上海七年級(jí)數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：不等式及其性質(zhì)（11大題型）解析版

上海七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)：01不等式及其性質(zhì)（11大題型）

思維導(dǎo)圖:

1.不等式的概念

知識(shí)點(diǎn)

2.不等式的性質(zhì)

題型1:判斷是否屬于不等式

題型2:實(shí)際問題中的不等式的含義

題型3:列不等式

題型4:不等式的性質(zhì)

不等式及其性質(zhì)

<題型5:不等式的傳遞性（性質(zhì)2）

題型題型6:利用不等式的性質(zhì)，把不等式化成x>a或x<a的形式

<題型7:利用不等式變形后的結(jié)果，求參數(shù)范圍

題型8:不等式性質(zhì)的應(yīng)用一比較大小

題型9:不等式性質(zhì)的其他應(yīng)用

題型10：作差法比較大小

題型11：不等式的性質(zhì)難點(diǎn)分析

知識(shí)清單：

知識(shí)點(diǎn)1：不等式的概念

一般地，用"<"、">"、"<，或，，］，表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用表示不等關(guān)系的式子也是不等

式.

要點(diǎn)：

（1）不等號(hào)或">"表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號(hào)的開口所對(duì)的數(shù)較大.

（2）五種不等號(hào)的讀法及其意義：

符號(hào)讀法意義

〃工〃

讀作"不等于"它說明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小

II<，，讀作"小于"表示左邊的量比右邊的量小

II>II讀作"大于"表示左邊的量比右邊的量大

讀作“小于（或）等即"不大于"，表示左邊的量不大于右邊的量

I/vri

于“

讀作"大于（或）等即"不小于"，表示左邊的量不小于右邊的量

11>II

于“

（3）有些不等式中不含未知數(shù)，如3<4,有些不等式中含有未知數(shù)，如2x>5中，x表示未知數(shù)，對(duì)于含有未知

數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不

等式不成立.

1

知識(shí)點(diǎn)2:不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)1：對(duì)于任意給定的兩個(gè)數(shù)a、b,在a>b、a<b、a=b三種情形中，有且只有一種情形成立.

不等式的性質(zhì)2:如果a>b,b>c,那么a>c.

要點(diǎn)：如同相等關(guān)系具有傳遞性，不等式性質(zhì)2表明大于關(guān)系也具有傳遞性.同樣地，能""V"與也具有傳遞性.

不等式的性質(zhì)3:不等式的兩邊同加(或減)一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變

不等式的性質(zhì)4:不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

不等式的性質(zhì)5:不等式的兩邊同乘(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

要點(diǎn)：

對(duì)不等式的性質(zhì)的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)不等式的性質(zhì)是對(duì)不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、

比較、體會(huì).

(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)4和性質(zhì)5的區(qū)別，在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清

這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變.

課前習(xí)題：

1、用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列關(guān)系：

(1)x的3倍與5的差小于1;

(2)x的一半不小于3;

(3)x與1的差的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)；

(4)a是大于-1且不大于2的數(shù).

【答案】⑴3x-5<l(2)gx23⑶|尤-1年0⑷-1<。42

【解析】(1)根據(jù)題意，得弘-5<1;(2)根據(jù)題意，得

(3)根據(jù)題意，得卜-1|20；(4)根據(jù)題意，得-l<aV2;

2、在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，①-1<0,②x=l,③尤2一中，④"-2,⑤x+l<2x-l,是不等式的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】不等式有-1<0,2,x+l<2x-l,共3個(gè)，故選：B.

3

3、用不等式表示：%的2倍與〉的［的和不大于5,正確的是()

33(33

A.2x+—j/>5B.2x+—y>5C,2lx+—j/I<5D.2x+—y<5

【答案】D

33

【解析】解：x的2倍與歹的1的和不大于5,即2%+1”5,故選：D.

2

4、設(shè)"6,用或">"號(hào)填空:

(1)Q+1_____b+1；

(2)a—3I;

⑶3a_____3b：

⑷-u~b；

⑸a+2____Q+3;

(6)-4a-5-4a-3;

(7)Q—2b-\.

【答案】<<<><<<

【解析】解：(1)不等式兩邊都加上1可得。+1<6+1；

(2)不等式。<6兩邊都減去3可得。-3<6-3;

(3)不等式“<方兩邊都乘以3可得3a<36;

(4)不等式兩邊都乘以-1可得-。>-6；

⑸因?yàn)?<3,所以a+2<“+3;

(6)因?yàn)?4a=-4a,-5<-3,所以-4a-5<-4a-3；

⑺不等式“<方兩邊都減去2可得"2<b-2,因?yàn)?<6-1,所以可得a-2<6-1.

故答案為：(1)<；(2)<;(3)<；(4)>;(5)<；(6)<；(7)<.

5、將下列不等式化成或"x<。"的形式：

⑴x-l>2;(2)-?<|；(3)9M3.

62

【答案】⑴x>3;⑵%>-(；⑶x<6.

0

【解析】(1)x-l>2,兩邊同時(shí)加上1得：x>3;

(2)-x<|,兩邊同乘-1得：%>；

(3)1x<3,兩邊同時(shí)乘2得：x<6;

2

6.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可將〃/77X<2〃化為〃x>_〃，則6的取值范圍是.

m

【答案】/77<0

2

【解析】因?yàn)閙x<2化為x>-,根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3得：m<0,故答案為m<0.

m

3

典型例題：

題型1:判斷是否屬于不等式

【典例1].在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，不等式的個(gè)數(shù)是（）

①一3<0;②。+6<0;③x=3;④xw5;⑤龍+2>y+3.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【解析】解：不等式有：①-3<0;②a+6<0;④*5;⑤龍+2*+3;所以共有4個(gè).故選：C.

【變式1-1].有下列式子：①-3<0;②3x+5>0;③/-6；④x=-2;⑤了為；⑥f+220.其中不等式的

個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【變式1-2].在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式中，屬于不等式的是.

①-3<0;②a+b;③x=3;④x+2>y+3.

【答案】①④/④①

【解析】①-3<0是不等式；②“+6不是不等式；③x=3不是不等式；④x+2>y+3是不等式.

故答案為：①④.

【變式1-3].有下列式子：①2>0;?4x+y<l;③x+3=0;④尸7;⑤機(jī)-2.5>3.其中是不等式的有個(gè).

【答案】3

【解析】①是用">"連接的式子，是不等式，符合題意；②是用"4"連接的式子，是不等式，符合題意；

③是等式，不是不等式，不符合題意；④沒有不等號(hào)，不是不等式，不符合題意；

⑤是用連接的式子，是不等式，符合題意；二不等式有①②⑤共3個(gè)，故答案為：3.

題型2:實(shí)際問題中的不等式的含義

【典例2],高鈣牛奶的包裝盒上注明"每100克內(nèi)含鈣>150毫克”,它的含義是指（）

A.每100克內(nèi)含鈣150毫克B.每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克

C.每100克內(nèi)含鈣高于150毫克D.每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克

【答案】B

【解析】根據(jù)>的含義，"每100克內(nèi)含鈣>150毫克”,就是"每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克”,故選:B.

4

【變式2-1】.秦嶺是中國(guó)南北方的界山，秦嶺的大散嶺，鳳嶺，紫柏山的海拔均在1500米以上.若用x米表示這

些山嶺的海拔，貝Ux滿足的條件為（）

A.x>1500B.x>1500C.x<1500D.x<1500

【答案】B

【解析】.山嶺主峰海拔超過1500米.1500,故選：B.

【變式2-2].2024年2月25日，國(guó)家糧食和物資儲(chǔ)備局發(fā)布消息稱，全國(guó)累計(jì)收購秋糧超1.5億噸.若用x（億

噸）表示我國(guó)今年秋糧收購的數(shù)量，則無滿足的關(guān)系為（）

A.x>1.5B.x>1.5C.x<1.5D.x<1.5

【答案】B

【解析】根據(jù)題意得：x>1.5,故選：B.

【變式2-3].交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全.在通過隧道時(shí)，我們往往會(huì)看到如圖所示的標(biāo)志，該標(biāo)志

表示車輛高度不超過4.5m,則通過該隧道的車輛高度x（m）的范圍可表示為（）

A.x>4.5B.x>4.5C.%<4.5D.0<x<4.5

【答案】D

【解析】由題意得：0<x<4.5,故D正確.故選：D.

題型3:列不等式

【典例3].x與y的差為負(fù)數(shù)，用不等式表示為（）

A.x-y<0B.x-y>0C.x+y<0D.x+y>0

【答案】A

【解析】無與了的差是x-匕???差是負(fù)數(shù)，，xr<0.故選：A.

【變式3-1].用不等式表示：

（1）2x與3），的差為非負(fù)數(shù)：;（2）a與6的“勺和不超過2:.

【答案】⑴2x-3y>0；⑵a+^b<2.

【解析】（1）先表示2x與3V的差：2x-3y,再表示2x與“的差為非負(fù)數(shù)：2x-3y>0;（2）先表示8與。的g的

和“+/：再表示a與。的十的和不超過2：a+^b<2Q故答案為：2x-3y>0,a+^b<2

5

【變式3-21.a的平方減去2的差不大于a與6的乘積，用不等式表示為.

【答案】a1—2<ab

【解析】根據(jù)題意，得

故答案為：a2-2<ab.

【變式3-3].下面列出的不等式中，正確的是()

A.a不是負(fù)數(shù)，可表示成。>0B.x不大于3,可表示成x<3

C.。與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成加-4<0D.x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x+2>0

【答案】C

【解析】解：a不是負(fù)數(shù)，可表示成故A錯(cuò)誤；x不大于3,可表示成xV3,故B錯(cuò)誤；機(jī)與4的差是負(fù)

數(shù)，可表示成〃「4<0,故C正確；x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成X+220,故D錯(cuò)誤.故選：C.

題型4:不等式的性質(zhì)

【典例4】.已知a>6,用">""<"填空,并說明理由.

(1)a+3b+3.(2)a-4b-4.(3)|a|b.

(4)-2a-2b.(5)3a-136-1.(6)1-a\-b.

【答案】⑴>；(2)>;⑶>；⑷。⑸>；(6)<o

【解析】(1)不等式的兩邊都加上了3,依據(jù)不等式的性質(zhì)1,故答案是〉.

(2)不等式的兩邊都減去了4,依據(jù)不等式的性質(zhì)1,故答案是〉.

(3)不等式的兩邊都乘以了g,由于g>0,依據(jù)不等式的性質(zhì)2,故答案是〉.

(4)不等式的兩邊都乘以了-2,由于-2<0,依據(jù)不等式的性質(zhì)3,故答案是<.

(5)依據(jù)不等式的性質(zhì)2,3a>3b‘不等式的兩邊都減去1,不等號(hào)的方向仍然不變，故答案是〉.

(6)依據(jù)不等式的性質(zhì)3,-a<-b,不等式的兩邊都加上1,得1-a與1-6,依據(jù)不等式的性質(zhì)1,故答案是<.

【變式4-1].若。<6,則下列不等式一定成立的是()

A,Q+5<Z?+5B.—5a<—5bC.D.a-5>b-5

【答案】A

【解析】a<b,不等式兩邊同時(shí)加上5,不等號(hào)方向不變，。+5<6+5一定成立，選項(xiàng)A正確；不等式兩邊同時(shí)

乘以-5,不等號(hào)方向改變，-5a>-56,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；不等式兩邊同時(shí)除以5,不等號(hào)方向不變，|<|,選項(xiàng)C

錯(cuò)誤；不等式兩邊同時(shí)減去5,不等號(hào)方向不變，。-5<6-5,選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選A.

6

【變式4-2].根據(jù)不等式的基本性質(zhì)填空:

(1)已知。>方，貝11。一1b-l;(2)若a-4<b-4,貝(b.(填">""<"或"=")

【答案】><

【變式4-3].按照下列條件，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，寫出成立的不等式.

⑴尤-y>l,兩邊同加上/(2)--?-1>—b,兩邊同乘-6.

0z

(3)-0.4>-0.8,兩邊同除以-0.4.(4)6x-3>l-無，兩邊同加上x+3,再同除以7.

4

【答案】⑴x>l+N；⑵a+6<-3b;(3)1<2；(4)%>-.

【解析】(1)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)加上兒可得：x>i+y;

(2)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)乘-6,可得。+6<-36;

(3)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)除以-0.4,可得：1<2；

4

(4)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)加上x+3,可得7x>4,再同時(shí)除以7,可得：

題型5:不等式的傳遞性(性質(zhì)2)

【典例5].如圖，三人分別坐在質(zhì)地均勻且到中心點(diǎn)。距離相等的蹺蹺板上，則表示三人體重4B,C的大小

關(guān)系正確的是()

A.B>A>CB.B>C>AC.C>A>BD.C>B>A

【答案】C

【解析】根據(jù)圖示，可得/>2,C>A,.-.OA>B.故選：C.

【變式5-1].(1)A&C三人去公園玩蹺蹺板，由下面的示意圖(1),你能判斷三人的輕重嗎?

(2)P、O、尺5四人去公園玩蹺蹺板，由下面的示意圖(2),你該如何判斷這四人的輕重呢？

(1)

⑵

【答案】⑴C>A>B-(2)Q<P<S<R,見解析

7

【解析】⑴由圖可知/>B,C>A,:.C>A>B-

(2)由圖可知：P<S;P+R>Q+S,Q+R=P+S,由尸+式>。+5,。+及=73+5,得尸+。+2尺>9+。+25,

即S<R,由0+S(尸+R,Q+R=P+S,得2Q+S+R<2P+S+R,即。<尸，：。<P<S<R,

題型6:利用不等式的性質(zhì)，把不等式化成x>a或x<a的形式

【典例6].利用不等式的性質(zhì)，把下列各式化成X>。或X<”的形式：

(1)x-7<8;(2)3x<2x-3;(3)|x>-3;(4)-2x<6.

x<15x<-3x>-6x〉-3

【解析】(Dx-7<8,兩邊都加上7,得：％-7+7<8+7,合并同類項(xiàng)可得：入<15

(2)3x<2x—3,兩邊都減去2x得：3x—2x<2x—3—2x,合并同類項(xiàng)得：x<—3

(3)|x>-3,兩邊都乘以2得：x〉—6

(4)-2x<6,兩邊都除以-2得：x〉-3,

故答案為：(1)尤<15(2)x<-3(3)x>-6(4)x>-3

【變式6-1].根據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化為"x>a"或的形式.

(1)x>|x-6;(2)-0.3x<-1.5.

【答案】(1)x>-12;(2)x>5.

【解析】解：(1)原不等式的兩邊同時(shí)減去;x,得;》>-6,不等式的兩邊同時(shí)乘2,得x>-12.

(2)在原不等式的兩邊同時(shí)除以-0.3,不等號(hào)的方向改變，即x>5.

【變式6-2].根據(jù)不等式的性質(zhì)，將下列不等式化成或的形式.

(1)x-17<-5;(2)5x+2>4x-3.

【答案】(1)x<12,(2)x>-5.

【解析】(1)將不等式兩邊都加上17,得x<-5+17,艮x<12.

(2)將不等式兩邊都加上-2,得5x>4x-5.將不等式兩邊都減去4x,得x>-5.

【變式6-3].根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為"x>a"或"x<a”的形式.

⑴x-2<3;(2)6x<5x-1;(3)yx>5;(4)-4x>3;(5);(6)|x>-6.

【答案】見解析.

8

【解析】(1)由不等式的基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都加上2,不等號(hào)的方向不變，所以x<5;

(2)由不等式的基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都減去5x,不等號(hào)的方向不變，所以x<-1;

(3)由不等式的基本性質(zhì)2,不等式的兩邊都乘2,不等號(hào)的方向不變，所以x>10;

3

(4)由不等式的基本性質(zhì)2,不等式的兩邊都除以-4,不等號(hào)的方向改變，所以x<

(5)由不等式的基本性質(zhì)2,不等式的兩邊都乘-10,不等號(hào)的方向改變，所以x>-1.

(6)由不等式的基本性質(zhì)1,不等式的兩邊都加上;x,不等號(hào)的方向不變，所以x>-6.

題型7:利用不等式變形后的結(jié)果，求參數(shù)龜圍

【典例7].如果不等式公>1,兩邊同時(shí)除以a后變成那么a的取值范圍是

a

【答案】?<0

【變式7-1].已知不等式…”。，當(dāng)機(jī)—時(shí)，不等式可化為

【答案】<。

【解析】S>0移項(xiàng)：mx>n,當(dāng)沉<0時(shí)，解得：x<-,故答案為：<0

m

【變式7-2].若x〈乙且(小-2八>(小-2力，則加的取值范圍是.

【答案】m<2

【變式7-3].若不等式(a-2)x<l,兩邊除以。-2后變成x>U，則a的取值范圍是.

【答案】a<2

【解析】?.不等式("2)x<l,兩邊除以"2后變成,.1”ZvO,.”<2.故答案為：a<2

a-2

題型8:不等式性質(zhì)的應(yīng)用一比較大小

【典例8].如果。>6,貝—(填或"=")

【答案】<

1-2”1-2Z?l-2a-l+2Z）-2a+2b2（a-b）—2。+2b

【解析】a>b,:.a-b>0,/.-------<0,

333~~3-=3-3

1-2〃1-26l-2a1-26

----<----.故答案為:<.

33

【變式8-1].已知x。，試比較大小:2023x2023y(填">"或

【答案】<

【解析】...2023x<2023九故答案為：<

9

【變式8-2].已知x>〃

(1)比較9-x與9-y的大小，并說明理由；

(2)若mx+4<my+4,求加的取值范圍.

【答案】⑴9-》<9-九理由見解析；(2)6<0。

【解析】⑴解：,；x>y,，-x<-y,:.9-x<9-y.

(2)-：mx+4<my+4：,mx<my又〈x〉/

【變式8-3].請(qǐng)解決以下兩個(gè)問題：

⑴利用不等式的性質(zhì)1比較2a與a的大小("0);

(2)利用不等式的性質(zhì)2比較2〃與。的大小中0).

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】(1)當(dāng)。>0時(shí)，a+a>Q+a,即2。>。；當(dāng)時(shí)，a+a<0+a,即2。<。.

(2)因?yàn)?>1,所以當(dāng)。>0時(shí)，2a>a;當(dāng)。<0時(shí)，2a<a.

【變式8-4].先閱讀下面的解題過程，再解題.

已知。>b,試比較-2024a+1與-20246+1的大小.

解：因?yàn)閍>%,①所以-2024a>-20246,②故-2024a+1>-20246+1.(3)

(1)上述解題過程中，從步驟開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

(2)請(qǐng)寫出正確的解題過程.

【答案】(1)②；(2)見解析。

【解析】(1)由題意得②錯(cuò)誤，根據(jù)不等式兩邊乘以負(fù)數(shù)，不等式號(hào)改變即可判斷；故答案為：②；

(2)因?yàn)椤?gt;方，所以-2024a<-20246,故-2024。+1<-0246+1.

題型9:不等式性質(zhì)的其他應(yīng)用

【典例9].a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列式子：①。+6>0；②a+b>a+c；③b-c>a-c：

④"b>a-c.其中正確的有(填上序號(hào))

??c.?i.bi?.a1A

-3-2-10123

【答案】①②

【解析】由數(shù)軸上數(shù)的位置可得c<0<6<。，@-a>0,b>0,:.a+b>0,故①正確,符合題意;@:b>c,

.,.Q+Z?>a+C/故②正確，符合題意；③?：b<a,:.b-c<a-c,故③錯(cuò)誤，不符合題意；

@-：b>c,:.-b<-c:.a-b<a-c,故④錯(cuò)誤，不符合題意.故選答案為：①②

10

【變式9-1].當(dāng)O<X<1時(shí)，將X,X2,f,按從小到大的順序排列并用小于符號(hào)連接

【答案】-x<x2<x

【解析]」.T<—x<0,x-x<l-x..-X<x2<x故答案為:-X<X2<X.

題型10：作差法比較大小

【典例10].(1)如果。-6<0,那么卵6;如果"6=0,那么a_b;如果”6>0,那么26.(填<、>、=)

(2)試用(1)提供的方法比較3/—2x+7與4/一2x+7的大小.

【答案】(1)<;=;>;(2)3X2-X+7<4X2-2X+7

【解析】⑴如果。-方<0,那么。<6,如果”6=0,那么”=人，如果”6>0,那么。>6；

(2)3尤--2x+7-(4x,-2x+7)=——,.'.-x2<0,即3x,-x+7V4X?-2尤+7.

【變式10-1】.根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，我們可以得至此較兩數(shù)大小的方法：

⑴①如果那么ab;

②如果4-。=0,那么ab;

③如果”6>0,那么ab.

(2)(1)中這種比較大小的方法稱為"求差法比較大小"，請(qǐng)運(yùn)用這種方法嘗試解決下面的問題：

①比較4+3/-2b+〃與3az-26+1的大??；

②若2a+26-1>3。+6,比較a,6的大小.

【答案】⑴①<；②二；③〉；

(2)①4+3/-26+/>3/-26+1;@a<b.

【解析】⑴解：①如果a-b+b<0+b,那么"6；故答案為<；②如果。-6=0,a-b+b=0+b,

那么”=6；故答案為=；③如果"b>0,a-b+b>0+b,那么。>b；故答案為〉.

(2)解：①,「4+3優(yōu)-26+6--(3優(yōu)-26+1)=Zr+3>0,.'.4+3a2-2b+b2>3a2-2b+l',

(2)*.'2。+2b—1>3。+b.e.2a+2b—1—3a—b>0,即—a+/?——?！?>0.二。<6.

題型11:不等式的性質(zhì)難點(diǎn)分析

【典例11].已知2x+y=3,若X<1,則x+.v的取值范圍為.

【答案】x+y>2

,

【角牟析】/2x+j=31,\x+y=3-xt:.3-x>2,:.x+y>2t

故答案為：x+y>2.

11

【變式11-1].設(shè)a,b,c,d都是整數(shù)，且a<26,6<3c,c<4",〃<20,則a的最大值是.

【答案】447

【解析】解：因?yàn)閍,b,c,d都是整數(shù)，且"2岫<3c,c<4d,"<20,所以d的最大值是19,

所以c<4xl9=76,所以C的最大值是75,所以6<3x75=225,所以6的最大值是224,所以。<2x224=448,

所以a的最大值是447.故答案為：447.

【變式11-2],已知4,%,X3,尤4,無5為正整數(shù)，且為<馬<%<X”<X5,若占+%+X3+X4+X5=2024,貝（j改+x2+x3

的最大值為.

【答案】1211

【解析】〔E,x2,x3,x4,毛為正整數(shù)，目為<x2<x3<x4<x5z%j+1<x2r+2<x2+1<x3zXj+3<x2+2<x3+1<x4,

%1+4<x2+3<x3+2<x4+1<x5z'：xx+x2+x3+x4+x5=2024,.,.玉+玉+1+再+2+再+3+再+4<2024,

解得，再<402.8，:百的最大值為402,：,x2+x3+x4+x5=1622z：,x2+x2+l+x2+2+X2+3<1622,解得，x2<404,

二%2的最大值為404,同理，%的最大值為405,二占+%+x；的最大值為402+404+405=1211,故答案為：⑵1.

強(qiáng)化訓(xùn)練：

一、單選題

1.式子①x-y=2,②xVy,③x+y,@x2-3y,⑤x>0,⑥中，屬于不等式的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】屬于不等式的有：②⑤⑥.共3個(gè)故選：B

2.如果"九下列各式中正確的是（）

A.-2019x>-2019yB.|2019JC|>|2019）；|C.2019-2%>2019-2yD.x-2019>y-2019

【答案】D

【解析】由x>y,可得：A、-2019x<-2019y,故A錯(cuò)誤；B、因?yàn)閤,y的正負(fù)未知，所以|2019x|>|201期或

|2019x|<|2019v|,故B錯(cuò)誤；C、2019-2x<2019-2y,故C錯(cuò)誤；D、x-2019>y-2019,故D正確。故選D.

3.已知加2>癡2,則下面結(jié)論中正確的是（）

A.a<bB,a<bC.a>bD.a>b

【答案】D

【解析】'-'am2>bm2,m2>0,.,.m2>0,.'.a>b,故選D.

12

4.甲在集市上先買了3只羊，平均每只a元，稍后又買了2只，平均每只羊6元，后來他以每只小元的價(jià)格把

羊全賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢.賠錢的原因是（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.與d、。大小無關(guān)

【答案】A

【解析】根據(jù)題意得到5x?<3a+26,解得a>5故選：4

5.下列各式中正確的是（）

A.若a〉b,貝［］。一1<6—1B.若a〉b,貝

ab

C.若a>b,且CRO,貝［|“c>bcD.若;~->：~-,貝［］a>b

?|c|

【答案】D

【解析】A、不等式的兩邊都減1,不等號(hào)的方向不變，故A錯(cuò)誤；B、當(dāng)a<0時(shí)，不等式兩邊乘負(fù)數(shù)，不等號(hào)的

方向改變，故B錯(cuò)誤；C、當(dāng)c<0時(shí)，ac<bc,故C錯(cuò)誤；D、不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的

方向不變，故D正確；故選：D.

6.四個(gè)小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P、Q、R、S,如圖所示，則他們的體重大小關(guān)系是（）

【答案】D

【解析】觀察前兩幅圖易發(fā)現(xiàn)S>P>R,再觀察第一幅和第三幅圖可以發(fā)現(xiàn)R>Q.故選D.

7.若有關(guān)于x的不等式辦<6可以推出x>2,則a的取值范圍為（）

a

A.Q>0B.tz>0C.〃<0D.a<Q

【答案】C

【解析】解：?.?辦<6的解集為x>2,「.”0,故選：C.

a

8.已知0<x<l,則x和工大小關(guān)系是（）

X

A12c21L21r21

A.x<一<%B.x<—<%C.x<x<—D.x<x<一

xxxx

【答案】C

13

9.點(diǎn)N,P和原點(diǎn)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，有理數(shù)“，b,c各自對(duì)應(yīng)著“，N,尸三個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn),

且仍<0,a+b>0,aobc,那么表示數(shù)6的點(diǎn)為()

~M0NL

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)尸D.無法確定

【答案】A

【解析】?.而<0,a+b>0,:.a,6異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，二。，。對(duì)應(yīng)看點(diǎn)M與點(diǎn)P,

1,ac>6c,.,.數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)M,故選：A.

10.下列命題：

①若d>b,貝［|<二';②若a>b,貝?。?x-a<3x-b；③若a>b,貝［］ac2>be2；④2+戶2a；⑤若―—―=-1,貝(］xW2,其

22x-2

中正確的有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】①錯(cuò)誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)加減一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，同時(shí)乘以或除以一個(gè)大于0的數(shù)，不

等號(hào)方向不變；②正確，根據(jù)不等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)加減一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變，同時(shí)乘以或除以一個(gè)小于0的

數(shù),不等號(hào)方向變號(hào)；③錯(cuò)誤，因?yàn)槌艘?=0時(shí)。。2=秘2;④錯(cuò)誤，因?yàn)椴恢繿的值；⑤錯(cuò)誤，T=-l,則

x-2

X<2,因此有一個(gè)正確.故選A

二、填空題

11.用不等式表示"“的倒數(shù)與2的差是非負(fù)數(shù)"：

【答案】--2>0

a

【解析】依題意得：--2>0,故答案為：--2>0.

a

12.判斷正誤：

3

(1)由2。>3,得a〉Q；()(2)由2-a<0,得2<a;()

(3)由。<6,得2。<26;()(4)由得。+加>6+m；()

)(6)由_g>T,得_^|>一。.(

(5)由得-3a>-36;()

【答案】正確正確正確正確錯(cuò)誤錯(cuò)誤

14

13.利用不等式的性質(zhì)，把下列各式化成尤或X〈。的形式：

(1)x-7<8;(2)3x<2x-3;(3)|x>-3;(4)-2x<6

[[x<15x<-3x〉-6x〉-3

【解析】解：（D%-7<8兩邊都加上7,得：x-7+7<8+7合并同類項(xiàng)可得：x<15

(2)3x<2x—3兩邊者6減去2x得：3x—2x<2x—3—2%合并同類項(xiàng)得：x<—3

(3)；x>-3兩邊都乘以2得：x>-6

(4)-2尤<6兩邊都除以-2得：x>-3故答案為：⑴x<15(2)x<-3(3)x>-6(4)x>-3

14.對(duì)于下列結(jié)論：①x為正數(shù)，則x>0；②x為自然數(shù)，貝隈>1;③x不大于5,貝心45;正確的有.（填

所有正確的序號(hào)）

【答案】①③

【解析】①x為正數(shù)，貝卜>0,故①說法正確，符合題意；②x為自然數(shù)，貝11x20,故②說法錯(cuò)誤，不符合題意;

③x不大于5,貝”V5,故③說法正確，符合題意；綜上所述，正確的有①③，故答案為：①③.

15.如果。>b,則l-T2a1-=26竺(填或"=")

【答案】<

..-_1—2。1—2b1—2。-1+26—2a+2b2(a—b\—2a+2b

r【解析】--------=-----;------=一;——-------.'：a>b.:.a-b>0,「.---------<0,

33

1—2〃l-2al-2b

-------<------.--故答案為:<.

3T<。,33

16.在數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)不等式及其性質(zhì)時(shí)，小智向老師提出"不等式x>2x是不可能成立的，因?yàn)槿绻坏仁絻蛇呁瑫r(shí)

除以x就會(huì)出現(xiàn)1>2的錯(cuò)誤結(jié)論”的觀點(diǎn)，老師肯定了小智的質(zhì)疑精神，但是指出了他的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，并向同學(xué)

們說明了理由，老師的理由是.

【答案】當(dāng)x<0時(shí)，x>2x

【解析】：這種說法不對(duì)的理由如下：當(dāng)x=0時(shí)，x=2x;當(dāng)x<0時(shí)，由1<2得x>2x.故答案為：當(dāng)無<0時(shí),

x>2x.

17.若X、JZ是兩個(gè)有理數(shù)，且x<”0,則(x+y)x(x-y)的符號(hào)是.

【答案】正

【解析】解：；x<y<0,.-.|x|>|y|>0,.-.|x|2>|y|2,即x2>y2.-.(x+y)(x-y)=x2-y2

故答案為正.

15

18.若。>0>6>c,a+b+c=-\,M=~,N=片，P=—,貝［|M、N、P之間的大小關(guān)系是________

abc

【答案】M<P<N

-\-a111

［角牟］,.,Q+6+C=—1,..Z?+c——1—ci,""M==-1同理可得N=T-1尸=-l-一，又

aatbc

acbacb

三、解答題

19.用不等式表示

3

(1)a的工與一1的差是非正數(shù).(2)a的平方減去6的立方大于a與6的和.

23

(3)a的］減去4的差不小于-6.(4)x的2倍與y的a和不大于5.

(5)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為4、a-3,它的周長(zhǎng)大于20.

323

【答案】(1)-a-(-l)<0;(2)a2-b3>a+b；(3)鏟-416;(4)2x+-y<5;(5)2(4+a-3)>20

323

【解析】(1)(2)a2-b3>a+b；(3)針-416;(4)2x+-y<5;(5)2(4+a-3)>20.

20.用">"或"<"填空：

⑴如果a-b<c-b,那么ac;(2)如果3a>3b,那么ab;

(3)如果-a<-b,那么ab;(4)如果2a+1<2b+1,那么ab.

【答案】6<(2)>(3)>(4)<

【解析】(1)由a-b<c-b得，a<c;(2)由3a>3b,得a>b;(3)由-a<-b,得a>b;

⑷由2a+1<2b+1,得2a<2b,，a<b.故答案為⑴<(2)>(3)>(4)<.

21.下列變形是怎樣得到的？

(1)由x>y,得gx-3>m-3;(2)由x>y,得：(x-3)>；(y-3);(3)由x>y,得2(3-x)<2(3-y).

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】(1)x>y,兩邊除以2得：|x>|y,兩邊減去3得：|x-3>|y-3;

(2)x>y,兩邊減去3