第4屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)學(xué)類）

1第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題標(biāo)準(zhǔn)答案一、(本題15分):設(shè)A為正常數(shù)，直線?與雙曲線x2?y2=2(x>0)所圍的有限部分的面積為A.證明：(i)所有上述?與雙曲線x2?y2=2(x>0)的截線段的中點(diǎn)的軌跡為雙曲線.(ii)?總是(i)中軌跡曲線的切線.證明：將雙曲線圖形進(jìn)行45度旋轉(zhuǎn)，可以假定雙曲線方程為,x>0.設(shè)直線?交雙曲線于(a,1/a)和(ta,1/ta),t>1,與雙曲線所圍的面積為A.則有=0,f=+∞,f′2>0,所以對(duì)常數(shù)A存在唯一常數(shù)t使得A=f(t)(5分).?與雙曲線的截線段中點(diǎn)坐標(biāo)為于是，中點(diǎn)的軌跡曲線為(10分)故中點(diǎn)軌跡為雙曲線,也就是函數(shù)給出的曲線.該曲線在上述中點(diǎn)處的切線斜率它恰等于過兩交點(diǎn)(a,1/a)和(ta,1/ta)直線?的斜率:故?為軌跡曲線的切線.(15分)二、(本題15分):設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件:1)?∞<a≤f(x)≤b<+∞,a≤x≤b;2)對(duì)于任意不同的x,y∈[a,b]有|f(x)?f(y)|<L|x?y|,其中L是大2limn→∞xn=x存在,且f(x)=x.去,對(duì)任意n≥1有a≤xn≤b,所以xn對(duì)任意n≥1有意義(3分).由條件2),有(x3?x2)+(f(x3)?f(x2))|≤|x3?x2|≤()2|x2?x1|.繼續(xù)下去得|xn+1?xn|≤n?1|x2?x1|,?n≥3.由于k收斂,從而Σ|xk+1?xk|收斂,當(dāng)然也收斂.故其前n項(xiàng)部分和Σ=1(xk+1?xk)=xn+1?x1當(dāng)n→∞時(shí)極限存在,即limn→∞xn存在.(12分)記limn→∞xn=λ,a≤λ≤b.由條件2)知,f(x)滿足Lipschitz條件,從而是連續(xù)的.在xn+1=))中令n→∞,得λ=即f(λ)=λ.(15分)三、(本題15分):設(shè)n階實(shí)方陣A的每個(gè)元素的絕對(duì)值為2.證明：當(dāng)n≥3時(shí),n+1n!.證明：(i)首先,|A|=2n|A1|,其中A1=A,它的所有元素為1或?1.(1分)(ii)當(dāng)n=3時(shí),=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32?a31a22a13?a32a23a11?a33a21a12+b2+b3+b4+b5+b6上式bi中每項(xiàng)為±1,且六項(xiàng)乘積為?1,至少有一個(gè)bi為?1，從而這六項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)相消,故有|A1|≤4=·2·3!.于是命題對(duì)n=3成立(9分).(iii)設(shè)此命3題對(duì)于一切這樣的(n?1)階方陣成立,那么對(duì)n階矩陣的情形,將|A|按第一行展開,記1行k列的代數(shù)余子式為M1k,便有|A|=±2M11±2M12±···±2M1n≤2(|M11|+|M12|+···|M1n|)四、(本題15分):設(shè)f(x)為區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù).對(duì)x0∈(a,b),若存在x0的鄰域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)>f(x0)+f′(x0)(x?x0),則稱x0為f(x)的凹點(diǎn).類似地,若存在x0的鄰域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)<f(x0)+f′(x0)(x?x0),則稱x0為f(x)的凸點(diǎn).證明:若f(x)為區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù),且不是一次函數(shù),則f(x)一定存在凹點(diǎn)或凸點(diǎn).證明：因?yàn)閒(x)不是一次函數(shù),故存在a<x1<x2<x3<b,使得三點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))不共線.不妨設(shè)令取定ε>0充分小,使得g(x1)>f(x1)和g(x3)>f(x3).令h(x)=g(x)?f(x).則有h(x1)>0和h(x3)>0,且h(x2)=0.令h(ξ)=minx∈[x1;x3]h(x),則h(ξ)≤0,ξ∈(x1,x3),并且f′(ξ)=g′(ξ)(10分).故f(x)≤g(x)?h(ξ),x∈(x1,x3).注意到g(x)?h(ξ)的圖像是一個(gè)開口向下的拋物線,故對(duì)xξ有g(shù)(x)?h(ξ)<g′(ξ)(x?ξ)+g(ξ)?h(ξ)=f′(ξ)(x?ξ)+f(ξ),即f(x)<f′(ξ)(x?ξ)+f(ξ),x∈(x1,x3)\{ξ}.······(15分)4五:設(shè)A=為實(shí)對(duì)稱矩陣,A*為A的伴隨矩陣.記若|A|=?12,A的特征值之和為1且(1,0,?2)T為(A*?4I)x=0的一個(gè)解.試給出一正交變換,,使得f化為標(biāo)準(zhǔn)型.由此f(x1,x2,x3,x4)為關(guān)于x1,x2,x3,x4的二次型(2分).其次,由(A*?4I)x=0得(|A|I?4A)x=0,即(A+3I)x=0.故由(1,0,?2)T為(A*?4I)x=0的一個(gè)解知,A有特征值?3(4分).現(xiàn)可設(shè)A的特征值為λ1,λ2,?3.于是由|A|=?12及A的特征值之和為1,得方程組λ1+λ2?3=1,?3λ1λ2=?12,得λ1=λ2=2.所以A的全部特征值為2,2,?3.結(jié)果,對(duì)應(yīng)特征值?3的特征空間V?3的維數(shù)為1,對(duì)應(yīng)特征值2的特征空間V2的維數(shù)為2(6分).注意到(1,0,?2)T是A相應(yīng)于特征值?3的一個(gè)特征向量,因此它是V?3的基.求解下列線性方程組的基礎(chǔ)解系:t1?2t3=0,得到正交基礎(chǔ)解:α=T,β=T,且令γ=T,則α,β為V2的標(biāo)準(zhǔn)正交5基,α,β,γ為R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基.事實(shí)上,因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣,V2=V3⊥,它是唯一的,維數(shù)為2(12分).現(xiàn)在A可寫成P?1,其中P=從而得,A?1=P .令Q=,則由P為正交矩陣知： 為正交變換,其中Q=它使得 為f(x1,x2,x3,x4)的標(biāo)準(zhǔn)型(20分).六、(20分):設(shè)R為實(shí)數(shù)域,n為給定的自然數(shù),A表示所有n次首一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的集合.證明：證明：我們證明對(duì)任意n次首一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,都有(x)|dx≥cnan+1,其中cn滿足c0=1,cn=,n≥1(3分).我們對(duì)n用歸納法.n=60時(shí)P(x)=1.則|P(x)