上海市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年上海市第二中學(xué)高一年級(jí)下學(xué)期

期中數(shù)學(xué)試卷

2024.4

一、填空題(本大題共有12小題，滿分36分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)

結(jié)果，每題每個(gè)空格填對(duì)得3分，否則一律得0分.

1.在0到2萬(wàn)范圍內(nèi)，與角-至終邊相同的角是.

3

【答案】—

3

【解析】與角弓終邊相同的角的集合為{a\a=~+2覬,keZ},

取左=1,可得a=--+2%=—.

33

.?.在0至IJ2萬(wàn)范圍內(nèi)，與角一網(wǎng)終邊相同的角是也

33

2.設(shè)角Q的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-3,4),那么sin，+2cos6=.

【答案】二

5

【解析】?.?角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,4),;.x=—3,y=4,r=\OP\=5,

/.sin6)=—=—,cos0=—=,那么sin6+2cos。=壯一9=—2

r5r5555

3.若一個(gè)扇形的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的一半，而弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái)

2

的.

【答案】3

【解析】設(shè)原來(lái)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為L(zhǎng),圓心角為。.變化后的扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)

為/,圓心角為月.

13

貝!Jr=—E,l=—L,L=Ra,l=rB.

22

BTIR3、.

—=-^=-x—=-x2=3

aLLr2

4.函數(shù)y=tan(3x+?)的最小正周期為.

【答案】-

3

【解析】由正切函數(shù)的周期公式得：7=%

3

5.已知銳角x滿足sin%=L,則1=.

2

【答案】-

6

【解析】sinx=sin—=>%=—

66

6.已知e?是兩個(gè)不共線的向量，向量4=2q-e2，b=ke1+e2.a//b,則％=.

【答案】-2

【解析】《不共線,

?：UHb,.?.存在實(shí)數(shù)X,使石=4商,

kj+g=246]一彳4'

[k=2/1..

,,，解得人二一2

[—4=1

7.若函數(shù)）=sinx+&cosx+3的最小值為1,則實(shí)數(shù)〃=.

【答案】3

【解析】因?yàn)閥=sinx+Gcos%+3=Jl+asin(x+/)+3(coscp=-J,

Jl+a

由題意得3—由+a=1,

解得a=3.

4

8.已知cos(cr-/?)cosa+sin(cr-/?)sincir=--,且P是第三象限的角，則sin/?=.

3

【答案】--

5

4

【解析】cos(a-/3)cosa+sin(a-j3)sina=-->

44

cos[(^z-/3)一=一~,即cos/3=一—,

?.,夕是第三象限的角，

9.已知1，4為單位向量且?jiàn)A角為（，設(shè)苕=[+￡,建工,商在B方向上的數(shù)量投影為

【答案W

【解析】0?5=（G+晟）?最

=C]?e2+/

=-+1

2

=-,且|5曰；

2

.?.M在B方向上的數(shù)量投影為:

ai_3

|a|cos<a,b>=|a|*

\a\\b\~~\B\~2

10.已知角a滿足cos(i+?)=],貝Usin(2a—2)=.

【答案】N

9

[解析]cos(cr+—)=sin[——(a+—)]=sin(—宴a)=一,

62633

/.sin(2a——)=cos[——(2a——)]=cos(^-—2a)=cos2(——a)=l—2sin2(——6z)=1—2x(—)2=—

62633339

H.如圖，在平行四邊形ABCD中，石為5。的中點(diǎn)，尸為。石的中點(diǎn)，若

AF=xAB+yAD,貝!J九+y=.

【答案】-

4

【解析】連接AC,如圖所示,

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD中，E為3C的中點(diǎn)，/為DE的中點(diǎn),

所以存，而+工荏」而+工，(箱+畫(huà)

22222

1—?1—?—?—?1—?3—?

=-AD+-(AD+AB+AB)=-AB-^--AD,

2424

所以％，

24

所以x+y='+3=9.

244

A1B

12.已知函數(shù)/（無(wú)）=^sin（＜yx+0）（O＜0〈萬(wàn)）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圓C與/（幻圖象

6

交于M,N兩點(diǎn)，且M在y軸上，則圓C的半徑為.

【答案】—

12

【解析】函數(shù)的最小正周期T滿足：--解得T=萬(wàn)，即加=萬(wàn)，所以。=2.

236a

因?yàn)辄c(diǎn)"、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，所以尤c=,x2=生，

c233

由圖象可得了⑺的最大值點(diǎn)為;.+§=去所以2*3°=]+2左/，kwZ,

結(jié)合。＜夕＜乃，取左=0得9=工，/（元）表達(dá)式為/'（尤）=———sin（2.x+—）.

363

因此可得|OM|=/（0）=叵sin二=工，所以圓C的半徑

634

r=7lOM|2+|CM|2==||

二、選擇題（本大題共有4題，滿分16分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙

的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.二十四節(jié)氣是中國(guó)古代訂立的一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民智慧

的結(jié)晶.從立春起的二十四節(jié)氣依次是立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種、夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬

至、小寒、大寒.二十四節(jié)氣的對(duì)應(yīng)圖如圖所示，從2024年4月20日谷雨節(jié)氣到2024年

12月6日大雪節(jié)氣，圓上一點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為（）

A57c----3

A.—B.nC.——D.-n

442

【答案】C

【解析】依題意，二十四節(jié)氣將一個(gè)圓24等分，所以每一份的弧度數(shù)位也=2,

2412

從谷雨到大雪，二十四節(jié)氣圓盤需要逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15個(gè)格，

所以轉(zhuǎn)過(guò)的弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為15x二二..

124

故選：C.

14.下列等式中不恒成立的是（）

A.a-b=b-aB.Aa-b=a-

/——\2—?2—?2

CAa-b\=a?b由-限（

【答案】C

【解析】?加）=（卜帆85卜，磯=卜|Wcos?卜,5）與〃-b不是恒相等的

故選C

6為了得到函數(shù)y=sin2x的圖象，可以將y=cos（2x-三）的圖象（）

A.向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

63

C.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移工個(gè)單位長(zhǎng)度

63

【答案】A

jr-rr

【解析】將y=cos（2x----）=sin（2xH——）的圖象向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=sin2x

63

的圖象,

故選：A.

16.設(shè)函數(shù)/■（無(wú)）=$皿0無(wú)-a+1（昕"）在［1|,手上單調(diào)遞減，則下述結(jié)論:

①關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱；

12

②/(x)關(guān)于尤=^軸對(duì)稱；

③在任㈤上的值域?yàn)椋?3；

22

④方程/(x)=1在［0,2句有4個(gè)不相同的根.

其中正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】D

【解析】函數(shù)/⑴=sin(ox-')+1(。eN*)在［射，旦］上單調(diào)遞減,

6126

_.7CTC_.3兀2k7c2萬(wàn)2k兀5%

2左乃+一轟％x——2k/r+——o-----+——轟/----+——；

262co3a)co3a)

2k冗In57r

----1-------

33?！?224k8雙/12kc

o亨+g驅(qū)——+2，

5TT2kji57r5

—，，----1---

、6co3co

又因?yàn)?eN*,所以左=0時(shí)，(o=2.

71

f(x)=sin(2x----)+1；

6

對(duì)于①，/(—)=1^0,所以①錯(cuò)；

12

對(duì)于②，/(-)=-，未達(dá)最值，所以②錯(cuò);

32

對(duì)于③，

nn--,2n--=4>sinflx--e-1,—

xe—,7t=>2xe［1，2乃］=4>2x--e

266jI6jL2.

3

n/(x)e0,-

所以③對(duì);

對(duì)于④，/(X)以萬(wàn)為周期，y(x)=i在［0,2句上只有兩個(gè)根，端點(diǎn)不是根,

所以在［0,2句有4個(gè)不同根，所以④對(duì).

故選：D.

三、解答題(本大題滿分48分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟

17.(本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分)

077"

己知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，A=—.

3

(1)若3=C,a=2A/3,求c；

(2)若AABC的面積為26，c=2,求“

【答案】(1)2；(2)26

【解析】

(1)因?yàn)锳=,B=C,所以B=C=工，

36

由正弦定理，L=,，可得c=2；

sinAsinC

(2)因?yàn)锳ABC的面積為2百，

所以工6csinA=26,因?yàn)锳=主，c=2,

23

J3l

所以火6=2抬，解得6=4,

2

O-TT[

由余弦定理可得標(biāo)=16+4-2x4x2cos——=28,BPa=277

3

18.(本題滿分8分，第1小題4分，第2小題4分)

已知|西=夜,出|=1,1與5的夾角為45。.

(1)求舊+26|的值;

(2)若向量(24-呵與日萬(wàn)-3方)的夾角是銳角，求實(shí)數(shù)2的取值范圍

【答案】(1)師；(2)(1,V6)U(V6,6)

【解析】

(1)由團(tuán)=應(yīng),|5|=1,乙與方的夾角為45。,

所以①+26)2=及2+464+452=2+4x應(yīng)xlxcos45o+4xl=10,

所以14+25|=A/10；

(2)由(2”4)與(施-35)的夾角是銳角,

所以(24-篇)?("-35)>0,且(2a-Ab)與(Aa-3b)不能同向共線；

即2Atz~+3—（彳~+6）Zz,Z?>0?JEL2&—Ab4k（九a—3b）,左>0；

所以幾2一72+6<0,且外/6,2>0；

解得1<彳<痛或后<2<6；

19.（本題滿分10分，第1小題5分，第2小題5分）

已知函數(shù)/（x）=cos2x+6sinxcosx+；.

（1）求函數(shù)/（無(wú)）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

（2）求函數(shù)/（%）在區(qū)間［《肛|萬(wàn)］上的最小值以及取得該最小值時(shí)x的值

【答案】（1）兀,遞增區(qū)間為k7i-—.k7i+—（左EZ）；

（2）x萬(wàn)時(shí)，/（x）取得最小值0

【解析】

（1）因?yàn)楹瘮?shù)

\2石.1cos2x+lA/3.143.（乃）［

t%=cosx+V3sin%cos%d■—=-----------1-----sinzxd■—=——sin2x-\■一|+1

v7222226J

；?函數(shù)/（元）最小正周期是T=?;

,.,TC_TC-,7C

當(dāng)t2人》---<2x-\——<2kjiH——

262

rrrr

即k7l--<X<k7l+-

36

jrjr

函數(shù)/（%）單調(diào)遞增區(qū)間為k7T--.k7V+-（%￡Z）

/八「75i4?雙新n117i

（2）XG［71,—7l\--爰必￥4；

126366

所以當(dāng)2了+工=3%時(shí)，即x=2萬(wàn)時(shí)，/（X）取得最小值0

623

20.（本題滿分10分，第1小題4分，第2小題6分）

如圖，有一條寬為30”?的筆直的河道（假設(shè)河道足夠長(zhǎng)），規(guī)劃在河道內(nèi)圍出一塊直角三角

形區(qū)域（圖中AAB0種植荷花用于觀賞，C,3兩點(diǎn)分別在兩岸4上，ABLAC，頂點(diǎn)

A到河兩岸的距離AE=%,AD=h2,設(shè)NABD=a.

（1）若&=30。，求荷花種植面積（單位：，/）的最大值;

(2)若生=4%,且荷花的種植面積為1504，求sina.

【答案】(1)1504??；(2)$加c=3或3

55

【解析】

由題可得，AB二工,AC=—仁.

sinacosa

(1)當(dāng)(z=30。時(shí)，AB=2^,AC=《h\,

所以SAABC=5筋，AC=忑他,

又因?yàn)椤?4=30,4,飽..0,

所以5-80=2%3，A(A±Zk)2=15073,當(dāng)且僅當(dāng)4=久=15時(shí)取等號(hào)-

所以荷花種植區(qū)域面積的最大值為150屈2.

(2)因?yàn)?+生=30,a=4%，所以々=6,e=24,

=AC=-^—,a6(0,-),

sin。cosa2

i7?

從而SMKC=-ABAC=-------------=150，

2sinacosa

所以sinacostz="，①

25

49

所以(sina+cosa)2=l+2sin(7coscr=-?

jr7

又因?yàn)?ze[0,—],所以sine+cose=—,②

25

由①②解得：sina=I或1

21.(本題滿分12分，第1小題3分，第2小題4分，第3小題5分)

“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角

形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出

了解答，當(dāng)AABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，使得NAOB=N3OC=NCO4=120。的點(diǎn)。即

為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)AABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知

識(shí)解決下面問(wèn)題：已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1.

(1)求A；

(2)若bc=2,設(shè)點(diǎn)P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求耳?旃+旃?無(wú)+定?麗；

(3)設(shè)點(diǎn)P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|=r|R4|,求實(shí)數(shù)f的最小值

【答案】(1)A——；(2)---；(3)2+25/3

23

【解析】

(1)由己知AABC+cos2B+cos2C-cos2A=1,BP1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2