三角函數(shù)解答題（7種常見(jiàn)題型）學(xué)生版

第30講三角函數(shù)解答題7種常見(jiàn)題型總結(jié)

【題型目錄】

題型一：三角恒等變換的應(yīng)用

題型二：三角函數(shù)最值值域問(wèn)題

題型三：三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

題型四：五點(diǎn)法作圖問(wèn)題

題型五：三角函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

題型六：三角函數(shù)零點(diǎn)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

題型七：三角函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題

【典例例題】

題型一：三角恒等變換的應(yīng)用

【例1】(2022?江蘇蘇州?高一期末)已知函數(shù)〃尤)usi/x+A/§siiucos^-J(尤eR).

⑴若函數(shù)/(x+e)的圖象過(guò)點(diǎn)且e￡求e的值；

(2)若〃0)=,且求sin[a+衛(wèi)]的值.

【例2】(2022?重慶八中高三開(kāi)學(xué)考試)已知cosa=|,cos(a+/7)=^.

⑴求sin￡的值;

⑵求cos(a+20的值.

【例3】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知cos,-§]=-，，sin

一<(x<n,0<./3<一,求:

22

(l)COS^y^的值；

⑵tan(o+0的值.

【例4】(2022.江蘇?高一開(kāi)學(xué)考試)己知函數(shù)〃x)=cosx.

(l)a,夕為銳角，/(tz+/?)=--,tana=1,求cos2c及tan(，一打)的值;

53

3

⑵已知〃⑶一⑶=5，a,1?0,萬(wàn))，求a及夕的值.

【題型專練】

1.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?高一期末)已知sin”+cos“=3,?e(0,2E).

sina-cosa2

⑴求cos2a的值；

(2)若sin(i-￡)=典，且〃e(0,$,求角八

102

774s

2.(2022?廣西?桂林市第十九中學(xué)高一期中)已知萬(wàn)＜尸＜。＜萬(wàn),5缶(。-￡)=丁85月=一三.

(1)求以)524和tan2￡；

(2)求cosa.

71715

3.(2022?四川省成都市新都一中高一期中(理))已知,且sin(,一2a)=,

4?2

cos(2^-a)=-^^

.求:

(l)cos(a+〃)；

(2)tan2(a+⑶.

4.(2022?四川自貢?高一期末)已知函數(shù)/(x)=2j5sinxcosjv+2cos2%.

⑴求函數(shù)/(%)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)將的圖象向右平移看個(gè)單位，得到g(x)的圖象，已知g(%)=||,尤。€鼻彳],求COS2%值.

5.(2023安徽?高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/(x)=2sin25+2A/5sinscos5-l(0＜G＜l),滿足

⑴求八%)的解析式；

0

⑵將〃x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移三7r個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)

的圖象，若《2嗚卜一號(hào)，9e[o,|l求cos。的值.

題型二：三角函數(shù)最值值域問(wèn)題

【例1】函數(shù)/(%)=sin2(ox+6sincox-coscox(a)>0)且滿足.

①函數(shù)無(wú))的最小正周期為萬(wàn)；②已知石片々，/(^)=/(%2)=-；且人―的最小值為引，在這兩

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線處，然后解答問(wèn)題.

(1)確定。的值并求函數(shù)〃無(wú))的單調(diào)區(qū)間；

冗

(2)求函數(shù)/(X)在XC0,y上的值域.

【例2】(2022?浙江?高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=cos2無(wú)+百sinxcosx—g.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

?JT

⑵求了(X)在區(qū)間［0,-］上的最值.

【例3】(2022?遼寧撫順.高一期末)函數(shù)〃x)=sin(yxcos①x+cos2@x,(y>0,函數(shù)〃x)的最小正周期為萬(wàn).

⑴求函數(shù)“X)的遞增區(qū)間：

(2)將函數(shù)的圖像向左平移:個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖像，再將函數(shù)g(x)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)

不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)人(力的圖像，求函數(shù)可同在一多會(huì)上的值域.

【例4】(2022.遼寧.高一期末)函數(shù)“xbdsinxsinlx+W-TxeR)

(1)說(shuō)明函數(shù)/(x)的圖像是由函數(shù)^=$由2%經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的；

⑵函數(shù)g(x)=g小+0+:小-目，求函數(shù)g@)的值域，并指出g(x)的最小正周期(不需要證明).

【例5】(2022.安徽?合肥工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末)已知函數(shù)〃x)=^sin、+：卜)sx-；.

(1)求函數(shù)/(元)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若將函數(shù)/(x)的圖象向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍(縱坐標(biāo)不

變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［0,可上的值域.

【例6】先將函數(shù)y=2sin［2x+^J-』sin2x圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），

再將所得到的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)/（%）的圖像.

（1）求函數(shù)/（X）的解析式；

（2）若尸滿足/（0）"（夕）=逑，且。+尸=工，設(shè)g（x）=30sin（x+a>sin（x+0,求函數(shù)

34cosx

JTJT

g（x）在xe-■上的最大值.

44

【題型專練】

1.（2022?廣西?北海市教育教學(xué)研究室高一期末）已知函數(shù)〃x）=sino無(wú)cos<yx-gcos2<y無(wú)（0>0）的最小正

周期為兀.

（1）求。的值；

（2）將函數(shù)/（尤）的圖象向右平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)也擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)

0

TT57r

g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間—上的值域.

2.（2022?陜西西安?高一期末）已知函數(shù)/⑴=2sin?x+e）3>0,同<|）相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為1,

且了⑴的圖像關(guān)于點(diǎn)（三，0）對(duì)稱.

⑴求函數(shù)/（元）的解析式；

（2）將/（尤）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的J,縱坐標(biāo)不變，再將所得的圖像向右平移高個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到函數(shù)g（x）的圖像，若g（尤）在［0,祖］上的值域?yàn)椋?1,2］,求相的取值范圍.

3.（2022?福建?高二學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=sin2x+2』sinxcosx+3cosxwR求：

⑴求函數(shù)的最小正周期；

⑵求函數(shù)“X）在區(qū)間-不上的值域.

（3）描述如何由y=SinX的圖象變換得到函數(shù)/（x）的圖象.

4.(2022?湖北?鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室高一期中)已知/(%)=2cos2cox+273sincoxcoscox,其中0<G<2,

給出三個(gè)條件：

①/(“關(guān)于直線片看對(duì)稱；②(.=1；③/(力圖象沿x軸向左平移/單位可以得到一個(gè)偶函數(shù).

(1)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求了(—：.

JTJT

⑵根據(jù)(1)所求函數(shù)表達(dá)式，求“X)在上的值域.

5.(2022?福建?莆田一中高一期中)已知函數(shù)/(%)=5皿［8-；卜858,其中0<0<3.函數(shù)“X)圖象的

一■個(gè)對(duì)稱中心坐標(biāo)為17，。］

⑴求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移W個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;倍(縱坐標(biāo)不變),

得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的最大值以及取得最大值時(shí)所有尤的集合.

6.(2022?廣東?佛山市順德區(qū)容山中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(冗)=65皿2%+今-6m工+85%)2+1.

6

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

(2)先將函數(shù)/⑴的圖像向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;(縱坐標(biāo)不

變)，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)在xe［若手上的值域.

7.(2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高一學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)

/(x)=2/sin+2(山-l(tw>0,0<e<;r,xeR)為奇函數(shù)，對(duì)WxeR,

恒成立，且后一司誣=全

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵將函數(shù)“X)的圖象向右平移？個(gè)單位,再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;，縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象，

當(dāng)xe04時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域.

8.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(3j^sinx+cos，cos尤-2sin2x+'1.

(1)求/'(X)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程；

(2)若y=g(x)的圖象可由y=/(x)的圖象向左平移聯(lián)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求函數(shù)g(x)在|，Y上的值域.

題型三：三角函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

【例1】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/。)=想與四里(〃>0)為奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

⑵若g(x)=/(x)+lg(l-tanx),求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【例2】(2022?黑龍江?雙鴨山一中高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=sin12x+/)+cos|2x+?)-2sinxcosx

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及對(duì)稱軸方程;

⑵將函數(shù)y=〃x)的圖象向左平移合個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2

倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求y=g(x)在［0,2汨上的單調(diào)遞減區(qū)間.

【例3】(2022?陜西咸陽(yáng)?高一期末)已知函數(shù)/'(無(wú))=2sin2(yx+2百sinoxcos。尤一1(?>0),且函數(shù)

的最小正周期為乃.

(1)求的解析式；

(2)先將/(x)的圖象上所有點(diǎn)向左平移相(相>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的1■倍(縱

5TT

坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，若y=g(x)的圖象關(guān)于直線工=三對(duì)稱，求當(dāng)機(jī)取最小值時(shí)，函數(shù)y=g(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間.

【例4】(2022.重慶八中高三階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=6sins+2cos2掾■+/"的最小值為—2.

⑴求函數(shù)“X)的最大值；

(2)把函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移言個(gè)單位，可得函數(shù)y=g(x)的圖象，且函數(shù)y=g(x)在。卷上為增

函數(shù)，求。的最大值.

【例5】(2022.湖南懷化.高二開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=sin(@x+010>O,冏隹)的圖象關(guān)于直線了=?對(duì)

稱.

⑴若“X)的最小正周期為2%,求“X)的解析式.

⑵若X=-?是“X)的零點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)0,使得了⑺在［簽,上單調(diào)？若存在，求出0的取值集合;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型專練】

1.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知下列三個(gè)條件：①函數(shù)/為奇函數(shù)；②當(dāng)x=］時(shí)，f(x)=6；

③年是函數(shù)/■(*)的一個(gè)零點(diǎn).從這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在下面的橫線處，并解答下列問(wèn)題.

已知函數(shù)/(x)=2sin(x+e)［o<e<5］,.

⑴求函數(shù)〃尤)的解析式;

⑵求函數(shù)/(%)在［0,2兀］上的單調(diào)遞增區(qū)間.

2.(2022?山東濱州■高二期末)已知函數(shù)/(x)=sin"x+A/^sinZx-cos"x+〃7的最小值為1.

(1)求常數(shù)優(yōu)的值；

⑵當(dāng)xe［0,句時(shí)，求函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

3.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)A(石,/(%)),網(wǎng)法了卜力是函數(shù)/⑴二

2sin（8+9）,>0,q<e<0j圖象上的任意兩點(diǎn)，且角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（1,一拘，當(dāng)忱⑷-了⑹=4時(shí),

卜-司的最小值為g.

（1）求函數(shù)/（元）的解析式；

⑵求函數(shù)/（M圖象的對(duì)稱中心及在[0,2上的單調(diào)減區(qū)間.

4.（2021?四川省武勝烈面中學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù)/（x）=；cos2x+sinx{l-2sin2￡|,其中

XGR.

⑴求“X）最小正周期T;

⑵若函數(shù)g（元）=#sin12尤+引，且對(duì)任意的司e[0,“，當(dāng)吃<三時(shí)，均有了（西）-/⑸<8（%）-8（%）

成立，求正實(shí)數(shù)f的最大值.

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=sinG尤+百COSS（G>0）.

⑴當(dāng)。</<3時(shí)，函數(shù)y=dx-F[-〃x）的圖象關(guān)于直線x=N%對(duì)稱，求。的值；

112

（2）在第一問(wèn)的條件下，將/（x）的圖像向右平移!個(gè)單位得到函數(shù)g（x）,求g（x）在[0,句上的單調(diào)遞增區(qū)間.

6.（2022疝東省鄭城第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=4$皿8+夕）（4>0,。>0,閘<克的最小正周

期為兀，且點(diǎn)尸啖,2）是該函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn).

⑴求函數(shù)“X）的解析式；

（2）把函數(shù)〃尤）的圖象向右平移。，<。<?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，g（x）在0,：上是增函

數(shù)，求。的取值范圍.

題型四：五點(diǎn)法作圖問(wèn)題

【例1】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)〃尤)=Asin(s+°)[o＞0,附〈/J在某一個(gè)

周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù).

(1)求函數(shù)元)的解析式，并補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)；

713〃

（DX+Cp兀271

0~2~2

715/r

X

7~6

Asin（④r+夕）05-50

⑵將＞="X)圖象上所有點(diǎn)向左平移0(0＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

!(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為求6的最小值.

【例2】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)〃x)=Asin(0X+0(。＞0,網(wǎng)＜])在某

一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表.

713兀

CDX+（p071271

2~2

71571

X

i~6

Asin（G%+9）05-50

(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整并求出函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若8("=/卜+：+1，求函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱中心及對(duì)稱軸;

⑶若川上/1-.，求函數(shù)妝力的單調(diào)區(qū)間.

【題型專練】

1.(2022?全國(guó)?高一單元測(cè)試)設(shè)xwR,函數(shù)/(x)=cos(0尤+。)［0＞0,-:!＜。＜0)的最小正周期為萬(wàn)，且

(1)求。和。的值；⑵在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)〃尤)在［0,句上的圖像；(3)若求x的取值范圍.

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))某同學(xué)用“五點(diǎn)法通函數(shù)/(x)=Asin(ox++＞0,網(wǎng)＜之在某一周期內(nèi)的

圖像時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

2?71

X一彳7F

713〃

a)x+(p71〃

0~2~22

sin①x+"010-10

/W0不00

(1)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)上表的空格處；畫(huà)出函數(shù)在此周期內(nèi)的圖像，并寫(xiě)出函數(shù)/(X)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程/(x)=0在區(qū)間［-匹］］上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？

(3)將函數(shù)/(X)的圖像向右平移:個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的縱坐標(biāo)不變,

■IT

得到函數(shù)g(元)的圖像，若函數(shù)y=g(&x)在區(qū)間0,-上恰有io條對(duì)稱軸，求。的取值范圍？

題型五：三角函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

X71

【例1】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=tan

2-3~

⑴求函數(shù)/(X)的定義域和單調(diào)區(qū)間;

⑵求不等式/(x)w6的解集.

【例2】(2022?貴州黔東南?高一期末)已知函數(shù)/(工)=28$2工+2^/§^11%(：05%-1.

⑴求函數(shù)的最小正周期；

(2)現(xiàn)將Ax)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的縱坐標(biāo)不變；再向右平移*個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(M的圖

/12

71

像，若當(dāng)xe0,-時(shí)，g(x)-2相+120恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【例3】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+。)｝的部分圖象如圖所

示.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)先將函數(shù)/(x)的圖象向右平移六個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2

倍,得到g(x)的圖象.

⑴若?。?,當(dāng)xe[0,詞時(shí)，g(x)的值域?yàn)閇-君,2],求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

■ITTT

(ii)若不等式g2(x)-(2l+l)g(x)7—1W0對(duì)任意的xw恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【題型專練】

1.(2022?湖南?湘潭一中高一期末)已知函數(shù)/(x)=26sinxcosx-2cos?x+2,XGR.

⑴求函數(shù)〃x)的最小值；

⑵把y=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求不

等式g(x)>2的解集.

2.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃x)=sin120x+V圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為1合0),其中切為常

數(shù)，且。?0,2).

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵已知函數(shù)g(尤)=cos(尤+()-根，若對(duì)任意的和We[o,可，均有“為)*(馬),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

3.(2022?北京延慶?高一期末)已知函數(shù)/■(x)=2sinxcosx+cos2x-sin-.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和圖像的對(duì)稱中心；

S冗STT

⑵當(dāng)xe時(shí)，求“X)的值域;

(3)求不等式的解集.

4.(2022?遼寧?建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí))請(qǐng)從“①函數(shù)的圖象關(guān)于直線苫=-合對(duì)稱；②函數(shù)〃x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(注]對(duì)稱；③對(duì)任意實(shí)數(shù)%恒成立”這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫

線處，并作答.

已知函數(shù)"x)=2sin(3e)(。>0,兩竹)，其圖象中相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為且______.

⑴求的解析式

⑵將的圖象向左平移專個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線產(chǎn)g(x),若在區(qū)間親等上存在為滿足g(x0)〈m,

求實(shí)數(shù)旭的取值范圍.

5.(2022?吉林?梅河口市第五中學(xué)高一期末)已知函數(shù)"x)=3cos2x-I+2cosx(sinx-3cosx)+3,xeR.

■rr

⑴求函數(shù)y=/(x)的最小正周期以及函數(shù)y=〃x)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值;

⑵將函數(shù)y=/(x)圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若

g(d-m2+2〃z+3)＞g(d-m。+4卜求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

題型六：三角函數(shù)零點(diǎn)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

【例1】(2022?陜西西安?高一期末)己知函數(shù)〃x)=2cos(2x-e+[|(0＜6＜￡|是偶函數(shù).

⑴求夕的值；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)

31o

度，最后向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)-、0-l=0在xe7T7T有

兩個(gè)不同的根名萬(wàn)，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

【例2】(2022?重慶八中高一期末)函數(shù)＞=4?(5+同卜＞0,0＞0,同＜3的一段圖象如下圖所示.

⑴求函數(shù)y=的解析式；

⑵將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移7個(gè)單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.求直線＞=痣與函數(shù)y=〃x)+g(x)的

圖象在]o，D內(nèi)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

【例3】(2022?廣東梅州?高一期末)已知函數(shù)/'(X)=Visin'ox-cos,+20sinox-000x(。＞0)最小

正周期為萬(wàn).

(1)求。的值:

⑵將函數(shù)〃尤)的圖象先向左平移!個(gè)單位，然后向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)〉=8(力，若y=g(x)在

O

[0,可。>。)上至少含有4個(gè)零點(diǎn)，求6的最小值.

【例4】(2022.河南駐馬店.高一期末)已知函數(shù)〃x)=2cos2(@x+e)-l[0>O,O<e<且〃2x)的最小

正周期為兀，將“X)的圖像沿x軸向左平移與個(gè)單位，得到函數(shù)g(x),其中x=5為g(x)的一條對(duì)稱軸.

03

⑴求函數(shù)/(尤)與g(x)的解析式；

⑵若方程g[-x]-〃x)+gq-x：〃x)+2I=0在區(qū)間展,|兀有解，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【例5】(2022?全國(guó)?高一)已知函數(shù)/(x)=2百sin'|cos'+cos2B-sin25

(1)求函數(shù)/(尤)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵把>=/(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)V=g。)的圖象，已知關(guān)于x的方程g(x)-加=0在

O

7T

0,-上有兩個(gè)不同的解。,夕.

①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

②證明：COS(6Z-B)=-1.

【例6】(2022糊北恩施高一期中)已知函數(shù)/(x)=2sin0xcos0x+2Gsin20x-g3>O)的最小正周期為1.

⑴求/G)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)將/(x)的圖象向左平移q個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若y=g(x)

在[0,b](&>0)上至少含有2022個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值.

【例7】已知函數(shù)/(x)=+2sinxcosx+百

⑴當(dāng)xe[0,%]時(shí)，求/(%)的單增區(qū)間;

(2)將函數(shù)/(尤)的圖像向右平移三個(gè)單位后得到函數(shù)g(x),若關(guān)于x的方程|g(x)—g|=冽在

jr57r

上有解，那么當(dāng)加取某一確定值時(shí)，方程所有解的和記為鼠，求鼠所有可能值及相應(yīng)的機(jī)取

_00

值范圍.

【例8】(2022?山東濰坊.高二開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)/(x)=A^sin1的++2sin［曹+方卜1(。＞0)的相鄰兩

對(duì)稱軸間的距離為彳.

2

(1)求/(X)的解析式；

(2)將函數(shù)/(M的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的;(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

o/

TTTT

y=g(元)的圖象，當(dāng)xe時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域；

126

(3)對(duì)于第⑵問(wèn)中的函數(shù)g(x),記方程g(x)=?4在XWTC47r上的根從小到大依次為尤”無(wú)2,…%,若根=

-

尤1+2々+2%3^--1+xn,試求〃與根的值.

【題型專練】

1.(2022.陜西漢中.高一期末)已知函數(shù)/(x)=九05(妙+夕)卜＞0,0＞0,|同(^］的部分圖象如圖.

(1)求/(九)的表達(dá)式；

(2)將函數(shù)/(%)的圖象向右平移'個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線C,把C上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

■JT

來(lái)的2倍得到函數(shù)g(尤)的圖象.若關(guān)于尤的方程g(x)-根=0在0,-上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)相

的取值范圍.

2.(2022?福建福州?高一期末)已知函數(shù)/。)=君$山(<2?+9)+2$m2］色二9)_1(0>0,0<夕<兀)為奇函數(shù),

且當(dāng)時(shí)，N-百皿"=/

(1)求/(x)的解析式；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的1(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g。)

o/

7t

的圖象，記方程g(x)=：4在尤e-,47ry上的根從小到大依次為士,尤2,…X“，試確定”的值，并求

xl+2x2+2x3+---+2xn_1+xn的值.

3.(2022?內(nèi)蒙古赤峰高一期末(文))已知函數(shù)〃x)=Asin(0x+e)+《A>O,0>O,lslW)的部分圖象如

圖所示.

⑴求函數(shù)“X)的解析式：

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移￡個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;

倍(縱坐標(biāo)不變)，然后將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)都向下平移1個(gè)單位(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖

TT

象，若方程g(x)=0在0,-上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=2sin(x+?.

⑴若不等式|〃力-小3對(duì)任意勺恒成立，求整數(shù)機(jī)的最大值；

63

(2)若函數(shù)g-x),將函數(shù)g(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的J倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平

2z

移5個(gè)單位，得到函數(shù)產(chǎn)g)的圖象，若關(guān)于X的方程;碎)-左=0在xe[-春目上有2個(gè)不同實(shí)數(shù)解，

求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+A>0,。>0,|同<引部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)“X）的解析式.

（2）若將函數(shù)〃x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的）縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移必。>0）個(gè)長(zhǎng)度單

位，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求夕的最小值.

兀

⑶設(shè)函數(shù)R（x）=/（x）-a在區(qū)間0,—上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)外,三,求cos（%i+X2）.

6.（2022?江西省萬(wàn)載中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=2sin120x+\+L

⑴若求〃x）的對(duì)稱中心；

（2）已知0</<5,函數(shù)/'（X）圖象向右平移2個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，x=q是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，若函

數(shù)g（x）在網(wǎng)耳（加，且）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求〃-，〃的最小值；

7.（2022?遼寧?沈陽(yáng)二中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)〃%）=2sin[x+5J.

⑴若不等式|〃x）-小3對(duì)任意xe-今。恒成立，求整數(shù)機(jī)的最大值；

⑵若函數(shù)8（月=/仁7）,將函數(shù)g（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍（縱坐標(biāo)不變），再向右

平移卷個(gè)單位，得到函數(shù)y=g）的圖象，若關(guān)于尤的方程1/7卜）-心11尤+3力=0在%€]后,哥上有

解，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

（參考公式：sin2x=2sinxcosx.sinx+cosx=\/2sinlx+I）

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=sin（s+。）oeN*,時(shí)〈?的圖像關(guān)于直線x=-^|對(duì)稱,

且在區(qū)間［-石，。）上單調(diào)遞增；

⑴求了（X）解析式.

（2）若/［|<0,將函數(shù)/*）的圖象所有的點(diǎn)向右平移自個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原

1TTTT

來(lái)的;（縱坐標(biāo)不變），得到g（x）的圖象；若g（x）=,〃在尤e上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

264

9.（2022?上海市建平中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=4sinxcos［尤+?卜班（尤eR）.

⑴將函數(shù)形式化簡(jiǎn)為y=Asin（?x+°）+b的形式，寫(xiě)出其振幅、初相與最小正周期；

（2）求函數(shù)/（x）的最小值與此時(shí)所有關(guān)的取值；

⑶將函數(shù)“X）的圖像向右移動(dòng)（個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的a（O<，<l）倍得到

y=g（x）的圖像，如果尸g（x）在區(qū)間［-M］上至少有100個(gè)最大值，那么求。的取值范圍.

10.（2022?河南?永城市苗橋鄉(xiāng)重點(diǎn)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)/（尤）=4$山（。1+0）+8（4>0,0>0,|如<|^的

部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)AM的解析式：

(2)將函數(shù)y=/(元)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移合個(gè)單位，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2

倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.

冗TT

①當(dāng)xe-y,-時(shí)，求函數(shù)g(x)的值域；

②若方程g(x)-相=。在0,—上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根芯，尤2，%(不<彳2<%3)，求tan(%+2x2+%)的值.

題型七：三角函數(shù)的應(yīng)用性問(wèn)題

【例1】(2022.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))某旅游景區(qū)每年都會(huì)接待大批游客，為了控制經(jīng)營(yíng)成本，減少浪費(fèi)，某

酒店計(jì)劃適時(shí)調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計(jì)了歷年中每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)酒店入住的

游客人數(shù)呈周期性變化且在第一季度內(nèi)有對(duì)稱性特征，并且具有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住酒店

的游客人數(shù)基本相同；②入住酒店的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住

酒店的游客約為100人，隨后逐月遞增，在8月份達(dá)到最多.

(1)函數(shù)模型/(x)=Asin(Ox++B(A>0,。>0,|勿〈萬(wàn))和/(x)=ax3+bx2+cx+d中用哪一個(gè)來(lái)描述一年中

入住酒店的游客人數(shù)/*)與月份x之間的關(guān)系更合適，為什么?并求出fM的解析式；

(2)在(1)中選擇的基礎(chǔ)上，試確定酒店在哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備至少400份(每人一份)食物.

【例2】(2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末)建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來(lái)的長(zhǎng)遠(yuǎn)大計(jì).某市

通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng)，為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，在氣溫低于0℃時(shí)，才開(kāi)放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空

調(diào).如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：℃）隨時(shí)間f（0W/W24,單位：小時(shí)）的大致變化曲線，若

⑴求y=的表達(dá)式；

（2）請(qǐng)根據(jù)（1）的結(jié)論，求該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng).

【例3】（2022?陜西渭南?高一期末）一半徑為2m的水輪（如圖所示），水輪圓心。離水面1m,已知水輪逆

時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每3s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)尸從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)凡）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將點(diǎn)P距離水面的高度〃（m）表示為時(shí)間f（s）的函數(shù);

（2）點(diǎn)尸第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

【例4】（2022?廣西桂林?高一期末）某港口的水深V（單位：加）是時(shí)間單位：/?）的函數(shù)，下面

是該港口的水深數(shù)據(jù):

t/h03691215182124

y/m10139.9710139.9710

一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5m時(shí)就是安全的.

(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：y=at+b,y=Asin(a+0)+K,你認(rèn)為哪個(gè)模型可以更好地刻畫(huà)y與/之間的

對(duì)應(yīng)關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；

(2)如果船的吃水深度(船底與水面的距離)為力小那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安

全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？

【例5】(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩

天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，該摩天輪輪盤直徑為120米，設(shè)置有36個(gè)座艙，

游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面140米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30分鐘，

當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).

（圖1）（圖2）

(1)經(jīng)過(guò)f分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知a關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式滿足坦0=羯皿泣+#+3(其

中4>0,0>0,［同v1),求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式“⑺；

(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到50米？

(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔5個(gè)座艙，在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，記兩人距離地面

的高度差為,米，求。的最大值.

【題型專練】

1.（2022.江蘇蘇州.高一期中）某港口海水的深度y（m）是時(shí)間/（時(shí)