(3)-重點02：總集篇·定義新運算的九種題型【九大考點】

重點02：總集篇·定義新運算的九種題型【九大考點】

【考點一】定義新運算其一：基本型........................................................................2

【考點二】定義新運算其二：順序型........................................................................3

【考點三】定義新運算其三：括號型........................................................................3

【考點四】定義新運算其四：分數(shù)型........................................................................4

【考點五】定義新運算其五：特殊型........................................................................4

【考點六】定義新運算其六：未知數(shù)型....................................................................5

【考點七】定義新運算其七：規(guī)律型........................................................................6

【考點八】定義新運算其八：混合型........................................................................6

【考點九】定義新運算其九：綜合型........................................................................7

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1.定義新運算。

定義新運算是指用一個符號和已知運算表達式表示一種新的運算。

2.解題方法。

解決定義新運算類型題，關(guān)鍵是理解新定義的算式的含義，嚴格按照新定義的計算順序，將

數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，最后再進行計算。

3.注意事項。

（1）定義新運算的符號常是特殊的運算符號，例如：?、▲、?、◎等，它們并不表示實際

意義。

（2）在新定義的算式中，如果有括號，要先算括號里面的，同樣，有中括號和小括號，要先

算小括號里的，再算中括號里的。

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【考點一】定義新運算其一：基本型。

【典型例題】

a、b都是數(shù)，規(guī)定，那么5★6=()。

【對應(yīng)練習1】

定義“★”的運算規(guī)則是a★b＝2×a－b，那么6★4=()

【對應(yīng)練習2】

規(guī)定“*”是一種新的運算：A*B＝2A－B，如：4*3＝4×2－3＝5，那么8*6＝()。

【對應(yīng)練習3】

設(shè)A、B都表示數(shù)，規(guī)定A△B表示A的4倍減去B的3倍，即：A△B＝4×A－3×B。計算

5△6的結(jié)果為()。

【考點二】定義新運算其二：順序型。

【典型例題】

現(xiàn)規(guī)定“*”是一種新的運算，A*B＝3A﹣2B。那么7*6*5的值為()。

A．17B．5C．210D．18

【對應(yīng)練習1】

對于兩個數(shù)字a、b，定義新運算：a*b＝a×b＋a＋b，則1*2＋2*3＝()。

【對應(yīng)練習2】

定義一種新運算“”，已知ab=5a＋10b，求37＋58的值．

【對應(yīng)練習3】

112311234

規(guī)定：△3=××，△4=×××，

2234778910

11

則：△4+△3=()

23

【考點三】定義新運算其三：括號型。

【典型例題】

定義a※b=a2-b，則4※2※3=()。

【對應(yīng)練習1】

定義“AB”為A的5倍比B的4倍多多少，即AB=5A-4B，那么8（65）＝

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()。

【對應(yīng)練習2】

1

定義新運算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝()。

3

【考點四】定義新運算其四：分數(shù)型。

【典型例題】

a+2b

定義a※b＝，則3※4※1＝()。

2b2

【對應(yīng)練習1】

定義新運算，如果A△B＝；4△6＝()；5△(6△8)＝()。

【對應(yīng)練習2】

對于任意整數(shù)a與b，定義一種運算：a*b=×，那么3*5=()。

【對應(yīng)練習3】

2a-b

對兩個整數(shù)a和b定義新運算“”：ab=，求64+98。

(a+b)′(a-b)

【考點五】定義新運算其五：特殊型。

【典型例題】

定義新運算“@”如下：當a>b時，a@b=b；當a<b時，a@b=a。則當x=2時，1@x@3@x

的值為()。

【對應(yīng)練習1】

aa+b

定義a×b＝2×{}＋3×{}，其中符號{x}表示x的小數(shù)部分，如{2.016}＝0.016。那么，

26

1.4×3.2＝()。(結(jié)果用小數(shù)表示。)

【對應(yīng)練習2】

11

定義一種新運算&，規(guī)定當a≥b時，[a&b]=b，當a＜b時，[a&b]=b，即

23

52&9-π&3

[5&4]=2,[4&5]=．則=()。

37&10

【對應(yīng)練習3】

定義新運算“⊕”：

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ìa若（a＞b）

?

a?bí1若（a＝b）

?

?b若（a＜b）

71

1.1?-?0.1

例如＝，＝，＝，則33=。

3.5⊕23.51⊕1.21.27⊕714()

?0.8

5

【考點六】定義新運算其六：未知數(shù)型。

【典型例題】

定義a⊙b=a×(a+b)．若2⊙（3⊙x）=52，那么x=()。

【對應(yīng)練習1】

定義新運算：ab＝4a－3b,且x（52）＝46，求x的值．

【對應(yīng)練習2】

求未知數(shù)：

（1）方程5x﹣2a=2x+1的解是x=3，求a的值．

（2）定義新運算“※”，對任意整數(shù)a，b有a※b=（a+3b）÷2，求4※X=5中X的值．

【對應(yīng)練習3】

已知：x、y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新運算※，定義x※y=xy﹣2．根據(jù)運算符號的意義完成

下列各題．

（1）求2※4的值；

（2）求（1※5）※6的值；

（3）3※m=13求m的值．

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【考點七】定義新運算其七：規(guī)律型。

【典型例題】

已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，對自然數(shù)a、b，a△b表示a×(a+1)×…（a+b-1），計

算（6△3）-（5△2）。

【對應(yīng)練習1】

定義一種新運算：3△2=3+33=36，5△4=5+55+555+5555=6170，那么7△6的結(jié)果是

()。

【對應(yīng)練習2】

如果1*5=1+11+111+1111+11111，

2*4=2+22+222+2222，

3*3=3+33+333，

4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？

【對應(yīng)練習3】

111

如果2*1=，3*2=，4*3=，那么6*3?2*6=?

233444

【考點八】定義新運算其八：混合型。

【典型例題】

若對所有b,a△b=a×x,x是一個與b無關(guān)的常數(shù)；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）．

求（1△4）☆2的值．

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【對應(yīng)練習1】定義兩種運算“”和“⊙”，對于任意兩個整數(shù)a，b，ab=a＋b－1，a⊙b=a×b

－1．計算4⊙[（68）（35）]．

【對應(yīng)練習2】定義兩種新運算“☆”和“●”，已知a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3（a－b），求

6☆1＋4●2的值．

【對應(yīng)練習3】x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*y＝mx＋ny，x△y＝kxy，其

中m、n、k均為自然數(shù)，已知1*2＝5，（2*3）△4＝64，求（1△2）*3的值。

【考點九】定義新運算其九：綜合型。

B-A

【典型例題】如果A#B=，那么1#2-2#3-3#4--2002#2003-2003#2004=()。

A′BL

13!

【對應(yīng)練習1】已知2！＝2×1，3?。?×2×1，4?。?×3×2×1，則15!是()。

【對應(yīng)練習2】

11

“*”表示一種運算符號，它的含義是：x*y=+，已知

xyx+1y+A

112

2*1=+=，求1998*1999．

2′12+11+A3

【對應(yīng)練習3】

我們規(guī)定：符號Q表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：5Q3=3Q5=5，符號△表示選擇兩數(shù)

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?1523

(0.6Q)+(0.625D)

中較小數(shù)的運算，例如：，計算：2335的結(jié)果是多少？

5△3=3△5=3?3411

(0.3D)+(Q2.25)

996

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重點02：總集篇·定義新運算的九種題型【九大考點】

【考點一】定義新運算其一：基本型。

【方法點撥】

基本型定義新運算，需要嚴格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，將它轉(zhuǎn)化為

一般的四則運算，最后再進行計算。

【典型例題】

a、b都是數(shù)，規(guī)定，那么5★6=()。

【答案】27

【分析】因為規(guī)律，即3乘第一個數(shù)，加上2乘第二個數(shù)的積，按照該規(guī)律進行

解答，即可。

【詳解】

5★6=3×5＋2×6

＝15＋12

＝27

【點睛】解答本題的關(guān)鍵是弄清楚已知規(guī)律，再按照規(guī)律進行解答。

【對應(yīng)練習1】

定義“★”的運算規(guī)則是a★b＝2×a－b，那么6★4=()

【答案】8

【解析】略

【對應(yīng)練習2】

規(guī)定“*”是一種新的運算：A*B＝2A－B，如：4*3＝4×2－3＝5，那么8*6＝()。

【答案】10

【分析】由題中條件A*B＝2A－B，如：4*3＝4×2－3＝5，可以此類推8*6＝2×8－6，算出

結(jié)果即可。

【詳解】8*6＝2×8－6＝16－6＝10

故答案為：10

【點睛】本題是一道簡單的定義新運算問題，解決此類問題時要注意：新的運算有自己的特

點，適用于加法和乘法的運算定律不一定適用于定義運算，要特別注意運算順序；新定義的

算式中，有括號的，要先算括號里面的；每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

【對應(yīng)練習3】

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設(shè)A、B都表示數(shù)，規(guī)定A△B表示A的4倍減去B的3倍，即：A△B＝4×A－3×B。計算

5△6的結(jié)果為()。

【答案】2

【分析】根據(jù)規(guī)定可知：5△6＝4×5－3×6，計算即可。

【詳解】5△6

＝4×5－3×6

＝20－18

＝2

【點睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給的式子，找出新的運算方法，再利用新的運算方法解

答。

【考點二】定義新運算其二：順序型。

【方法點撥】

順序合型定義新運算是在基礎(chǔ)型定義新運算的基礎(chǔ)上，按照四則混合運算順序進行算式

組合的，解決該類型需要把數(shù)值代入算式，轉(zhuǎn)化為一般四則運算，再按四則運算順序進行計

算。

【典型例題】

現(xiàn)規(guī)定“*”是一種新的運算，A*B＝3A﹣2B。那么7*6*5的值為()。

A．17B．5C．210D．18

【答案】A

【分析】根據(jù)新的運算法則A*B＝3A－2B，先求出7*6，再計算下一步即可。

【詳解】7*6

＝3×7－2×6

＝21－12

＝9

9*5

＝3×9－2×5

＝27－10

＝17

故答案為：A。

【點睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)規(guī)定的新的運算方法計算要求的式子的值。

【對應(yīng)練習1】

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對于兩個數(shù)字a、b，定義新運算：a*b＝a×b＋a＋b，則1*2＋2*3＝()。

【答案】16

【分析】a*b表示這兩個數(shù)的乘積再加上這兩個數(shù)的和，按照定義，先把算式展開，再進行

計算。

【詳解】1*2+2*3=1′2+1+2+2′3+2+3=16

【點睛】定義新運算的題目，關(guān)鍵是理解題目定義的新運算的含義，然后依葫蘆畫瓢求解。

【對應(yīng)練習2】

定義一種新運算“”，已知ab=5a＋10b，求37＋58的值．

【答案】190

【詳解】37

=5×3＋10×7

=15+70

=85

58

=5×5＋10×8

=25+80

=105

37＋58

=85+105

=190

【對應(yīng)練習3】

112311234

規(guī)定：△3=××，△4=×××，

2234778910

11

則：△4+△3=()

23

3

【答案】

10

【解析】略

【考點三】定義新運算其三：括號型。

【方法點撥】

括號型定義新運算同樣符合四則運算順序，即在新定義的算式中，如果有括號，要先算

括號里面的，有中括號和小括號，要先算小括號里的，再算中括號里的。

【典型例題】

第11頁共23頁

定義a※b=a2-b，則4※2※3=()。

【答案】193

【分析】先把a＝4，b＝2代入a2-b中，計算出42-2的結(jié)果為14，再把a＝14，b＝3代入a2-b

中，計算出142-3即可。

【詳解】4※2

＝42-2

＝16-2

＝14

4※2※3

＝14※3

＝142－3

＝196－3

＝193

定義a※b=a2-b，則4※2※3=193。

【點睛】本題根據(jù)題意定義的運算進行解答即可。

【對應(yīng)練習1】

定義“AB”為A的5倍比B的4倍多多少，即AB=5A-4B，那么8（65）＝

()。

【答案】0

【分析】根據(jù)“AB”表示為A的5倍比B的4倍多多少，即AB=5A-4B，先求出括號里

面的65的結(jié)果，然后再求出括號外面的。

【詳解】8（65）

＝8（6×5－5×4）

＝8（30－20）

＝810

＝8×5－10×4

＝40－40

＝0

【點睛】本題考查新定義運算，明確新定義運算的運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵。

【對應(yīng)練習2】

第12頁共23頁

1

定義新運算：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，那么◎（x◎4）＝()。

3

【答案】101

【分析】根據(jù)所給出的等式：a◎b＝3a＋4b，若x◎7＝37，找到新的運算法則，由此方法計

1

算x◎7＝37求出x的值，再求出◎（x◎4）的值即可。

3

【詳解】解：x◎7＝37

3x＋4×7＝37

3x＝9

x＝3

1

◎（x◎4）

3

1

＝◎（3◎4）

3

1

＝◎（3×3＋4×4）

3

1

＝◎25

3

1

＝×3＋4×25

3

＝1＋100

＝101

【點睛】定義新運算：這種新運算其實只是變了形的求式子值的問題，只要弄清新的運算法

則，然后再分步求值就可得出答案。

【考點四】定義新運算其四：分數(shù)型。

【方法點撥】

分數(shù)型定義新運算，在計算上稍顯復雜，但在方法上仍然要嚴格按照新定義的計算順序，

將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，最后再進行計算。

【典型例題】

a+2b

定義a※b＝，則3※4※1＝()。

2b2

3

【答案】2

8

111

+2′

a+2b3+2′411

【分析】根據(jù)a※b＝，3※4※1可改寫為※1＝※1＝82，據(jù)此計算即

2221

2b2′482′

2

可。

第13頁共23頁

【詳解】由題意得：1

3※4※2

3+2′411

＝※1＝※1

2′4282

111

+2′

＝82

1

2′

2

11

＝+1

8

3

＝2

8

3

3※4※1＝2。

28

a+2b

【點睛】此題考查出學生觀察能力和計算能力，根據(jù)a※b＝找出分子和分母的構(gòu)成規(guī)

2b

律是解答此題的關(guān)鍵。

【對應(yīng)練習1】

定義新運算，如果A△B＝；4△6＝()；5△(6△8)＝()。

【答案】56

【詳解】略

【對應(yīng)練習2】

對于任意整數(shù)a與b，定義一種運算：a*b=×，那么3*5=()。

5

【答案】

8

【詳解】試題分析：由于對于任意整數(shù)a與b，都有a*b=×，所以，3*5中3相

當于a，5相當于b，代入運算法則進行計算求解即可．

解：3*5

=×

=×

=．

故答案為．

【點評】此題主要考查了代數(shù)式的求求值問題，解題關(guān)鍵是正確理解定義的運算法則．

【對應(yīng)練習3】

第14頁共23頁

2a-b

對兩個整數(shù)a和b定義新運算“”：ab=，求64+98。

(a+b)′(a-b)

84

【答案】

85

2a-b

【分析】由ab=可知：定義新運算“”的意義是：分子是前面數(shù)的2倍減去后

(a+b)′(a-b)

面的數(shù)，分母是前面數(shù)加后面數(shù)的和乘前面數(shù)減后面數(shù)的差，代入數(shù)據(jù)計算即可。

【詳解】64+98

2′6-42′9-8

＝＋

6+4′6-49+8′9-8

210

＝＋

517

84

＝

85

【點睛】解答此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照定義新運算的計算

程序?qū)?shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四則運算算式進行計算。

【考點五】定義新運算其五：特殊型。

【方法點撥】

特殊合型定義新運算特殊在其算式構(gòu)成不是普通的四則運算，關(guān)鍵在于讀懂算式的意義，

再根據(jù)其要求進行計算。

【典型例題】

定義新運算“@”如下：當a>b時，a@b=b；當a<b時，a@b=a。則當x=2時，1@x@3@x

的值為()。

【答案】1

【分析】利用規(guī)定的運算方式，按照運算順序計算即可，注意區(qū)分定義新運算“@”前后數(shù)據(jù)

的大小，代入不同的運算。

【詳解】當x=2時，1@x=1@2＝1

3@x=3@2=2

1@2@3@2=1@2=1

【點睛】關(guān)鍵是要正確地理解定義新運算的算式含義，分別得出結(jié)果。

【對應(yīng)練習1】

aa+b

定義a×b＝2×{}＋3×{}，其中符號{x}表示x的小數(shù)部分，如{2.016}＝0.016。那么，

26

1.4×3.2＝()。(結(jié)果用小數(shù)表示。)

【答案】3.7

第15頁共23頁

aa+b1.41.4+3.2

【分析】由a×b＝2×{}＋3×{}可得1.4×3.2＝2×{}＋3×{}＝2×{0.7}＋

2626

232323

3×{}；又因為符號{x}表示x的小數(shù)部分，所以2×{0.7}＋3×{}＝2×0.7＋3×；計算出

303030

結(jié)果即可。

【詳解】由分析可得：

1.41.4+3.2

1.4×3.2＝2×{}＋3×{}

26

23

＝2×{0.7}＋3×{}

30

23

＝2×0.7＋3×

30

＝1.4＋2.3

＝3.7

故答案為：3.7

【點睛】本題考查了新定義運算的計算，此題的關(guān)鍵是要理解題目所給的新定義運算的特點

和符號{x}的意義，計算時要注意細心。

【對應(yīng)練習2】

11

定義一種新運算&，規(guī)定當a≥b時，[a&b]=b，當a＜b時，[a&b]=b，即

23

52&9-π&3

[5&4]=2,[4&5]=．則=()。

37&10

9

【答案】

20

3

3-

3109

【詳解】根據(jù)題意可知，2&9=3，π&3=，7&10=，所以2=．

231020

3

9

故答案為．

20

【對應(yīng)練習3】

定義新運算“⊕”：

ìa若（a＞b）

?

a?bí1若（a＝b）

?

?b若（a＜b）

71

1.1?-?0.1

例如＝，＝，＝，則33=。

3.5⊕23.51⊕1.21.27⊕714()

?0.8

5

第16頁共23頁

【答案】2

【詳解】定義新運算．

7171

1.1?-?0.1-

33=33=2

4

?0.81

5

【考點六】定義新運算其六：未知數(shù)型。

【方法點撥】

未知數(shù)型定義新運算，關(guān)鍵在于根據(jù)新定義的計算順序和已知得數(shù)列出一般形式方程，

最后再解方程計算。

【典型例題】

定義a⊙b=a×(a+b)．若2⊙（3⊙x）=52，那么x=()。

【答案】5

【詳解】本題考查的是有關(guān)乘法的知識點．觀察本題因a⊙b=a×(a+b)，則3⊙x=3×(3+

x)．詳細過程如下：

認真觀察本題，找出a和b關(guān)系．

2⊙（3⊙x）=52

2×(2+3⊙x）=52

2×[2+3×(3+x)]=52

2×[2+9+3x]=52

22+6x=52

6x=30

x=5

【對應(yīng)練習1】

定義新運算：ab＝4a－3b,且x（52）＝46，求x的值．

【答案】22

【詳解】52＝4×5－3×2＝14

由x（52）＝4×x－3×14＝46得到x＝22．

【對應(yīng)練習2】

求未知數(shù)：

（1）方程5x﹣2a=2x+1的解是x=3，求a的值．

（2）定義新運算“※”，對任意整數(shù)a，b有a※b=（a+3b）÷2，求4※X=5中X的值．

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【答案】（1）a=4；（2）x=2

【詳解】試題分析：（1）把x=3代入方程5x﹣2a=2x+1中，再根據(jù)等式的性質(zhì)，解方程即可

求出a的值；

（2）根據(jù)新的運算方法知道a※b等于a與b的3倍的和再除以2，由此用新的運算方法把

4※X=5寫成方程的形式，解方程即可求出x的值．

解：（1）把x=3代入方程5x﹣2a=2x+1中，

5×3﹣2a=2×3+1，

15﹣2a=6+1，

15﹣2a=7，

2a=8，

a=4；

（2）4※x=5，

（4+3x）÷2=5，

4+3x=5×2，

4+3x=10，

4+3x﹣4=10﹣4，

3x=6，

x=2．

點評：解答此題的關(guān)鍵是運用代入法或定義的新運算方法，將給出的式子寫成方程的形式，

再根據(jù)等式的性質(zhì)，解方程即可．

【對應(yīng)練習3】

已知：x、y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新運算※，定義x※y=xy﹣2．根據(jù)運算符號的意義完成

下列各題．

（1）求2※4的值；

（2）求（1※5）※6的值；

（3）3※m=13求m的值．

【答案】6；16；5；

【詳解】試題分析：由題意得：新運算的方法為：x※y等于這兩個數(shù)的乘積減2；

（1）根據(jù)新運算知：2※4=2×4﹣2，計算即可；

（2）根據(jù)新運算先計算出括號里的，再計算括號外的；

（3）根據(jù)新運算得：3※m=3×m﹣2=13，解出m的值即可．

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解；（1）2※4

=2×4﹣2

=8﹣2

=6

（2）（1※5）※6

=（1×5﹣2）※6

=3×6﹣2

=16

（3）3※m=13

3×m﹣2=13

3m﹣2+2=13+2

3m=15

3m÷3=15÷3

m=5

【考點七】定義新運算其七：規(guī)律型。

【方法點撥】

規(guī)律型定義新運算，關(guān)鍵在于找出新運算算式的規(guī)律，然后再根據(jù)規(guī)律進行計算。

【典型例題】

已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，對自然數(shù)a、b，a△b表示a×(a+1)×…（a+b-1），計

算（6△3）-（5△2）。

解析：

原式=6×7×8-5×6

=336-30

=306

【對應(yīng)練習1】

定義一種新運算：3△2=3+33=36，5△4=5+55+555+5555=6170，那么7△6的結(jié)果是

()。

解析：864192

【對應(yīng)練習2】

如果1*5=1+11+111+1111+11111，

2*4=2+22+222+2222，

第19頁共23頁

3*3=3+33+333，

4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？

解析：

7*4

＝7＋77＋777＋777

＝84＋777＋7777

＝861＋7777

＝8638

210*2

＝210＋210210

＝210420

111

2*1=3*2=4*3=

【對應(yīng)練習3】如果2，33，444，那么6*3?2*6=?

1001

【答案】

3

111

【分析】根據(jù)2*1=，3*2=，4*3=，可得每個算式的分子是1，分母的每個數(shù)位上都

233444

是*前面的數(shù)，位數(shù)等于*后面的數(shù)；然后分別求出6*3、2*6的值是多少，再求商，求出

（6*3）÷（2*6）的值是多少即可。

【詳解】6*3?2*6

11

＝÷

666222222

1

＝×222222

666

1001

＝

3

【考點八】定義新運算其八：混合型。

【方法點撥】

混合型定義新運算，是多種類型定義新運算組合在一起，需要綜合運用各類型的方法解

決運算。

【典型例題】

若對所有b,a△b=a×x,x是一個與b無關(guān)的常數(shù)；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）．

求（1△4）☆2的值．

【答案】2.5

第20頁共23頁

【分析】注意本題有兩種運算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x.

【詳解】由（1△3）☆3=1△（3☆3）

得（x+3）÷2=x

x+3=2x

x=3

所以（1△4）☆2

=（1×3）☆2

=（3+2）÷2

=2.5

【對應(yīng)練習1】定義兩種運算“”和“⊙”，對于任意兩個整數(shù)a，b，ab=a＋b－1，a⊙b=a×b

－1．計算4⊙[（68）（35）]．

【答案】75

【詳解】68=6+8-1=13

35=3+5-1=7

（68）（35）=137=13+7-1=19

4⊙[（68）（35）]

=4⊙19

=4×19-1

=75

【對應(yīng)練習2】定義兩種新運算“☆”和“●”，已知a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3（a－b），求

6☆1＋4●2的值．

【答案】21.1

【詳解】6☆1

=6÷2＋4.1×1

=3+4.1

=7.1

4●2

=8＋3×（4－2）

第21頁共23頁

=8+6

=14

6☆1＋4●2

=7.1+14

=21.1

【對應(yīng)練習3】x、y表示兩個數(shù)，規(guī)定新運算“*”及“△”如下：x*y＝mx＋ny，x△y＝kxy，其

中m、n、k均為自然數(shù)，已知1*2＝5，（2*3）△4＝64，求（1△2）*3的值。

【答案】10

【分析】從要求的問題入手，題目要求（1△2）*3的值，首先我們要計算1△2，根據(jù)“△”的

定義：1△2＝k×1×2＝2k，由于k的值不知道，所以首先要計算出k的值。k值求出后，l△2

的值也就計算出來了。我們設(shè)1△2＝a。（1△2）*3＝a*3，按“*”的定義：a*3＝ma＋3n，在

只有求出m、n時，我們才能計算a*3的值。因此要計算（1△2）*3的值，我們就要先求出

k、m、n的值。通過1*2＝5可以求出m、n的值，通過（2*3）△4＝64求出k的值。

【詳解】因為1**2＝m×1＋n×2＝m＋2n，所以有m＋2n＝5。又因為m、n均為自然數(shù)，所

以解出：

m=2

ìm=1ìm=3

í，{2（舍去）í

?n=2n=?n=1

3

①當m＝1，n＝2時：

（2*3）△4＝（1×2＋2×3）△4＝8△4＝k×8×4＝32k

有32k＝64，解出k＝2

②當m＝3，n＝1時：

（2*3）△4＝（3×2＋1×3）△4＝9△4＝k×9×4＝36k

77

有36k＝64，解出k=1，這與k是自然數(shù)矛盾，因此m＝3，n＝1，k=1這組值應(yīng)舍去。

99

所以m＝l，n＝2，k＝2

（1△2）*3＝（2×1×2）*3＝4*3＝1×4＋2×3＝10。

【點睛】本題的關(guān)鍵是根據(jù)題中信息求出k的值。

【考點九】定義新運算其九：綜合型。

【方法點撥】

綜合型定義新運算需要結(jié)合整小分百巧算和速算方法，綜合解決。

B-A

【典型例題】如果A#B=，那么1#2-2#3-3#4--2002#2003-2003#2004=()。

A′BL

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1

【答案】

2004

【分析】這是一道綜合性題目，定義新運算經(jīng)典三步法：閱讀→理解→應(yīng)用！首先要看明白

定義的新運算，其次要學會用裂項法解題，總的來說，題目不難，關(guān)鍵是要認真仔細．

2-13-24-32003-20022004-2003

【詳解】原式=-----

2′13′24′3L2003′20022004′2003

1?11??11??11??11?

=1--?-÷-?-÷-L-?-÷-?-÷

2è23?è34?è20022003?