解直角三角形及其應(yīng)用（3類題型）-2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專題08解直角三角形及其應(yīng)用

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.............................................................................................1

題型01仰角與俯角問(wèn)題...................................................................................1

題型02方位角問(wèn)題........................................................................................6

題型03坡度問(wèn)題.........................................................................................11

中考練場(chǎng).................................................................................................15

題型01仰角與俯角問(wèn)題

01題型綜述

解直角三角形及其應(yīng)用中的仰角與俯角問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用的重要體現(xiàn)，通過(guò)構(gòu)建直角三角

形模型，利用三角函數(shù)知識(shí)解決與測(cè)量相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查如何準(zhǔn)確識(shí)別仰角與俯角，并將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，運(yùn)用正弦、余弦、正切等

三角函數(shù)進(jìn)行邊長(zhǎng)和角度的計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型有測(cè)量物體高度，如已知觀測(cè)點(diǎn)與物體的水平距離及仰角，求物體高度；測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間距離，通

過(guò)測(cè)量仰角、俯角及其他已知邊長(zhǎng)，構(gòu)建直角三角形求解；以及根據(jù)不同觀測(cè)點(diǎn)的仰角、俯角變化，分析物體位置關(guān)

系并計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在仰角、俯角概念的理解與應(yīng)用，直角三角形中三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的正確選用與

計(jì)算，以及將實(shí)際場(chǎng)景抽象為數(shù)學(xué)模型（直角三角形）的能力考查。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的閱讀理解能力，能從實(shí)際問(wèn)題描述中提取關(guān)鍵信息；擁有良好的空間想象能力，構(gòu)

建準(zhǔn)確的直角三角形模型；掌握扎實(shí)的三角函數(shù)運(yùn)算能力，準(zhǔn)確求解邊長(zhǎng)和角度。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆仰角與俯角概念；在構(gòu)建直角三角形時(shí)，對(duì)邊角關(guān)系判斷錯(cuò)誤，導(dǎo)致三角函數(shù)選用不當(dāng)；

計(jì)算過(guò)程中，對(duì)三角函數(shù)值記錯(cuò)或運(yùn)算失誤，影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.直角三角形有關(guān)的性質(zhì)：

①直角三角形的兩銳角互余。

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

④直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊乘斜邊上的高線。

⑤直角三角形的勾股定理。

2.仰角與俯角：

①仰角：向上看的視線與水平線構(gòu)成的夾角叫做仰角。

②俯角：向下看的視線與水平線構(gòu)成的夾角叫做俯角。

解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，

要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸

為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決。

【典例分析】

例1.（2024.山東日照.中考真題）潮汐塔是萬(wàn)平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌.某數(shù)學(xué)興趣小組用

無(wú)人機(jī)測(cè)量潮汐塔AB的高度，測(cè)量方案如圖所示:無(wú)人機(jī)在距水平地面H9m的點(diǎn)/處測(cè)得潮汐塔頂端A的俯角為22。,

再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點(diǎn)N,測(cè)得潮汐塔底端B的俯角為45°（點(diǎn)M,N,A,B在同一平面內(nèi)）,則潮汐塔AB

的高度為（）

例2.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測(cè)量某電子廠的高度，小明用高L8m的測(cè)量?jī)x跖測(cè)得的仰角為45。，小

軍在小明的前面5m處用高1.5m的測(cè)量?jī)xCD測(cè)得的仰角為53。，則電子廠A3的高度為（）（參考數(shù)據(jù)：sin53。,

34

cos53°?-,tan53°?—）

53

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

例3.（2024.吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行

高度AB=873m,如圖②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角/E4D=45。，求吉塔的高度

（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

例4.（2024.吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行

高度AB=873m,如圖②，從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角=45。，求吉塔的高度CD

（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

E

圖①圖②

例5.（2024?甘肅?中考真題）習(xí)近平總書(shū)記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.甘

肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速.某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，

它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù).于是小組成員開(kāi)展了“測(cè)量風(fēng)電塔筒高度”的實(shí)踐活動(dòng).如圖，已知一風(fēng)電塔筒垂

直于地面，測(cè)角儀C。，所在兩側(cè)，CD=ET=1.6m,點(diǎn)。與點(diǎn)E相距182m（點(diǎn)C,H,E在同一條直線上），

在。處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)A的仰角為45。，在方處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為53。.求風(fēng)電塔筒的高度.（參考數(shù)據(jù)：

43

sin53°,cos53°?-,tan53°

55

【變式演練】

1.（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量園博園“福塔”A3的高度，測(cè)量方案如圖：先將無(wú)人機(jī)垂

直上升至距水平地面142m的P點(diǎn)，測(cè)得“福塔”頂端A的俯角為37。，再將無(wú)人機(jī)面向“福塔”沿水平方向飛行210m到達(dá)

Q點(diǎn),測(cè)得“福塔”頂端A的俯角為45°，則“福塔”AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：tan37°3sin37°?j3,cos37°?-4）

2.（2025?江西九江?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,涔陽(yáng)樓是江南十大名樓之一，因九江古稱涔陽(yáng)而得名.某校數(shù)學(xué)興趣小組在測(cè)

量濟(jì)陽(yáng)樓的高度A8的過(guò)程中，繪制了如圖2所示的示意圖，斜坡DE的長(zhǎng)為5m,/DEC=37。.在點(diǎn)。處測(cè)得沼陽(yáng)樓

頂端A的仰角為45。，又在點(diǎn)E處測(cè)得將陽(yáng)樓頂端A的仰角為56.3。，DC，BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.（參考數(shù)據(jù)：

sin37°?0.60.cos37°?0.80,sin56.3°?0.83,cos56.3°a0.55,tan56.3°?1.50）

B

圖1圖2

（I）求斜坡的高度co.

（2）求濟(jì)陽(yáng)樓的高度AB.

3.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）重慶北硝縉云山香爐峰叢林深處，掩映著一座孤清的高塔.從空中看去，如同山林之中的一

位隱土，俯視群山，它在山脊之巔，臨風(fēng)而立，成了縉云山上一道亮麗的風(fēng)景線一縉云塔.某游客是一名無(wú)人機(jī)愛(ài)好者，

他站在附近的水平地面上，利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)量，但無(wú)人機(jī)無(wú)法直接在塔頂測(cè)量垂直高度，因此他先控制無(wú)人機(jī)從腳

底（記為點(diǎn)C）出發(fā)向右上方（與地面成45,點(diǎn)4民CD在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達(dá)空中點(diǎn)。處，再調(diào)整

飛行方向，沿QA方向繼續(xù)勻速飛行8秒到達(dá)塔頂，已知無(wú)人機(jī)的速度為6米/秒，/ADC=15.

（1）求縉云塔的高度；

（2）求游客站立處到縉云塔中心的水平距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):應(yīng)al.4L石土1.73）.

4.（2025?河北滄州?一模）某機(jī)械化農(nóng)場(chǎng)的麥田需要飛機(jī)播種，如圖為一架飛機(jī)從飛機(jī)場(chǎng)飛往麥地的部分飛行路徑的示

意圖.飛機(jī)在某一高度由東向西以150km/h的速度勻速飛行，在空中的點(diǎn)P處測(cè)得一點(diǎn)M處的俯角為40。，向西飛行

12分鐘后到達(dá)空中的點(diǎn)。處，此時(shí)站在麥地點(diǎn)N處的工作人員測(cè)得飛機(jī)的仰角為58。，又經(jīng)過(guò)4分鐘播種機(jī)剛好飛到

點(diǎn)N的正上方點(diǎn)K處.

（1）求播種機(jī)的飛行路線距地面的豎直高度；

（2）求點(diǎn)N之間的距離.（結(jié)果精確到1八”，參考數(shù)據(jù)：tan40°?0.84,tan58°?1.60）

5.（2025?河南開(kāi)封?一模）鄭州二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場(chǎng)，是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工事件，發(fā)揚(yáng)“二七”革命

傳統(tǒng)而修建的紀(jì)念性建筑.某?！熬C合實(shí)踐”小組在項(xiàng)目式學(xué)習(xí)中，現(xiàn)場(chǎng)對(duì)二七紀(jì)念塔A8的高度進(jìn)行了測(cè)量.如圖，小

組成員在。處用高為L(zhǎng)5m的測(cè)角儀測(cè)得塔頂A的仰角是45。，往前走13.3m到達(dá)C處測(cè)得塔頂A的仰角是52。，測(cè)量點(diǎn)

與塔底部B在同一水平線上.（參考數(shù)據(jù)：sin52?0.79,cos52?0.62.tan52*1.28）

（1）根據(jù)上述測(cè)量方案和數(shù)據(jù)，求二七紀(jì)念塔的高度（結(jié)果精確到0」m）.

⑵該小組上網(wǎng)搜索后發(fā)現(xiàn).二七紀(jì)念塔的高約63m,請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.

6.（2025?河南信陽(yáng)?三模）某市若干臺(tái)風(fēng)機(jī)矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)

戶.某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下實(shí)地測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉48,AC,4。兩兩所成的角為120。.小組成員

在離塔底。水平距離為48米的點(diǎn)E處，測(cè)得塔頂A的仰角NAEO=53。，是風(fēng)葉AB的視角.已知三片風(fēng)葉的長(zhǎng)

度均為40米.

⑴當(dāng)點(diǎn)。在49上時(shí)，求點(diǎn)C到地面的距離；（結(jié)果精確到1米）

434

⑵在風(fēng)葉旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求視角的最大值.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?-,cos530?-,tan53°?-）

題型02方位角問(wèn)題

01題型綜述

解直角三角形及其應(yīng)用中的方位角問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)將幾何知識(shí)緊密聯(lián)系實(shí)際生活，尤其是航海、航空、野外定向等

場(chǎng)景的重要內(nèi)容，通過(guò)構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決基于方位角的位置與距離計(jì)算，在中考數(shù)學(xué)中分值占

比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)方位角概念的清晰理解，明確如何依據(jù)方位角在實(shí)際情境中構(gòu)建直角三角形，并運(yùn)用三角函

數(shù)準(zhǔn)確求解涉及的邊長(zhǎng)與角度，實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系和距離的量化計(jì)算。

2.高頻題型：高頻題型包括已知某點(diǎn)相對(duì)于另一參考點(diǎn)的方位角及其他線段長(zhǎng)度，求兩點(diǎn)間實(shí)際距離；根據(jù)不同觀測(cè)

點(diǎn)對(duì)同一物體的方位角，確定物體的準(zhǔn)確位置并計(jì)算相關(guān)距離；在航海、航空等實(shí)際場(chǎng)景中，依據(jù)方位角變化及航行

數(shù)據(jù)，計(jì)算航行軌跡長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)向角度等問(wèn)題。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在方位角的準(zhǔn)確識(shí)別與應(yīng)用，直角三角形中三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）與方位角所構(gòu)建幾

何關(guān)系的運(yùn)用，以及將實(shí)際方位角場(chǎng)景精準(zhǔn)抽象為數(shù)學(xué)模型（直角三角形）并進(jìn)行求解的過(guò)程。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的空間想象能力，能將文字描述的方位角信息轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形；擁有良好的閱

讀理解能力，從復(fù)雜的實(shí)際情境中提取關(guān)鍵信息；掌握扎實(shí)的三角函數(shù)運(yùn)算能力，準(zhǔn)確處理與方位角相關(guān)的數(shù)值計(jì)算。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)方位角的方向判斷錯(cuò)誤，導(dǎo)致構(gòu)建的直角三角形方位錯(cuò)誤；在利用三角函數(shù)計(jì)算時(shí)，混淆直

角三角形各邊與方位角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，錯(cuò)誤選擇三角函數(shù)公式；計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)粗心錯(cuò)誤，如三角函數(shù)值記錯(cuò)、運(yùn)算順

序出錯(cuò)或單位換算不當(dāng)。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.方位角：

由方向+角度構(gòu)成。

在解決有關(guān)方位角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三

角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。

一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。

【典例分析】

例1.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路/上由北向南行駛，在A

處測(cè)得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續(xù)行駛1500米后到達(dá)8處，測(cè)得橋頭C在南偏東60。方向上，橋頭。在南偏東45。

方向上，求大橋C。的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：73^1.73）

例2.（2024?四川資陽(yáng)?中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A,B,其中燈塔8在燈塔A的南偏東30。方向，且A,8相距

應(yīng)I海里.一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔B的正北方向.

3

D

B

⑴求8,C兩處的距離；

（2）該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于。處，并發(fā)出求救信號(hào).此時(shí)，在燈塔8處的漁

政船測(cè)得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿方向航行至。處救援，求漁政船的航行時(shí)間.

（注：點(diǎn)A,B,C,。在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°?2.1,tan27°?0.5）

例3.（2024?四川資陽(yáng)?中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A,B,其中燈塔B在燈塔A的南偏東30。方向，且A,8相距

史祖海里.一漁船在C處捕魚(yú)，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔B的正北方向.

3

B

⑴求8,C兩處的距離；

（2）該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于。處，并發(fā)出求救信號(hào).此時(shí)，在燈塔8處的漁

政船測(cè)得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿2。方向航行至。處救援，求漁政船的航行時(shí)間.

（注：點(diǎn)A,B,C,。在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°?2.1,tan27°?0.5）

例4.（2024?海南.中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標(biāo)燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最

重要的航標(biāo).某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時(shí)10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.

航行記錄記錄一：上午8時(shí)，漁船到達(dá)木蘭燈塔尸北偏西60。方向上的A處.

記錄二：上午8時(shí)30分，漁船到達(dá)木蘭燈塔P北偏西45。方向上的8處.

記錄三：根據(jù)氣象觀測(cè)，當(dāng)天凌晨4時(shí)到上午9時(shí)，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C

點(diǎn)周圍5海里內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)異常海況，點(diǎn)C位于木蘭燈塔尸北偏東15。方向.

請(qǐng)你根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題:

⑴填空：ZPAB=°,ZAPC=°,AB=海里；

（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會(huì)進(jìn)入“海況異?！眳^(qū)，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明.

（參考數(shù)據(jù)：＞72?1.41,A/3?1.73,76?2.45）

【變式演練】

1.（2025?河南焦作?一模）如圖，一艘輪船位于燈塔C的北偏東57。方向，距離燈塔50海里的A處，此時(shí)船長(zhǎng)接到臺(tái)風(fēng)

預(yù)警信息，臺(tái)風(fēng)將在5小時(shí)后襲來(lái)，他計(jì)劃立即沿正南方向航行，趕往位于燈塔C的南偏東30。方向上的避風(fēng)港3處.

B

⑴問(wèn)避風(fēng)港3處距離燈塔C有多遠(yuǎn).

（2）如果輪船的航速是20海里/時(shí)，問(wèn)輪船能否在5小時(shí)內(nèi)趕到避風(fēng)港B處.（參考數(shù)據(jù)：sin57°?0.84,cos57°?0.54,

tan57°?1.54,73?1.73）

2.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在8處發(fā)出的求救信號(hào)，經(jīng)確定，

遇險(xiǎn)拋錨的漁船所在的8處位于C處的南偏西45。方向上，且3c=100海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在C處的南偏西60。方

向上有一艘海監(jiān)船A,恰好位于2處的正西方向.于是命令海監(jiān)船A前往搜救，已知海監(jiān)船A的航行速度為40海里/

小時(shí)，問(wèn)漁船在B處需要等待多長(zhǎng)時(shí)間才能得到海監(jiān)船A的救援？（已知行“41，762,45）

北

3.（2025?河北秦皇島?一模）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時(shí)從A港出發(fā)，分別向3,。兩港運(yùn)送物資，最后到達(dá)A港正東

方向的C港裝運(yùn)新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行10海里后到達(dá)8港，再沿北偏東60°萬(wàn)向航行一定距離到達(dá)C

港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達(dá)。港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達(dá)C港.（參考數(shù)據(jù):

0^1.41，A/3^1.73,y/6~2.45）

⑴求A,C兩港之間的距離（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

⑵若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠2、。兩港的時(shí)間相同），哪艘貨輪先到達(dá)C港？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

4.（2025?山西朔州?一模）【實(shí)踐情景】如圖，太原市在本市兩景點(diǎn)之間開(kāi)設(shè)了兩條徒步路線，線路1為CiW及路線,

路線為之間的線段；線路2為越野線路，路線為A-C-3之間的折線段.

【數(shù)據(jù)收集】

數(shù)據(jù)①：點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東45。方向上；

數(shù)據(jù)②：線路2的行走方式為從起點(diǎn)A出發(fā)，先向北偏東15。的方向越野行走一段路程到達(dá)中轉(zhuǎn)點(diǎn)C,再?gòu)闹修D(zhuǎn)點(diǎn)C向

正東方向行走2000米即可到達(dá)終點(diǎn)B.

【數(shù)據(jù)應(yīng)用】

利用以上數(shù)據(jù)，求A8的長(zhǎng).（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,76?2.449）

5.（2025?廣東清遠(yuǎn)?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)人民解放軍在臺(tái)海地區(qū)開(kāi)展的演習(xí)活動(dòng)是維護(hù)國(guó)家主權(quán)安全和發(fā)展利益的正當(dāng)之

舉，是外部勢(shì)力干涉和“臺(tái)獨(dú)”勢(shì)力挑釁的警懾反制，也是維護(hù)臺(tái)海地區(qū)和平穩(wěn)定的必要行動(dòng).某次演習(xí)中，中國(guó)人民

解放軍在A城市周圍8、C、。三個(gè)區(qū)域演習(xí)，8在A正南方向，C在A正東方向，。在4東北方向，點(diǎn)8在點(diǎn)C南偏

西60。，點(diǎn)。在點(diǎn)C北偏西30。方向100海里處.（參考數(shù)據(jù)：立"41,括"73,卡。2.45）

⑴求AD的長(zhǎng).

（2）由于演習(xí)過(guò)程中的特殊任務(wù)，從點(diǎn)C到點(diǎn)A需要經(jīng)過(guò)點(diǎn)D或點(diǎn)2,那么C到A的兩條路徑C-D-A和C-B-A哪

一條最短？

題型03坡度問(wèn)題

01題型綜述

解直角三角形及其應(yīng)用中的坡度問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)將幾何知識(shí)與實(shí)際工程、地形測(cè)量等場(chǎng)景深度融合的關(guān)鍵內(nèi)容，借

助解直角三角形的方法處理與坡度相關(guān)的計(jì)算，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%o

1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對(duì)坡度（坡比）概念的理解，即坡面的垂直高度與水平寬度的比值，以及如何將實(shí)際的坡度問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)求解相關(guān)邊長(zhǎng)和角度。

2.高頻題型：高頻題型有已知坡度和坡面的某一長(zhǎng)度，求其他邊長(zhǎng)，如已知坡度和斜坡長(zhǎng)度，求垂直高度或水平寬度；

根據(jù)給定的地形坡度及相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算工程施工中的土方量、道路長(zhǎng)度等實(shí)際問(wèn)題；通過(guò)改變坡度條件，分析對(duì)相關(guān)

工程參數(shù)的影響并進(jìn)行計(jì)算。

3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在坡度概念的準(zhǔn)確應(yīng)用，直角三角形中三角函數(shù)（如正弦、余弦、正切）與坡度的關(guān)聯(lián)及運(yùn)用，

以及將實(shí)際的坡度場(chǎng)景抽象為數(shù)學(xué)模型（直角三角形）并求解的過(guò)程。

4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的實(shí)際問(wèn)題分析能力，從復(fù)雜的工程或地形描述中提煉出關(guān)鍵信息；擁有良好的數(shù)學(xué)

建模能力，準(zhǔn)確構(gòu)建與坡度相關(guān)的直角三角形模型；掌握熟練的三角函數(shù)運(yùn)算技能，精準(zhǔn)計(jì)算相關(guān)數(shù)值。

5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)坡度概念理解不清，錯(cuò)誤計(jì)算垂直高度與水平寬度的比值；在構(gòu)建直角三角形時(shí)，混淆各邊

與坡度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致三角函數(shù)使用錯(cuò)誤；計(jì)算過(guò)程中因粗心大意，出現(xiàn)三角函數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤或單位換算失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

坡角，坡度（坡比）:

①坡角：斜坡與水平面形成的夾角叫做坡角。

②坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比值叫做坡度或坡比。簡(jiǎn)單理解即為坡角的正切值。

在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值,

水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題。

應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等。

【典例分析】

例1.2023?湖北?中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABC。，斜面坡

度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度區(qū)的比.已知斜坡長(zhǎng)度為20米，ZC=18°,求斜坡A3的長(zhǎng).（結(jié)果

精確到米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°?0.31,cos18°?0.95,tan18°?0.32）

例2.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，堤壩A3長(zhǎng)為10m,坡度i為:1:0.75,底端A在地面上，堤壩與對(duì)面的山之間

有一深溝，山頂。處立有高20m的鐵塔CZ）.小明欲測(cè)量山高OE,他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在

壩頂B處測(cè)得塔底D的仰角a為26°35'.求堤壩高及山高。E.（sin26°35,?0.45,cos26°35,?0.89,tan26°35,?0.50,

小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）

c

例3.(2024.四川巴中.中考真題)某興趣小組開(kāi)展了測(cè)量電線塔高度的實(shí)踐活動(dòng).如圖所示，斜坡8E的坡度i=l:省,

BE=6m,在5處測(cè)得電線塔CD頂部。的仰角為45。，在E處測(cè)得電線塔C。頂部。的仰角為60。.

(1)求點(diǎn)8離水平地面的高度AB.

(2)求電線塔CD的高度(結(jié)果保留根號(hào)).

【變式演練】

1.(2025?湖南婁底?模擬預(yù)測(cè))如圖，有一建筑物ED在小山3c上，小山的斜坡的坡角為1:石，在建筑物頂部有

一座避雷塔防，在坡底A處測(cè)得避雷塔頂端E的仰角為45。，在山頂8處測(cè)得建筑物頂端b的仰角為60。，已知

E、F、。在同一條垂直于地面的直線上，BD//AC,AB=1000m,BD=250m.

(1)求小山BC的高度;

⑵求避雷塔斯的高度.（結(jié)果精確到0.1m,痣“41，石點(diǎn).73）

2.（2025?安徽馬鞍山,一模）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)開(kāi)展了尋找古樹(shù)活動(dòng).如圖,

在一個(gè)坡度i=1:2.4的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹(shù)CD.測(cè)得古樹(shù)底端C到山腳點(diǎn)A的距離AC=20m,在距山腳點(diǎn)A

水平距離10m的E處，測(cè)得古樹(shù)頂端。的仰角ZAED=48。，（古樹(shù)CD與山坡A8的剖面、點(diǎn)E在同一平面上，古樹(shù)CD

與直線AE垂直），求古樹(shù)C。的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°?0.73,cos48°?0.67,tan48°?1.1.）

3.（2025?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，防洪大堤的橫截面是梯形，背水坡A3的坡度i=l:g,AB=20米，身高為1.7米的

小明站在大堤A點(diǎn)，測(cè)得高壓電線桿的頂端。的仰角為30。，已知地面BC寬30米.

（1）求背水坡A3的坡角;

（2）求高壓電線桿CD的高度.（結(jié)果精確到0.1米.若=1.732）

4.（2025?上海寶山?一模）為了方便居民出入小區(qū)，小區(qū)業(yè)委會(huì)決定對(duì)大門(mén)口的一段斜坡進(jìn)行改造.原坡面是矩形ABC。

（如圖1）,AB=4米，AD=2米，斜坡的坡角為30。.計(jì)劃將斜坡AB改造成坡比為1:2.5的斜坡AE（如圖2所示）,

（1）求改造后斜面底部延伸出來(lái)的部分（BE）的長(zhǎng)度;

（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料?

VZABH=30°,AB=4米,

AH=—AB=2（米），BH=AB=2-\/3（米）,

22

ATJ1

在RtAAE”中，一=——，

EH2.5

，EH=2.5AH=2.5x2=5（米），

BE=EH-BE=（2-2⑹米,

5.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）隨著農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的進(jìn)一步推進(jìn)，新農(nóng)村的積極建設(shè)，農(nóng)民伯伯可用無(wú)人機(jī)進(jìn)行藥物噴灑

來(lái)消滅蟲(chóng)害.如圖，這是一位農(nóng)民伯伯噴藥過(guò)程中的實(shí)時(shí)畫(huà)面示意圖，他在水平地面上點(diǎn)A處測(cè)得無(wú)人機(jī)的位置點(diǎn)。的

仰角為53。.當(dāng)他迎著坡度為&15的斜坡從點(diǎn)A走到點(diǎn)8時(shí)，無(wú)人機(jī)恰好從點(diǎn)。沿著水平方向飛到點(diǎn)C此時(shí)，他在點(diǎn)B

處測(cè)得點(diǎn)C的仰角/C3E為45。.已知鉆=34米，CD=50米，這位農(nóng)民伯伯讓無(wú)人機(jī)沿與水平地面平行的方向飛行

以便噴灑均勻.點(diǎn)A,B,C,D,E,B在同一豎直平面內(nèi)，求此時(shí)無(wú)人機(jī)的位置點(diǎn)C距水平地面AF的高度.（測(cè)角儀

4

的高度忽略不計(jì).參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6,tan53°?j）

03中考練場(chǎng)

一、單選題

1.（2025?海南三亞?模擬預(yù)測(cè)）如圖，建筑物A3和旗桿C。的水平距離3C為9m,在建筑物的頂端A測(cè)得旗桿頂部。的

仰角a為45。，旗桿底部C的俯角￡為30。，則旗桿C。的高度為（）

A.3-JimB.3y/3mC.（3&+9）mD.（373+9）m

2.（2025?上海閔行?一模）如圖是一個(gè)學(xué)校司令臺(tái)的示意圖，司令臺(tái)離地面的高CD為2米，平臺(tái)2C的長(zhǎng)為1米，用7

米長(zhǎng)的地毯從點(diǎn)A到點(diǎn)。正好鋪滿整個(gè)臺(tái)階（含各級(jí)臺(tái)階的高），那么斜坡A5的坡比是（）

3.（2025?廣東深圳?一模）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面￡處發(fā)射,雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)￡水平距離為8km,當(dāng)火箭到達(dá)A

點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為53。，則這枚火箭此時(shí)的高度兒為（)km.

A.8sin53°B.8cos53°D.8tan53°

4.（2025?廣東深圳?一模）為出行方便，越來(lái)越多的市民使用起了共享單車，圖1為單車實(shí)物圖，圖2為單車示意圖,

4B與地面平行，坐墊C可沿射線8E方向調(diào)節(jié).已知ZABE=80。，車輪半徑為30cm,當(dāng)3c=70cm時(shí)，小明體驗(yàn)后

覺(jué)得騎著比較舒適，此時(shí)坐墊C離地面高度約為（）（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin80°?0.98,cos80°?0.17,

tan80°x5.67)

圖1

A.99cmB.90cm

二、填空題

5.（2025?廣東潮州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是1:石，河堤的高3c=10米，則坡面A3的長(zhǎng)度是

米.（坡比也叫坡度.坡比是1:6指點(diǎn)8向水平面作垂線BC,垂足為C,BC:AC=1：A/3.）

B

6.（2025?廣東清遠(yuǎn)?一模）圖1是一個(gè)地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，圖2是它的簡(jiǎn)化圖，它的雙翼展開(kāi)時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)

A與8之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=80cm,且與閘機(jī)側(cè)立面夾角NACP=ZBOQ=32。.當(dāng)雙翼收起時(shí)，

可以通過(guò)閘機(jī)的物體的最大寬度為cm.（參考數(shù)據(jù)：sin32°?0.53,cos32°?0.85,tan32°?0.62）

7.（2025?福建泉州?一模）如圖是一種筆記本電腦支架，它有A到尸共6個(gè)檔位調(diào)節(jié)角度.相鄰兩個(gè)檔位間的距離為

2cm.將某型號(hào)電腦打開(kāi)置于水平托架上，屏幕側(cè)寬尸M與托架側(cè)寬加都是24cm,。是支點(diǎn)且8=2MD.當(dāng)支架

調(diào)到8檔時(shí)，BD1OM；調(diào)到下檔時(shí)，托架繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至。0',支點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)6時(shí)，D'F=OF,PM'YOA.若

眼睛。的水平視線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.測(cè)點(diǎn)。的俯角為45。，則眼睛與屏幕的距離QP為cm.

三、解答題

8.（2025?河南商丘?一模）圖是水池邊的一塊警示牌的側(cè)面示意圖，矩形鐵架鉆。垂直固定在水平地面上，鐵架上面

是一個(gè)邊緣為圓弧形的塑料面板.已知CD=18cm,CB=2m,優(yōu)弧CD所在圓的圓心48的距離為2.12m,小龍?jiān)?/p>

水池對(duì)面的點(diǎn)E處用測(cè)角儀測(cè)得塑料面板點(diǎn)F處的仰角為60。（注:此時(shí)視線與圓弧形塑料面板相切，且與矩形ABC。

在同一平面內(nèi)，點(diǎn)E,A,B在同一水平線上）.

（1）求優(yōu)弧所在圓的半徑.

（2）求AE的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）.

9.（2025?河北邯鄲?一模）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽(yáng)篷,

便于社區(qū)居民休憩、如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為5米，與水平面的夾角為16。，且靠墻端離地高為4

米，當(dāng)太陽(yáng)光線AD與地面CE的夾角為45。時(shí)；

（I）若求郎的長(zhǎng)度；

（2）求陰影的長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：sin16°?0.28,cosl6°?0.96,tan16°?0.29）

10.（2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖（1）是一臺(tái)實(shí)物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線表示可轉(zhuǎn)動(dòng)支架，支

架2C可以伸縮調(diào)節(jié)，投影探頭CD始終垂直于水平桌面MN,與始終在同一平面內(nèi).已知投影儀的底座高3厘

米，支架AB=30厘米，探頭CD=1。厘米.（參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.97,cos75°?0.26,tan63°?2,sin53°?0.8,V10?3.16）

（I）（2）3

⑴當(dāng)支架4B與水平線的夾角為75。，與支架的夾角為90。，且3c=AB時(shí)，求探頭的端點(diǎn)。到桌面MN的距離.（結(jié)

果保留一位小數(shù)）

（2）為獲得更好的投影效果，調(diào)節(jié)支架AB,如圖（3）所示，使得與水平線的夾角為53。，同時(shí)調(diào)節(jié)支架BC,使得

探頭端點(diǎn)。與點(diǎn)8在同一水平線上，且從點(diǎn)?？袋c(diǎn)A的俯角為63。，此時(shí)支架8c的長(zhǎng)度為多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）

11.（2025?河南開(kāi)封?一模）圭表塔是聳立在河南科技館新館最高的建筑，某校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)使用卷尺和自制的

1.4m高的測(cè)角儀測(cè)量圭表塔的高度，示意圖如圖所示，組員甲在水平地面點(diǎn)E處用測(cè)角儀測(cè)得圭表塔最高點(diǎn)8處的仰

角為38.5。，組員乙從點(diǎn)M處沿臺(tái)階上至第4級(jí)，在點(diǎn)。處測(cè)得圭表塔最高點(diǎn)B處的仰角為45。，用卷尺測(cè)得每級(jí)臺(tái)

階寬為0.3m,高為Q15m,點(diǎn)、M,E之間的距離為222m.求圭表塔的高度8尸（點(diǎn)M,C,A在同一豎直平面

內(nèi)，CDLME,AEVME,結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin38.5。=0.62,cos38.5。々0.78,tan38.5°?0.80）.

12.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）如圖，某鐵塔附近有一建筑物C。，建筑物高30米，一旅游愛(ài)好者站在建筑物一樓地面

墻角。處測(cè)得塔頂A仰角為45。在樓頂C處測(cè)得塔頂A的仰角為30。，點(diǎn)4B,C,。在同一平面內(nèi).

（1）求塔的高度A3；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

（2）若一無(wú)人機(jī)速度為6米/秒，此無(wú)人機(jī)從樓頂C沿C4方向飛行到塔頂A,再立即沿AD方向飛回。處，此過(guò)程一共需

要多少秒？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):百元.732,04414）

13.