2)·sineq\f(1,e2)＝－3·sineq\f(1,e2)＜0，故可解除C．選A．3．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0解的個(gè)數(shù)是__5__．解析方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝eq\f(1,2)或1.作出y＝f(x)的圖象，由圖象知方程解的個(gè)數(shù)為5．考點(diǎn)三函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用函數(shù)3特性質(zhì)的應(yīng)用(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系親密，探討問(wèn)題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只探討部分(一半)區(qū)間上．尤其留意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì)：f(|x|)＝f(x)．(2)單調(diào)性：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．1．(2024·山西聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－2，x＜0，,gx，x＞0))為奇函數(shù)，則f(g(2))＝(D)A．－2 B．－1C．0 D．2解析設(shè)x＞0，則－x＜0，故f(－x)＝2x－2＝－f(x)，故x＞0時(shí)，f(x)＝2－2x，由g(2)＝f(2)＝2－4＝－2，故f(g(2))＝f(－2)＝－f(2)＝2，故選D．2．(2024·雅安三診)已知函數(shù)f(x)＝－x3－7x＋sinx，若f(a2)＋f(a－2)＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(－1,2) D．(－2,1)解析∵函數(shù)f(x)＝－x3－7x＋sinx，∴f(－x)＝x3＋7x－sinx＝－f(x)，即函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)．∵f′(x)＝－3x2－7＋cosx，∴f′(x)＝－3x2－7＋cosx＜0恒成立，即函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)．∵f(a2)＋f(a－2)＞0，∴f(a2)＞－f(a－2)＝f(2－a)，∴a2＜2－a，即a2＋a－2＜0．∴－2＜a＜1，故選D．3．(2024·石嘴山二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(－21)＋f(16)＝__－1__．解析f(－21)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(16)＝f(0)＝0，∴f(－21)＋f(16)＝－1，故答案為－1．4．(2024·延邊模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·2x－1－\f(1,a)，x≤1，,a