幾何圖形初步 相交線與平行線（綜合壓軸題分類）（解析版）

幾何圖形初步+相交線與平行線（綜合壓軸題分類專題）

考點(diǎn)目錄

篇一：綜合部分

【知識(shí)點(diǎn)1］幾何圖形初步

【考點(diǎn)1】常見(jiàn)的立體圖形........................................................

1

【考點(diǎn)2】從不同方向看幾何體....................................................

3

【考點(diǎn)3］幾何圖形的展開(kāi)圖......................................................

5

【考點(diǎn)4】點(diǎn)、線、面、體及平面圖形的認(rèn)識(shí).......................................7

【考點(diǎn)5】直線、射線、線段......................................................

9

【考點(diǎn)6】角的認(rèn)識(shí)及有關(guān)計(jì)算...................................................

11

【知識(shí)點(diǎn)2】相交線與平行線

【考點(diǎn)7】余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、角平分線綜合....................................

14

【考點(diǎn)8】垂線段最短與平行線間的距離...........................................

16

【考點(diǎn)9］平行公理+平行線的判定................................................

19

【考點(diǎn)10］平行公理+平行線的性質(zhì)...............................................

22

【考點(diǎn)11］平行線性質(zhì)與判定綜合................................................

25

篇二：壓軸部分（備注：知識(shí)點(diǎn)與八九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)綜合）

1

【考點(diǎn)12】計(jì)算推理求值........................................................

27

【考點(diǎn)13】求最值...............................................................

30

【考點(diǎn)14］推理證明與解答......................................................

34

篇一：綜合部分

【知識(shí)點(diǎn)1］幾何圖形初步

【考點(diǎn)1】常見(jiàn)的立體圖形

1.（2023?四川樂(lè)山,中考真題）下面幾何體中，是圓柱的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)圓柱的特征，即可解答.

解：A.是正方體，故不符合題意；

B.是圓柱，故符合題意；

C.是圓錐，故不符合題意；

D.是球體，故不符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，熟練掌握每個(gè)幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖南?中考真題）作為中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器

色澤古樸典雅，從一個(gè)方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識(shí).如圖是一把做工精湛的紫砂壺"景舟石瓢",

下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）

4C?,J

【答案】B

2

【分析】本題考查了從三個(gè)方面看物體，準(zhǔn)確把握從正面、左面和上面三個(gè)方向看立體圖形得到的平面圖

形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.從正面、左面和上面三個(gè)方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看

不到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在視圖中，看得見(jiàn)的用實(shí)線，看不見(jiàn)的用虛線，虛實(shí)重合用實(shí)線.

解：從左面看，得到的平面圖形是

故選：B.

3.（24-25七年級(jí)上?福建泉州?期末）下列幾何體中，是棱錐的是（）

A.口B,匚口C.'A

【答案】C

【分析】本題考查了棱錐的知識(shí)，掌握了以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵；

本題根據(jù)棱錐的概念進(jìn)行作答，即可求解；

解：?.一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫

棱錐，

.?只有選項(xiàng)C符合棱錐定義，

故選：C；

【考點(diǎn)2】從不同方向看幾何體

1.（2022?黑龍江牡丹江?中考真題）從正面，左面，上面觀察由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的

形狀圖（如圖所示），則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】此題考查了從不同方位看簡(jiǎn)單幾何組合體，熟知以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)從正面看以及從

左面看可得出該小正方形共有兩行搭成，從上面看可確定幾何體中小正方形的列數(shù)，從而得出答案.

解：從正面看左邊第一列兩個(gè)正方體，第二列有一個(gè)正方體；從左面來(lái)看，左邊第一列兩個(gè)正方體，第二

列有一個(gè)正方體；說(shuō)明從上面來(lái)看時(shí)，后面有兩個(gè)正方體，前面一排各有一個(gè)，所以此幾何體共有四個(gè)正

方體，

3

故選：B.

2.（24-25七年級(jí)上?河南焦作?期末）下列幾何體都是由4個(gè)大小相同的小正方體組成的，其中從正面看

和從左面看，所看到的形狀圖相同的幾何體是（）

【分析】本題考查了從不同方向看幾何體，良好的空間想象力是解題關(guān)鍵.畫(huà)出從正面看和從左面看的圖

即可得.

解：A、從正面看和從左面看，這個(gè)幾何體所看到的形狀圖如下：

主視圖左視圖

則此項(xiàng)不符合題意；

B、從正面看和從左面看，這個(gè)幾何體所看到的形狀圖如下:

主視圖左視圖

則此項(xiàng)符合題意；

C、從正面看和從左面看，這個(gè)幾何體所看到的形狀圖如下:

主視圖左視圖

則此項(xiàng)不符合題意；

D、從正面看和從左面看，這個(gè)幾何體所看到的形狀圖如下:

主視圖左視圖

則此項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

3.（24-25七年級(jí)上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）用4個(gè)大小相同的小立方體搭成如圖所示的幾何體，從上面看,

4

得到的形狀圖是（）

B.

【答案】D

【分析】本題考查了從不同的方向看幾何體，具備較強(qiáng)的空間想象能力是解題關(guān)鍵.從上面看，得到的形

狀圖是并列排在一行的三個(gè)小正方形，由此即可得.

解：

解：從上面看，得到的形狀圖是,

故選：D.

【考點(diǎn)3］幾何圖形的展開(kāi)圖

1.（2024?江蘇宿遷,中考真題）全國(guó)兩會(huì)，習(xí)近平總書(shū)記在參加江蘇代表團(tuán)審議時(shí)指出，我們能不能如期

全面建成社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)，關(guān)鍵看科技自立自強(qiáng).將“科技、自立、自強(qiáng)"六個(gè)字分別寫(xiě)在某正方體的

表面上，如圖是它的一種表面展開(kāi)圖，在原正方體中，與"強(qiáng)"字所在面相對(duì)面上的漢字是（）

【答案】C

【分析】本題考查正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，還原正方體是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)正方體表面展開(kāi)圖的特征進(jìn)行判斷即可.

解:將"自"作為底面，則折起來(lái)"強(qiáng)"在前面，"立"在右面，"科"在后面，

.與"強(qiáng)"字所在面相對(duì)面上的漢字是"科”,

故選：C.

2.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，圓柱的底面半徑為石，高為1,下列關(guān)于該圓柱的結(jié)論正確的有（）

5

A.體積為nB.母線長(zhǎng)為1

C.側(cè)面積為26兀D.側(cè)面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)為；&G

【答案】BC

【分析】本題主要考查圓柱的體香，母線長(zhǎng)，側(cè)面積以及側(cè)面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)求解各選項(xiàng)再

判斷即可

解：A.?.圓柱的底面半徑為G高為1,

.?圓柱的體積為故選項(xiàng)A不符合題意；

B.?.圓柱的高為1,

.?圓柱的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)故選項(xiàng)B正確，符合題意；

C..■圓柱的底面半徑為石高為1,

.一圓柱的底面周長(zhǎng)為1氐,

.側(cè)面積為267txi-2/無(wú)故選項(xiàng)C正確，符合題意；

D.,.圓柱的底面周長(zhǎng)為高為1,

.?圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)為2j%x2+lx2=4j??r+2故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意

綜上，正確的結(jié)論為B,C,

故選：BC

3.（2024?山東青島?中考真題）如圖①，將邊長(zhǎng)為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長(zhǎng)為的小正方形，得到如

圖②的“紙板卡"，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長(zhǎng)、寬、高

分別為4,2,2的長(zhǎng)方體磚塊，切割掉長(zhǎng)、寬、高分別為山』的長(zhǎng)方體，得到如圖④的"直角磚塊"，若用這樣

完全相同的"直角成塊"拼成正方體，最少需要塊.

圖①圖②圖③圖④

【答案】12144

【分析】本題考查展開(kāi)圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識(shí)，先拼成一個(gè)基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形

（體）的特征，即可解答.

解：先用2個(gè)圖②拼成一個(gè)長(zhǎng)為3,寬為2的長(zhǎng)方形，面積為6,

6

72.3的最小公倍數(shù)是6,

如圖，

.6個(gè)這樣的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)面積為36的正方形，此時(shí)邊長(zhǎng)為6,

需圖②的個(gè)數(shù)：6x2=12（個(gè)）；

同理用2個(gè)圖④拼成長(zhǎng)，寬，高分別為4,3,2的長(zhǎng)方體，

用人3=12個(gè)這樣的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)長(zhǎng)，寬，高為12,12.2的長(zhǎng)方體，用6個(gè)這樣的長(zhǎng)方體可以拼成長(zhǎng),

寬，高為12,12,12的正方體，

此時(shí)需要：2x3x4x6=144（個(gè)）?

故答案為：12；144.

【考點(diǎn)4】點(diǎn)、線、面、體及平面圖形的認(rèn)識(shí)

1.（2020?浙江湖州,中考真題）七巧板是我國(guó)祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，流行于世界各地.由邊長(zhǎng)為2的正方

形可以制作一副中國(guó)七巧板或一副日本七巧板，如圖1所示.分別用這兩副七巧板試拼如圖2中的平行四

邊形或矩形，則這兩個(gè)圖形中，中國(guó)七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)分別是（）

272

A.1和1B.1和2C.2和1D.2和2

【答案】D

【分析】解答此題要熟悉中國(guó)和日本七巧板的結(jié)構(gòu)，中國(guó)七巧板的結(jié)構(gòu)：五個(gè)等腰直角三角形，有大、小

兩對(duì)全等三角形；一個(gè)正方形；一個(gè)平行四邊形；日本七巧板的結(jié)構(gòu)：三個(gè)等腰直角三角形，一個(gè)直角梯

形，一個(gè)等腰梯形，一個(gè)平行四邊形，一個(gè)正方形，根據(jù)這些圖形的性質(zhì)便可解答.

解：中國(guó)七巧板和日本七巧板能拼成的個(gè)數(shù)都是2,如圖所示：

7

用中國(guó)的七巧板拼

日本七巧板的拼法

故選：D.

【點(diǎn)撥】此題是一道趣味性探索題，結(jié)合我國(guó)傳統(tǒng)玩具七巧板，用七巧板來(lái)拼接圖形，可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手

能力，展開(kāi)學(xué)生的豐富想象力.

2.（2022?湖北荊門(mén)?中考真題）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無(wú)存，但底部未曾受損.已知

該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為120m的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60。角，則金字塔原來(lái)高度為（）

A.120mB.6075mC.604mD.120m

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圖形，即求.“的長(zhǎng),求得NR4C=30。，進(jìn)而解Rk即可求解.

解：如圖,

,.底部是邊長(zhǎng)為120m的正方形,

8

：BC=、120=60m,

ACABC,NA3C=60°,

：ZBAC=30°,

3』號(hào)=2一加,

2

.AC=Vl20260~60V

答：這個(gè)金字塔原來(lái)有6（5米高.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在RMPQR中，=P0=4,RQ=3,將RMP0R繞直線

P0旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積等于.（結(jié)果保留近

【分析】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，勾股定理，面動(dòng)成體，先利用勾股定理得到

PR=jRQ+PQ：=5,再根據(jù)題意可得將RIEaQR繞直線P。旋轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)底面半徑為3,母線

長(zhǎng)為5的圓錐，據(jù)此根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式求解即可.

解：,.在RMPQR中，上P0R=9（1P0=4.R0=3，

PR=JRQ-+PQ-=5

,?將RMP0R繞直線P旗轉(zhuǎn)一周，會(huì)得到一個(gè)底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5的圓錐，

.?這個(gè)幾何體的側(cè)面積等于*“j=11，

故答案為：.

【考點(diǎn)5】直線、射線、線段

1.（2024?江蘇常州,中考真題）如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)。為支點(diǎn)，使其向右傾斜.若在點(diǎn)A處分別施加推

9

力「、F：,則下的力臂0.』大于F：的力臂08.這一判斷過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線段最短

B.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩點(diǎn)確定一條直線

D.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點(diǎn)，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過(guò)點(diǎn)。有

08,進(jìn)而利用垂線段最短得到…>08即可解題.

解：???過(guò)點(diǎn)。有08一48,

,-.OA>0B,

即得到「的力臂04大于F：的力臂08,

,其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，

故選：A.

2.（2021?江蘇泰州?中考真題）互不重合的A、B、C三點(diǎn)在同一直線上，已知AC=2a+LBC=a+4,AB

=3a,這三點(diǎn)的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)A在3、C兩點(diǎn)之間B.點(diǎn)2在A、C兩點(diǎn)之間

C.點(diǎn)C在A、B兩點(diǎn)之間D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】分別對(duì)每種情況進(jìn)行討論，看a的值是否滿足條件再進(jìn)行判斷.

解：①當(dāng)點(diǎn)A在8、C兩點(diǎn)之間，則滿足8C=",

即。+4=2。+1+3。，

解得:3符合題意，故選項(xiàng)A正確;

4=丁

②點(diǎn)在、。兩點(diǎn)之間，則滿足

8AAC=BC+AB，

10

即2aM=a+4+3a,

解得：a=-p不符合題意，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

③點(diǎn)C在A、2兩點(diǎn)之間，則滿足48=8C-1，

BP3a=a?4?2a?I,

解得：。無(wú)解，不符合題意，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段的和與差及一元一次方程的解法，分類討論并列出對(duì)應(yīng)的式子是解本題的關(guān)

鍵.

3.（2022?浙江嘉興?中考真題）如圖，在ABC中，ZABC=90°,ZA=60°,直尺的一邊與BC重合，另

一邊分別交AB,AC于點(diǎn)。，E.點(diǎn)、B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬3。的長(zhǎng)為

【答案】26

3

【分析】先求解/8=6./0=半.再利用線段的和差可得答案.

解：由題意可得：DE=I.DC=15-I?=3.

:/八6O,,Z,1BC?90",

:.AB=BC=4=6,

tan60°y/3

同理.,nDE1石

回注?AD=---------二—7=--,

tan60°y/33

:.BD=AB-AD=6-當(dāng)=孚，

故答案為：氈

3

【點(diǎn)撥】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運(yùn)算，掌握"利用銳角的正切求解三角形的邊長(zhǎng)"

是解本題的關(guān)鍵.

11

【考點(diǎn)6】角的認(rèn)識(shí)及有關(guān)計(jì)算

1.（2024?寧夏?中考真題）小明與小亮要到科技館參觀小明家、小亮家和科技館的方位如圖所示，則科技

館位于小亮家的（）

科技館

A.南偏東60。方向B.北偏西60,方向C.南偏東50。方向D.北偏西5。。方向

【答案】A

【分析】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義和平行線的性質(zhì)是正確解決本題的關(guān)鍵.

作C0AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得上OCE=6（廠，再根據(jù)CDEF,可得/（'"=/0CE=60,根據(jù)方向

角的定義即可得到答案.

解：如圖，作CDAB,

C

則/“。=2BAC=50°,

ZDCE=100°-50°=60°,

???IS?CD.UEF,

：.CDEF,

LCEF=ZDCE=60;,

.??科技館位于小亮家的南偏東60。方向,

故答案為：A.

12

2.（2023?寧夏?中考真題）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60外口45角

的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角

板的斜邊分別交直尺上沿于A,8兩點(diǎn)，則48的長(zhǎng)是（)

A.?#B.2/-2C.2D.2?

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,。=CD=2cm,由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得

BC=1CD=4cm,由勾股定理可得8。的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論.

解:如圖，在R1A.4CO中，NdCD=”?,

￡CAD=45°=ZACD>

?.4。二CD=2cw

在RS8CO中，ZBCD=60。，

?二ZCBD=3(P

BC=2CD=4cm'

BD=4BC：-CD：=-2'=273(cmf

■'AB=BD-AD=（25/1-3Jcm'

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理

30

是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?山東東營(yíng)?中考真題）一艘船由A港沿北偏東60。方向航行30km至8港，然后再沿北偏西30°

方向航行40km至C港，則A,C兩港之間的距離為km.

【答案】50

13

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，易證.48（7是直角三角形，利用勾股定理即可求解.

解：如圖，根據(jù)題意，得A1UiM，Z\AB=60°,/M8c=30°,.48=30km,8c=40km

/.MBA=180°-=18。'60c=120°

：-ABC=AABM2MBe=120°-30。=90°

.在RtA/8沖，XC=〃8'+8c'=,30'+40'=5O|km|

即A,C兩港之間的距離為50km.

故答案為：50

【點(diǎn)撥】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明.48C是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)2】相交線與平行線

【考點(diǎn)7】余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、角平分線綜合

1.（24-25七年級(jí)上?江蘇淮安?期末）如圖，（是直線X吐一點(diǎn)，0c=5m。評(píng)分/4OC，

-DOE=90。，則下列說(shuō)法不正確的是（）

C.一COE與/JOE互補(bǔ)D.0C平分工40￡

【答案】D

【分析】本題考查角的運(yùn)算，補(bǔ)角，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，補(bǔ)角，余角的性質(zhì),

進(jìn)行解答，即可.

解：：」」0C=50、。評(píng)分ZAOO

Z.AOD=ZCOD=-ZAOC=25。

2

14

/DOE=90=/COD+/W=25c-ZCOE,

ZCOE=65。，

Z^OC+CO￡+ZBO￡=180°=50°+65°+ZBOE=180^

/BOE=bP

.A正確；

1/CO。=25°LBOE=650

ACOD?￡BOE=90°

,B正確;

，ZCO￡=65#Z^O￡=ZJOC+ZCOE=50°+65°=1157

ACOE+Z^O￡=180°，

.C正確；

,Z.WC=50o>ZCO￡=65c，

￡AOCtLCOE

,D錯(cuò)誤；

故選：D.

2.(24-25七年級(jí)上,吉林長(zhǎng)春?期末)將一副三角尺按不同位置擺放，下面擺放方式中和互余的是

Za

()

B.

D.

【分析】本題主要考查三角板以及余角的定義，熟練掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵.觀察三角板的位置即

可得到答案.

解：，故選項(xiàng)A不符合題意；

Na"E

,故選項(xiàng)B符合題意；

Za+ZP=90°

,故選項(xiàng)c不符合題意；

Zd+zp=15°+60°=75°

,故選項(xiàng)D不符合題意；

Za+Z/I*90°

故選B.

3.（24-25七年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）小明先將長(zhǎng)方形紙條沿折痕折疊（如圖），再繼續(xù)將圖

ABGHCD

15

中的四邊形HOCG沿某條直線折疊，使得邊￡〃落在直線（'8,上，折痕記為”\.寫(xiě)出前后兩條折痕所在

【答案】平行或垂直

【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，掌握折痕就是角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)折疊的性質(zhì)可知,

折痕即為角平分線，由此即可求解.

解：根據(jù)題意：

如圖，當(dāng)￡7/與"E重合時(shí)，折痕川、所在直線為.的角平分線，

ZDMN="MN=-ZAMC^BCD=NMCD=-Z.BCM,Z.BCM+AAMC=180；

22

??一（1/\,m=90S

.If.V1cz>

如圖，當(dāng)￡〃與（?￡重合時(shí)，折痕V、，為（?的角平分線,

22

ZCMN=2MC。'

16

l/.VICD；

綜上，兩條折痕所在的直線CO與MN的位置關(guān)系是平行或垂直，

故答案為：平行或垂直.

【考點(diǎn)8】垂線段最短與平行線間的距離

1.（2022四川南充?中考真題）如圖,在中，ZC=90°,Z5=30°,8C=6X坪分NCA咬

8c于點(diǎn)。，點(diǎn)E為邊.48上一點(diǎn)，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為（）

A.VFB.75C.2D.3

【答案】c

【分析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題意求得8.4C和.4C,結(jié)合

角平分線的性質(zhì)得到ZC』。和。C,當(dāng)0E,48時(shí)，線段。/：長(zhǎng)度的最小，結(jié)合角平線的性質(zhì)可得

DE=DC即可.

解：,：/=90:,/8='（）：，

ZB.4C=60$

在'中，tanN8=g，解得；（C=?。，

CD

濟(jì)分ZCABJ

ZC.W=30°

=空,解得。一

CA

當(dāng)ns“時(shí)，線段nr長(zhǎng)度的最小，

ULtXnDLfLt

■［產(chǎn)分ZCAB?

"DE=DC=2

故選C.

2.（2023?四川雅安?中考真題）如圖，在中，D尸為邊上一動(dòng)點(diǎn)，作

PjC于點(diǎn)叫于點(diǎn)E'則DE的最小值為-

17

A

【答案】3力

【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出48,判斷出四邊形COPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得

DE^CP,再根據(jù)垂線段最短可得CP-時(shí)，線段。E的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出

方程求解即可.

解：如圖，連接CP,

91）=8C=6,

AB=4AC'^BC'=V6:+6:=6&

：「。上8行點(diǎn)￡），尸￡'1/行點(diǎn)石，.」C8=9（I$

.,四邊形C0尸崖矩形，

DE二CP

由垂線段最短可得（P時(shí)，線段（,尸的值最小，此時(shí)線段的值最小,

此時(shí)，Sy=；/C.8C=；/B.CP，

代入數(shù)據(jù)：■LX6X6=1X6"XCP，

22

"CP=3⑹

故答案為：34.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出D，。時(shí)，線段八「的

Lr1.ABDE

18

值最小是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）如圖，在梯形.48。沖，ADBC,對(duì)角線“和8位于點(diǎn)O,若

S.m_1mil”“9_

5一?'人S---------?

KOJ

【答案】\

【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).熟練掌握平行線間的距離，相似

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

設(shè)40,8（'的距離為d,則%也=不"一=?，即任=L證明）0DS&C08,則

SABCD18cM3BC3S3[BC）

2

計(jì)算求解即可.

解：設(shè)』0,BC的距離為d,

S^BCD_BC"d3BC3

2

-1AD，8C

??Z.4D0=ZCBO'ZDAO=ZBC()f

,,AAODMOB'

竺LU」

s80c\BC）⑶9

1

故答案為:9.

【考點(diǎn)9]平行公理+平行線的判定

1.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小慶

和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿.折疊，量得，￡n;小鐵把紙帶②沿一折疊,

發(fā)現(xiàn),5與，〃,重合，〃「與重合.且點(diǎn)C,G,。在同一直線上，點(diǎn)E,H,尸也在同一直線上.則下

uuuCnrnt

列判斷正確的是（）

19

.ACGD

BEHF

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

【答案】D

【分析】對(duì)于紙帶①，根據(jù)對(duì)頂角相等可得J-N4D8-59。，利用三角形內(nèi)角和定理求得-6”,

再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得一-.)8」-6〉，由平行線的判定即可判斷；對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得,

ZCGH-￡DGH，上EHG-ZFHG，由平角的定義從而可得一E//G=/F//G=9＞，

ZCGH=ZDGH=90。，再根據(jù)平行線的判定即可判斷?

解：對(duì)于紙帶①，

-21=22=59°

,,ZI=ZADB=59°

"/.DBA=180°-59°-59°=62

由折疊的性質(zhì)得,

/.ABC=￡DBA=62°

Lit/.ABC

與不平行,

Z.CGH=ZDG//Z￡HG=2FHG

又一.點(diǎn)C,G,。在同一直線上，點(diǎn)E,H,尸也在同一直線上,

ZCGH+ZDGH=180°+2FHG=180。

..，，

ZEHG=ZFHG=90#ZCGH=2DGH=90°

Z￡//G+ZCG//-180°

綜例亞,‘紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行,

20

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定

和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?浙江杭州?二模）利用尺規(guī)作圖，過(guò)直線4矽卜一點(diǎn)P作已知直線4響平行線.下列作法錯(cuò)誤

的是（）

人士，?一

c

QBA關(guān)1B

【答案】D

【分析】本題主要考查了作圖，平行線的判定，尺規(guī)作圖-作一個(gè)角等于已知角；尺規(guī)作圖-作角的平分線;

尺規(guī)作圖-垂直平分線，痕跡為作等角判斷A,痕跡為等腰與角平分線角度轉(zhuǎn)換判斷8,同理進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換

判斷C,利用圓的對(duì)稱性及垂直平分線的性質(zhì)檢驗(yàn)D

解：對(duì)于A,根據(jù)作圖痕跡可知，表示為作一個(gè)角等于已知角，此時(shí)同位角相等，兩直線平行，符合題意;

對(duì)于8,此時(shí)作,P.48的角平分線及作等腰P0-1，故"，0==/叫.4,即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直

線平行，符合題意；

對(duì)于C,以尸為圓心P4為半徑，交18于點(diǎn)C、交4,延長(zhǎng)線于點(diǎn)D此時(shí)4P=PC=P。，再分別以C和

D為圓心作出《0PC角平分線，

故/DPC=/DP0+/CP0=+2P3,易得-/DPQ,即同位角相等，兩直線平行，符合題

思；

對(duì)于。，以C為圓心，（了為半徑作弧交48于點(diǎn)D即有CD=CP,再分別以。和尸為圓心作出線段DP

的垂直平分線交弧于點(diǎn)G,易得P0=DQ,但無(wú)法證明此時(shí)P。二CP,即無(wú)法得證菱形，故無(wú)法證明平行,

21

不符合題意

3.（2021?山東東營(yíng)?中考真題）如圖,AB：CD,EF/CDF點(diǎn)凡若LBEF=150^貝UZABE()

A.30#B.40°C.50cD.60c

【答案】D

（分析］過(guò)點(diǎn)E作EH^D,由此求出LHEF=90;得到一BEH=60：根據(jù)平行線的推論得到4哪”，

利用平行線的性質(zhì)求出答案.

解：過(guò)點(diǎn)E作即|陽(yáng)，如圖,

ZDFE+Z//EF=

EF1Ctf

.Z.DFE=90e

ZHEF=90”

'/BEF=150

"EBEH=60:，

：EH^D,,

ABCD

：ABfH,

Z.ABE=LBEH=60°

故選：D.

22

B

【點(diǎn)撥】此題考查平行線的推論，平行線的性質(zhì)，正確引出輔助線、熟記定理是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)10］平行公理+平行線的性質(zhì)

1.(2024?山東濰坊?中考真題)一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架48與吊線F坪行，燈桿Cg

底部支架.48所成銳角a=15,.頂部支架EF與燈桿CO所成銳角￡=45。，則//與“所成銳角的度數(shù)為

()

A.60°B.55°C.50°D.45°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，平行公理的推論，過(guò)點(diǎn)￡作"/一"，可得48IIEH1|FG,即得

￡BEH=Za=15°,Zf￡//*Z￡fG=180°,根據(jù)/八45。求出“EH即可求解，正確作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

解：過(guò)點(diǎn)E作，48，

23

?/ABFG,

AB\EH||FG,

??.ZBEH=a=159ZFE//+Z￡FG=180^

1p=45%

.?￡FEH=180°-45°-l5°=1203

Z￡FG=180°-Zf￡//=180°-120°=60^

J「「與”所成銳角的度數(shù)為為

trr0ou

故選：A.

A

2.（2023?山東濟(jì)南?中考真題）如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上.如果，川那

Z1=70y

么的度數(shù)是（）

Z2

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得，，，再結(jié)合三角板的特征利用平角定義即可算出的度

數(shù).

解：如下圖進(jìn)行標(biāo)注，

AB

,3

C2D

24

-IB：'CD,

..Zl=Z3='0,

Z2=I8OC-90=-Z3=90°-70°=20°,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形平角的定義，利用三角板的特點(diǎn)求出結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023?黑龍江大慶?中考真題）將兩個(gè)完全相同的菱形按如圖方式放置，若￡CBE"則

【答案】D

【分析】由題意可得」8G==a,由菱形的性質(zhì)可得」D"8C…OD="8。=a+￡,由平行線

的性質(zhì)可得LDAB-=180,進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

解：根據(jù)題意可得：ZFBG=j!）AB=a,

■.?四邊形.48C。為菱形，

.WFC,=ZC8D=a-0,

ZD.1S-Z..I5C=IK0:,

,://"=/1BD+ZC8D=a"+a+[=2a+

.a+2a+2八I8O:,

:.p=90°-^a,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)11]平行線性質(zhì)與判定綜合

1.（2023?湖北荊州,中考真題）如圖所示的"箭頭"圖形中，ABCD,/8=/2=80；ZE=ZF=47；

則圖中」G的度數(shù)是（）

25

E,

A.goB.76C.66D.56

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)48交￡G于點(diǎn)“，延長(zhǎng)CO交GF于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作48的平行線GH,根據(jù)平行線的性質(zhì)

即可解答.

解：如圖，延長(zhǎng)48交EG于點(diǎn)A/,延長(zhǎng)（、。交GF于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作X8的平行線GH,

A---------------^17

H--------vZE=ZF=47',Z￡fi/f=ZFDC=80,

DT~2^N

/.EMA=/.EBA-Z￡=33°,￡FNC=￡FDC-2F=33。,

-：1B：!CD..iBHG,

HG!!CD,

ZA/GH=ZEMA=33°,Z.VGW=ZFA'D=33%

2EGF=33：33。=66：,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖南婁底?中考真題）如圖，ABCD,點(diǎn)從隼」跑上，已知iCEO=70°.Z8FC=IN；

貝U/8+/Z）的度數(shù)為（）

CL-----------------

A.40°B.50°C.60。D.70c

【答案】c

【分析】取的交點(diǎn)為點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作平行于C0的線W.V,利用兩直線平行的性質(zhì)，找到角之間的

關(guān)系，通過(guò)等量代換即可求解.

26

解：取EDJ8的交點(diǎn)為點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作平行于CO的線VN,如下圖:

根據(jù)題意:ZCfD>70°.ZlfC>I30c,

ZEFG=50:,

Z￡GF=180°-50°-70°=60c，

vA/ACDAB,

,ZB=Z8Gy,ZD=ZDGA,

ZB-ZD=ZBGN+ZDG.V=ZBGD,

vED.BF相交于點(diǎn)G,

.Z￡GF=Z?GD=60c,

Zfi+ZD=60c,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了兩直線平行的性質(zhì)和兩直線相交對(duì)頂角相等，解題的關(guān)鍵是：添加輔助線，利用兩直

線平行的性質(zhì)和對(duì)頂角相等，同過(guò)等量代換即可得解.

3.（2020?江蘇南通?中考真題）如圖，已知NA=54。，ZE=18°,則NC的度數(shù)是（）

A.36°B.34°C.32°D.30°

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)E作EFRB,則EF|pD,由EFg利用曬直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等〃可得出NAEF的度數(shù)，結(jié)

合NCEF二NAEF-NAEC可得出NCEF的度數(shù)，由EF|pD,利用〃兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等'可求出NC的度數(shù).

解：過(guò)點(diǎn)E作EFRB,則EF|pD,如圖所示.

27

AB

〔EF「B,

.\ZAEF=/A=54°,

■/ZCEF=ZAEF-NAEC=54°-18°=36°.

X.EFp,

.-ZC=ZCEF=36°.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記"兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵.

篇二：壓軸部分（備注：知識(shí)點(diǎn)與八九年級(jí)知識(shí)點(diǎn)綜合）

【考點(diǎn)12］計(jì)算推理求值

1.（2025?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一張兩邊平行的紙條按如圖所示的方式折疊，點(diǎn)A,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

分別為丁,D',8c為折痕,C。'與5F交于點(diǎn)為若則,的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)等知識(shí).根據(jù)平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角相等得到

Z￡CD=18O0-Z>I￡C=50°,由折疊得到N8C0=N8CE==25。，再由平行線的性質(zhì)即可得到

/ABC的度數(shù).

解：VAE!!CftZJ￡C=AD'EF=130°

Z￡CD=180,-AAEC=5”

由折疊可知，Z5CD=Z.BCE=-Z.DCE=25°?

2

7AE/CO

￡ABC=180°-/.BCD=h?

28

故選：c

2.（2024?四川樂(lè)山?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在A.」8C中，8匿一.』8（的平分線，且BEIAC,過(guò)點(diǎn)日乍

DEBC交于D,若BD=，則8c的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】本題考查全等三角形，相似三角形，角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得

ZlZ2,根據(jù)平行線的性質(zhì)，則.I=N3,根據(jù)等角對(duì)等邊，則BD=DE,根據(jù)8E1“，貝。

Z.4￡B=ZCEfi=90\全等三角形的判定和性質(zhì)，則/E=EC=：/C,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，則

ADDEAE1

L.IDEABC,貝1=2b=「=；，即可求出8c.

ABBCAC2

解：,：〃誕_48飾］平分線，

??/1Z2

7DEIIBO

<,ZI=ZJ

Z2=ZJ

,,=DE=y

BE1AC"

"z^￡8=ZC￡fl=90°，

比二BE

?.，

ASA）

1，

AE=EC=-AC

.，2

DEIIBC

一」?！暌?，8CAAED=AACB

△ADEsAABC

ADDEAEf

AB-BC-AC-2

29

BC=6

故選：C.

3.（2023?遼寧鞍山?中考真題）如圖，中,在CA,C吐分別截取CD,CE,使CD=CE,分別

以。，E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在/4C8內(nèi)交于點(diǎn)尸，作射線CF,交48于點(diǎn)Af,

過(guò)點(diǎn)”作AN1BC,垂足為點(diǎn)N,若BN=CNLM='1,8\1=5,貝！JAC的長(zhǎng)為.

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)定理得到"8=VC,因此/8=/8（中，由角平分線定義推出

4C4W

V=Z5,又NC.4"=/C48,推出△.■ICA/SA/BC,得到,=代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出4。的

AHAC

長(zhǎng).

解：由題中作圖可知：CM平分//C6,

vA/.V1BC，氏\二（\，

MB=MO

?■-zfi=zsc.w,

'Z^CA/=N*

LCASl=ZC.-f^

'\AC\I

AC_4M，

^AB~~AC

.，，

/“=4BM=5

?.，

AB=4W+8M=4?5二9

30

AC4

T=7C

：.AC=6，

故答案為：6?

【點(diǎn)撥】此題考查了尺規(guī)作圖，角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明，得到—,從而求出』C的長(zhǎng)，

ABAC

【考點(diǎn)13］求最值

1.（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，在扇形沖，/108=6030評(píng)分/&（辰”于點(diǎn)0，

點(diǎn)C是半徑08上一動(dòng)點(diǎn)，若04=1，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為（）

6363

【答案】A

【分析】由于/.是定值，只需求解」C.（/）的最小值即可，作點(diǎn)。關(guān)于08對(duì)稱點(diǎn)連接czr、

OD'，則』c.（力最小值為xzr的長(zhǎng)度，即陰影部分周長(zhǎng)的最小最小值為D+/,.,?利用角平分線的定義

可求得，［00'=90。，進(jìn)而利用勾股定理和弧長(zhǎng)公式求得.46和/；,即可.

解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于08對(duì)稱點(diǎn)連接力/y、CD'、OD'，

\1/

力

則C0=CO'，00=。?！?，ZD0B=ZB0D'，

Jc.CD=.|（'-CD'>AD>當(dāng)A、C、/共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，.C漏小，即陰影部分周長(zhǎng)的最小,

最小值為.4。'+/..

AD

31

底分Z.40B=6()

:.NAOD=NDOB=-ZAOB=3